精品解析：山东省烟台市福山区（五四制）2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中学业水平考试 初二数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列图形中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，边上的高是（　　） A. B. C. D. 无法确定 4. 两个直角三角尺如图摆放，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 8. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ） A. 4米 B. 米 C. 5米 D. 6米 9. 如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，和均为等边三角形，，，，，以下结论中∶①；②；③；④；⑤平分，正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则______． 12. 如图，五边形中，，分别是的外角，则___________． 13. 如图，在中，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，，则的周长为___________ ． 14. 如图，在中，是边的中线，于点D，若，则的长是________． 15. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_______． 16. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是______． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）作出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在轴上求作一点，使的值最小，并求出最小值（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，在中，．在边上有一点P，连接，若，，，求的长． 19. 如图，在中，，，，求： （1）边上的高的长度； （2）的面积． 20. 如图，于点E，于点F，，．若，，求的长． 21. 如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的周长． 22. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高. 23. 如图1，将一块等腰直角三角板的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E． （1）求证：； （2）猜想线段之间的关系，并说明理由； （3）若把两个等腰直角三角板按图（3）所示的方式放置，连接分别交于点F，G，猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由． 24. 尺规作图，如图，中，． （1）试求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，则的度数为　　　． 25. 在等边中，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为边作等边（A、D、E按逆时针排列），连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在的延长线上时，求证：． （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，若，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学业水平考试 初二数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列图形中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合即可．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，依次判断即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选： 2. 将三根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，进而确定该三角形的周长的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形的三边关系得，，即， ∴该三角形周长，即该三角形周长， ∴四个选项中，三角形的周长可能是，只有D选项符合． 故选：D． 3. 如图，在中，边上的高是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，根据在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点到垂足之间的线段来确定高是． 【详解】解：由图可知，中，边上的高是． 故选：A． 4. 两个直角三角尺如图摆放，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角定理等知识，正确求出和三角形外角定理是解题的关键． 利用平行线的性质求出的度数，再利用求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴． 故选：D． 5. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由图可得，，进而得到，再利用等边对等角求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，通过已知条件和添加的条件逐一判断每个选项能否证明两个三角形全等，再选出正确答案即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； B项：添加，不能证明和全等，符合题意； C项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； D项：添加，可利用证明和全等，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 8. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ） A. 4米 B. 米 C. 5米 D. 6米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故选：C． 9. 如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 10. 如图，和均为等边三角形，，，，，以下结论中∶①；②；③；④；⑤平分，正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合等边三角形的性质得，再根据进行证明，运用全等三角形的对应角相等，证明，则；运用平角性质进行列式计算，得；运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形，得出是等边三角形，则，即；分别过点作，则，由，，可得，故，又因为，即平分． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故①是符合题意； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故②是符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故③是符合题意； 连接 ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故④是符合题意； ∵， ∴，， 分别过点作， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， 综上，正确的个数有5个， 故选：D． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则______． 【答案】3.5 【解析】 【分析】作，根据角平分线的性质计算即可； 【详解】作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确计算是解题的关键． 12. 如图，五边形中，，分别是的外角，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，，如图： ， ∵， ∴， 根据多边形的外角和定理可得， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，，则的周长为___________ ． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线l交于点D， ， ，， ， 即的周长为． 故答案为：17． 14. 如图，在中，是边的中线，于点D，若，则的长是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形的中线；先根据勾股定理得，进而求出，再结合中线的定义得，最后根据得出答案. 【详解】解：设，则， 因为于点D， 所以和都是直角三角形． 根据勾股定理，得， 所以， 即， 解得， 则． 又因为为边上的中线，所以， 所以． 15. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_______． 【答案】3.2尺 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， ∴折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为3.2尺． 16. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，，故①②符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤符合题意． 综上，正确的是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）作出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在轴上求作一点，使的值最小，并求出最小值（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为5 （3）见解析，的最小值为5 【解析】 【分析】本题考查作图－轴对称变换、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，与x轴的交点即为所求的点，所以的最小值即为的长，用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：如图所示，连接，与x轴的交点即为所求的点， 所以的最小值即为的长， 由勾股定理得， 所以的最小值为5． 18. 如图，在中，．在边上有一点P，连接，若，，，求的长． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，先利用勾股定理求得，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得． 19. 如图，在中，，，，求： （1）边上的高的长度； （2）的面积． 【答案】（1）12 （2）84 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的高，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先，则，又因为是边上的高，则运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设， ∵ 则， ∵是边上的高，， ∴ ∴， 解得， ∴， （负值已舍去）． 【小问2详解】 解：由（1）得，是边上的高， ∵， ∴． 20. 如图，于点E，于点F，，．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．先根据证明，则可得，，再根据证明，得出，进而可得的长． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，中，垂直平分，交于点，交 于点，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，再根据三角形内角和定理求出的度数，则由三角形外角的性质可求出答案； （2）根据三角形周长计算公式可推出，再根据三角形的周长公式计算即可． 【小问1详解】 解：，， 垂直平分， 垂直平分， ， ，， ∵， ， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：的周长为，， ， ∵， 的周长为． 22. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高. 【答案】12m 【解析】 【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m 在Rt△ABC中， ∴ 解得x＝12 ∴AB＝12 ∴旗杆的高12m. 【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长． 23. 如图1，将一块等腰直角三角板的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E． （1）求证：； （2）猜想线段之间的关系，并说明理由； （3）若把两个等腰直角三角板按图（3）所示的方式放置，连接分别交于点F，G，猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ， ∵等腰直角三角板 ， ． 在与中， ， ； （2） 解：，理由如下： ， ，， 又， ； （3） 解：，理由如下： ∵两个等腰直角三角板， ∴， ， 即， ∴， ∴， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：与．根据即可证明； （2）由（1）知，根据全等三角形的对应边相等，得出，，从而求出线段、、之间的关系． （3）可证明，则，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 尺规作图，如图，中，． （1）试求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，则的度数为　　　． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线和角平分线的判定定理，等边对等角，三角形内角和定理． （1）点到、两点的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两边的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P位置； （2）由题意得，，则，求出，由题意可得点P在的角平分线上，则；由三角形内角和定理可得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点P即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵点到、两点的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点P到两边的距离相等， ∴点P在的角平分线上， ∴； ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 25. 在等边中，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为边作等边（A、D、E按逆时针排列），连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在的延长线上时，求证：． （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，若，且，求的面积． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）2 【解析】 【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得，易得，然后根据“”可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明，进而可得，然后根据“”可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （3）过点作，则，证明，易得，再证明垂直平分线段，易得，然后由即可获得答案． 【小问1详解】 证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 如下图，过点作， 则， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并熟练运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $