精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年九年级上学期11月定时练习数学试题

11月定时练习 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题9个小题，每小题4分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1. 下列有理数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小． 2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义判定即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 下列调查中，适合用普查方式的是（ 　） A. 检测某城市空气质量 B. 检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况 C. 检测一批节能灯的使用寿命 D. 检测某批次汽车的抗撞能力 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和普查的区别．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查；据此逐一判断，即可求解． 【详解】解：A、检测某城市空气质量，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意； B、检测神舟十三号载人飞船的零部件质量，适合用普查方式，故本选项符合题意； C、检测一批节能灯的使用寿命，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意； D、检测某批次汽车的抗撞能力，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意； 故选：B 4. 如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形，相似图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为与是以点为位似中心的位似图形，所以，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵与位似，且以点为位似中心， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的周长比为． 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的乘法，无理数的大小估算，解题关键是正确掌握二次根式的运算法则． 先计算原表达式，化简为 ，然后估计 的近似值，从而判断整体值的范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值应在和之间． 故选：． 6. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解： 分别切 于点 ， 切 于点 ，， ， ， ， 的周长 ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算． 7. 已知圆弧所在圆的直径为12，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，直接利用弧长公式求解即可． 【详解】∵圆的直径， ∴半径． ∵圆心角，弧长公式， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，在优弧上取一点M，连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形对角互补求出，从而求解． 【详解】解：如图，在优弧上取一点M，连接， 则， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形对角互补；解题的关键是根据圆心角构造圆周角． 9. 如图，将正方形折叠，使得点落在边的点上，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形和折叠的性质，通过证明三角形全等求出正方形边长及相关线段，再证明三角形相似，结合勾股定理求解的长度． 【详解】连接交于，过作于，过作于点． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形，． 由折叠可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，设，则， ∴． 由折叠可知，， ∴，． 在中，， ∴， 解得（舍去负根）． ∴，，，，． ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴． ∴，即， ∴，， ∴， 在中，． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识并能正确添加辅助线是解题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 10. _____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，负整数指数幂，根据特殊角三角函数值化简，进而求解即可． 【详解】 ． 故答案为：0． 11. 在一个不透明的袋子中有3个红球，5个白球，这些球除颜色外没有其他差别，从袋子中随机摸出1个球，正好摸到红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有种等可能结果，其中摸到红球的可能性有3种， 故摸到红球的概率是． 故答案为：． 12. 如图，在中，点是边上一点，过点作于点，若，的周长为15，，则的周长为_____． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．由题意可知的周长15，由线段垂直平分线的性质定理得到的和，再根据等腰三角形三线合一得出的长，再结合得到的周长等，即可得解． 【详解】解：∵的周长为15， ∴， ∵且， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∴， 即， ∵且， ∴， 则的周长：． 故答案为：21 ． 13. 若实数，同时满足，，则_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查的知识点是绝对值的非负性、解一元一次方程，负整数指数幂，解题关键是熟练掌握绝对值的非负性．根据绝对值的非负性得，，进而得到，关于的一元一次方程，求出的值、的值，再根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解： 和 ， ，， ，， 即， 当 时，无解； 当 时，，原方程化为， 解得， ， ． 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于，是圆的直径，于点，连接，若．，，则的长度为_____，四边形的面积为_____． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、圆的性质、垂径定理、及圆的内接四边形性质，掌握圆的性质和垂径定理是解题的关键． 连接、，连接，作 于点，根据圆周角定理得到，进而得到，设，半径为，则，根据垂径定理得到、，解出的值，进而证得；观察发现四边形的面积等于，根据圆的内接四边形性质得到和，则，进而证得，假设，则、、，根据勾股定理可以得到关于的方程，解出的值，利用三角形的面积公式分别求得和即可． 【详解】解：连接、， 设，半径为，则 ； 连接，过点作于点， ， ， 、、 设 、、 解得 四边形的面积为：． 故答案为：；． 15. 一个四位数满足各个数位上的数字互不相等，若的千位数字与十位数字的和为11，百位数字与个位数字的和为11，那么称为“双十一数”，则最小的“双十一数”为_____． 【答案】2398 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，设最小的“双十一数”，则，，为使最小，千位数字a 应尽可能小，且百位数字b在a确定后也应尽可能小，据此即可求解． 【详解】解：设最小的“双十一数”， 由题意得，，， ∵，，且要尽量小， ∴，， ∵，，且要尽量小，和不相同， ∴，， ∴最小的“双十一数”为2398． 故答案为：2398． 三、解答题：（本大题10个小题，16题12分，17-18每小题8分，19-23每小题10分，24-25每小题6分，共90分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要是考查了实数的运算，解分式方程，熟练掌握求算术平方根，立方根，实数的混合运算，解分式方程，是解答此题的关键． （1）先求算术平方根，立方根，平方，再计算除法，加减法； （2）去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，验根，即得． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 去分母，得． 解得． 经检验，是原分式方程的根． ∴原方程的解是． 17. 求不等式组的所有偶数解． 【答案】0，2，4，6 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的解集，即可写出不等式组的所有偶数解． 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有偶数解为0，2，4，6． 18. 在学习矩形的学习过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）． 在和中，，． 又，， ， ① 又 ② ．同理可得 ③ ④ 【答案】 ，，，． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、尺规图－作垂线、全等三角形的判定与性质以及面积的推导，熟练掌握矩形性质和全等三角形判定（）是解题的关键． 本题先通过尺规作图过点作的垂线，再利用矩形的性质和全等三角形的判定（）证明三角形全等，进而推导与矩形的面积关系． 【详解】解：如图，以为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点；分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；连接与该点，交于，则． 19. 先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，值为0 【解析】 【分析】题目主要考查分式和整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据整式的乘法运算及分式的混合运算法则计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴取，原式． 20. 2025年10月，某学校举行了“国庆知识问答”系列活动，其中七、八年级的同学参加了知识竞赛．现从七、八年级各随机选取了20名同学的成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中）．下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90， 90，89，88，88，86，85，82，77，68，57； 八年级等级的学生成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_____，_____；_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有600名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为等的学生共有多少人? 【答案】（1）90，，45 （2） 解：八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： 因为两个年级成绩的平均数相同，虽然七年级学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于八年级，但是七年级学生的竞赛成绩的方差比八年级的大很多，意味着七年级学生的竞赛成绩波动很大，所以我认为八年级学生的竞赛成绩较好（答案不唯一）； （3）490人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差． （1）分别根据众数和中位数的定义可得、的值，用组人数除以样本容量可得的值； （2）根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可（答案不唯一）； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：七年级20名同学的成绩中90出现的次数最多，故众数； 由题意得，八年级组人数为8人，所以占总人数的， 八年级组的人数占总人数的，故； 八年级选取了20名同学的成绩， 八年级组的人数为：（人）， 八年级组的人数为：（人）， 八年级组的人数为：（人）， 把八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是88，89，故中位数． 故答案为：90，，45； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，七年级组的人数有11人，占总人数的， 该校七年级有400名学生参加了此次竞赛， 七年级组的人数有：（人）； 由（1）得，八年级组的人数占总人数的， 该校八年级有600名学生参加了此次竞赛， 八年级组的人数有：（人）； 该校七、八年级参加此次竞赛成绩为等的学生共有（人）． 21. 为了丰富校园生活，学校在今年9月份购进了A、B两种图书，每种图书均花费了4000元，其中A种图书的数量比B种图书的数量少100本，已知9月份A种图书的单价是B种图书的单价的2倍． （1）请问学校在9月份购进A种图书和B种图书各多少本？ （2）10月份学校再次购进了、两种图书，与9月相比，种图书单价多了元，数量少了本．种图书单价打了8折，数量多了100本，结果两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了，求的值． 【答案】（1）学校在9月份购进A种图书100本，B种图书200本 （2）10 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一元二次方程解决实际问题，找出相等关系列出方程是解题的关键． （1）设学校在9月份购进A种图书x本，则购进B种图书本．根据“A种图书的单价是B种图书的单价的2倍”列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）根据“两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了”列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设学校在9月份购进A种图书x本，则购进B种图书本．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：学校在9月份购进A种图书100本，B种图书200本． 【小问2详解】 解：由（1）可得9月份A种图书单价为（元）， B种图书单价为（元）， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴m的值为10． 22. 如图，在等腰中，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，到达时停止运动，设运动时间为秒，过点作于点，线段的长度与线段的长度之和为，线段长度与点运动的路程之比为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 函数图象如图所示： 观察图像可得在范围内函数的值随的增大而增大，在范围内函数的值随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一及勾股定理求出及各边边长，再利用相似得到，，再根据题意即可得到关于的函数表达式； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到性质； （3）观察函数图象在的图象上方时，的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：等腰中，， 过点作交于点， 当时，点沿方向运动，如图： ∴，， 根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，点沿方向运动，如图： 此时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段长度与点运动的路程之比为， ∴． 综上得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据函数图象：当时，（因为误差不超过0.2所以右侧可以写成2.2，2.3，2.5）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，等腰三角形的性质,一次函数与反比例函数的性质，相似三角形，解直角三角形及勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 23. 如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） （1）求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）千米 （2）3.5千米 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，解直角三角形求出，，然后求出，证明出四边形是矩形，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可； （2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴（千米）； 【小问2详解】 如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， ∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发， ∴甲的路程是乙的路程的1.5倍， ∴ 设，则 由（1）得，， ∴， ∵ ∴ ∴， ，（舍去）． ∴当两人相遇时，乙一共跑了3.5千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，其中， （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，点，当点面积最大时，点为轴上一动点，求最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，和，即可点坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）连接，设点，则利用二次函数的性质求得最大值，此时点，面积最大为12，连接，取点，则，，，过点O作交延长线于点F，有，即有，若点Q和点重合时，取最小值，则即可求得最小值． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∵， ∴，即点， ∵， ∴，即点， 则，解得， 则； 【小问2详解】 解：连接，如图， 设点，则 ∵， ∴时，点，面积最大为12， 连接，取点，则，，，过点O作交延长线于点F，如图， 则， ∴， 即， 若点Q和点重合时，三点共线，最小值， 即, ∵， ∴， 则， 故最小值为． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形并找到最短距离是本题的关键． 25. 在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若，，过A作的垂线，垂足为Q，直线与的延长线相交于点P，求线段的长； （2）如图2，线段上有一点E，连接，为线段的中垂线且过线段中点N，过N作，交的延长线于点F．求证：． 【答案】（1）2 （2） 证明：如图，过点A作交于点H，连接，， ∵垂直平分， ∴， 又∵，，， ∴， ∴A，E，C，D四点共圆， ∴，，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点C作交于点E，根据已知条件得出，再由线段绕点A逆时针旋转得到线段，得到为等腰直角三角形，得出，，根据得出为的中垂线，从而使得，进而证明出为等边三角形，设，则，再由勾股定理得出，列出方程并求解得到的长度，最后利用“”证明，得出； （2）过点A作交于点H，连接，，得到，证明A，E，C，D四点共圆，利用“”证明，得出，由四边形内角和得到，由已知，得到，利用“”证明，得出，再根据，，得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点C作交于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴为等腰直角三角形，即，， 又∵， ∴为的中垂线， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，则， 解得：， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分母有理化，垂直平分线的性质等知识点，掌握圆的相关性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11月定时练习 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题9个小题，每小题4分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1. 下列有理数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合用普查方式的是（ 　） A. 检测某城市空气质量 B. 检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况 C. 检测一批节能灯的使用寿命 D. 检测某批次汽车的抗撞能力 4. 如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 7. 已知圆弧所在圆的直径为12，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将正方形折叠，使得点落在边的点上，点折叠后的对应点为，折痕为，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 10. _____． 11. 在一个不透明的袋子中有3个红球，5个白球，这些球除颜色外没有其他差别，从袋子中随机摸出1个球，正好摸到红球的概率是_____． 12. 如图，在中，点是边上一点，过点作于点，若，的周长为15，，则的周长为_____． 13. 若实数，同时满足，，则_______． 14. 如图，四边形内接于，是圆的直径，于点，连接，若．，，则的长度为_____，四边形的面积为_____． 15. 一个四位数满足各个数位上的数字互不相等，若的千位数字与十位数字的和为11，百位数字与个位数字的和为11，那么称为“双十一数”，则最小的“双十一数”为_____． 三、解答题：（本大题10个小题，16题12分，17-18每小题8分，19-23每小题10分，24-25每小题6分，共90分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 16. 计算 （1）； （2）． 17. 求不等式组的所有偶数解． 18. 在学习矩形的学习过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图痕迹）． 在和中，，． 又，， ， ① 又 ② ．同理可得 ③ ④ 19. 先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 20. 2025年10月，某学校举行了“国庆知识问答”系列活动，其中七、八年级的同学参加了知识竞赛．现从七、八年级各随机选取了20名同学的成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中）．下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90， 90，89，88，88，86，85，82，77，68，57； 八年级等级的学生成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，_____，_____；_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有600名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为等的学生共有多少人? 21. 为了丰富校园生活，学校在今年9月份购进了A、B两种图书，每种图书均花费了4000元，其中A种图书的数量比B种图书的数量少100本，已知9月份A种图书的单价是B种图书的单价的2倍． （1）请问学校在9月份购进A种图书和B种图书各多少本？ （2）10月份学校再次购进了、两种图书，与9月相比，种图书单价多了元，数量少了本．种图书单价打了8折，数量多了100本，结果两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了，求的值． 22. 如图，在等腰中，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，到达时停止运动，设运动时间为秒，过点作于点，线段的长度与线段的长度之和为，线段长度与点运动的路程之比为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） （1）求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，其中， （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，点，当点面积最大时，点为轴上一动点，求最小值． 25. 在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若，，过A作的垂线，垂足为Q，直线与的延长线相交于点P，求线段的长； （2）如图2，线段上有一点E，连接，为线段的中垂线且过线段中点N，过N作，交的延长线于点F．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $