几何图形面积求法之割补法-2025-2026学年浙教版数学2025-2026学年八年级上册培优训练

几何图形面积求法之割补法-浙教版数学2025-2026学年八年级上册培优训练 一、选择题 1．如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别以的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形）的面积为9，则正方形的面积为（　　） A．50 B．49 C．48 D．45 3．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点，若正方形ABCD的面积为.则的值是（　　） A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5 4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图的方式放置在最大等边三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．较小两个等边三角形重叠部分的面积 C．最大等边三角形的面积 D．最大等边三角形与直角三角形的面积和 5．如图，的两条直角边．分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 6．如图，点E、F为矩形ABCD边AD、AB上的一点，连接EB、EC、FD、FC，EB与DF、CF分别交于点和点M，EC与DF交于点，四边形AEPF的面积为的面积为的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 7．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，若四边形面积为6，四边形的面积为2，四边形的面积为2.5，四边形的面积为4，则知道图中阴影部分的面积是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如图所示，在 中， ，以 的各边为边分别作正方形 ，正方形 与正方形 .延长 ， 分别交 ， 于点K，J，连结 ， .图中两块阴影部分面积分别记为 ， ，若 ，S四边形BAHE=27，则四边形 的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 9．如图，将等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M，N，于点D，，，则四边形的面积为　 　． 10．如图，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图的方式放置在大正方形内，已知四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为　 　． 11．已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为　 　． 12．如图，以的每一条边为边，在斜边的同侧作三个正和．这三个正三角形构成的图形中，已知．则　 　． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将进行平移，使点与坐标原点重合，得到，其中、分别为点、的对应点，点为内一点，经上述平移后点的对应点是点． （1）直接写出点的坐标______，的坐标______． （2）直接写出点的坐标是______． （3）求的面积． 14． 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0，3)，B(-4，0)，C(4，0).若将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D. （1）点D的坐标为　 　； （2）若P是y轴上一动点， 的面积等于的面积，请求出点P的坐标； （3）若E为x轴上一动点，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标. 答案解析部分 一、选择题 1．如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：如图，延长交于， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：C． 【分析】如图，延长交于，即可得出AB=DB，再根据等腰三角形三线合一，可得出AP=DP，进一步即可得出。 2．如图，在中，，分别以的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形）的面积为9，则正方形的面积为（　　） A．50 B．49 C．48 D．45 【答案】D 【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：在中，设，，，如下图， 根据题意，以的三边为边在的同侧作三个正方形， 则有，， 又∵顶点恰为的中点， ∴， ∴在中，可有， 即， ∴， 在中，可有， 即， ∴，解得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即有， ∴， ∴正方形的面积． 故答案为：D． 【分析】 在中，设，，，利用正方形的性质可知，，同时可表示出HE的长，利用勾股定理可用含a的代数式表示出c，在中，利用勾股定理可用含a的代数式表示出b；再利用ASA可证得△KAM≌△ABN，利用全等三角形的性质可证得两个三角形的面积相等，由此可得到△ABC的面积，从而可求出2的值，然后求出正方形ABHK的面积即可. 3．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点，若正方形ABCD的面积为.则的值是（　　） A．5.5 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】A 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为30， ∴， 设AE＝x， ∵AE＋BE＝7， ∴BE＝7−x， Rt△AEB中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵AH⊥BE，BE⊥CF， ∴AH∥CF， ∴∠EAP＝∠GCM， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD， ∴△AEB≌△CGD， ∴AE＝CG， ∴△AEP≌△CGM（ASA）， ∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG， ∴S△CFP−S△AEP＝S△CFP−S△CGM＝S梯形FPMG＝（MG＋PF）•FG＝EF•FG＝S正方形EHGF， ∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD−4S△AEB＝30−4×x•（7−x）＝30- 则S△CFP−S△AEP的值是5.5． 故答案为：A. 【分析】依据题意，先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7−x，根据勾股定理得：列出方程，整体代入可得结论． 4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图的方式放置在最大等边三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．较小两个等边三角形重叠部分的面积 C．最大等边三角形的面积 D．最大等边三角形与直角三角形的面积和 【答案】B 【知识点】勾股定理的应用；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：设三个正三角形面积分别为S1、S2、S3，（S1＜S2＜S3），两个小正三角形的重叠部分的面积为S4， 由勾股定理得：S1=S2+S3， ， 故答案为：B． 【分析】设三个正三角形面积分别为S1、S2、S3，（S1＜S2＜S3），由勾股定理可得S1=S2+S3，根据阴影部分面积的构成即可求解． 5．如图，的两条直角边．分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：由正方形性质知：AE=AC，∠EAC=∠DAB，AD=AB，AB=BG，∠ABK=∠BGH， ∴∠EAD=90°-∠DAC=∠CAB，∠KAB=90°-∠ABC=∠HBG 即∠KAB=∠HBG，∠EAD=∠CAB， ∴△EAD≌△CAB（SAS），△ABK≌△BGH（ASA）， ∴S4=S△EAD=S△ABC，S△ABK=S△BGH， ∴S△ABC+S△BCK=S1+S△BCK， ∴S△ABC=S1， ∵S3+S4+S四边形ADHC=AC2，S2+S△BCK=BC2，S1+S四边形ADHC+S△BCK+S△ABC=AB2，AC2+BC2=AB2， ∴S3+S4+S四边形ADHC+S2+S△BCK=S1+S四边形ADHC+S△BCK+S△ABC， ∴S3+S2=S1， ∴ S3+S2-S1 =0. 故答案为：D. 【分析】根据正方形性质可得AE=AC，∠EAC=∠DAB，AD=AB，AB=BG，∠ABK=∠BGH，根据同角的余角相等可得∠KAB=∠HBG，∠EAD=∠CAB，从而用SAS证△EAD≌△CAB，用ASA证△ABK≌△BGH，可得S4=S△EAD=S△ABC，S△ABK=S△BGH，由图形及正方形的性质可得S3+S4+S四边形ADHC=AC2，S2+S△BCK=BC2，S1+S四边形ADHC+S△BCK+S△ABC=AB2，由勾股定理知AC2+BC2=AB2，再代入即可求解. 6．如图，点E、F为矩形ABCD边AD、AB上的一点，连接EB、EC、FD、FC，EB与DF、CF分别交于点和点M，EC与DF交于点，四边形AEPF的面积为的面积为的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：设AD=a，AB=b； ∵四边形ABCD为矩形 ∴DC=AB=b ∵=AEAB=AEb=，== ∴+=+= ∴==++ ∴= 故答案为：A. 【分析】根据矩形的性质，对边相等，可以得出DC=AB；根据面积相等的原则，即可求出阴影部分的面积. 7．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，若四边形面积为6，四边形的面积为2，四边形的面积为2.5，四边形的面积为4，则知道图中阴影部分的面积是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，中正方形的边长为b，小正方形的边长为a， 如图2，，， ， ， ， ， 故选：B． 【分析】如图，设大正方形的边长为c，中正方形的边长为b，小正方形的边长为a，则，，再结合已知可得即可． 8．如图所示，在 中， ，以 的各边为边分别作正方形 ，正方形 与正方形 .延长 ， 分别交 ， 于点K，J，连结 ， .图中两块阴影部分面积分别记为 ， ，若 ，S四边形BAHE=27，则四边形 的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∵四边形 与四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵四边形 +梯形 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，即 ， ∵四边形 与四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ 四边形 ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴矩形 四边形 四边形 四边形 ， ∴四边形 矩形 故答案为：A. 【分析】根据S1：S2=1：4可得，由正方形的性质可得BC=FC=FG=GB=2GJ，则AC=AD=DE=CE=3GJ，由勾股定理可得AB=GJ，HD=2GJ，然后根据S四边形BAHE=S△AHD+S梯形ADEB可得GJ2=3，接下来证明△FAN≌△EBM，推出S△ABC=S四边形CFNB+S△EBM，易得四边形CFJE是矩形，S矩形CFJE=S四边形MBNJ+S四边形CFNB+S△EBM=S四边形MBNJ+S△ABC，进而推出S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S△ABC，据此进行计算. 二、填空题 9．如图，将等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M，N，于点D，，，则四边形的面积为　 　． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得，，， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】 由于，则由折叠的性质知，由于等边三角形的每一个内角都是，则，则由三角形的内角和可得，则，所以，则，则由直角三角形中30度的性质和勾股定理可分别得；再由等边三角形的三边相等可得BD＝BE+1，由折叠知DF＝BD、BE＝FE，则FN、FM的长可均用BE的代数式表示，再由直角三角形中30度角的性质可知FM等于FN的一半，则BE可求，即FN、FM、MN均可得，则的面积也可求得，再由折叠知，阴影部分面积等于与的面积差，再过点E作DB的垂线段EH，再利用直角三角形中30度角的性质和勾股定理求出EH即可． 10．如图，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图的方式放置在大正方形内，已知四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】4 【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：设三个正方形从大到小的边长分别为：，则大，中，小正方形的面积分别为c2、b2、a2， 由勾股定理，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为： 【分析】设三个正方形从大到小的边长分别为：，则大，中，小正方形的面积分别为，由勾股定理得，再根据图形面积的构成得，，整理得可求解. 11．已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】5 【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：，，， ∴∠ABC=∠CDE=90°，∠BAC=90°-∠ACB=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴DE=BC=2，AB=CD=3，∴图中阴影部分的面积为=5， 故答案为：5. 【分析】先证明△ABC≌△CDE，利用梯形面积与直角三角形的面积差计算即可. 12．如图，以的每一条边为边，在斜边的同侧作三个正和．这三个正三角形构成的图形中，已知．则　 　． 【答案】4 【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：由图可知，，过点作于点， 设，则， ∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， 同理，，， ∵，，， ∴ ． 故答案为：． 【分析】 过点F作AC的垂线段FG，则由等边三角形的性质可知，同理、，再由勾股定理可知AB2＝AC2+BC2，则由割补法可得阴影部分甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将进行平移，使点与坐标原点重合，得到，其中、分别为点、的对应点，点为内一点，经上述平移后点的对应点是点． （1）直接写出点的坐标______，的坐标______． （2）直接写出点的坐标是______． （3）求的面积． 【答案】（1），； （2） （3）解：=． ​​​​答：的面积 9. 【知识点】坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：（1）∵将进行平移，使点与坐标原点重合， ∴平移方式为：将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位， ∵，， ∴，； 故答案为：，； （2）∵点为内一点，经上述平移后点的对应点是点． ∴； 故答案为：. 【分析】（1）由点平移至点O可得平移方式，即可求出点的坐标、的坐标； （2）由（1）中的平移方式可得答案； （3）利用“割补法”求面积，由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． （1）解：∵将进行平移，使点与坐标原点重合， ∴平移方式为：将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位， ∵，， ∴，； 故答案为：， （2）解：∵点为内一点，经上述平移后点的对应点是点． ∴； 故答案为： （3）解：的面积为： ． 14． 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0，3)，B(-4，0)，C(4，0).若将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D. （1）点D的坐标为　 　； （2）若P是y轴上一动点， 的面积等于的面积，请求出点P的坐标； （3）若E为x轴上一动点，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标. 【答案】（1）(6，4) （2）解：设点P(0，a)， ∵△CAD的面积为 ，的面积为 2|a-3|， ∵△PAC的面积等于 的面积， 解得 或 ∴点P的坐标为 或(0，-) （3）解：(，0)或(-4，0)或或(9，0) 【知识点】坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；分类讨论 【解析】【解答】解：⑴∵ B(-4，0) ， ∴ 将点B向右平移10个单位长度得（6，0），再向上平移4个单位长度得（6，4）， 即D(6，4)， 故答案为：（6，4）. 【分析】⑴根据平移规律写出D的坐标即可. ⑵先根据“割补思想”求出△CAD的面积，再利用P的坐标表示的面积，根据“的面积等于的面积 ”列方程求解即可. (3) △EAC为等腰三角形，需分三种情况讨论：EA=EC、EA=AC、EC=AC，分别求解E的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $