第二章 有理数的运算单元测试培优卷 2025-2026学年人教版七年级数学上册

第二章 有理数的运算单元培优卷 1．若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（　　） A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6 2．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是　　 A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） ①一个数的绝对值一定是正数； ②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大于负数的绝对值； ③当|a|＝﹣a时，a一定是负数； ④倒数等于它本身的数是1； ⑤任何有理数都有倒数． A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．② 4、若，，且，则值为（  ） A． B． C．7或 D．或 5．结果不等于﹣2的算式是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•莲都区期末）下列四个式子中，计算结果最小的是　　 A． B． C． D． 7、已知有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D． 8、嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（　　） A． B． C． D． 10．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（　　） A．46 B．45 C．44 D．43 二．填空题（共6小题） 11．若是的相反数，则的值是 　　． 12．计算：（﹣1）2022×33＝　　． 13．如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A 点表示的数是 　 . 14、用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)|a|+3有最 　 　（填“大”或“小”）值 　 　； (2)5﹣a2有最 　 　（填“大”或“小”）值 　 　； 15．已知，，且，则的值为 　　． 16．已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 　　． 三．解答题（共9小题） 17．计算： （1）﹣20﹣（﹣8）﹣7+（﹣4）； （2）（﹣1）4﹣|3﹣7|÷（﹣3）×． 18．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数m表示的点到原点的距离为3，求代数式+2cd﹣|m|的值． 19．小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 20．若、、都是有理数，，，，且，，求的值． 21．数学老师布置了一道思考题“计算：﹣÷（﹣），小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣12）＝﹣4+10＝6，所以﹣÷（﹣）＝ （1）请你判断小明的解答是否正确？答　　；并说明理由；　　． （2）请你运用小明的解法解答问题．计算：（﹣）÷（﹣﹣） 22、“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．（说明表示2与的乘积） (1)求的值； (2)求的值． 23．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 　　的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 24．如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 　　；图中点所表示的数是 　　；点所表示的数是 　　； （2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就84岁啦！”则爸爸的年龄是 　　岁．（在图2中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年龄是 　　岁．（画出示意图展示分析过程） 25．在今年的“国庆+中秋”的8天长假中，我市景区再度上演“人从众”，其中最火爆的5A级景区为太姥山风景．正所谓“不到长城非好汉，不去太姥山很遗憾”景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化（万） (1)若9月28日的游客人数为1.2万人，则10月4日的游客人数是多少万人？ (2)8天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (3)如果每万人带来的经济收入约为70万元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数来表示） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算单元培优卷 1．若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（　　） A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，2y﹣6＝0， 解得x＝2，y＝3， 所以x+y＝3+2＝5． 故选：B． 2．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】． 故选． 3．下列说法正确的是（　　） ①一个数的绝对值一定是正数； ②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大于负数的绝对值； ③当|a|＝﹣a时，a一定是负数； ④倒数等于它本身的数是1； ⑤任何有理数都有倒数． A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．② 【分析】由绝对值，倒数的概念，即可判断． 【解答】解：一个数的绝对值是非负数，故①不符合题意； 若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大于负数的绝对值，正确，故②符合题意； 当|a|＝﹣a时，a可能是0，故③不符合题意； 倒数等于它本身的数是±1，故④不符合题意； 0没有倒数，故⑤不符合题意． 故选：D． 4、若，，且，则值为（  ） A． B． C．7或 D．或 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】解：，，且， ，或，， 则或． 故选：D 5．结果不等于﹣2的算式是（　　） A． B． C． D． 【分析】对各选项进行逐一计算、辨别． 【解答】解：∵﹣2﹣＝﹣2，﹣（2+）＝﹣2，（﹣2）+（﹣）＝﹣2，而﹣2+＝﹣， ∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D．． 6．（2023秋•莲都区期末）下列四个式子中，计算结果最小的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】原式； 原式； 原式； 原式， 则计算结果最小的是． 故选． 7、已知有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的乘法计算，根据数轴上点的位置得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意， 故选：B 8．小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题意计算出“”表示的数，然后再进行有理数的混合运算即可；解题的关键是准确计算出“”表示的数． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 9、嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可． 【详解】解：嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是． 故选：C． 10．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（　　） A．46 B．45 C．44 D．43 【分析】根据有理数的乘方和数字的变化寻找规律即可求解． 【解答】解：23＝3+5，第一项为22﹣2+1，最后一项为3+2×1 33＝7+9+11，第一项为32﹣3+1，最后一项为7+2×2 43＝13+15+17+19，第一项为42﹣4+1，最后一项为13+2×3 … 453的第一项为452﹣45+1＝1981，最后一项为1981+2×44＝2069， 1981到2069之间有奇数2019， ∴m的值为45． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．若是的相反数，则的值是 　　． 【答案】6． 【解析】是的相反数， ． 故答案为：6． 12．计算：（﹣1）2022×33＝　　． 【分析】根据（﹣1）的偶数次幂等于1，有理数的乘方的意义进行计算即可得解． 【解答】解：（﹣1）2022×33 ＝1×27 ＝27． 故答案为：27． 13．如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A 点表示的数是 　　. 【分析】由数轴的概念，圆周长公式，即可计算． 【解答】解：∵圆的周长为2πr＝2π， ∴半径为单位1圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是﹣2π． 故答案为：﹣2π． 14、用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)|a|+3有最 　 　（填“大”或“小”）值 　 　； (2)5﹣a2有最 　 　（填“大”或“小”）值 　 　； 【答案】(1)小，3 (2)大，5 【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3； （2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案； 【详解】（1）解:（1）∵|a|≥0， ∴|a|+3有最小值，最小值为3， 故答案为：小，3； （2）解:（2）∵a2≥0， ∴﹣a2≤0， ∴5﹣a2≤5， 即5﹣a2有最大值，最大值为5， 故答案为：大，5； 15．已知，，且，则的值为 　　． 【答案】6或2． 【解析】，，且， ，或，， 则或2， 故答案为：6或2． 16．已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 　　． 【分析】根据题意，可以先求出a、b、c、d的取值范围，然后即可得到a+2b+3c+4d的最大值． 【解答】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1， ∴d4＜90，则d＝2或3， c3＜90，则c＝1，2，3或4， b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， a＜90，则a＝1，2，3，…，89， ∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89， ∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值， ∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3， ∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64， ∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81， 故答案为：81． 三．解答题（共9小题） 17．计算： （1）﹣20﹣（﹣8）﹣7+（﹣4）； （2）（﹣1）4﹣|3﹣7|÷（﹣3）×． 【分析】（1）先化简符号，再计算； （2）先算绝对值内的和乘方运算，再算乘除，最后算加减． 【解答】解：（1）原式＝﹣20+8﹣7﹣4 ＝﹣23； （2）原式＝1﹣|﹣4|×（﹣）× ＝1﹣4×（﹣）× ＝1+1 ＝2． 18．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数m表示的点到原点的距离为3，求代数式+2cd﹣|m|的值． 【分析】根据相反数、倒数、数轴的知识确定a+b、cd和m的值，再代入计算． 【解答】解：由题意a+b＝0，cd＝1，m＝±3，|m|＝3， ∴+2cd﹣|m| ＝+2×1﹣3 ＝0+2﹣3 ＝﹣1． 19．小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解； （2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解． 【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟）， 250-5×10=200（毫升）， 答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升； （2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟）， 160÷4+20=60（分钟）， 答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 20．若、、都是有理数，，，，且，，求的值． 【解析】，，， ，，， 当时，，， ； 当时，，， ， 综上所述，的值为或11． 21．数学老师布置了一道思考题“计算：﹣÷（﹣），小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣12）＝﹣4+10＝6，所以﹣÷（﹣）＝ （1）请你判断小明的解答是否正确？答　　；并说明理由；　　． （2）请你运用小明的解法解答问题．计算：（﹣）÷（﹣﹣） 【分析】（1）小明的解答正确，因为一个数的倒数的倒数等于它本身． （2）应用乘法分配律，求出（﹣﹣）÷（﹣）的值是多少，即可求出（﹣）÷（﹣﹣）的值是多少． 【解答】解：（1）答：正确；理由：一个数的倒数的倒数等于它本身． （2）（﹣﹣）÷（﹣） ＝（﹣﹣）×（﹣48） ＝﹣16+8+18 ＝10 ∴（﹣）÷（﹣﹣）＝ 故答案为：正确；一个数的倒数的倒数等于它本身． 22、“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．（说明表示2与的乘积） (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)28 (2)11 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ 23．在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 　　的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【解析】（1）表示1的点与表示的点重合， 折痕经过原点， 表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）表示的点与表示3的点重合， ， 折痕经过表示1的点， ①， 点表示的数为； ②， ． ，两点表示的数分别为，5.5． 24．如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 　　；图中点所表示的数是 　　；点所表示的数是 　　； （2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就84岁啦！”则爸爸的年龄是 　　岁．（在图2中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年龄是 　　岁．（画出示意图展示分析过程） 【解析】（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为， 点表示为，点表示的数是， 故答案为：9，12，21； （2）①借助数轴，把小明和爸爸的年龄差看作木棒， 同理可得爸爸比小明大， 爸爸的年龄是（岁， 故答案为：56． ②借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看作木棒， 同理可得爷爷比小明大， 爷爷的年龄是（岁， 故答案为：74． 25．在今年的“国庆+中秋”的8天长假中，我市景区再度上演“人从众”，其中最火爆的5A级景区为太姥山风景．正所谓“不到长城非好汉，不去太姥山很遗憾”景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化（万） (1)若9月28日的游客人数为1.2万人，则10月4日的游客人数是多少万人？ (2)8天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (3)如果每万人带来的经济收入约为70万元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数来表示） 【答案】(1)1.7万人 (2)1.5万人 (3)元 【分析】本题考查正数和负数的应用、有理数加减法的应用，科学记数法，解答本题的关键是正负数在题目中的实际意义和科学记数法的表示方法． （1）根据题意和表格中的数据可以计算出10月4日的游客人数； （2）根据表格中的数据可以计算出每天的游客人数，再比较大小，即可以求解； （3）用8天的总人数乘以70万元，计算出结果 ，再用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：(万人)， 答：10月4日的游客人数是1.7万人； （2）解：由表格可得， 9月28日的游客人数是1.2万人， 9月29日的游客人数是(万人)， 9月30日的游客人数是(万人)， 10月1日的游客人数是(万人)， 10月2日的游客人数是(万人)， 10月3日的游客人数是(万人)， 10月4日的游客人数是(万人)， 10月5日的游客人数是(万人)， 10月6日的游客人数是(万人)， ∴最多一天人数为1.8万人，最少一天人数为0.3万人， 则8天中游客人数最多的一天比最少的一天多：(万人)， 答：8天中游客人数最多的一天比最少的一天多1.5万人； （3）解：(元)， 答：该风景区在这8天假期的旅游总收入约为元． 学科网（北京）股份有限公司 $