专题突破十 利用勾股定理证明线段平方关系（20道）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破十 利用勾股定理证明线段平方关系（20道）（压轴题） 1．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1)猜想：．理由见解析； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 2．(24-25八上·福建莆田城厢区莆田哲理中学·期中)如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 3．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用． （1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可； （2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明． 【详解】（1）解：在中，，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）解：由（1）可知，， 所以． 因为都是正数， 所以， 所以． 4．(24-25八下·四川成都东部新区·期末)如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)（i）见解析；（ii），证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、以及勾股定理的应用，解题的关键是通过分析图形中的角度和边长关系，构造或证明全等三角形，将待求线段与已知线段关联，再结合特殊三角形的性质或勾股定理推导数量关系． （1）（i）由等腰直角三角形性质得；利用同角的余角相等，证明；根据判定，从而得出． 由（i）中全等三角形得，结合，推出，进而得；利用等腰直角三角形边长关系，将表示为 表示为；在中应用勾股定理，代入边长表达式化简，得出． （2）由等边三角形性质得，利用角度和差证明；根据判定，得，进而推出；利用等边三角形边长关系，将表示为 表示为；在中应用余弦定理（或角的三角形边长公式），代入边长表达式化简，得出． 【详解】（1）证明：，， ， 点M是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如图1， ，理由如下： 由（1）得， ，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ； （2）解：如图2， ，理由如下： 连接，并延长，交于G，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ，，， ， ， ， 在中，，过点N作的垂线，垂足为点（如下图），则,， 在中， ， ， 5．如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 6．(24-25八上·四川宜宾一中叙州区实验初级中学校·期末)已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． （1）通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明 ，可以得出结论； （2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明 ，得到，最后等量代换线段即可求解； （3）延长到点，使得，连接，通过证明 ，得到，，再结合，推导证明 ，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 为等腰直角三角形， ， 又，且， ， ， ， 同理，， 又， 在与中， ， ， ，，， ∴， （2）如图1， 在射线上取点，使，连接， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又 ． （3）．证明如下： 如图2，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 在中，． 7．(24-25七下·山东泰安泰山区·期末)如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)结论：，理由见解析． 【分析】（1）利用平角定义解题即可； （2）根据角平分线定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，即可得证； （3）连接，则有，再利用勾股定理推理即可． 【详解】（1）解： ，， ； （2）证明： 平分， ， 又 ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即点是的中点； （3）结论：，理由如下： 如图2，连接． ，点为的中点． 为的中垂线． ． 在中，． 由勾股定理得． ． 【点睛】本题考查了角的和差，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练运用以上性质推理是解题的关键． 8．【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据等边对等角得出，根据折叠的性质可得，进而即可求解； （2）根据折叠的性质得出，，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，结合图形由勾股定理即可得出结果； （3）将延折叠，得到，连接，根据（2）中证明方法证明即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 依题知： （折叠的性质） ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ （3）结论成立，理由如下： 将延折叠，得到，连接， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 9．(24-25七上·山东烟台福山区（五四制）·期末)【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，利用角的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，求出为直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 10．(24-25八上·江苏泰州靖江八校联盟·期中)如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 【答案】(1)且平分，证明过程见详解； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线的应用及勾股定理，关键是求出，题目比较典型，主要考查学生运用性质进行推理的能力． （1）连接、，根据直角三角形斜边上中线性质推出，，推出，在中，根据三线合一定理求出即可； （2）根据勾股定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得． 【详解】（1）解：与的位置关系是垂直且平分， 证明∶连接， ，，M为中点， ，， ， 为中点， ，， 即与的位置关系是垂直且平分； （2）解：， ， ，， ， 即． 11．(24-25八上·江苏常州清潭中学·期中)在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 12．(23-24八下·辽宁沈阳沈河区·期末)【问题背景】 如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此题可以用如下方式：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可以得到线段之间的数量关系 ． （2）如图3，在等腰直角中，，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图4，在四边形中，，在边和分别有一点E和点F，使的周长恰好是长的2倍，求此时的度数． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得到线段，，之间的数量关系； （2）过点作，取，连接，，即可证明，可得，再证明，可得，又可证明为直角三角形，则利用勾股定理即可得出，，之间的关系． （3）连接，延长至点，使，连接，证明，，，从而最终得出的度数． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，之间的关系是：，理由如下： 如图，过点作，取，连接，， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）如图，连接，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 的周长恰好是长的倍， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且，， ， ， 所以，的度数是． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，运用类比的方法作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 13．(23-24七·北师大版·期末)在正方形中，点E，F分别在边上，且． (1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：； (2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：； (3)若．求线段的长度． (4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）证得，进一步得，即可求证； （2）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则，．由（1）知；根据题意可推出均为等腰直角三角形，结合即可求证； （3）根据为等腰直角三角形即可求解； （4）延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，可证；由题意得为等腰直角三角形，推出；证明四边形是矩形推出；根据，通过线段之间的等量关系可得出，即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （2）证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则，． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ （3）解：由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴ （4）解：延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即 又∵， ∴ 即： ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的面积 【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，掌握举一反三的数学思想，作出正确的辅助线是解题关键． 14．(24-25八上·山东菏泽牡丹区·期中)我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 15．(23-24八下·河南郑州新郑多校联考·期中)在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系； （2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长． 【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下： 当时，则， ，， 和均为等腰直角三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即； （2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示： 当时，， ，， 和均为等边三角形， ， 同理可证：， ，， ， ， ， 在中，，， ，由勾股定理得：， 设，则， ，， ， ， 为等边三角形，， 是线段的垂直平分线， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 16．(23-24八下·湖北孝感安陆·期中)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】(1)正方形（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解， （2）根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可； （3）如图②，连接EC，由可得，，因为，所以，又因为，所以，由勾股定理可得，所以，即四边形ABCD是勾股四边形． 本题考查勾股定理、旋转和全等三角形的性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题． 【详解】（1）解：正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形， （2）解：由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件，如图即为所求， （3）解：如图②，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是勾股四边形． 17．(23-24八上·福建漳州台商区华侨中学·期末)如图，在中，，点D为边上一点，且，交于点F． (1)在边上取点M，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在满足（1）的条件下，在射线上取点N，使得，求证：A，M，N三点在同一条直线上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理等； （1）作的垂直平分线，交于，根据勾股定理，即可求解； （2）与交于，由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，再由等腰三角形的判定得，此时与重合，即可得证； 掌握作法，判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图，与交于， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 在射线上取点N，使得， 此时与重合， 如图， A，M，N三点在同一条直线上． 18．(23-24八上·江苏无锡江阴·期中)在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．(23-24八上·福建三明泰宁县第二中学·期中)如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∵ ∴； （2）如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴，即： 在中， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理构造辅助线是解决本题的关键． 20．(23-24八上·江苏南京联合体·期中)（1）如图①，在中，，，为边上的中线，则的取值范围是 （提示：延长到点，使，连接）； （2）如图②，在中，，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证； （3）如图③，在中，点，分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【分析】（1）如图①所示，延长到点，使，连接，先证明，得到，然后根据三角形三边关系即可证得结论； （2）如图②所示，延长到点，使，连接，，先证明，得到，，进而证得，由勾股定理得，再证，即可证得结论； （3）如图③所示，延长到点，使，连接，，证明，得到，，再证明，得到，即可证得结论． 【详解】解：（1）如图①所示，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． （2）证明：延长到点，使，连接，，如图②， 是边上的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． （3）证明：延长到点，使，连接，，如图③， ，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， 又， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，平行线的性质，合理添加辅助线，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破十 利用勾股定理证明线段平方关系（20道）（压轴题） 1．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 2．(24-25八上·福建莆田城厢区莆田哲理中学·期中)如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 3．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 4．(24-25八下·四川成都东部新区·期末)如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 5．如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 6．(24-25八上·四川宜宾一中叙州区实验初级中学校·期末)已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 7．(24-25七下·山东泰安泰山区·期末)如图1，，点，分别在直线，上，连接，，点在上． (1)若，求的度数； (2)若平分交于点，求证：点是的中点； (3)在（2）的条件下，如图2，过点作交于点，猜想线段，，有何数量关系，并说明理由． 8．【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 9．(24-25七上·山东烟台福山区（五四制）·期末)【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 10．(24-25八上·江苏泰州靖江八校联盟·期中)如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 11．(24-25八上·江苏常州清潭中学·期中)在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 12．(23-24八下·辽宁沈阳沈河区·期末)【问题背景】 如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此题可以用如下方式：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可以得到线段之间的数量关系 ． （2）如图3，在等腰直角中，，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图4，在四边形中，，在边和分别有一点E和点F，使的周长恰好是长的2倍，求此时的度数． 13．(23-24七·北师大版·期末)在正方形中，点E，F分别在边上，且． (1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：； (2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：； (3)若．求线段的长度． (4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积． 14．(24-25八上·山东菏泽牡丹区·期中)我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 15．(23-24八下·河南郑州新郑多校联考·期中)在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 16．(23-24八下·湖北孝感安陆·期中)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 17．(23-24八上·福建漳州台商区华侨中学·期末)如图，在中，，点D为边上一点，且，交于点F． (1)在边上取点M，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在满足（1）的条件下，在射线上取点N，使得，求证：A，M，N三点在同一条直线上． 18．(23-24八上·江苏无锡江阴·期中)在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 19．(23-24八上·福建三明泰宁县第二中学·期中)如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 20．(23-24八上·江苏南京联合体·期中)（1）如图①，在中，，，为边上的中线，则的取值范围是 （提示：延长到点，使，连接）； （2）如图②，在中，，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证； （3）如图③，在中，点，分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $