专题4.4 数学归纳法（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题4.4 数学归纳法 教学目标 1.理解与掌握数学归纳法增项问题. 2.会用数学归纳法的步骤与技巧以及应用出处. 3.会用数学归纳法证明整除性问题. 教学重难点 1.重点 数学归纳法中的增项问题、证明恒等式,证明不等式. 2.难点 用数学归纳法证明几何问题 知识点01 数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础． 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据． 但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 【即学即练】 1．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【分析】将代入计算可得结果. 【详解】当时，. 故答案为： 2．以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ． 【答案】缺少当时命题成立的证明 【分析】根据数学归纳法的使用步骤即可求解. 【详解】根据数学归纳法的一般步骤，知其缺少时命题成立的说明. 故答案为：缺少当时命题成立的证明 知识点02 运用数学归纳法的步骤与技巧 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 3、用数学归纳法证题的关键： 运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 【即学即练】 1．一般地，在证明一个与正整数有关的命题时，可按下列步骤进行： （1）证明 时命题成立； （2）假设 时命题成立，证明 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从 开始的正整数，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 【答案】 2．已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【答案】B 【分析】由数学归纳法、等比数列求和公式即可求解. 【详解】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论． 由等比数列求和公式知,命题正确. 故选：B． 知识点03 用数学归纳法证题的类型 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题． 由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要． 【即学即练】 1．用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ． 【答案】 【分析】由数学归纳法的定义，依次写出，时等号左边的情形，对比即可得解. 【详解】假设时成立，即， 当时，等号左边为， 对比可知，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式. 故答案为：. 2．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ . 【答案】k＋1 【分析】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论. 【详解】f(k)＝1＋， f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k) ＝ ＝k＋1， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 故答案为：k＋1. 题型01 对数学归纳法的理解 【典例1】已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用求前4项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可． 【详解】当时，，解得； ，解得，同理得，，， 猜想，以下用数学归纳法加以证明． （i）当时，，等式成立； （ii）假设当时，成立， 当时，， 即， 去分母并整理得，解得． 故（负值舍去），则时等式成立． 由（i）（ii）知对任意，成立． 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 【变式1】已知函数满足条件： ①；②；③；④当时，有． (1)求的值； (2)由的值，猜想的解析式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性和正整数值，结合恒等式赋值可求解； （2）利用数学归纳法进行证明即可得证. 【详解】（1），又，故． 又， 因为当时，有，所以， 又因为，故． （2）由，猜想． 下面用数学归纳法证明． （ⅰ）当时，，函数解析式成立． （ⅱ）假设当时，成立． ①若，则； ②若，则， ， 所以，即当时，函数解析式也成立． 综合①②可知，恒成立． 【变式2】已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，． 【答案】证明见解析 【分析】先分析得到当或时，原不等式中等号成立；再利用数学归纳法证明当，且，时，，即可完成证明. 【详解】当或时，原不等式中等号显然成立． 下面用数学归纳法证明： 当，且，时，． （i）当时，左边，右边， 因为，所以，即左边右边，成立； （ii）假设当时，不等式成立，即， 则当时，因为，所以． 又因为，，所以． 于是在不等式两边同乘以得 ， 所以， 即当时，不等式也成立． 综上所述，所证不等式成立． 【变式3】当且时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】验证当时，不等式成立，假设当时，不等式成立，证明当时，不等式成 立，从而得出结论. 【详解】①当时，左边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 题型02 数学归纳法中的增项问题 【典例1】用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别． 【变式1】用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出和的结论，对照即可求解. 【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C 【变式2】用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 【变式3】用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据归纳法即可得到答案. 【详解】解：根据数学归纳法可知： 当时， 当时， 相比从到，可知多增加的项为 故选：D 题型03 证明恒等式 【典例1】是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论． 【答案】存在，证明见解析 【分析】令，，构造方程组，求出，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】取，，联立得，即，解得； 下用数学归纳法证明． （i）当时，命题成立； （ii）假设时命题成立，即 ， 则当时， 左边 ，即时命题成立． 综上，命题得证，存在常数，使命题成立． 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． 【变式1】用数学归纳法证明：当时，． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明. 【详解】（i）当时，左边，右边，等式成立. （ii）假设当时等式成立，即 ， 当时， 左边 ，即时等式成立. 由（i）（ii）可知，对，等式成立. 【变式2】是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 【答案】存在 【分析】先令，，，列出方程组求出，再利用数学归纳法证明等式成立. 【详解】假设存在，，使题设的等式成立， 令，，，有，则. 于是，对，，，下面等式成立： ． 记， 假设时上式成立，即， 那么当时， ， 也就是说，等式对也成立. 综上所述，当，，时，题设对任意的均成立. 【变式3】证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的过程，先证明当时等式成立，再假设当时等式成立，代入化简得时成立即可. 【详解】①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时等式成立，即 ． 那么当时， ，等式也成立． 根据①和②，可知对任何都成立． 原等式得证. 题型04 证明不等式 【典例1】已知各项均为正数的数列满足，，其中，，，． (1)求和的值； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据已知递推公式代入计算求解； （2）根据已知递推公式化简结合不等式计算证明； （3）解法1：应用数学归纳法结合递推公式证明不等式；解法2：应用放缩法计算结合累加法计算证明. 【详解】（1）因为且，所以； （2）题设条件两边都是正数，直接两边除以， 则有， 由知， 所以，则． （3）解法1：（i）当时，显然成立； （ii）假设当时，成立， 则当时，， 考虑二次函数的单调性可得当时，函数单调递增， 所以， 因为， 所以以及， 即． 由（i）（ii）知不等式成立． 解法2：放缩法． ， 又，所以． 又当时，， 时，， 所以， 故． 所以． 利用累加法可得，即． 而，故，即 综上知． 用数学归纳法证明不等式的四个关键 （1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则． （2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设． （3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． （4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等． 【变式1】用数学归纳法证明不等式：． 【答案】证明见解析 【分析】（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，验证当时不等式也成立，此处采用“取差法”证明不等关系成立． 【详解】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立， 即， 那么当时， ． 又， 所以， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 【变式2】当且时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，应注意在归纳假设的基础上，进行合理放缩即可得证． 【详解】（i）当时， 左边，右边，左边右边，不等式成立； （ii）假设当时，命题成立， 即， 当时，有： ． 由（i）（ii）可知，原不等式对任意且均成立． 【变式3】无穷数列的前项和为，且满足，，给出以下四个结论： ①； ②； ③； ④若，则当时，． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】利用作差法可判断①；利用数学归纳法可判断②④；利用特例法可判断③. 【详解】对于①，根据题意得，， 所以，故，①对； 对于②，因为，对任意的，猜想， 则当时，， 这说明当时，，猜想成立，故对任意的，，②对； 对于③，若，则，此时，，故③错； 对于④，因为，则，， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 接下来比较与的大小， 因为 ， 故， 因此 ， 故当时，猜想也成立，故当时，，④对. 故答案为：①②④ 题型05 归纳—猜想—证明 【典例1】已知在数列，中，，，，为数列的前项和，求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）方法1：利用作差法判断数列的单调性；方法2：利用作商法判断数列的单调性. （2）方法1：设，问题转化为证明，再用数学归纳法进行证明； 方法2：由得，累加得，进而得，得，从而有，于是，即成立． （3）方法1：由得，累加可得：，即得： ；方法2：利用累加法证明. 【详解】（1）证法1：，所以． 证法2：由知． （2）证法1：记，则，原命题等价于证明， 用数学归纳法证明：当时，显然成立； 假设当时，成立， 则当时，构造函数，则在上单调递增， ， 综上知成立，即原命题成立． 证法2：因为， 所以，，…，. 各式相加，可得： 又，所以 所以，，…，， 累加得：，， 所以， 所以， 从而有， 于是，即成立． （3）证法1：由得， ，即， 累加可得， ，所以． 证法2：，则， 所以，，…，. 各式相加得： 即，于是． （1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”． （2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 【变式1】已知数列的通项公式是，记． (1)写出数列的前三项； (2)猜想数列通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)令，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据数列的前三项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法进行证明即可； （3）根据数列极限的运算法则进行求解即可. 【详解】（1）由，可得：， 由，可得： ，，； （2）由，，，猜想，证明如下， 当时，显然成立， 假设当时，， 当时， ，显然成立， 综上所述：； （3）由， 得． 【变式2】已知在无穷数列中，，．求出，，，并猜想通项公式，利用数学归纳法加以证明． 【答案】，，，，证明见解析 【分析】由，，分别令即可得出的值，从而猜想通项公式；利用数学归纳法进行证明时首先证明时命题成立，然后假设时命题成立，借此证明时命题成立 【详解】，且， ， ； 由此猜想 用数学归纳法进行证明如下： ①当时，，满足要求，猜想成立； ②假设时，猜想成立，即, 那么当时，， 这就表明当时，猜想成立， 根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即. 【变式3】已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件求出的值，归纳猜想通项； （2）用数学归纳法证明. 【详解】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 题型06 用数学归纳法证明整除性问题 【典例1】用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】证明见解析 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 【变式1】求证：对任意正偶数，二项式能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可，注意对任意正偶数进行证明则归纳步骤的跨度为2． 【详解】（i）当时，能被整除，命题成立； （ii）假设当（为正偶数）时命题成立，即能被整除， 当时，． 由可被整除，能被整除，则能被整除， 故当时，命题成立． 由（i）和（ii）知对任意正偶数，命题成立． 【变式2】用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 【变式3】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 题型07 用数学归纳法证明几何问题 【典例1】用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【答案】证明见解析 【分析】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【详解】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 【变式1】k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（    ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 【答案】A 【分析】利用棱柱对角面的意义及每增加一条棱，对角面增加的个数即可判断作答. 【详解】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的， k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面， 而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)= f(k)+k-1， 所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1. 故选：A 【变式2】平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析. 【分析】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可 【详解】n＝2时，f（2）＝2＝1×2， n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3， n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5， 猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)， 则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点， 所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]， 即n＝k＋1时猜想也成立． 由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)． 【变式3】平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】第个圆与前个圆相交有个交点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论． 【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此． 故选：B． 1．已知数列满足且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用数学归纳法证明不等式； （2）结合（1）知，再计算化简，最后应用数学归纳法证明不等式； 【详解】（1）由于， （i）当时，显然成立； （ii）假设当时，成立， 当时， 因为， 所以成立， 所以， 所以， 所以成立， 综合（i）（ii）可知． （2）， 则， ， ， ， 要证， 只需证， 只需证， 因为，所以， 所以． 而可以看作的前项的和， ， 故只要证明即可， 即证明． 下面用数学归纳法证明： （i）当时，显然成立； （ii）假设当时，成立， 当时， ． 综合（i）（ii）可知成立，所以待证不等式成立． 2．求证：不论正数，，是等差数列还是等比数列，当，且，，互不相等时，均有． 【答案】证明见解析 【分析】分两种情况讨论，设，，为等差数列时，可以结合数学归纳法证明. 【详解】（1）设，，为等比数列，，（且）， 则； （2）设，，为等差数列，则，猜想（且）， 下面用数学归纳法证明： （i）时，由，得； （ii）假设当时成立， 则当时， ， 也就是说，等式对也成立． 由（i）（ii）知，对一切，均成立． 3．对，，记，求数列中的最大值． 【答案】 【分析】经计算知，，，用数学归纳法证明：当时，有即可求解. 【详解】经计算知，，， 下面用数学归纳法证明：当时，有． 当时，，成立； 假设当时，， 则 ． 所以数列中的最大值是． 4．求证：对，． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明. 【详解】（i）当时，左边，右边，即等式成立. （ii）假设当（且）时，等式成立，即有 ， 那么，当时， ， 即当时，等式成立. 根据（i）（ii）可知，等式对一切都成立. 5．求实数的值，使下面等式对一切都成立：． 【答案】3 【分析】由时，等式成立求得，再用数学归纳法证明当时原式对一切都成立． 【详解】当时，左边，右边．由，解得. 下面用数学归纳法证明当时原式对一切都成立． （i）当时，等式成立； （ii）假设当时，等式成立， 即， 则当时， 左边 ， 故当时等式成立． 由（i）（ii）可知当时，对，等式均成立． 6．用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明. 【详解】（i）当时，等式成立； （ii）假设当时等式成立，则， 当时， 左边， 即时等式成立， 综上，可知待证等式成立． 7．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立 【答案】D 【分析】根据数学归纳法，结合定义法判断数列单调性，可得数列的取值范围，进而判断各选项. 【详解】由已知，即， 所以， A选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递减数列， 由， ， 即，故， 即， 若存在常数，使得恒成立， 则，即， 故，故仅对部分成立，A选项错误； B选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递增数列， 由， ， 即，故， 即， 所以不存在常数，使得恒成立，B选项错误； C选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递减数列，且， 所以当，使得恒成立，即C选项错误； D选项：当时，可用数学归纳法证明：，即. 证明：当时，，此时不等式成立， 假设当时，成立， 则当时，， 即成立， 综上所述成立， 且， 由，， 则， 即，故数列为递增数列， 由， ， 即， 即， 若存在常数，使得恒成立， 则，即， 故，故仅对部分成立， 即不存在常数，使得恒成立，D选项正确； 故选：D. 8．已知常数满足，数列满足，． (1)求，，； (2)猜想的通项公式（不用给出证明）； (3)求证：对成立． 【答案】(1)，，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知递推式依次写出对应项即可； （2）根据（1）写出的通项公式，应用数学归纳法证明； （3）由已知得，结合（2）所得通项公式得，易得与的符号相同，问题化为证明，即可证. 【详解】（1）， ， ； （2）猜想：， 显然时，满足， 若，成立， 则对于， 有， 综上，； （3）因为，， 所以， 由（2）知，， 所以的符号与的符号相同， 依次类推，我们只需要证明， 因为， 而，所以，所以，， 所以，所以，即. 9．用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，按数学归纳法证明步骤推理论证即可. 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，原等式成立； ②假设当时，原等式成立，即， 则，即当时，原等式成立， 综合①②得对一切正整数，原等式成立. 10．已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，． (2)猜想，证明见解析 【分析】(1)利用题干的迭代条件即可得到，，; (2)利用第一问的结果即可猜想，再用数学归纳法证明 【详解】（1）将已知等式展开整理得 ， 解得． 由，知． 故，，. （2）由，，，，猜想． （i）当时，，命题成立； （ii）假设当，命题成立，即， 那么， 即时命题成立． 由（i）（ii）可知对一切自然数命题都成立． 11．已知数列，，，，，，其中是大于零的常数，记的前项和为，计算，，的值，由此推出计算的公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】根据给定条件，计算并猜想，再利用数学归纳法证明. 【详解】，， ，猜想：， 用数学归纳法证明， ①当时，猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即， 则， 即时，猜想也成立， 由①②得，成立． 12．已知数列和满足，． (1)若，求证：； (2)若且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对条件进行化简，再采用数学归纳法证明即可； （2）结合已知条件令，，对式子进行化简，得到数列是常数列，即可证出. 【详解】（1）且，，等式两边同时乘， 得. 下面用数学归纳法证明： 当时，，而，成立； 假设当时，成立； 则当时，， 在单调递增， 又，， ，即当时不等式也成立， 综上所述，对任意的，. （2），又， ，令，，则， ，得， 两式相比，可得，即，即， 从而，这表明数列是常数列，，， 于是有， 因此，又，即，命题得证． 13．设正整数数列满足，则的前项中偶数的个数是 ． 【答案】 【分析】分别令、、，求出数列前项的值，猜想得出，再利用数学归纳法证明出猜想成立，然后列举出数列前若干项的值，可知，即可得解. 【详解】当时，由题意可得， 因为数列是正整数数列，假设，则， 为了满足为正，只需，即， 假设，则，可得，合乎题意， 假设，则，可得不是正整数， 故，从而可得， 当时，则有，即，解得， 当时，， 即，解得， 当时，， 猜想， 假设当时，猜想成立，即， 当时，， 由猜想可得，则， 所以 ， 所以 ， 这说明当时猜想也成立，故数列满足， 所以，数列的各项依次为：，，，，，，，，，，， 由上可知均为偶数， 又因为，故的前项中偶数的个数是. 故答案为：. 14．观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 【答案】C 【分析】由归纳推理结合题意可得答案. 【详解】注意到， 则可猜想：，AD错误， 或，B错误C正确. 故选：C 15．已知数列满足，数列满足，，为数列前项和. (1)若，求的通项公式； (2)对于给定的，求所有可能的. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）假设，利用和分别表示出，使其相等，辨析规律，得到的取值，即可得到的通项公式. （2）假设所有可能的，使用归纳演绎法，说明时命题成立，假设时命题成立，得出时，命题也成立. 【详解】（1）若，则， 设，其中，则，故只能是，所以. （2）我们归纳证明，所有可能的. 时，，命题成立； 假设时命题成立，即，则当时， ，即或，， 即.故时，命题也成立. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 数学归纳法 教学目标 1.理解与掌握数学归纳法增项问题. 2.会用数学归纳法的步骤与技巧以及应用出处. 3.会用数学归纳法证明整除性问题. 教学重难点 1.重点 数学归纳法中的增项问题、证明恒等式,证明不等式. 2.难点 用数学归纳法证明几何问题 知识点01 数学归纳法的原理 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取__________时命题成立；然后假设当__________时命题成立，证明__________命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础． 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据． 但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 【即学即练】 1．若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 2．以下是一个证明的全部过程：假设当时等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立．因此等式对于任何都成立．则用数学归纳法证明“”的过程中的错误为 ． 知识点02 运用数学归纳法的步骤与技巧 1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取__________结论正确； （2）假设当__________时结论正确，证明__________结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 2、用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）． 3、用数学归纳法证题的关键： 运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡． 【即学即练】 1．一般地，在证明一个与正整数有关的命题时，可按下列步骤进行： （1）证明 时命题成立； （2）假设 时命题成立，证明 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从 开始的正整数，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 2．已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 知识点03 用数学归纳法证题的类型 1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中____________________，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧． 3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式． 用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 5、用数学归纳法证明与数列有关的命题． 由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要． 【即学即练】 1．用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ． 2．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ . 题型01 对数学归纳法的理解 【典例1】已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 【变式1】已知函数满足条件： ①；②；③；④当时，有． (1)求的值； (2)由的值，猜想的解析式，并证明． 【变式2】已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，． 【变式3】当且时，求证：． 题型02 数学归纳法中的增项问题 【典例1】用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别． 【变式1】用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式3】用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 题型03 证明恒等式 【典例1】是否存在常数，，使得对一切自然数都成立？证明你的结论． 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）时，等式的结构． （2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系． 【变式1】用数学归纳法证明：当时，． 【变式2】是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 【变式3】证明：． 题型04 证明不等式 【典例1】已知各项均为正数的数列满足，，其中，，，． (1)求和的值； (2)求证：； (3)求证：． 用数学归纳法证明不等式的四个关键 （1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则． （2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设． （3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． （4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等． 【变式1】用数学归纳法证明不等式：． 【变式2】当且时，求证：． 【变式3】无穷数列的前项和为，且满足，，给出以下四个结论： ①； ②； ③； ④若，则当时，． 其中所有正确结论的序号是 ． 题型05 归纳—猜想—证明 【典例1】已知在数列，中，，，，为数列的前项和，求证： (1)； (2)； (3)． （1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”． （2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式． 【变式1】已知数列的通项公式是，记． (1)写出数列的前三项； (2)猜想数列通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)令，求的值． 【变式2】已知在无穷数列中，，．求出，，，并猜想通项公式，利用数学归纳法加以证明． 【变式3】已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 题型06 用数学归纳法证明整除性问题 【典例1】用数学归纳法证明：能被64整除． 用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除． 【变式1】求证：对任意正偶数，二项式能被整除． 【变式2】用数学归纳法证明：能被整除． 【变式3】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 题型07 用数学归纳法证明几何问题 【典例1】用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 【变式1】k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（    ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 【变式2】平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 【变式3】平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 1．已知数列满足且，求证： (1)； (2)． 2．求证：不论正数，，是等差数列还是等比数列，当，且，，互不相等时，均有． 3．对，，记，求数列中的最大值． 4．求证：对，． 5．求实数的值，使下面等式对一切都成立：． 6．用数学归纳法证明：． 7．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立 8．已知常数满足，数列满足，． (1)求，，； (2)猜想的通项公式（不用给出证明）； (3)求证：对成立． 9．用数学归纳法证明：． 10．已知数列满足，且，． (1)求，，； (2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明． 11．已知数列，，，，，，其中是大于零的常数，记的前项和为，计算，，的值，由此推出计算的公式，并用数学归纳法加以证明． 12．已知数列和满足，． (1)若，求证：； (2)若且，求证：． 13．设正整数数列满足，则的前项中偶数的个数是 ． 14．观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 15．已知数列满足，数列满足，，为数列前项和. (1)若，求的通项公式； (2)对于给定的，求所有可能的. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $