第12讲 对数函数讲义（知识清单+8题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版必修第一册）

第12讲 对数函数 知识清单 知识点01：对数函数的概念 1 知识点02：对数函数的图象及性质 2 题型归纳 题型01 对数型函数图象过定点问题 3 题型02 对数函数图象的应用 3 题型03 求对数函数的定义域 5 题型04 求对数函数的值域或最值 6 题型05 对数函数的单调性 6 题型06 由对数函数的单调性解不等式 7 题型07 比较对数式的大小 8 题型08 对数函数综合应用 9 强化训练 12 知识点01 对数函数的概念 1.函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．值域为． 2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量． 知识点02 对数函数的图象及性质 函数名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 ( 1 ) ( 1 ) 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小． 题型01 对数型函数图象过定点问题 【例1-1】（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是 ． 【例1-2】（22-23高一上·上海金山·期末）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则 . 【例1-3】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【变式1-1】（24-25高一上·上海松江·期末）已知常数 且 ，假设无论 取何值，函数 的图象恒经过一个定点， 则此点的坐标是 . 【变式1-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知且，若无论为何值，函数的图象恒过一定点，则该点的坐标为 ． 【变式1-3】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于、的方程，则的最小值为 . 题型02 对数函数图象的应用 【例2-1】设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 【例2-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）利用函数图像解不等式：的解集是 . 【变式2-1】当，时，则的取值范围是 ． 【变式2-2】如图，函数的图象为折线，则不等式的解为 . 【变式2-3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）． (1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：； (2)当时，求m的值； (3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值． 题型03 求对数函数的定义域 【例3-1】（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 【例3-2】（22-23高一上·上海金山·期末）函数的定义域为 ． 【例3-3】（24-25高一上·上海松江·期中）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ． 【变式3-1】（22-23高一上·上海静安·期末）函数的定义域为 ． 【变式3-2】（22-23高一上·上海杨浦·期中）函数的定义域为 . 【变式3-3】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，若函数定义域为，则的取值范围为 . 【变式3-4】（24-25高一上·上海·期末）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 题型04 求对数函数的值域或最值 【例4-1】（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【例4-3】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 【变式4-1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【变式4-2】（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是 . 【变式4-3】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）若函数值域为，则的取值范围为 ． 题型05 对数函数的单调性 【例5-1】（24-25高一上·上海·期末）下列选项中“”的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）设函数是R上严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【例5-3】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【变式5-1】（23-24高一上·上海闵行·期中）如果表示不超过的最大整数.若，则为（    ） A．0 B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【变式5-3】（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围为 ； 【变式5-4】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 题型06 由对数函数的单调性解不等式 【例6-1】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）关于x的不等式的解集是 . 【例6-3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【变式6-1】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期末）若集合，则 . 【变式6-3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）用函数的观点解不等式，该不等式的解集为 . 【变式6-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知定义在上的函数的表达式为，若此函数为奇函数. (1)求证：在上为严格增函数； (2)若为实数，解关于的不等式：. 题型07 比较对数式的大小 【例7】（22-23高一上·上海徐汇·期末）如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，以下不等关系不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）若，则集合共有 个元素. 题型08 对数函数综合应用 【例8-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 【例8-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)令，求在上的最小值. 【例8-3】（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 【变式8-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数 (1)求证：为偶函数 (2)若，求解：关于的不等式的解集 【变式8-2】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： (1)已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； (2)求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【变式8-3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 6．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知且，函数的图象恒过一个定点，则该定点的坐标是 ． 7．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为，则a的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·上海·期末）若，则 . 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的值是 ． 10．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 11．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 . 12．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 13．（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 15．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则 . 16．（24-25高一上·上海·期末）甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围 17．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 18．（24-25高一上·上海·期中）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是 三、解答题 19．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知， (1)当，求的值； (2)当时，用表示. 21．（24-25高一下·上海·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 22．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； 23．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为R，集合  集合  B=. (1)求集合A，B及A∩B: (2)若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 24．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 25．（24-25高一上·上海奉贤·期末）定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数． (1)判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由； (2)若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 对数函数 知识清单 知识点01：对数函数的概念 1 知识点02：对数函数的图象及性质 2 题型归纳 题型01 对数型函数图象过定点问题 3 题型02 对数函数图象的应用 5 题型03 求对数函数的定义域 10 题型04 求对数函数的值域或最值 13 题型05 对数函数的单调性 16 题型06 由对数函数的单调性解不等式 21 题型07 比较对数式的大小 25 题型08 对数函数综合应用 27 强化训练 34 知识点01 对数函数的概念 1.函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．值域为． 2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量． 知识点02 对数函数的图象及性质 函数名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 ( 1 ) ( 1 ) 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小． 题型01 对数型函数图象过定点问题 【例1-1】（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是 ． 【答案】 【详解】令得，此时， 即函数（且）恒过定点. 故答案为： 【例1-2】（22-23高一上·上海金山·期末）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则 . 【答案】3 【分析】由可得出函数所过定点，再由结合条件可得的值. 【详解】因为， 由，可得，， 即函数的图象经过定点； 因为， 由，可得， 即的图象经过定点， 所以，即. 故答案为：3. 【例1-3】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【答案】2 【详解】因为函数过定点， 所以，化简可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2， 故答案为：2. 【变式1-1】（24-25高一上·上海松江·期末）已知常数 且 ，假设无论 取何值，函数 的图象恒经过一个定点， 则此点的坐标是 . 【答案】 【详解】依题意，当时，恒有， 因此函数 的图象过定点. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知且，若无论为何值，函数的图象恒过一定点，则该点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由，即，得恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为： 【变式1-3】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于、的方程，则的最小值为 . 【答案】 【详解】令，可得，则， 所以，函数的图象恒过定点， 由已知条件可得，即， 又因为、都为正数，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为. 故答案为：. 题型02 对数函数图象的应用 【例2-1】设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 【答案】 【详解】设，线段的中点坐标为，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，因为点在函数的图像上， 所以，， 所以，所以， 解得，所以点的横坐标为. 故答案为： 【例2-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）利用函数图像解不等式：的解集是 . 【答案】 【详解】画出函数，的图像，如图所示： 当时，，根据图像知：当时， 故答案为：. 【变式2-1】当，时，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知推出，，构造函数，利用函数的单调性可得出结果. 【详解】因为，，所以，，， 即， 因此，所以， 令，， 任取，则 ， 因为，所以，， 因此，即， 所以函数在上单调递增， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-2】如图，函数的图象为折线，则不等式的解为 . 【答案】 【详解】 因为经过， 所以时，令， 当时，可得， 所以的解集为. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）． (1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：； (2)当时，求m的值； (3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值． 【详解】（1）直线与函数的图象从左至右相交于点A、B， ， 与函数的图象从左至右相交于C、D， ， 所以，，所以； （2）因为，又， 所以， 所以或， 当，即，即， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，即，又，解得； 当，即， 所以，即或， 当时，则，即，又，解得， 当时，则，所以，又，方程无解， 综上，； （3）由（2）可知， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 题型03 求对数函数的定义域 【例3-1】（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 【答案】 【详解】依题意，，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 【例3-2】（22-23高一上·上海金山·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使该函数有意义，则需，解得： 函数的定义域为 故答案为： 【例3-3】（24-25高一上·上海松江·期中）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若代数式有意义，则需满足， 即，∴或， 则x的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-1】（22-23高一上·上海静安·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意 ，解得 ，即 ； 故答案为： . 【变式3-2】（22-23高一上·上海杨浦·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为对数的真数为正实数， 所以有， 所以该函数的定义域为， 故答案为： 【变式3-3】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，若函数定义域为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】若函数定义域为，则恒成立， 有，解得，即的取值范围为. 故答案为： 【变式3-4】（24-25高一上·上海·期末）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点． (1)已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围： (3)已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对． 【详解】（1）依题意，，存在成立， 所以是区间上的“平均值函数”. （2）依题意，存在，知， 即，则， 由，得，则在有解， 不妨令，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）依题意，，则，且， 则， 即，于是，而，则， 解得，又，且，则当时，成立， 所以是满足条件的实数对. 题型04 求对数函数的值域或最值 【例4-1】（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 【例4-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令则， ，，. ，. 结合反比例函数的图象,如图可知： . 故答案为： . 【例4-3】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为2， 由在上单调递增，值域为， 所以要使有最小值，则有，即，则， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 故答案为： 【变式4-1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 【变式4-2】（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， 对任意的，都存在唯一的，使得， 则，解得. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）若函数值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设函数值域为， 由函数值域为， 则， 当时，的值域为，符合题意； 当时，由，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 题型05 对数函数的单调性 【例5-1】（24-25高一上·上海·期末）下列选项中“”的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由选项A, 得,,异号时,不能推出；由选项B得, ,当,异号时,不能推出; 由选项C得, ,当时, ,故为充要条件;由选项D得,, 但由,因为不确定,的正负,所以不一定得,故为充分非必要条件. 故选：D 3．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）设函数是R上严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据分段函数概念和对数函数单调性相关知识直接计算求解即可. 【详解】因为函数是R上严格增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A 【例5-2】（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【答案】D 【详解】函数， 当时，，单调递增. 当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 【例5-3】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】由，即，则， 所以函数定义域为，又开口向下且对称轴为， 即在上递增，在上递减，而在定义域上递增， 故函数的递减区间为. 故答案为： 【变式5-1】（23-24高一上·上海闵行·期中）如果表示不超过的最大整数.若，则为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上单调递增， 则， ， ， ， ， ， ， ， 因为表示不超过的最大整数，所以， ， ， ， ， ， ， ， 所以. 故选：B 【变式5-2】（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 【变式5-3】（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围为 ； 【答案】 【详解】函数在上严格单调递减， 函数 在上单调递增，且， ，解得， 故答案为：． 【变式5-4】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 【答案】 【详解】，画出图像如图所示. 方程等价于，方程有4个不同的实数根，即函数的图象与水平直线有4个不同的交点，故. 设四个交点的横坐标从左到右依次为，如图所示，可知，， 结合,得所以. 又因为，所以，所以，所以， 由于函数在上单调递减，所以， ， 所以题设方程所有实数根之和的取值范围是. 故答案为： 题型06 由对数函数的单调性解不等式 【例6-1】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D. 故选：A 【例6-2】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由题意得， 则，解得. 则其解集为. 故答案为： 【例6-3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【详解】（1）由题意，解得； （2）由（1）可得是增函数， 从而成立，当且仅当，解得， 所以不等式的解集是. 【变式6-1】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【详解】不等式，即， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 则不等式的解集是. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期末）若集合，则 . 【答案】； 【详解】由可得，解得， 故， 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一上·上海徐汇·期末）用函数的观点解不等式，该不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由不等式，得， 令函数，定义域为， 因为，均为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式6-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知定义在上的函数的表达式为，若此函数为奇函数. (1)求证：在上为严格增函数； (2)若为实数，解关于的不等式：. 【详解】（1）因为是奇函数，则， 整理得：，解得或， 当时，的定义域为，不合题意，舍去； 当时，的定义域为，符合题意，所以. 因，任取且， 由， 因，则，，，故， 即，故在上为严格增函数. （2）由（1）知函数为上的奇函数且为增函数， 则由可得 当时，不等式变为，故此时的解为； 当时，不等式变为，故此时的解为； 当时，不等式变为，故此时的解为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型07 比较对数式的大小 【例7】（22-23高一上·上海徐汇·期末）如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由指数函数图像性质可知， 当时，函数值大于1，所以， 设，由指数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于1，所以， 设，由对数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于0，所以， 所以. 故选：C 【变式7-1】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，以下不等关系不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A：因为，所以，因此本选项不等关系一定成立； B：因为，所以， 当时，则有，所以本选项不等关系不一定成立； C：因为，所以，因此， 所以本选项不等关系一定成立； D：因为，所以，因此有， 所以本选项不等关系一定成立， 故选：B 【变式7-2】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 对于ABD：例如，满足， 但，，，故ABD错误； 对于C：因为，故C正确. 故选：C. 【变式7-3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）若，则集合共有 个元素. 【答案】2 【详解】因为， 则， 所以，共有2个元素. 故答案为：2. 题型08 对数函数综合应用 【例8-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式：． 【详解】（1）由，得， 当时，； 当时，； 所以的定义域是当时；当时，． （2）当时，任取，且， 则，所以． 因为，所以，即． 故当时，在上是增函数． ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，即不等式的解为. 【例8-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)令，求在上的最小值. 【详解】（1）因为， 令，即，则或， 解得或， 所以的取值范围为； （2）因为 ， 令，因为，则， 此时有， 令，， 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得. 【例8-3】（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 【详解】（1）解：当 时, , 则 ， , 解得 ， 不等式的解集为 ； （2） 在 上单调递减, 函数 在定义域内单调递减, 所以当点 P在点Q的左侧时，点P在点Q的上方； （3）由（2）知：函数 在定义域内单调递减， 函数 在区间 上的最大值为： , 最小值为， ， 即 ， 令 ， 则，即 在 上单调递增, 解得 ， 又, 实数的取值范围时 . 【变式8-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数 (1)求证：为偶函数 (2)若，求解：关于的不等式的解集 【详解】（1）由已知函数的定义域为， 则， 即函数为偶函数； （2）由已知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时若，则， 当时，不成立； 当时，可得，， 又函数在上单调递增，且此时， 即，此时不存在使得； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时若，则， 当时，不等式成立； 当时，可得，， 又函数在上单调递增，且此时， 即， 此时， 又，所以； 所以不等式， 即为， 即，解得， 即. 【变式8-2】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： (1)已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； (2)求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【详解】（1）令，由函数的值域为，得； 当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得，解得， 则实数a的取值范围是. （2）由题意，， 因为，所以，则； ①当时，在区间上，则，即， 在区间上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； ②当时，在区间上，则，即， 上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； 综上所述，对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素， 则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【变式8-3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 【详解】（1）依题意，由，得，则，，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意知， 由，得，所以函数在区间上单调递增， 所以，则， 所以函数的最小值为. （3）由， 得①，化简得②， 当且时，方程②的解为，， 若是方程①的解，则，解得； 若是方程①的解，则，解得； 由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以. 因此，a的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为在区间上是严格减函数，故A错误； 对于B： 在区间上是严格增函数，但 在区间上不存在零点，故B错误； 对于C：，在区间上是严格增函数， 由可得，在区间上且存在零点，故C正确； 对于D：在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、求对数函数的定义域 【分析】应用对数函数值域及运算律结合必要不充分条件判断求解. 【详解】若成立，则，分为或两种情况， 但时不能推出成立，故充分性不成立； 而成立一定能推出成立，故必要性成立． 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件． 故选：B. 3．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由开口向上且对称轴为，结合题意在上单调递减，所以， 因为都在上单调递减， 所以在上单调递减， 又在R上单调递减，则， 综上，a的取值范围是. 故选：D 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，合乎题意； 对于B选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，不合乎题意； 对于C选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意； 对于D选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意. 故选：A. 5．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选： 二、填空题 6．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知且，函数的图象恒过一个定点，则该定点的坐标是 ． 【答案】 【详解】因为，所以当时，，故所求定点为. 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据题意可知，函数的值域应取遍内的所有实数， 即需满足，解得或； 所以a的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期末）若，则 . 【答案】8 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的值是 ． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，对任意的，都存在唯一的， 使得， 则存在，使得， 若，则； 同理可知，存在，使得， 从而，所以，，则，矛盾， 所以，，故，解得， 且有，故. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 【答案】 【详解】令，则该函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数， 当时，， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 由可得，即， 所以，，解得或， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据是偶函数求出，再由函数的单调性及对称性可得. 【详解】由是偶函数可得，即， 所以，设，任取，则， 所以在上单调递增，也即在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以的最小值在对称轴处取得，即. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】由，可得， 所以函数的定义域为， 令， 由t在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域上为增函数， 由复合函数的单调性可知的单调递减区间是：． 故答案为：． 13．（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】，且，而函数在上单调递增， ，即，且，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故答案为： 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】， 当时，，存在最大值，不满足值域为， 当，，值域为，满足题意； 当，若的值域为，同时必有， 解得， 综上实数的取值范围是， 故答案为： 15．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】 【详解】因为在上单调递减，且， 当时，在上单调递减， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递增， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，则，因为， 所以， 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海·期末）甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围 【答案】 【详解】首先，由， 因为，两边同时除以（）得到. 然后，设. 对于，令， 在上增大时减小，减小，单调递增，根据复合函数同增异减，在上单调递减； 在上增大时增大，增大，单调递增，所以在上单调递增. 对于，时，单调递减；时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增.   接着，求的最小值，. 最后，因为，即，变形为，根据指数函数单调性可得，解得. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，得，记为， 由，得，且， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，则，所以； 当时，，显然满足题意； 当时，， 则集合是集合的真子集，则，所以； 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为：. 18．（24-25高一上·上海·期中）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】因为函数为“半缩函数”， 所以存在，使得在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以有两个不等的实数根， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根， 可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故答案为： 三、解答题 19．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【详解】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 20．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知， (1)当，求的值； (2)当时，用表示. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以， 整理得，解得（舍去）或； 所以. （2）当时，，，则，， 所以. 21．（24-25高一下·上海·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）的定义域为， ， 因为是偶函数， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则 恒成立，因此； （2）若，则 所以 ，所以， 令 ，则有， 即， 解得 或，所以，或， 所以，或. 22．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； 【详解】（1）当时，， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）由得， 所以，整理得， 当时，由得， 此时只有一个解，满足题意； 当时，令，得，解得， 此时只有一个解，满足题意； 综上所述，或. 23．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为R，集合  集合  B=. (1)求集合A，B及A∩B: (2)若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，指数函数是单调递增函数. 所以. 解为，即.   因为，对数函数是单调递增函数. 所以，解得，即.   则. （2）对于集合，可得，即. 因为，所以. 则有. 解第一个不等式，得. 解第二个不等式，得. 所以的取值范围是. 24．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，或， 因此该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是奇函数； （2）函数在上单调递增，理由如下： 设，则有， 因为，所以， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有， 因此函数在上单调递增； （3）， 由（2）可知函数当时单调递增， 而函数当时也单调递增， 所以函数当时也单调递增， 显然当时，函数有最小值， 最小值为， 因此要想对于任意，不等式恒成立， 只需，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：利用函数单调性的性质，结合任意性的定义是解题的关键. 25．（24-25高一上·上海奉贤·期末）定义：对于函数，，若任意、、，都有，则称是的一个具有三角形性质的关联函数；若都有，则称是自身具有三角形性质的函数． (1)判断函数是不是函数的一个具有三角形性质的关联函数，简要说明理由； (2)若二次函数是的一个具有三角形性质的关联函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，是自身具有三角形性质的函数．求实数的取值范围． 【详解】（1）对任意、、，，， ，则，则， 因此，函数是函数的一个具有三角形性质的关联函数. （2）由题意可知，对任意的、、，有， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 由题意可得对任意的恒成立，所以，， 令，则， 因为函数在上为增函数，则，且，故. （3）因为，， 则，所以，，所以，，分以下三种情况讨论： 当时，则，显然对任意的、、，成立； 当时，则， 对任意的、、，成立， 只需，解得，此时，； 当时，则， 只需，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $