第四章 单元学习四 数学归纳法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习四*　数学归纳法 　　[单元整体设计]　本单元内容为选学内容，不作为考试要求.数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，是证明与正整数n有关的数学命题的非常实用的研究工具，蕴含着丰富的数学文化和哲学思想. 通过具体情境，了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题，学习计划1课时. 　　本单元内容重点是数学归纳法的原理和应用，难点是数学归纳法的原理.通过学习数学归纳法的过程，积累从特殊到一般、猜想再证明的数学活动经验，提升数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　数学归纳法 (阅读教材P44－47，完成探究问题1，2) 问题1.如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了. 问题2.在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. [微思考]　数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1？ 提示：不一定.如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. 学生用书⬇第61页 用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*). 证明：①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立. 由①②知，命题对一切正整数均成立. 对点练1.用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N*). 证明：①当n＝1时，＝成立. ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立. 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立. 任务二　用数学归纳法证明不等式 求证：＋＋＋…＋＜1－(n≥2，n∈N*). 证明：①当n＝2时，左边＝＝， 右边＝1－＝， 因为＜，所以不等式成立. ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋＜1－. 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①和②可知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立. 1. 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 学生用书⬇第62页 2.常用的几点放缩技巧 (1)＜n＜； (2)＜＜(n∈N*，n＞1)； (3)＞＝2(－)； (4)＜＝2(－)(k∈N*，k＞1). 对点练2.用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*). 证明：①当n＝1时，≤1＋≤，不等式成立. ②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立， 即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k， 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋. 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，不等式成立. 由①和②可知，不等式对所有的n∈N*都成立. 任务三　归纳—猜想—证明 将正整数进行如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…分别计算各组包含的正整数的和，如下： S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， …… (1)求S7的值； (2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，试猜测S1＋S3＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明. 解：(1)S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175. (2)S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256；猜测S1＋S2＋…＋S2n－1＝n4.证明如下： 记Mn＝S1＋S3＋…＋S2n－1. ①当n＝1时，猜想成立. ②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，猜想成立，即Mk＝S1＋S3＋…＋S2k－1＝k4. 则当n＝k＋1时，由题设，可知Sn是由1＋2＋3＋…＋(n－1)＋1＝＋1开始的n个连续自然数的和，所以Sn＝＋＋…＋＝， 所以S2k＋1＝＝(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝4k3＋6k2＋4k＋1， 从而Mk＋1＝Mk＋S2k＋1＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，所以当n＝k＋1时猜想也成立. 由①②，可知对任意n∈N*，猜想都成立. 1.“归纳—猜想—证明”的解题步骤 2.“归纳—猜想—证明”解决的主要问题 (1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和； (2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； (3)给出一些简单命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题. [注意]　(1)计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；(2)猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明. 学生用书⬇第63页 对点练3.已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝(n∈N*). (1)求a2，a3的值； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 解：(1)因为an＝且a1＝(n∈N*)， 所以a2＝＝， 解得a2＝. 因为a3＝＝， 所以14a3＝a1＋a2＝＋， 解得a3＝. (2)由a1＝，a2＝，a3＝，猜想an＝. 证明如下： ①当n＝1时，a1＝，等式成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝， 由题设an＝，得ak＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)·＝， 当n＝k＋1时，ak＋1＝， 则Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， 则ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.因此k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝， 即当n＝k＋1时等式成立. 由①②可知，对任意n∈N*，等式都成立. 任务再现 数学归纳法的概念 方法提炼 1.有关等式证明：数学归纳法.2.有关不等式证明：数学归纳法、放缩法.3.有关“归纳—猜想—证明”问题：不完全归纳法、数学归纳法 易错警示 一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错 1.用数学归纳法证明不等式2n＞(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n应等于(　　) A.1 B.4 C.5 D.6 答案：D 解析：逐个验证，当n＝6时成立.故选D. 2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3 答案：C 解析：当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确.故选C. 3.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了(　　) A. B.＋－ C. D.＋＋ 答案：B 解析：用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥的过程中，假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，左边＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时， 左边＝＋…＋＋＋＋，所以从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了＋＋－＝＋－.故选B. 4.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有　　　　　　　. 答案：f(2n)＞ 解析：所给不等式右侧的数依次为：，，，，，据此归纳可得f(2n)＞. 学科网（北京）股份有限公司 $