专题01 平面直角坐标系中面积问题九大题型 （高效培优专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题01 平面直角坐标系中面积问题 题型一：求与坐标轴围成的图形面积 题型二：求一边在坐标轴上的图形面积 题型三：求一边与坐标轴平行的图形面积 题型四：用补形法求图形面积 题型五：用割形法求图形面积, 题型六：已知图形面积求坐标 题型七：已知图形面积关系求坐标 题型八：已知图形面积关系求存在性问题, 题型九：与图形面积相关规律问题 1. 核心知识 (1)点到坐标轴、原点的距离 点M(a,b)到x轴的距离为|b|; 点M(a,b)到y轴的距离为|a| ;点M(a,b)到原点的距离 OM= (2)平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段AB=;，铅锤线段CD= (3)两点之间的距离公式:d= (4)中点公式: 2.模型梳理 【模型 1】一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算 【模型 2】三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算(割补法) 展示 1:针对直角三角形:若在平面直角坐标系中，通过点的坐标求出三角形的三边长，恰好构成直角三角形，则可以直接用面积公式进行计算; 展示2:补形法:如图，在不规则三角形ABC中，通过构造矩形EFGH，利用矩形面积与三个直角三角形面积差求值 题型一：求与坐标轴围成的图形面积 1.点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 2．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 3．如图，直角坐标系中，正方形的面积是（  ） A．1 B．2 C．4 D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 题型二：求一边在坐标轴上的图形面积 1．如图，平面直角坐标系中的面积是（　　）    A．2 B．4 C．8 D．6 2．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C(－4，4)，则三角形ABC 的面积是（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 题型三：求一边与坐标轴平行的图形面积 1．如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)请在平面直角坐标系上画出，并写出点A及点的坐标； (2)的面积 ； (3)若点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，则点P的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中已知，，． (1)求点到轴的距离； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，每个格点是边长为1的正方形，点A的坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积 题型四：用补形法求图形面积 1．如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 2．如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，三角形ABC的面积等于（    ） A．12 B． C．13 D． 4．如图，连接AB、BC、AC，则△ABC的面积是（    ） A．3 B．3 C．2 D．2 5．在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 题型五：用割形法求图形面积, 1．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 2．如图，已知：，，，求△AOE的面积（    ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 3．如图在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，，则的面积是（    ） A．5 B．10 C．75 D．15 4．如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 5．如图，点A（5，0），点B（4，3），点C（0，2），则四边形OABC的面积是 ． 题型六：已知图形面积求坐标 1．已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 3．已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知点，，，如果的面积是，则的值为（  ） A． B． C． D．或 6．若点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，的面积是10，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 题型七：已知图形面积关系求坐标 1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．如图，已知△ABC，其中△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，已知点B平移后的对应点B′的坐标是（4，2），在y轴上存在点D，使△DAC′的面积等于△ABC面积的2倍满足条件的D点坐标是（    ） A．（0，5） B．（0，6） C．（0，5）或（0，6） D．（0，5）或（0，﹣5） 3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别个为A（2，0）、B（0，1）、C（2，3）．若P为直线AB上方的坐标轴上的点，满足△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标是（    ） A．（4，0） B．（0，4） C．（0，2）或（6，0） D．（0，4）或（8，0） 4．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(b，4)三点，其中a，b满足关系式a＝＋2.若在第二象限内有一点P(m，1)，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等，则点P的坐标为(　　) A．(－3，1) B．(－2，1) C．(－4，1) D．(－2.5，1) 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 6．已知四边形是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为，，，若点在梯形内，且的面积等于的面积，的面积等于的面积．请直接写出点的坐标 ． 7．如图所示的坐标系中，单位长度为1 ，点 B的坐标为(1，3) ，四边形ABCD 的各个顶点都在格点上， 点P 也在格点上， 的面积与四边形ABCD 的面积相等，写出所有点P 的坐标 ．（不超出格子的范围） 8．在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 题型八：已知图形面积关系求存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，过点作x轴的垂线l，点A关于直线l的对称点为B． (1)点B的坐标为_____________； (2)已知点，点，在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D． ①在四边形内部有一点P，满足且，则此时点P的坐标为_____________，_____________； ②在四边形外部是否存在点Q，满足且，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九：与图形面积相关规律问题 1．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是（    ） A．1009 B． C．505 D． 3．如图，在一单位长度为的方格纸上，依如所示的规律，设定点、、、、、、、 ，连接点、、组成三角形，记为，连接、、组成三角形，记为 ，连、、组成三角形，记为（为正整数），请你推断，当为时，的面积（    ）    A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第次移动到．则的面积是（    ）    A． B． C． D． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系中面积问题 题型一：求与坐标轴围成的图形面积 题型二：求一边在坐标轴上的图形面积 题型三：求一边与坐标轴平行的图形面积 题型四：用补形法求图形面积 题型五：用割形法求图形面积, 题型六：已知图形面积求坐标 题型七：已知图形面积关系求坐标 题型八：已知图形面积关系求存在性问题, 题型九：与图形面积相关规律问题 1. 核心知识 (1)点到坐标轴、原点的距离 点M(a,b)到x轴的距离为|b|; 点M(a,b)到y轴的距离为|a| ;点M(a,b)到原点的距离 OM= (2)平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段AB=;，铅锤线段CD= (3)两点之间的距离公式:d= (4)中点公式: 2.模型梳理 【模型 1】一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算 【模型 2】三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算(割补法) 展示 1:针对直角三角形:若在平面直角坐标系中，通过点的坐标求出三角形的三边长，恰好构成直角三角形，则可以直接用面积公式进行计算; 展示2:补形法:如图，在不规则三角形ABC中，通过构造矩形EFGH，利用矩形面积与三个直角三角形面积差求值 题型一：求与坐标轴围成的图形面积 1.点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角坐标系，三角形的面积，根据三角形的面积公式得到是解题的关键，先求出点P的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵，， ∴， 即的面积是9． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 3．如图，直角坐标系中，正方形的面积是（  ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，勾股定理求出的长，利用正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴正方形的面积是； 故选B． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上，且点，则正方形的面积是（    ） A．80 B．100 C．136 D．156 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 作轴于．只要证明，推出，由，推出，推出，再利用勾股定理求出，最后求面积即可． 【详解】解：作轴于． ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴正方形的面积． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到轴，，高为，利用面积公式直接计算可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴轴，，高为， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 题型二：求一边在坐标轴上的图形面积 1．如图，平面直角坐标系中的面积是（　　）    A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据图形可知，OA=2，BC=4，再由三角形的面积公式，即可求出答案． 【详解】解：由图可知， ，， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中，两点之间的距离，解题的关键正确求出BC和OA的长度． 2．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C(－4，4)，则三角形ABC 的面积是（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】作CD⊥x轴于D，分别求出AB=6，CD=4，根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：如图，作CD⊥x轴于D， 由图形得AB=6， ∵点C坐标为(－4，4)，CD⊥x轴于D， ∴CD=4， ∴. 故选：C 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，理解平面直角坐标系中点的坐标的意义是解题关键. 题型三：求一边与坐标轴平行的图形面积 1．如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)请在平面直角坐标系上画出，并写出点A及点的坐标； (2)的面积 ； (3)若点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)见解析；， (2) (3)或 【分析】本题考查了作图—平移变换，三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可，再结合图形写出坐标即可； （2）利用三角形面积公式计算即可得解； （3）设点的坐标为，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ， 由图可得：，； （2）解：的面积； （3）解：设点的坐标为， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中已知，，． (1)求点到轴的距离； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 【答案】(1)3 (2)18 (3)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的知识是关键． （1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可； （2）根据两点之间距离的计算得到，点到直线的距离为，根据三角形面积的计算公式求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为， 点到轴的距离； （2）解：点，点， ， 又点到直线的距离， （平方单位）； （3）解：设点的坐标为， ， ， 解得：，或， 点的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，每个格点是边长为1的正方形，点A的坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积 【答案】(1)图见解析，； (2) 【分析】此题考查轴对称图形的作图，点的坐标，网格求三角形的面积． （1）作出关于y轴对称的对应点，顺次连接即可得到，写出点的坐标； （2）根据网格的特点求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）的面积． 题型四：用补形法求图形面积 1．如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 2．如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点， ∵，，， ∴，，则 ∴三角形的面积是 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 3．如图，三角形ABC的面积等于（    ） A．12 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】过点A作轴于D，利用，求出，和进而进行求解即可． 【详解】过点A作轴于D，如图所示： 由题意可得，，， ，， ∴， ∴， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键． 4．如图，连接AB、BC、AC，则△ABC的面积是（    ） A．3 B．3 C．2 D．2 【答案】C 【分析】可以利用割补法，用长方形AGDE的面积减去的面积求解即可； 【详解】长方形AGDE的面积为：3×2=6， 的面积：3×1÷2=1.5， 的面积：2×1÷2=1， 的面积：2×1÷2=1， 故的面积为：6-1.5-1-1=2.5， 故答案为：C； 5．在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 题型五：用割形法求图形面积, 1．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 【答案】C 【分析】根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，，，， ∵图上一个单位长度表示10米， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 2．如图，已知：，，，求△AOE的面积（    ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据点的坐标，求得，根据进行计算即可求解． 【详解】解： ，，， ，， 则 故选A 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 3．如图在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，，则的面积是（    ） A．5 B．10 C．75 D．15 【答案】A 【分析】过点A做垂直于x轴，垂足为D，则，过点C做垂直于x轴，垂足为E，则，再分别求解 利用的面积的面积的面积，从而可得答案． 【详解】解： ，， 过点A做垂直于x轴，垂足为D，则， 过点C做垂直于x轴，垂足为E，则， 的面积的面积的面积， ，，，， ，，， ∴的面积， 的面积， ∴的面积． 故选A． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【答案】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形的面积转换成三角形面积． 连接，根据即可求解； 【详解】连接， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，点A（5，0），点B（4，3），点C（0，2），则四边形OABC的面积是 ． 【答案】11.5/ 【分析】连接OB，由列式计算即可求得答案． 【详解】解：连接OB,如下图： ∵ ， ∴ ∴ = = =11.5 故答案为：11.5 【点睛】本题考查直角坐标系中用割补法求四边形图形的面积，能够利用数形结合思想去解题是关键． 题型六：已知图形面积求坐标 1．已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 2．已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个． 根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意取正负数都符合题意． 【详解】解：直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，， 那么， 解得：， 所以或． 故选：B． 3．已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查坐标系中的坐标与图形，根据点A和点B在x轴上，距离可用横坐标之差的绝对值求出，C点在y轴的正半轴上，用面积列等式求解即可． 【详解】解：点C在y轴的正半轴上，点和点在x轴上， ， 的面积为8，得 ， 解得， 点， 故选：C． 4．已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据三角形的面积求出的长，再分点在点的左边与右边两种情况讨论求解． 【详解】解：点， ， 解得， 若点在点的左边，则， 此时，点的坐标为， 若点在点的右边，则， 此时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 5．已知点，，，如果的面积是，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据点的特征，得出两点在轴上，进而得出的长，再根据点的坐标，得出点到轴的距离为，再根据三角形的面积公式，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴两点在轴上， ∴， ∵， ∴点到轴的距离为， ∵的面积是， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、点到坐标轴的距离、三角形的面积，解本题的关键在计算点到轴的距离时，注意加绝对值． 6．若点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，的面积是10，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式求出OC的长即可得到答案． 【详解】解：∵点B的坐标为（4，0）， ∴OB=4， ∵△ABC的面积为10， ∴， ∴OC=5， ∴点C的坐标为（0，5）或（0，-5）， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确求出OC的长是解题的关键． 题型七：已知图形面积关系求坐标 1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 2．如图，已知△ABC，其中△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，已知点B平移后的对应点B′的坐标是（4，2），在y轴上存在点D，使△DAC′的面积等于△ABC面积的2倍满足条件的D点坐标是（    ） A．（0，5） B．（0，6） C．（0，5）或（0，6） D．（0，5）或（0，﹣5） 【答案】D 【分析】先利用平移的性质求出点C'的坐标，设D（0，m）．利用三角形的面积公式构建方程求出m即可． 【详解】解：由题意C′（6，7），设D（0，m）． 则有•|m|×6=2××3×5， 解得m=±5， ∴D（0，5）或（0，-5）． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别个为A（2，0）、B（0，1）、C（2，3）．若P为直线AB上方的坐标轴上的点，满足△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标是（    ） A．（4，0） B．（0，4） C．（0，2）或（6，0） D．（0，4）或（8，0） 【答案】D 【分析】先设出点P的坐标，分P在x轴和y轴两种情况讨论，然后求出三角形ABC的面积，再将三角形ABP的面积用点P的坐标表示出来，列出方程，求出点P的坐标即可． 【详解】解：由题意得， ∴S△ABP＝3， 若点P在x轴上，设P（x，0）， 则S△ABP＝S△OBP﹣S△OAB＝＝3， 解得x＝8， ∴P（8，0）， 若点P在y轴上，设P（0，y）， 则S△ABP＝S△AOP﹣S△OAB＝， 解得y＝4， ∴P（0，4）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是得到△ABP与△ABC之间的关系，注意分类讨论． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(b，4)三点，其中a，b满足关系式a＝＋2.若在第二象限内有一点P(m，1)，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等，则点P的坐标为(　　) A．(－3，1) B．(－2，1) C．(－4，1) D．(－2.5，1) 【答案】A 【详解】分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、B、C的坐标，再求出BC的长度，然后求出△ABC的面积，根据S四边形ABOP=S△AOP+S△AOB列式计算，然后列出方程求出m的值，从而得解． 详解： 由题意得，b2-9≥0且9-b2≥0， 解得，b2≥9且b2≤9， 所以，b2=9， 解得b=±3， 又∵b+3≠0， 解得b≠-3， 所以b=3， a=2， ∴点A（0，2），B（3，0），C（3，4）， ∴点B、C的横坐标都是3， ∴BC∥y轴， ∴BC=4-0=4， △ABC的面积=×4×3=6， ∵OA=2，点P（m，）在第二象限， ∴S四边形ABOP=S△AOP+S△AOB， =×2（-m）+×2×3， =-m+3， ∵四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等， ∴-m+3=6， 解得m=-3， 所以，点P（-3，）． 故选A． 点睛：考查了坐标与图形性质，三角形的面积，二次根式有意义的条件，关键在于判断出BC∥y轴和把四边形ABOP的面积分成两个三角形的面积求解． 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 6．已知四边形是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中是坐标原点，点A，C，D的坐标分别为，，，若点在梯形内，且的面积等于的面积，的面积等于的面积．请直接写出点的坐标 ． 【答案】 【分析】利用的面积等于的面积，得出的长，进而得出的长，即可得出点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点A，C，D的坐标分别为，，， ∴，，， ∵的面积等于的面积， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴，即， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质以及三角形面积，利用三角形面积关系得出，的长是解答本题的关键． 7．如图所示的坐标系中，单位长度为1 ，点 B的坐标为(1，3) ，四边形ABCD 的各个顶点都在格点上， 点P 也在格点上， 的面积与四边形ABCD 的面积相等，写出所有点P 的坐标 ．（不超出格子的范围） 【答案】(0，4)，(1，2)，(2，0)，(4，4) 【分析】算出四边形ABCD的面积等于△ABC面积与△ACD面积之和即为2，同时矩形AEDC面积也为2，且E为AP1的中点，由中线平分所在三角形面积即为所求． 【详解】解：∵， 又， ∴， 又E为AP1的中点，∴DE平分△ADP1的面积，且△AED面积为1， ∴△ADP1面积为2，故P1点即为所求，且P1(4，4)， 同理C为DP3的中点，AC平分△ADP3面积，且△ACD面积为1， 故△ADP3面积为2，故P3点即为所求，且P3(1，2)， 由两平行线之间同底的三角形面积相等可知，过P3作AD的平行线与网格的交点P2和P4也为所求，故P2(0，4)，P4(2，0)， 故答案为：P(0，4)，(1，2)，(2，0)，(4，4)． 【点睛】考查了三角形的面积，坐标与图形性质，关键是熟练掌握中线平分所在三角形的面积，两平行线之间同底的三角形面积相等这些知识点． 8．在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点,， ， 将向下平移5个单位得线段，得矩形， ， ， ， 如图1，当交线段于E，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交y轴于点M， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图2，当交于点E，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交y轴于点G， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， 过P点作交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点P坐标为或， 故答案为：或． 题型八：已知图形面积关系求存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图所示： 的面积为； （3）存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 所以点P的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，过点作x轴的垂线l，点A关于直线l的对称点为B． (1)点B的坐标为_____________； (2)已知点，点，在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D． ①在四边形内部有一点P，满足且，则此时点P的坐标为_____________，_____________； ②在四边形外部是否存在点Q，满足且，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)①，．②，理由见解析 【分析】（1）根据对称性可知点A和点B到直线l的距离相等，且纵坐标相等即可求解； （2）①根据点A，B，C，D的坐标可得点A和点B关于直线l对称，点C和点D关于直线l对称，，，，由，可知点P在直线l上，设点P，再根据可得，求解即可得点P坐标，进而即可求解； ②与①同理，设，根据，可得，解方程进而即可求解． 【详解】（1）∵点坐标为，过点作x轴的垂线l， ∴点到直线l的距离为1， ∵点A和点B关于直线l的对称点， ∴， 故答案为：； （2）如图所示：顺次连接A，B，C，D，可以发现四边形是等腰梯形，且关于直线对称， ①∵点，点，点，点， ∴点A和点B关于直线l对称，点C和点D关于直线l对称，，，， ∵在四边形内部有一点P，满足， 则点P在直线l上，设点P， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：， ∴点，   ∴， 故答案为：，； ②存在， 理由：∵ ∴点Q在对称轴上， 设， ∵， ∴，即， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查坐标与图形—对称，三角形面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想和参数构造方程解决问题． 题型九：与图形面积相关规律问题 1．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的规律问题，掌握坐标变化的特点是解题的关键．由行走路线可知移动四次为一组，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，，， ∴． ∵ 即点与点在同一水平直线上，且线段 故选 B． 2．育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是（    ） A．1009 B． C．505 D． 【答案】D 【分析】先根据点的坐标归纳类推出一般规律，从而可得点的坐标，再根据点的坐标可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得：点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 归纳类推得：点的坐标为，其中n为正整数， ， 点的坐标为，即， 又， ，且的边上的高为1， 则的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律，求出点的坐标是解题关键． 3．如图，在一单位长度为的方格纸上，依如所示的规律，设定点、、、、、、、 ，连接点、、组成三角形，记为，连接、、组成三角形，记为 ，连、、组成三角形，记为（为正整数），请你推断，当为时，的面积（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形计算发现：第一个三角形的面积是，第二个三角形的面积是，第三个图形的面积是，即第个图形的面积是，即可求得，△的面积． 【详解】由题意可得规律：第个图形的面积是， 所以当为时， 的面积． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，通过计算前面几个具体图形的面积发现规律是解题关键． 4．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第次移动到．则的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，由知，据此利用三角形的面积公式计算可得． 【详解】由题意知， ∵2020÷4=505， ∴， 则的面积() ． 【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $