精品解析：河南省联考2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025—2026学年（上）高一年级期中考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合或，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由交集定义计算即可得. 【详解】由或，， 则或. 故选：D 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解方程可得或， ，因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助韦达定理计算即可得. 【详解】由题意可得及是方程的两根， 则有，则，则. 故选：A. 4. 已知，则p，q，r的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性、对数运算法则及幂运算计算即可得. 【详解】，，， 故. 故选：B. 5. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质判断ABC；画出函数图象判断D. 【详解】对于A，函数定义域为，是上的奇函数和减函数，A错误； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，在定义域上不单调，B错误； 对于C，函数的定义域为，为非奇非偶函数，C错误； 对于D，函数的定义域为，其图象如图： 因此函数在上既是奇函数，又是增函数，D正确. 故选：D 6. 已知正数a，b满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】展开要求解得表达式，利用基本不等式即可求得. 【详解】由，可得，因为，则，所以，，所以,当且仅当时等号成立. 的最大值为9. 故选：D 7. 已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对进行分类讨论，根据函数在上单调递增，结合函数的性质即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，因此， 当时， 为对勾函数，在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以，则， 所以实数b的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，对任意的，且，都有 ，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，结合函数单调性定义可得该函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】令，， 则对任意的，且， 有， 由，则当时，，， 则，故， 故函数在上单调递减， 对，有，则， 则， 故有，即， 解得或（舍去），故， 即该不等式的解集为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b≠0，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用幂函数、指数函数单调性推理判断BD. 【详解】对于AC，取 ，，AC错误； 对于B，函数在R上单调递增，，B正确； 对于D，函数在R上单调递增，，D正确. 故选：BD 10. 已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC 11. 已知函数且，则（ ） A. 的图象过定点 B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 当时，函数的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入计算即可得A；利用指数函数单调性可得B；利用偶函数定义判断可得C；利用函数单调性可得D. 【详解】A：，故的图象过定点，故A正确； B：当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，则在上单调递增， 故在上的单调性与的取值有关，故B错误； C：， 由，则，， 故为偶函数，故C正确； D：当时，，令， 则在上单调递增，故， 即当时，函数的最小值是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则的最大值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先求出，然后由的单调性即可得出答案. 【详解】若，即，则， 所以， 当时，； 当时，， 所以的最大值为1. 故答案为：1 13. 设集合 则中的元素个数为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题可得当时，，当时，，从而可得，两集合有个相同元素，再利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案：. 14. 若不等式 对任意恒成立，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得与异号或至少有一个为，分、与进行讨论即可得. 【详解】由题意可得与异号或至少有一个为， 若，即或时，有，即恒成立，则； 若，即时，有，即恒成立，则； 当，即时，在上恒成立，符合； 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）借助指数幂运算法则计算即可得； （2）借助对数运算法则计算即可得； （3）借助完全平方公式计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由，则，即， ，又，则，故， 故 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助指数函数单调性计算出集合后，利用补集与交集定义即可得； （2）分及，结合集合包含定义讨论即可得. 【小问1详解】 由，解得，则，则， 由，则， 故； 【小问2详解】 当时，有，解得，此时； 当时，由，则，解得； 综上所述：. 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若关于方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）分类讨论利用二次函数的单调性即可求解； （3）由题意可得与的图象有三个不同的交点，作出函数的示意图，可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，所以当时，，， 所以的解析式为. 【小问2详解】 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递增， 又因为在处连续，故函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 作出函数的图像， 要想使关于方程有3个不相等的实数根， 则与的图像有三个不同的交点，由图像可得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知二次函数的图象经过三点. （1）求的解析式; （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围; （3）求在区间上的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设函数解析式，用待定系数法求解； （2）将函数转化为，求最值即可； （3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论. 【小问1详解】 设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则，解得，所以函数解析式为. 【小问2详解】 因为，即化简为 ，由当时，恒成立，即， 令，对称轴为，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是 【小问3详解】 由可知，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 即； 当，即时，，即； 当时，函数在区间上单调递增，则，即； 综上. 19. 已知函数对任意的实数，都有，且当时，. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得不等式 成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令即可得出答案； （2）判断出函数在上单调递增，然后任取，且，则，作差，结合已知条件可判断出的符号，由此可证得结论成立； （3）首先令得到，不等式可化为，利用函数的单调性脱去，不等式转化为，最后利用复合函数的值域求解即可. 【小问1详解】 令得，所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增，理由如下：任取，且， 则，故， 所以， 即，所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 令得，即， 所以不等式可化为，即， 由（2）可知函数在上单调递增，所以， 整理得， 因为，所以， 所以满足题意的的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年（上）高一年级期中考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合或，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则p，q，r的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数a，b满足，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 7. 已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数定义域为，对任意的，且，都有 ，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b≠0，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且，，则函数与在同一坐标系内图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数且，则（ ） A. 的图象过定点 B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 当时，函数的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则最大值为___________. 13. 设集合 则中的元素个数为__________ 14. 若不等式 对任意恒成立，则实数___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数取值范围. 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时， （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若关于的方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 18. 已知二次函数的图象经过三点. （1）求的解析式; （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围; （3）求在区间上的最小值. 19. 已知函数对任意的实数，都有，且当时，. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数，使得不等式 成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $