第5章 二次函数（复习课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学二次函数单元复习课件系统涵盖定义、图像性质、三种形式转化、与方程关系及实际应用，通过知识图谱和考点串讲表格，将二次函数定义、顶点式一般式交点式的图像特征、性质及相互转化逻辑串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层模式，结合销售利润、矩形面积等实际应用案例，培养学生数学建模意识和运算能力，如例20通过建立利润函数分析最值，例22用二次函数解决面积优化，助力学生巩固知识，教师精准教学。

单元复习课件 第五章 二次函数 苏科版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解二次函数定义，掌握图象特征与性质，能快速确定顶点式、一般式、交点式这三种形式下函数的开口、顶点坐标、对称轴、增减性等。 3.梳理利用二次函数解决实际问题的步骤，针对常见场景（涵洞、面积、利润、图形等）设计例题，强化建模与检验能力。 2. 熟悉顶点式、一般式、交点式这三种形式的相互转化； 能根据已知条件灵活运用三种形式求解析式，熟练运用待定系数法求二次函数解析式。 单元学习目标 单元知识图谱 考点1、二次函数的基本概念 1、二次函数的概念： 一般地，形如 y = ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a ≠ 0 ) 的函数叫做二次函数,，其中，x 是自变量，y 是因变量． 二次项系数 2、注意点： （1）通常，自变量 x 是任意实数 （2）实际问题中，要注意 x 的取值范围 一次项系数 常数项 要确定二次项系数、一次项系数和常数项，必须先把二次函数化成一般形式。 考点串讲 4、特殊形式： （1）y=ax2 ( b=c=0，且 a ≠ 0 ) —— 只含二次项 （2）y=ax2+bx ( c=0，且 a ≠ 0，b ≠ 0 ) —— 不含常数项 （3）y=ax2+c (b=0，且 a ≠ 0，c ≠ 0 ) —— 不含一次项 3、结构特征（三要素）： （1）等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式 （2）等号右边自变量 x 的最高次数是 2 （3）等号右边可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项，即 a ≠ 0 y = ax2 + bx + c 考点1、二次函数的基本概念 考点串讲 题型一、二次函数的定义 例1、下列函数中，属于二次函数的是（ ） C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解析式形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】 A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、 ，等号右边不是整式，不是二次函数，不符合题意， 故选：C． 题型剖析 题型一、二次函数的定义 例2、若关于 x 的函数 是二次函数，则m的值为 . -3 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（a ≠ 0）的函数叫做二次函数，据此可得，，则 m = 3 ． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， 所以 ， 得：m = − 3 故答案为：− 3． 题型剖析 1．下列函数中，是二次函数的有（    ） D 4.若函数 是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． m＝1 3.已知是关于x的二次函数，那么t的值是　 　 ． 8 2.下列函数中，不是二次函数的是（    ） D 针对训练 考点2 二次函数的图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线，它的对称轴是一条直线。 一般式 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 向上 向下 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 考点串讲 考点2 二次函数的图像与性质 顶点式 y=a(x − h)2+k (a>0) y=a(x − h)2+k (a<0) 图像 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 向上 向下 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 (h，k) (h，k) 考点串讲 考点2 二次函数的图像与性质 交点式 y=a(x − x1)(x − x2) (a>0) y=a(x − x1)(x − x2) (a<0) 图像 开口 对称轴 最值 增减性 向上 向下 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 考点串讲 考点2 二次函数的图像与性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)关系式与图像的联系， a决定了抛物线的___________ ， a、b 的符号决定了对称轴的位置， a、b 同号时，对称轴在 y 轴的______侧， a、b 异号，对称轴在 y 轴的______侧，简称： ； c 的值是抛物线与 y 轴交点的______坐标。 b2 − 4ac 决定了抛物线与 x 轴的_______个数. 开口大小 |a|越大，抛物线的开口就越小 左 右 左同右异 纵 交点 考点串讲 题型二、二次函数的图像与性质 例3、对于二次函数 ，下列说法中正确的是（    ） A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：A．∵a = 3 ，∴该函数图象开口向上，故选项A正确； B．函数的最小值为1，故选项B错误； C．函数图象的对称轴为直线x=2，故选项C错误； D．当x<2时y随x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 题型剖析 题型二、二次函数的图像与性质 例4、二次函数 A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键． 根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴a = − 4 < 0， ∴抛物线开口向下， 故选：A． A． B． C． D． 题型剖析 题型二、二次函数的图像与性质 例5、已知抛物线 经过( − 2 , y1)、(0 , y2)、(1.5 , y3)， 则y1、y2、y3的大小关系是（　　） 【解法1】解：x = 2时，， x = 0时，， x = 1.5时，， 故选：D． D 题型剖析 题型二、二次函数的图像与性质 例5、已知抛物线 经过( − 2 , y1)、(0 , y2)、(1.5 , y3)， 则y1、y2、y3的大小关系是（　　） 【解法2】解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． ∵抛物线经过( − 2 , y1)、(0 , y2)、(1.5 , y3)三点， 则这三点到对称轴的距离分别为 0( 2)=2，00=0，1.50=1.5， ∵2>1.5>0，∴y1>y3>y2 故选：D． D 题型剖析 1．对于二次函数 ，下列说法中正确的是（    ） B 2.已知点( − 2 , y1)、(0.5 , y2)、(2 , y3)在二次函数 的图象上， 则y1、y2、y3的大小关系是 （用“<”连接） ． y2<y1<y3 针对训练 3．如图，抛物线y＝ax２＋bx＋c ( a > 0 ) 的对称轴是直线 x = 1，且经过点 P（3，0）， 则a − b ＋ c的值为 ( ) A. 0 B. − 1 C. 1 D. 2 A 针对训练 4．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c ( a ≠ 0 ) 的图像如图所示，有下列结论： ①b２ − 4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0． 其中，正确结论的个数是 (　　)． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 针对训练 题型三、二次函数的最值 例6、已知抛物线 的最小值为（　　） 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，理解图象的开口向上是解本题的关键. 对于二次函数y=a(x − h)2+k (a≠0) 当a>0， 函数图象的开口向上，函数有最小值，当x=h时，最小值为k， 据此直接可得答案. 【详解】解：由二次函数可得：a=2>0， ∴函数图象的开口向上，函数有最小值， 当时，当x=0时，最小值为-4． 故选：D． D 题型剖析 例7、已知抛物线 y= -x2+2kx-k2-3（k为常数，且k≤3），当-1≤x≤3时，该抛物线对应的函数值有最大值-7，则k的值为 ． 【详解】解：∵ y= -x2+2kx-k2-3= -(x − k)2-3， ∴ 顶点为 ( k , -3 ) ，开口向下， ∵ k≤3 ， ① 若-1≤k≤3 ，则抛物线的最大值为-3，不符合题意， 若k<-1 ，则当x=-1时，抛物线取最大值， ∴ -(-1)2+2k× (-1)-k2-3=-7 ，， 解得k=-3， 故答案为：-3． -3 题型剖析 1．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值1 B．有最小值C．有最大值0 D．y随x的增大而减小 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，该函数在时，取得最小值，此时； 故选B． B 针对训练 2．已知二次函数的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值0 C．有最小值，有最大值3 D．有最小值，无最大值 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据图像可直接排除选项即可． 【详解】解：由图像可知：二次函数的最大值为3，最小值为； 故选：C． C 针对训练 3．已知，抛物线的最小值为1，那么c的值是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【详解】解：∵二次函数的最小值为1， ∴， 解得， 故选：． A 针对训练 考点3 二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c = 0的根 一元二次方程 ax2+bx+c = 0根的判别式Δ=b2 − 4ac 有两个交点 有两个不等的实数根 b2 – 4ac > 0 只有一个交点（顶点） 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2 – 4ac < 0 考点串讲 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与 的交点的横坐标； 在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)中， 若 b2 − 4ac > 0， 则二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与 x 轴 交点； 若 b2 − 4ac＝0， 则二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图像与 x 轴 交点； 若 b2 − 4ac < 0， 则二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与 x 轴 交点． 考点3 二次函数与一元二次方程的关系： 考点串讲 考点3 二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c = 0的根 一元二次方程 ax2+bx+c = 0根的判别式Δ=b2 − 4ac 有两个交点 有两个不等的实数根 b2 – 4ac > 0 只有一个交点（顶点） 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2 – 4ac < 0 考点串讲 题型四、二次函数与一元二次方程的关系 例8、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标 (1 , 2 ) ，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c − m=0没有实数根，有下列结论：① 4ac<b2；②abc>0；③m>2；④点P(m , n)是抛物线上任意一点，则 m ( am + b) ≤ a + b，其中，正确的结论是 ． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，则b2 4ac > 0， ∴4ac<b2 故①正确； 由图可得：a<0，c>0，∵顶点坐标 (1 , 2 )，∴=1， ∴b=2a>0，∴abc<0故②错误； 由关于x的一元二次方程ax2+bx+c − m=0没有实数根，可知， ∴抛物线y=ax2+bx+c的图象与y=m的图象没有交点，则m>2，故③正确； ∵∵顶点坐标 (1 , 2 )， ∴当x=1时，y有最大值=a×12+b×1+c=a+b+c ∵点P(m , n)是抛物线上任意一点， ∴am2+bm+c≤a+b+c，∴m ( am + b) ≤ a + b，故④正确． ①③④ 题型剖析 题型四、二次函数与一元二次方程的关系 例9、已知二次函数​y=(k−1)x2+2x+1，请回答：​（1）当​k为何值时，函数图象与​x轴有两个不同的交点？​（2）当​k为何值时，函数图象与​x轴无交点？​ 解：​二次函数需满足​k−1≠ 0,即​k≠ 1；​判别式​Δ=b2−4ac=4 − 4(k − 1)=8 − 4k​ （1）当Δ>0时，函数图像与x轴有两个不同交点，解8−4k>0得​k<2，又​​k≠ 1， ∴当k<2且​k≠1时，函数图像与x轴有两个不同交点.​ （2）当Δ<0时，函数图像与x轴无交点，解8−4k<0得​k>2， ∴当k>2时，函数图像与x轴无交点. 题型剖析 1．若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下，与x轴的一个交点为(1，0)，则下列各式中不成立的是( ) A. b2 4ac > 0 B. abc > 0 C. a + b + c = 0 D. ab + c < 0 C 1 x y o − 1 针对训练 2.已知二次函数​y=x2+mx+n的图象与​x轴交于​A(x1,0)、​B(x2,0)两点，且满足​x1+x2=3， ​x1x2=2 ​，求：​（1）​m、​n的值；​（2）函数图象的顶点坐标. 解：（1）由根与系数关系，​对于方程​x2+mx+n=0，有​x1+x2=−m，​x1x2=n； ​代入已知：​3=−m即m=−3；​2=n即n=2；​ （2）由（1）得​函数解析式为​y=x2−3x+2，∴对称轴​x= − ​=， ∴​顶点纵坐标​y=()2 − 3+2=−，​故顶点坐标为​(,−)。​ 针对训练 3.二次函数y=kx2 − 6x − 6的图象与x轴有交点，则的取值范围是 ． k≥ − 3且k≠0 【详解】解：∵二次函数y=kx2 − 6x − 6的图象与x轴有交点， 令y=0，则kx2 − 6x − 6=0， ∴b2 − 4ac=( − 6)2 − 4×k×( − 6)≥0且k≠0， 解得k≥ − 3且k≠0． 故答案为：k≥ − 3且k≠0． 针对训练 4、如图是二次函数y=x2+2x+1的图象，则方程x2+2x+1=0（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 B 判断抛物线与 x 轴交点个数: 当b2 4ac > 0时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点，此时对应的一元二次方程 ax２＋bx＋c = 0有两个不相等的实数根。 当b2 4ac = 0时，抛物线与 x 轴有一个交点，对应的一元二次方程有两个相等的实数根。 当b2 4ac < 0时，抛物线与 x 轴没有交点，对应的一元二次方程无实数根。 针对训练 5、已知函数y=(k − 1)x2 − 4x+4的图象与x轴有交点，则k的取值范围为________． k≤2 注意分类讨论 【题目未说此函数一定是二次函数】 【分析】 （1）k = 1时，一次函数y= − 4x + 4 ，成立 （2）k ≠ 1时， ≥ 0 针对训练 6、抛物线 y=ax2+bx+c交x轴于（ − 3，0）（1，0），则方程ax2+bx+c=0的根为__________________． x1 = − 3，x2 = 1 针对训练 题型五、二次函数与一次、反比例函数结合 例10．已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c在坐标系中如图所示，和是方程 ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，则函数y＝x＋在坐标系中的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由图像可得：，，， 对称轴，，ax2＋（b－k）x＋c＝0，两个解为， ，可得异号，且＞， ，故函数y＝x＋在坐标系中的图象大致为：D D 题型剖析 题型五、二次函数与一次、反比例函数结合 例11．已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：当a＞0时，，所以，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 当a＜0时，，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 故选：D． D 题型剖析 1．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：当时，一次函数图象过第一、三象限，二次函数图象开口向上，故C、D错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、三、四象限，图象开口向上， 令时，，∴，∴可得一次函数过，将代入中可得，故两函数图象均过，交点在正半轴上，故B错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、二、三象限，图象开口向上， 对称轴为直线，在y轴左侧，同理，两函数图象均过，交点在负半轴上，A正确，符合题意， A 针对训练 2．函数y=ax2+1与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：分a＞0和a＜0两种情况讨论： 当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；位于第一、三象限，没有选项图象符合； 当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；位于第二、四象限，B选项图象符合． 故选B． B 针对训练 题型六、二次函数图象与各项系数符号结合 例12．已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，，则，故①正确； 又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴，则，故②正确； ∵抛物线的顶点在第一象限，对称轴为直线 ∴当时，，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点，∴，故④错误； ∵点和关于直线对称，，∴当时，， 故⑤正确，综上，正确的有4个， D 题型剖析 二次函数的部分图象如图，抛物线与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④方程一定有两个不相等的实数根，且两根和为2．其中正确的结论有 ．（填写正确的序号即可） 【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线与y轴交于点，∴， ∵，∴，，∴，故②错误， ∵，∴，， 当时，，∴，∴，故①正确， 当时，函数的最小值为：，由图象可得，对于任意m都有， 即，∴，故③不正确；， ∵，，，∴变为：， 即：，∴方程一定有两个不相等的实数根， 设的两个根为，，∴，故④正确， 故答案为：①④． ① ④ 针对训练 考点4 待定系数法求二次函数解析式 (1)关键是求出待定系数____________的值。 (2)设解析式的三种形式： ①一般式：_________________，当已知抛物线上三个点时，用一般式比较简便； ②顶点式：__________________ ，当已知抛物线的顶点时，用顶点式较方便； ③交点式(两根式)：_____________________，当已知抛物线与 x 轴的交点坐标 (x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便。 a，b，c y＝ax2＋bx＋c y＝a(x − h)2＋k y＝a(x − x1)(x − x2) 考点串讲 例13、二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a<0）与x轴的一个交点的横坐标是 − 2，顶点坐标为(1,9)，则下列关于二次函数的说法中正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8 D 题型七、待定系数法求二次函数解析式 【详解】解：将二次函数y=ax2+bx+c转化为 y=a(x − h)2+k， 又∵二次函数的顶点坐标为(1,9)，∴ y=a(x − 1)2+9， ∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标是 − 2，∴将( − 2,0)代入可得 a= − 1，∴二次函数的解析式为 y= − (x − 1)2+9， ∴二次函数图象的对称轴是直线x=1，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是 − 2，对称轴是直线x=1，∴另一个交点的横坐标是4，故选项B错误； ∵ a= − 1，对称轴是直线x=1，∴当x<1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 将 x=0代入解析式得 y= − (0 − 1)2+9=8，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8，故选项D正确． 题型剖析 例14、已知二次函数的图象经过（ − 1，10），（1，4），（2，7）三点，则该二次函数的表达式为__________________． y=2x2 − 3x+5 解：这个二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)， 把三点（ − 1，10），（1，4），（2，7）分别代入， 得：，解得：， ∴y=2x2 − 3x + 5． 注意 设解析式时，a ≠ 0 莫忘写！ 题型七、待定系数法求二次函数解析式 题型剖析 题型七、待定系数法求二次函数解析式 例15、已知二次函数的图象以A（ − 1，4）为顶点，且过点B（2， − 5），则该二次函数的表达式为__________________． 解：由二次函数的图象以 A（ − 1，4）为顶点， 设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4 ( a ≠ 0 )， 将 B（2， − 5）代入，解得：a= − 1， ∴y= − (x+1)2+4= − x2 − 2x+3， 即y= − x2 − 2x+3． y= − x2 − 2x+3 题型剖析 题型七、待定系数法求二次函数解析式 例16、已知抛物线过 A（ − 2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点，则这条抛物线的解析式为__________________． 解：设抛物线解析式为 y = a( x + 2)(x − 1) ( a ≠ 0 )， 把 C（0，2）代入，解得：a= − 1， ∴抛物线解析式为y= − (x+2)(x − 1)， 即y= − x2 − x+2． y= − x2 − x+2 注意 结果里，交点式要化成一般式哦~ 题型剖析 1.若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【详解】解：设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2+1， 将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得， a＝﹣1， 函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1， 展开得y＝﹣x2+4x﹣3． 故选：B． B 针对训练 2. 已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为直线x= −2，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是           ． 【详解】解：∵对称轴是直线x= −2，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为(−1 , 0)，(−3 , 0)， 设抛物线解析式为 y = a( x + 1)(x + 3) ( a ≠ 0 )， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴，∴抛物线解析式为， 即 针对训练 3.某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线过点（1，0），（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)(x + 2)， 抛物线与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5， ∴5＝2x﹣1， 解得：x＝3， ∴抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5）， 将（3，5）代入抛物线解析式可得a(3﹣1)(3 + 2)＝5， ∴， ∴抛物线的解析式为(x﹣1)(x + 2)，即x2+x-1． 针对训练 考点5、二次函数的平移 平移方式(n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移与增加性变化 如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小) 值. 只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值. 只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 考点串讲 题型八、二次函数的平移 例17、将抛物线 y＝-(x﹣2)2+ 1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） 【详解】将抛物线 y＝-(x﹣2)2+ 1向左平移3个单位所得抛物线解析式为： y＝-(x + 3﹣2)2+ 1，即 y＝-(x + 1)2+ 1； 再向下平移2个单位为： y＝-(x + 1)2+ 1-2，即， y＝-(x + 1)2- 1 故选：A． A 题型剖析 1. 要由抛物线 y＝2x2得到抛物线 y＝2(x+1)2-3，则抛物线 y＝2x2（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【详解】解：∵原抛物线为 y＝2x2，目标抛物线为 y＝2(x+1)2-3， ∴抛物线 y＝2x2，向左平移1个单位得 y＝2(x+1)2， 再将抛物线向下平移3个单位得 y＝2(x+1)2-3， 故选A． A 针对训练 2.平面直角坐标系中，将二次函数 y＝x2-6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： . 【详解】解：∵ y＝x2-6x+8= (x-3)2-1， ∴图象向左平移2个单位，根据“左加右减”原则，x变为x+2，则函数变为 y= (x+2-3)2-1 ． 再向上平移3个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加，则函数变为 y= (x+2-3)2-1+3=(x-1)2+2 ． ∴平移后图象的关系式为 y=(x-1)2+2=x2-2x+3 ； 故答案为：y=x2-2x+3． 针对训练 题型九、二次函数的应用——喷水、拱桥问题 例18．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 【详解】解：∵，∴点K的坐标是， 把代入得，解得， ∴， ∵门的高度为1.5米，，∴点S和点T的纵坐标均为1.5， 当时，，解得，，∴ 则， 即横梁的长度是米． 故答案为： 题型剖析 例19．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 题型九、二次函数的应用——喷水、拱桥问题 题型剖析 例19．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； 题型九、二次函数的应用——喷水、拱桥问题 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的函数表达式为， ∵在抛物线上∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 题型剖析 例19．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 题型九、二次函数的应用——喷水、拱桥问题 【详解】（2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6， ∴， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为：，． 题型剖析 1．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． 针对训练 1．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【详解】（2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 针对训练 【详解】（1）解：由题意得， 图象过，， ∴．∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； 2．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ 针对训练 【详解（2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即，∴小军能将车开进车棚． 2．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ 针对训练 题型十、二次函数的应用——销售问题 例20、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出 2 件． (1)若每件衬衫降价x元，商场每天盈利y元，写出y与x的函数关系式； (2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最多盈利多少元？ 【详解】（1）解：设降价x元，则盈利元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理得． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且时，y取得最大值，且最大值为1250元． 故每件降价15元时，每天盈利最多，最多盈利1250元． 题型剖析 例21．电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来．已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该玩偶每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销量每件的利润） 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 代入和得，， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； 题型剖析 例21．电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来．已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该玩偶每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销量每件的利润） 【详解】2）解：由题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元． 题型剖析 1．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设每天的销售利润为W元． (1)当销售价为每件30元时，每天销售利润是多少？ (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：由题意可得： 当销售价为每件30元时，每天销售利润为：． 答：当销售价为每件30元时，每天销售利润是2000元． （2）解：设销售单价应定为x元， 由题意可得：， ∴当时，W取得最大值，此时． 答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元． 针对训练 【详解】（1）解：设每天的销售量 y与销售单价x的函数关系式为 ，把代入得到 ，解得 ∴ ∴ 与之间的函数解析式（）； 2．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）关系如下图所示，设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 针对训练 【详解】（2）解：当时，， 解得，， ， ∴不符合题意，舍去， 即商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 2．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）关系如下图所示，设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 针对训练 题型十一、二次函数的应用——面积问题 例22、如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式， 自变量的取值范围为． 题型剖析 题型十一、二次函数的应用——面积问题 例22、如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 【详解】（2）由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； 题型剖析 题型十一、二次函数的应用——面积问题 例22、如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 【详解】（3）自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 题型剖析 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为(单位：)，与墙平行的一边长为(单位：)，面积为(单位：)． (1)直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写的取值范围)； (2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：∵，∴，∵， ∴； （2）解：能达到． ∵，∴，∴，又∵，∴，∴， 当时，，即 ， 解得（不合，舍去），（符合题意）， ∴当时，矩形实验田的面积能达到． 针对训练 例23．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ 题型十二、二次函数的应用——图形问题 【详解】（1）解∶∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点在的垂直平分线上； 题型剖析 例23．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (2)当为何值时，的长度等于？ 题型十二、二次函数的应用——图形问题 【详解】（2）解：∵的长度等于，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的长度等于； 题型剖析 例23．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 题型十二、二次函数的应用——图形问题 【详解】（3）解：∵的面积等于， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的面积等于， 题型剖析 例23．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 题型十二、二次函数的应用——图形问题 【详解】（4）解：∵的面积与五边形的面积之比等于， ∴的面积与矩形的面积之比等于， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的面积与五边形的面积之比等于． 题型剖析 如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴， ∵四边形是矩形，∴， ∴， 即y 与 x 的函数关系式为； 针对训练 如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 【详解】（2）解：∵和相似，， ∴或， ∴或． ∵，，，，． ∴或， 解得或，当或时，和 相似． 针对训练 二次函数 二次函数的定义 概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 图像的性质 开口方向、开口大小 增减性 二次函数的应用 营销问题、面积问题 几何问题、数字问题 顶点式、交点式 对称轴 当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。 课堂总结 感谢聆听! $