精品解析：山东省德州市禹城市综合实验高中2025-2026学年高三上学期期中模拟数学试题

2026届高三期中模拟考试 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式得到集合B，然后根据交集运算求解即可. 【详解】， 又，故. 故选：A 2. 已知数列的前项之积是首项为2，公差为3的等差数列，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出数列前项之积的通项公式，即可求解. 【详解】由题意得，所以． 故选：C． 3. 已知函数若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据先求出，再根据分段函数求值. 【详解】因为，所以． 所以． 故选：C． 4. 若函数的最小正周期为2，则正实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二倍角公式及辅助角公式化简，再应用周期公式计算求参. 【详解】， 其最小正周期，解得． 故选:B． 5. 记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量夹角为锐角等价于数量积大于0且两向量不共线，然后再判断充要关系即可. 【详解】由题意得， 充分性：若与的夹角为锐角，则，且， 即且，解得，且，故充分性成立． 必要性：当时，与共线，故必要性不成立，故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A． 6. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数的周期为4，且为奇函数，根据解析式及周期性、奇偶性，可得时，的解析式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以，所以函数的周期为4． 由，得，所以是奇函数． 又当时，， 所以当时，， 所以． 所以当时，有． 二次函数的图像开口向上，对称轴为， 在区间上端点值均为0，最小值为－1， 所以的最大值为0． 故选：D． 7. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积． 【详解】圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为， 可得，又的面积为， 可得，即，可得， SA与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：， 则该圆锥的侧面积：， 故选：C 8. 定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足 ，且当时， ，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性，并构造函数即可得到不等式，解出即可. 【详解】由得，， 令，则，即是上的偶函数， 求导得，因为当时， ， 即，则，则在上单调递增， ，，即， 即，即，即，即， 所以，解得或，则解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过构造函数，利用其单调性和奇偶性得到不等式，解出即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的共轭复数是 C. D. 复数在复平面上的对应点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用复数的几何意义结合复数的加法求出后可判断其正误；对于B，求出的共轭复数后可判断其正误；对于C，利用复数乘法和减法运算规则求解运算结果后可判断其正误；对于D，利用复数的乘法运算规则求出结果后结合复数的几何意义判断其正误. 【详解】对于A，由题意得，故A错误； 对于B，，其共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 在复平面上的对应点的坐标为，该点在第四象限，故D错误， 故选：BC. 10. 在正四棱柱中，，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 对角线与底面所成的角为 D. 四面体的体积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理即可判断选项A；由线面垂直的判定定理即可判断选项B；依题意可得为对角线与底面所成的角，进而求出的正切值即可判断选项C；先证明平面，再根据求出四面体的体积，进而即可判断选项D. 【详解】对于选项A，因为平面平面， 所以平面，故A正确； 对于选项B，因为为中点，且，则， 则 则，所以， 又在正四棱柱中，有平面， 且平面，所以， 又，且平面，所以平面，故B正确； 对于选项C，在正四棱柱中，有平面， 所以为对角线与底面所成的角， 又，则， 则，所以，故C错误； 对于选项D，在正四棱柱中，有， 又平面，平面，所以平面， 所以， 故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，曲线关于点对称 C. 当时，若过点可以作曲线的三条切线，则 D. 存在使得方程有三个不等的实根（），且 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出零点判断A；利用中心对称的定义判断B；利用导数及几何意义列出方程，构造函数并由函数有3个零点，结合导数推理判断C；取，求出方程并判断D. 【详解】对于A，当时，函数只有一个零点，A错误； 对于B，当时，函数， 则，曲线关于点对称，B正确； 对于C，当时，函数，曲线为，设切点为， 求导得，于是切线方程为，由切线过点， 得，整理得，令， 依题意，函数有3个零点，求导得， 当时，，函数只有1个零点，不符合题意； 当时，由，得或，由，得， 函数在上递增，在上递减，由函数有3个零点， 得，则； 当时，由，得或，由，得， 函数在上递增，在上递减，由函数有3个零点， 得，则，因此，C正确； 对于D，由方程，得，取，则， 整理得，于是，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件将变形为，然后使用基本不等式求解最小值即可. 【详解】由题意得，， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为： 13. 在中，边上的两条中线分别为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的中线公式及向量垂直化简，可得关于的方程，即可得解. 【详解】如图， 设， 则， ，， ， 化简得，即， 所以，解得或（舍）， ． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知向量与是夹角为的单位向量，且向量. （1）求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量模的求法以及向量数量积即可求解. （2）根据向量数量积等于零即可求解. 【小问1详解】 由题意可得， ， 【小问2详解】 根据题意，则有， 即， 所以，. 15. 已知分别为内角的对边，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式得到，从而得到的两种关系，再根据，舍去，进而求解出；（2）利用面积公式，求出，再用余弦定理求出，进而求出的周长. 【小问1详解】 ∵ ∴ 即 ∴ ∴或 ∵在中， ∴ 故 ∴，即， ∴ 【小问2详解】 ∵的面积为，且由第一问可知： 由面积公式得： ∴ ∵ 由余弦定理得： 解得： ∴的周长为 16. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=3. （1）若点E为线段PD的中点，求证：AE⊥平面PDC； （2）若，则线段AB上是否存在一点F，使得平面PBC，若存在，请确定点F的位置，并求三棱锥FPBC的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，F为AB靠近点В的三等分点，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合正方形的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD， 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD， 又AE平面PAD，所以CD⊥AE. 又因为PA=PD=AD，且E为中点，所以AE⊥PD， 又因为PDCD=D，所以AE⊥平面PDC； 【小问2详解】 如图分别取AB､CD的三等分点F､G， 结合题意可得：，. 又因为PC平面PBC，EG平面PBC，所以平面PBC，同理平面PBC. 因为EG平面EFG，FG平面EFG，平面， 所以平面平面PBC，又因为EF平面EFG，所以平面PBC， 此时F为AB靠近点В的三等分点， 所以. 17. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1）极大值，无极小值； （2）； （3）证明：由（2）得，当时，，所以． 当时，，所以． 令，得，即． 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出的极值情况； （2）求导，分，和三种情况，结合放缩法，进而得到的单调性，最终得到答案； （3）由（2）得，当时，，所以，令，得，所以. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值，无极小值． 【小问2详解】 由题意得，． ①当时，， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以当时，， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以满足题意． ②当时，令， 所以当时，，所以在上单调递减， 又，所以当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题意． ③当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题意． 综上，实数a的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三期中模拟考试 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前项之积是首项为2，公差为3的等差数列，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 3. 已知函数若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的最小正周期为2，则正实数（ ） A. B. C. D. 5. 记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. 0 7. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足 ，且当时， ，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的共轭复数是 C. D. 复数在复平面上的对应点位于第二象限 10. 在正四棱柱中，，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 对角线与底面所成的角为 D. 四面体的体积是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，曲线关于点对称 C. 当时，若过点可以作曲线的三条切线，则 D. 存在使得方程有三个不等的实根（），且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为______． 13. 在中，边上的两条中线分别为，若，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知向量与是夹角为的单位向量，且向量. （1）求； （2）若，求实数的值. 15. 已知分别为内角的对边，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=3. （1）若点E为线段PD的中点，求证：AE⊥平面PDC； （2）若，则线段AB上是否存在一点F，使得平面PBC，若存在，请确定点F的位置，并求三棱锥FPBC的体积. 17. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $