专题22.1.2 直角三角形的判定 （8大题型+能力提升） 同步培优讲义2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

本讲义聚焦直角三角形全等判定核心知识点，系统梳理HL定理及与SSS、SAS、ASA、AAS的综合应用。前承一般三角形全等判定方法，后通过判定依据、条件补充、证明计算等题型构建从基础到综合的学习支架，助力学生掌握判定逻辑。 资料以分层题型设计为特色，涵盖基础例题、实际应用（如操场旗杆问题）及动点问题，培养学生数学思维中的推理能力与数学语言中的应用意识。课中辅助教师实施梯度教学，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题22.2 直角三角形的判定 知识点一、直角三角形全等的判定方法: HL 1.判定方法(斜边直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1. 书写格式 在中， ∴ 知识点二、灵活选择判定方法证明两直角三角形全等 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 题型01：直角三角形全等判定的依据 【例1】如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．SSS 【答案】A 【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案． 【解析】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°， ∴△AOB和△COD是直角三角形， AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等， 所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD， 故选A． 【例2】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△CDB全等即可． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．以及三角形全等的性质． 【例3】如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据AD是三角形的高，得到∠BDF=∠ADC=90°，故可根据HL可以判定． 【解析】∵AD是三角形的高， ∴∠BDF=∠ADC=90°， ∵BF=AC，FD=CD， ∴（HL）， 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握高的意义和直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 题型02：直角三角形全等判定的条件 【例4】如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 　 ． 【分析】根据“HL”所需要的条件即可得到答案． 【解答】解：Rt△ABC和△DCB有一条公共直角边， 根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是AB＝CD． 故答案为：AB＝CD． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【例5】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意； B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意； C．∵BA∥EF， ∴∠A＝∠ACF， 由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意； D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，能熟记直角三角形的判定定理（三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL）是解此题的关键． 【例6】如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件 　 　，使Rt△ABC≌Rt△DFE． 【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：添加DE＝AC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即EF＝CB， 在Rt△ABC与Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：DE＝AC（答案不唯一）． 【点评】此题考查直角三角形的判定，关键是根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE解答． 【例7】判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（    ） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可． 【解析】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 题型03：用HL证明三角形全等 【例8】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【分析】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等． 【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，准确识图，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【例9】如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上， 且BE＝CF．求证：AF＝DE． 【分析】由BE＝CF，证明BF＝CE，而AB＝DC，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABF≌Rt△DCE，得AF＝DE． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴AF＝DE． 【点评】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质，推导出BE＝CE并且证明Rt△ABF≌Rt△DCE是解题的关键． 【例10】如图，在中，，平分，交于点，于，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）先由角平分线的性质得出，再由证即可得出结论； （2）先由证，得出，结合（1）中进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， 在与中， ， ， ， ， ，    ， ∵，， ∴； 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【例11】如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE， 求证：△ACE是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】先根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据“HL”判断Rt△ABC≌Rt△CDE，得到∠1=∠3，由于∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°，则可利用平角的定义得到∠ACE=90°，于是可判断△ACE是直角三角形． 【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△CDE中 ∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL）， ∴∠1=∠3， ∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠ACE=90°， ∴△ACE是直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【例12】如图，于点E，于点F，若，．    (1)求证：AD平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可； （2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴AD平分． （2）证明：由（1）：， 在和中， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 题型04：用HL证三角形全等求角度 【例13】如图，已知，是的两条高线，，，则 度． 【答案】40 【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，． 【解析】解：∵，是的两条高线， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【例14】如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 【答案】225° 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【解析】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解． 【例15】和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分、都在三角形内部，、有一个在三角形外部两种情况，再证明 进行求解是解题的关键． 【详解】解：若、都在三角形内部，如图1所示，      ∵、分别为、边的高， ∴，都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； 若、有一个在三角形外部，如图2所示，    ∵、分别为、边的高， ∴，都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 题型05：用HL证三角形全等求线段 【例16】如图，中，，是的角平分线，于点，若，，，则的周长是 【答案】24 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据角平分线的性质得出． 根据角平分线的性质得出，再证，推出，进而解答即可． 【解析】解：，是的角平分线，于点， ， 在和中， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【例17】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【例18】如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由是的垂直平分线，得,由是的平分线，，，得出,借助证出，由证出，从而有，即可得到，即可求出的长． 【解析】解：如图，连接，，    是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【例19】如图，是的角平分线，于E，点F、G分别是、上的点，且，与的面积分别是20和6，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点D作于点H，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，则，再证明，得出，最后根据即可求解．解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形面积相等． 【解析】解：过点D作于点H， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 题型06：利用直角三角形全等解决实际问题 【例20】如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则： （1）请你求出另一旗杆BD的高度； （2）小强从M点到达A点还需要多长时间？ 【分析】（1）首先证明△CAM≌△MBD，可得AM＝DB，AC＝MB，然后可求出AM的长，进而可得DB长； （2）利用路程除以速度可得时间． 【解答】解：（1）∵CM和DM的夹角为90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠DBA＝90°， ∴∠2+∠D＝90°， ∴∠1＝∠D， 在△CAM和△MBD中，， ∴△CAM≌△MBD（AAS）， ∴AM＝DB，AC＝MB， ∵AC＝3m， ∴MB＝3m， ∵AB＝12m， ∴AM＝9m， ∴DB＝9m； （2）9÷0.5＝18（s）． 答：小强从M点到达A点还需要18秒． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△CAM≌△MBD，掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 【例21】生活中的数学 （1）用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体棱长为2.5cm，③号正方体棱长4cm，则AD＝　 　cm． （2）用10块高度都是2cm的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中AB⊥BE于点B，EF⊥BE于点E，BE＝20cm，PE＝6cm，试判断AP、PF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）证明△ABC≌△DCE，利用全等三角形的性质进行解答即可； （2）证明△ABP≌△PEF，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∵∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠DCE， ∵∠BAC＝∠CDE＝90°，BC＝CE， ∴△ABC≌△DCE（AAS）， ∴AB＝CD＝2.5cm，AC＝DE＝4cm， ∴AD＝AC+CD＝6.5（cm）； 故答案为：6.5； （2）AP＝PF， 理由∵BE＝20cm，PE＝6cm， ∴BP＝14cm， ∵AB＝6cm，EF＝14cm， ∴AB＝PE，BP＝EF， ∵∠ABP＝∠PEF＝90°， ∴△ABP≌△PEF（SAS）， ∴AP＝PF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 题型08：动点问题（分类讨论） 【例22】如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【答案】4或8 【分析】当运动时间为秒或8秒时，根据定理推出和全等，即可作答． 【解析】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴ 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 故答案为：4或8 【例23】如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 【答案】中点或点C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 当时， 在和中， ， ∴， 当时， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等， 故答案为：中点或点C． 题型09：直角三角形的性质与判定的综合 【例24】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边AC上，点E在BC的延长线上，BD＝DE，EF⊥AC，交AC延长线于点F，AD＝EF． （1）求证：∠ABD＝∠FDE； （2）求证：AB＝CD+EF． 【分析】（1）由“HL”可证Rt△BAD≌Rt△DFE，可得∠ABD＝∠FDE； （2）由全等三角形的性质可得AB＝DF，∠ADB＝∠DEF，由等腰三角形的性质和外角性质可证CF＝EF，即可求解． 【解答】证明：（1）∵EF⊥AC， ∴∠F＝90°＝∠BAC， 在Rt△BAD和Rt△DFE中， ， ∴Rt△BAD≌Rt△DFE（HL）， ∴∠ABD＝∠FDE； （2）∵Rt△BAD≌Rt△DFE， ∴AB＝DF，∠ADB＝∠DEF， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠ADB﹣∠DBE＝∠DEF﹣∠DEB， ∴∠BCD＝∠CEF， ∴∠ECF＝∠CEF， ∴CF＝EF， ∴AB＝DF＝DC+CF＝DC+EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 【例25】五边形中，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连接，过点A作，根据全等三角形的判定分别证明，，，然后再由其性质即可证明． 【解析】解：如图所示，在上截取，连接，过点A作， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 【例26】已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析，②，证明见解析； (2)结论成立，证明见解析 (3)②的结论不成立，结论为：，证明见解析 【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明，证明，可得，从而可得结论； （2）证明，再证明，可得．证明，可得，从而可得结论； （3）证明，，可得，证明，可得．再证明，可得，结合，而，从而可得结论． 【解析】（1）证明：①∵平分，， ∴，． ②∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （2）∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （3）②的结论不成立，结论为：，理由如下： ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键． 一、选择题 1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【解答】解：、正确．符合； 、正确．符合； 、正确．符合； 、错误．要证两三角形全等必须有边的参与． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解与运用，对知识要牢固掌握，灵活运用． 2.在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定方法分别对进行逐一分析作答即可 【详解】 解：如图 当因为①，； 在和中， ， 所以； 当②，； 在和中， ， 所以； 当因为③，； 在和中， ， 所以； 当因为④，； 在和中， ， 所以； 即能判定的条件的个数为4． 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解题的关键． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明可得对应角,全等三角形对应边相等可得,然后求出可得出答案． 【详解】∵平分, ∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确． ∵,平分， ∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确． ∵，， ∴， 在和中， ∴≌（HL）， ∴故③正确，， ∴，即，故④正确， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键． 6．（2024上·上海浦东新·八年级校联考期末）4.于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，则△DEB的周长为（    ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出BE=DE，由角平分线的性质可得出DE=DC、AE=AC，根据周长的定义即可得出C△DEB=BE+DE+BD=AB=10，此题得解． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∵DE⊥AB，即 ∴ ∴DE=BE ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BE=DE． ∵AD平分∠CAB交BC于D， ∴DE=DC， 又∠C＝90°，      ∴在和中， ∵ ∴ ∴AE=AC， ∴C△DEB=BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形以及角平分线的性质，根据角平分线的性质结合等腰直角三角形的性质找出BE=DE、DE=DC、AE=AC是解题的关键． 5.下面四个命题中，真命题的个数是（    ） ①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等； ②有两角及一边对应相等的两个三角形全等； ③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定可进行求解． 【详解】解：①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等，正确； 理由：如图所示，在等腰与等腰中，，于点H，于点G，且，求证：；    证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②有两角及一边对应相等的两个三角形全等，根据或可知其正确； ③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确； 理由：如图所示，在与中，，、分别是上的中线，且，求证：；    证明：∵、分别是上的中线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确， 理由：如图所示，在与中，，，、分别为、上的中线，且，求证：．    证明：延长至，使，连接，延长至，使，连接． ， ． 为的中点， ． 在和中， ， ． 同理，． ， ． 在和中， ， ， ， 同理可得． ． ． 综上所述：真命题的个数是4个； 故选D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键． 2、 填空题 6.下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的是 (填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据直角三角形全等的判定条件可直接进行逐一排除． 【详解】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，由“HL”可判定全等，故正确； ②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形，由“SAS”可判定全等，故正确； ③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可由“AAS”或“ASA”判定全等，故正确； ④两个锐角对应相等的两个直角三角形，无法判定全等，因为没有对应边的相等，故错误； 所以正确的有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形的全等判定条件是解题的关键． 7.如图，是的高，，，，则 ． 【答案】/20度 【分析】：证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：是的高， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 8.如图，中，，点D在上，于点．若，，则 ． 【答案】25 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据“HL”证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（    ） A．75° B．60° C．55° D．45° 【答案】B 【知识点】等边对等角、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB， ∴∠BAC=∠BCA=45°， ∵∠CAE=30°， ∴∠BAE=15°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL） ∴∠BAE=∠BCF=15°， ∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键． 10如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 .    【答案】 【分析】先证明，然后得到求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 11.如图，已知平分于，于，且．其中，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，由角平分线的性质定理可得，证明得出，求出，最后由勾股定理进行计算即可，解题的关键是灵活运用所学知识点解决问题． 【详解】解：平分，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 12.如图，在中，于点D，在上取点F，使得，连接并延长交于点E，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，再证明，然后利用等面积法求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 13.如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝ cm时，能使△ADE和△ABC全等． 【答案】8或4/4或8 【分析】根据直角三角形全等的判定方法确定AD的长度． 【详解】∵AC⊥BC，AP⊥AC， ∴∠ACB＝∠EAD＝90°， ∵DE＝AB， ∴当AD＝AC＝8cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CAB； 当AD＝BC＝4cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CBA； 综上所述，当AD＝8cm或4cm时，△ADE和△ABC全等． 故答案为：8或4． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握判定直角三角形全等的“HL”判定，另外要注意这里有两种情况． 三、解答题 14.如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质： （1）证明，即可证明； （2）由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，则． 【详解】（1）证明：∵，D，E分别在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15.如图，在中，于点D，F为上一点，连结并延长交于点E，使．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形全等的判定和性质、勾股定理的应用等，解题的关键找准全等三角形的对应边角． （1）利用即可判断两个三角形全等． （2）先由两三角形全等知，再由勾股定理求得的长，则即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴（）     ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵（） ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 16.已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理． （1）利用证明，即可； （2）利用，得，从而证得，即可得出结论； （3）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 17.将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）如图，连接BF，利用的性质，结合已知条件证明，从而可得结论； （2）如图，连接BF，证明，从而可得结论． 【详解】证明：（1）如图，连接BF， ∵ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）线段AF、EF与DE之间的关系为：．理由如下： 如图，连接BF， 由旋转和全等可知：，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题22.2 直角三角形的判定 知识点一、直角三角形全等的判定方法: HL 1.判定方法(斜边直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1. 书写格式 在中， ∴ 知识点二、灵活选择判定方法证明两直角三角形全等 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 题型01：直角三角形全等判定的依据 【例1】如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．SSS 【例2】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 【例3】如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（    ） A． B． C． D． 题型02：直角三角形全等判定的条件 【例4】如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 　 ． 【例5】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 【例6】如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件 　 　，使Rt△ABC≌Rt△DFE． 【例7】判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（    ） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 题型03：用HL证明三角形全等 【例8】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【例9】如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上， 且BE＝CF．求证：AF＝DE． 【例10】如图，在中，，平分，交于点，于，点在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例11】如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE， 求证：△ACE是直角三角形． 【例12】如图，于点E，于点F，若，．    (1)求证：AD平分； (2)求证：． 题型04：用HL证三角形全等求角度 【例13】如图，已知，是的两条高线，，，则 度． 【例14】如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 【例15】和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ． 题型05：用HL证三角形全等求线段 【例16】如图，中，，是的角平分线，于点，若，，，则的周长是 【例17】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【例18】如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【例19】如图，是的角平分线，于E，点F、G分别是、上的点，且，与的面积分别是20和6，则的面积为 ． 题型06：利用直角三角形全等解决实际问题 【例20】如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则： （1）请你求出另一旗杆BD的高度； （2）小强从M点到达A点还需要多长时间？ 【例21】生活中的数学 （1）用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体棱长为2.5cm，③号正方体棱长4cm，则AD＝　 　cm． （2）用10块高度都是2cm的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中AB⊥BE于点B，EF⊥BE于点E，BE＝20cm，PE＝6cm，试判断AP、PF的数量关系，并说明理由． 题型07：动点问题（分类讨论） 【例22】如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【例23】如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 题型08：直角三角形的性质与判定的综合 【例24】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边AC上，点E在BC的延长线上，BD＝DE，EF⊥AC，交AC延长线于点F，AD＝EF． （1）求证：∠ABD＝∠FDE； （2）求证：AB＝CD+EF． 【例25】五边形中，，平分，，求证：． 【例26】已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 一、选择题 1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 2.在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 5.下面四个命题中，真命题的个数是（    ） ①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等； ②有两角及一边对应相等的两个三角形全等； ③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题 6.下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的是 (填序号） 7.如图，是的高，，，，则 ． 8.如图，中，，点D在上，于点．若，，则 ． 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（    ） A．75° B．60° C．55° D．45° 10如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 .    11.如图，已知平分于，于，且．其中，则 ． 12.如图，在中，于点D，在上取点F，使得，连接并延长交于点E，则 ． 13.如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝ cm时，能使△ADE和△ABC全等． 三、解答题 14.如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 15.如图，在中，于点D，F为上一点，连结并延长交于点E，使．    (1)求证：． (2)若，求的长． 16.已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，求的长． 17.将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $