精品解析：云南省昆明市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

昆明第一中学2025-2026学年上学期期中考试 高一数学 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 命题：李文清 审题：杨昆华 本试卷共4页，19题. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（    ） A. B. C. D. 3. 幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若两个正实数，满足，则实数的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 6. 已知函数满足在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最小值为2 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 当时，在上单调递增 C. 若方程有实根，则 D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2026个交点，记为，则的值为4052 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式的解集为________． 14. 已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，或. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）若命题成立”为真命题，求的取值范围. 17. 一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年； （3）今后最多还能砍伐多少年. 18. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）判断是否是函数的“保值”区间，并说明理由； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由. 19. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设． （1）求证：的周长为4； （2）试用表示的长，并求的取值范围； （3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明第一中学2025-2026学年上学期期中考试 高一数学 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 命题：李文清 审题：杨昆华 本试卷共4页，19题. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出即可求出. 【详解】由题意，，， ∴， ∴ 故选：A. 2. 命题“”的否定为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意； B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意； C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意. 故选：D 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域可排除B，再利用特殊值的函数值的符号即可排除AC. 【详解】解：，则， 所以函数的定义域为，故排除B； 当时，，故排除A； ，故排除C. 故选：D. 5. 若两个正实数，满足，则实数的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，， 所以，可得到，即， 当且仅当时取等号. 所以的最小值是16. 故选：C 6. 已知函数满足在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性法则以及二次函数的单调性可得答案. 【详解】由分段函数的单调性可得：， 解得：. 故选：B 7. 设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】取，则，则，故“”推不出“”. 若，设，其中，， 此时，故成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 8. 若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A，利用幂函数的性质判断C，举反例判断B，D即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A正确， 对于B，令，，满足，不满足，故B错误， 对于C，令，由幂函数性质知在上单调递增， 因为，所以，即，故C正确， 对于D，令，，满足，不满足，故D错误. 故选：AC 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最小值为2 D. 若正实数，满足，则的最小值为8 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式的“一正二定三相等”，检验A，C即可排除，确定B正确；利用“1”的妙用结合基本不等式即可确定D正确. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为2，故B正确； 对于C，因，则，由可得， 方程无实数解，故，故C错误； 对于D，因，，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，的最小值为8，故D正确. 故选：BD. 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为奇函数 B. 当时，在上单调递增 C. 若方程有实根，则 D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2026个交点，记为，则的值为4052 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题意改写函数得到新解析式即可判断；对于B.可用特殊值法判断错误；对于C.令参变分离得到，根据函数的值域即可求得的取值范围；对于D根据题意可知和关于中心对称，所以交点也关于中心对称，即对称的横或纵坐标之和为2，由此得出答案. 【详解】对于A，设， 函数的定义域为，关于原点对称，且， 故函数为奇函数，A正确； 对于B，因，，同理， ， 由，当时， ， 即此时在上不是单调递增，故B错误； 对于C，由，可得，因，故可得， 因可得，故，故C正确； 对于D，当时，由A知函数关于中心对称，又函数关于中心对称， 故两函数的这2026个交点关于对称， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】对方程两边取平方，即可求出答案. 【详解】由两边取平方得， 即，解得. 故答案为：2 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数是定义在上的偶函数，可得，因为在区间上单调递减，所以，求解可得其解集. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以可转化为. 因为在区间上单调递减，，所以， 化简得，解得. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点，数形结合可得答案. 【详解】， 作出函数图象，如图： 方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，或. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合A，再根据集合的交集与补集运算即可； （2）根据并集的运算得集合，再根据子集关系列不等式即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 集合， 因为，， 所以或， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以， 又，或， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围为：或. 16. 已知函数，不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）若命题成立”为真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理，即可求解； （2）根据命题转化为，转化为求二次函数的最大值，即可求解. 【小问1详解】 的解集是， 且方程的两根分别为-1和4， 由韦达定理， ； 【小问2详解】 p为真命题，即能成立 只需， 由（1）知， 函数图象为抛物线，开口向上，对称轴， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 解得， 的取值范围是. 17. 一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年； （3）今后最多还能砍伐多少年. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出即可求解； （2）列式，将的值代入即可求解； （3）列式，再将的值代入即可求解. 【小问1详解】 设每年砍伐面积的百分比为， 则，即，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； 【小问2详解】 设到今年为止，该森林已砍伐了年， 则，即，化简得， 所以，解得， 故到今年为止，该森林已砍伐了年； 【小问3详解】 设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为， 令，即，即， 所以，解得， 故今后最多还能砍伐年. 18. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）判断是否是函数的“保值”区间，并说明理由； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由. 【答案】（1）是函数的“保值”区间，理由如下： 因为函数在上单调递增， 所以， 所以在上的值域为， 所以是函数的“保值”区间； （2）不存在，理由如下： 函数在，上单调递增， 若,是在,的保值区间，则， ，是方程同号的两个不等实根， 由，得，，则方程无实根， 所以函数不存在“保值”区间． 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性确定最值，从而得值域即可得结论； （2）假定存在“保值”区间,，借助单调性建立方程，判定方程解的情况即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设． （1）求证：的周长为4； （2）试用表示的长，并求的取值范围； （3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 【答案】（1）证明：由题意可知, 所以,所以, 所以（定值）. 所以的周长为定值4. （2）， （3）当时，的面积取得最大值，为. 【解析】 【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长； （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围； （3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由折叠可知, 所以，即, 由（1）知,即，所以， 在直角△中，由勾股定理可得， 即，化简得， 因为,，所以且，即， 所以， 【小问3详解】 在Rt中,, 所以, 当且仅当，即时等号成立，所以当时，的面积取得最大值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $