专题08 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题（专项训练）数学苏科版九年级下册

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题… 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 12 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 17 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对 边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相 等)简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解，辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图 形合理性。 1.如图，已知抛物线：y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,0A=0C=3,顶点为D. Di 备用图 (1)求此函数的关系式： (2)在AC下方的抛物线上，是否存在一点N,使△CAN面积最大？最大面积是多少？ (3E在对称轴上，F在抛物线上，若以A,O,E,F为顶点形成平行四边形，求出点E,F的坐标 2.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且点A坐标为 -5,0,点B坐标为1,0. 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； (3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A、C、M、N为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相 平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元； 结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别相交于A,B两点，与y轴交于点C, 直线y=-x+3经过B、C两点. B (1)求抛物线的表达式： (2)抛物线的顶点为M,点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形 是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点A、B的坐标分别是(-1,0】 、3,0),与y轴交于点C,点C的坐标是(0,3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称。 2/10 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最大值； 3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为顶点的四边形 是以AM为边的矩形，求点P和Q的坐标. 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂 直平分)两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积1（对角线垂直）列 方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合 图形验合理性。 5,如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,对称轴为直线1. B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，求四边形ACPB面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线1上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B,C,F,G为顶点的菱形？若 存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于 直线x=1对称. 3/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的解析式： (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D ①当三角形ACB面积最大时，请求出点C的坐标和三角形ACB面积的最大值。 ②在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不 存在，说明理由. 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角 线等且垂直平分)，利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结 合图形限动点范围。 3解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 7.如图，抛物线经过A-1,0),C(4,0),D(3,-4三点. B B 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)探究在抛物线上是否存在点P,使S,Pc=2S,Dc？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由. (3)直线AD交y轴于点G,M是线段GD上动点，MNx轴与抛物线CD段交于点N.MF⊥x轴于F, NH⊥x轴于H,当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点 C(0,-3),且抛物线的顶点坐标为1，-4). 4/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA E 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(O,-1),连接BC,DP相交于点E,连接PB.若△CDE与△PBE 的面积相等，求点P的坐标； (3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H,是否存在点M,N ,使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由. B 综合攻坚·能力跃升 一、解答题 1.(2025九年级上，北京.专题练习)已知抛物线L:y=ax2-2ax-3a(a≠0)与x轴交于A,B两点（点A在 点B的左边)，与y轴交于点C(0,3). 4 3 -4-3-2-101 1234 -4 5/10 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求抛物线L的表达式； (2)若将抛物线L沿x轴向右平移得到抛物线L',平移后点C的对应点为点P,点Q是平面内任意一点，是 否存在以A、B、Q、P四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 2.(2025陕西咸阳模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0),B(3,0)两点，与y轴 交于点C(0,6),M是抛物线的顶点. M (1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使以A, P,Q,M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请 说明理由， 3.(2425九年级下宁夏天忠期中)如图，抛物线y=号2+加+c与x鞋交于4-101，B两点（点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D,动点M在抛物线上运动， 过点M作MP⊥x轴，垂足为P,交直线CD于点N. y A/O PD (I)求抛物线的解析式： (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边 形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标. 4.(2025陕西西安模拟预测)如图，己知抛物线C,:y=-x2+bx+c与y轴相交于点C(0,),对称轴为直线 x=2.坐标原点为O点，抛物线G的对称轴交x轴于A点. 6/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 备用图 (1)抛物线的关系表达式； (②)将抛物线G向左平移2个单位长度得到抛物线C2，C,与G相交于点E,点F为抛物线C对称轴上的一 点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点C,E,F,H为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出 点H的坐标；若不存在，请说明理由， 5.(2025九年级上·浙江·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴 交于A-1,0),B(3,0)两点.与y轴交于点C,连接BC. B (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (②)若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 6.(2025山东枣庄二模)已知，如图抛物线y=ax2+3ax+ca>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两 点，点A在点B左侧.点B的坐标为1,0)，OC=30B. 备用图 (①)求抛物线的解析式： (②)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请 7/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 说明理由； (3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； (④)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若 存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 7.(2025·吉林松原·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+ca≠0)与x轴交于点 A,B,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为x=1,点D为此抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式. (2)若连接CD,则∠BCD=°. (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值. (4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点？，当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点 Q的横坐标 8.(24-25九年级下·海南三亚阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为(-5,0)，点C的坐标为(0,5. 图1 图2 (①)求抛物线的解析式： (②)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积的最大 值； (3)如图2，若点M是抛物线上一动点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以 A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 8/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(2025九年级上浙江·专题练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其 中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA=0C=5. B OB 备用图 (1)求抛物线对应的函数解析式： (②)点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标； (3)在(2)条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点 作四边形PEFM,当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标 10.(2025·甘肃陇南模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交坐标轴于B、C两点，抛物 线y=ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A(-1,0).点D为抛物线在第一象限内的一点，过点 D作DQ∥CO,DQ交BC于点P,交x轴于点Q. B (I)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m,在点D的移动过程中，存在LDCP=∠DPC,求出m的值； (3)在抛物线上取点E,在平面直角坐标系内取点F,问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩 形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由 11.(2025陕西西安一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线C:y=x2+2x-3与x轴交于点A和点 B B (I)求点A,点B的坐标； 9/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)抛物线C,与抛物线C关于原点0成中心对称，求抛物线C,的表达式： (3)已知A的对应点为，B的对应点为B,C的对应点为C,以A,A,B,B,C,C六个点中的4 个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积 12.(24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于 点A(3,0)、B(1,0),与y轴交于点C,且0A=0C. O B 图① 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)如图①，在直线AC上方的抛物线上存在一点M,使得S△4wc=6,求出M的坐标； (3)若点P是该抛物线上位于直线AC下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D 在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B,P,D,Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出 Q点的坐标 10/10 专题08 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 7 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 12 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 1．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)或或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）分为边，和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 代入，得： ， 解得：； ∴此函数的解析式为； （2）解：存在．的面积最大为， 如图1，过点作轴于点，交于点， 设的解析式为，将代入，得：， ∴直线解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ∴， ∴当时，此时，的面积最大为； （3）如图2，抛物线对称轴为， ①以为边，则，且． 设，则， ，解得， 当时，；当时，； 故或； ②以为对角线，则与互相平分， 设 的中点 ． 把代入，得． ， 综上所述，或或． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 4．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 5．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D ①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值． ②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；  ②存在；或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，两点间距离公式，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线表达式为，设，则，，由得到，再转化为二次函数求最值； ②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得：， ∴； （2）解：①当， ∴ 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴设直线表达式为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积最大值为， ∴此时； ②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形， 此时，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 7．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 一、解答题 1．（2025九年级上·北京·专题练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 3．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)若点N为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，其对称轴为直线 (2) 存在，或或 【分析】 （1）将点，代入，可得，，即可求解； （2）分四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形时平行四边形三种情况，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将点，代入，得 ． 解得， 故该抛物线的解析式为，其对称轴为直线． （2） 解：存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 由题得，，，设，， ①四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； ②四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； ③四边形是平行四边形时，， ∴， ∴； 综上所述：或或． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 6．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 7．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求得的坐标，根据对称性求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标，分别求出，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，故可得； 先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交于点，则，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，为矩形的对角线，设，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得的值，进而求得点的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，，对称轴为直线， ∴， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴交于点， 则， ∴， ∴， 当时，有最大值为； （4）解：设，， 由（1）知， ①若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为2； ②若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得， ∴点的横坐标为4； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或或． 8．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值：， (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）过点作轴交于点，设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵，，设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴面积为， ∴ 面积的最大值：， 此时. （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 9．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 10．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 11．（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点． (1)求点，点的坐标； (2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式； (3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积． 【答案】(1)， (2) (3)四边形，是菱形，面积最大的菱形面积为18 【分析】（1）当时，，然后求解即可； （2）首先将抛物线配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后根据中心对称的性质得到抛物线的二次项系数为，顶点坐标为，进而求解即可； （3）首先求出，，，，然后得出，，，结合，证明出四边形，是菱形，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴抛物线的二次项系数为，顶点坐标为 ∴抛物线的表达式为； （3）解：如图所示， 当时， ∴ ∵，，抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴，， ∴，， ∴四边形，是平行四边形 又∵， ∴四边形，是菱形 由图可得，菱形的面积大于菱形的面积 ∴菱形的面积． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，关于点成中心对称的图形的性质以及菱形的判定和面积公式，其中根据中心对称的性质求出抛物线的函数表达式是解题的关键． 12．（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标； (3)若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）直线的表达式为，代入A、C求出表达式，过点M作轴，交于点N，设，则，结合，再根据即可求出答案； （3）求解对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；，设，，证明，可得，，再建立方程求解即可；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，可得，，如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，证明四边形是正方形，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 将A、B、C代入，得 ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 代入A、C得， 解得， ， 过点M作轴，交于点N， 设，则， ， ， 即， 解得或， 或； （3）解：∵抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于； ∴， 设，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为， 此时，， ∴，且， 此时四边形是正方形， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $