精品解析：天津市南开中学2025-2026学年高二上学期质量监测（一）数学试卷

南开中学2025-2026学年度第一学期质量监测（一） 高二数学试卷 考试时间：120分钟 Ⅰ卷（共100分） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试结束后，将答题卡､答题纸一并交回． 一､选择题（共60分，每题4分） 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【详解】直线的斜率，解得. 故选：D. 2. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则的中点坐标为， 且，则， 所以所求圆的方程为， 故选：A. 3. 已知直线和互相垂直，则实数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 4. 已知两平行直线与，则与之间的距离为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行得到直线方程的系数关系，由此可求的值，再结合平行直线间距离公式求解出结果. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，满足两直线平行， 此时两直线间距离； 当时，，即，，满足两直线平行， 此时两直线间距离， 所以与之间的距离为或， 故选：B. 5. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得. 【详解】因为曲线表示圆，点在圆的外部， 所以，整理得， 由可得， 由可得或， 故. 故选：D. 6. 设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解. 【详解】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 7. 若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 8. 已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆的方程作差可得到两圆的公共弦所在直线方程，联立公共弦所在直线方程与圆，求出交点，即得答案. 【详解】设圆，圆相交于两点， 把圆，化为一般式， ：， ， ， ：， ， ， 两圆作差得： ， ， 公共弦所在直线方程为 . 联立直线方程与圆得：， 解得或， 交点为 和 . . 故选：C 9. 一条光线从点射出，经过直线反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先圆的圆心为，再求圆心关于对称的点，最后由直线方程的点斜式即可求解. 【详解】由题意有：圆的圆心为， 所以反射光线经过圆心， 又因为点关于直线对称的点为， 即入射光线所在直线经过， 所以，所以， 所以入射光所在直线的方程为， 故选：B. 10. 若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知焦点在y轴上，可设，再代入求解即可． 【详解】由题可知焦点在y轴上，可设， ，解得， 所以椭圆的方程是． 故选：B 11. 已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义得，结合余弦定理即可求解． 【详解】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 12. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的个数是（ ） ①直线关于点对称的直线经过点； ②直线与的交点坐标为； ③已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为； ④已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，由题可得方程，可得过点，据此可判断正误； 对于②，联立两条直线方程，解方程组可得交点坐标； 对于③，考虑直线过原点及直线横纵截距全不为0两种情况，可判断正误； 对于④，由题可得方程，然后由点到直线距离公式可判断正误. 【详解】对于①，由，，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即．令，得，即直线过点， 所以直线关于点对称的直线经过点，故①正确； 对于②，联立，解得，即直线与的交点坐标为．故②正确； 对于③，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 将点代入可得，所以直线的方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或．故③错误； 对于④，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和的连线垂直，故此时直线的斜率为， 所以直线为，即，所以点到的距离为，故④正确. 故选：B 13. 已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，由题可得，从而可得点在圆上，直线与圆相交或相切，据此可得答案. 【详解】取的中点，因为，所以，所以，又， 所以点在圆上， 又在直线上，所以直线与圆相交或相切， 所以直线到圆圆心距离小于等于5，又圆心坐标为. 则，所以. 故选：A． 14. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 二､填空题（共40分，每小题4分） 15. 已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意可知， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为. 故答案为：1 16. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 17. 已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据向量运算得到，代入直线方程化简得到答案. 【详解】设，，，则， 故，点在直线，故， 整理得到. 故答案为：. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在学生的计算能力和转化能力. 18. 已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则__________________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，由于直线将圆的面积平分，所以可得直线过圆心，从而可求出的值，再利用勾股定理求出的值. 【详解】由圆，即， 则圆心，半径为， 因为直线将圆的面积平分， 所以圆心在直线上， 则，解得，故， 则， 所以． 故答案为：. 19. 已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 20. 设椭圆的焦点为，，点P在该椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，t)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解. 【详解】由＝1可知，， 所以， 所以F1(－3，0)，F2(3，0)， ∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， ∴可设P(3，t)， 把P(3，t)代入椭圆＝1，得. ∴|PF1|＝，|PF2|＝. ∴. 故答案为：7. 21. 已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，设关于直线的对称点为，求出的最小值，进而得到的最小值． 【详解】的圆心为，半径为1. ，圆心为，半径为2． 因为，所以两圆相离，如图所示． 则， 当且仅当三点共线，三点共线且在之间，在之间时，等号成立． 设关于直线的对称点为， 连接，与直线交于点，此时， 故即为的最小值， 故的最小值为． 故答案为：. 22. 椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知，设，有，由和，消去得，可求椭圆离心率. 【详解】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 23. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可求得直线的方程． 【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等， 又，则直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角为，即直线的斜率为， 又椭圆的右焦点为， 所以直线的方程是，即， 故答案为：． 24. 已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点A、B，则的最大值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在处的切线l：，进而把题转化为求A，B两点横坐标的绝对值的比的取值范围.再联立切线与圆的参数方程和根与系数的关系求出关于的方程，根据基本不等式求出的取值范围，解不等式组即得. 【详解】原题等价于已知及其处的切线l：， 圆C的圆心到圆O的距离为，半径为且与直线l交于A，B两点， 求A，B两点横坐标的绝对值的比的取值范围. 如图，设， 则圆C的方程为， 与直线l的方程联立可得， 设两点横坐标之比为， 则，， 得， 整理得， 当且仅当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以，得，得， 故的最大值为. 故答案为： II卷（共50分） 三､解答题（共50分，26~28题每小题12分，29题14分） 25. 在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接与交于点E，连接． 因为，，所以． 又，故，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建系，利用点到面的距离的空间向量方法求解即可； （3）利用空间向量求平面与平面夹角的方法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知PD，AD，BD两两垂直，以DA，DB，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则，，又，， 所以，故． 由已知得， 故，． 由已知得． 设平面BDM的一个法向量为，则，， 即，取，则，，故． 设点C到平面MBD的距离为h，则． 【小问3详解】 由（2）得，． 设平面PBC的法向量为，则，， 故，取，则，， 可得 故， 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为． 26. 已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【小问1详解】 设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 27. 已知椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，椭圆的离心率为， 可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆，可得，所以右焦点， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，则， 所以， 又由点到的距离， 所以的面积， 解得或（舍），所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或． 28. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）由题设列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）设过点的圆O的切线方程为，结合圆心到该切线距离等于半径得到方程，设两切线斜率分别为，则由韦达定理结合题意即可求解； （ii）设直线，依次求出点B和，联立与椭圆的方程结合韦达定理和弦长公式求出，由圆心到距离求出，则结合题设即可依次求出和，从而得解. 【小问1详解】 由题可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设过点的圆O的切线方程为即， 则圆O的圆心到该切线距离为， 两边平方整理得， 设两切线斜率分别为，则， 所以即. （ii）由（i）圆，由题意可设直线， 令得，即，则， 联立， 则即， 设，则， 则， 所以由即得， 又圆心到距离为，即， 所以， 整理得，故，即， 所以，即， 所以直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：求解圆的半径r的关键是理解两切线斜率是方程的两根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2025-2026学年度第一学期质量监测（一） 高二数学试卷 考试时间：120分钟 Ⅰ卷（共100分） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试结束后，将答题卡､答题纸一并交回． 一､选择题（共60分，每题4分） 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和互相垂直，则实数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知两平行直线与，则与之间的距离为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 9. 一条光线从点射出，经过直线反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的个数是（ ） ①直线关于点对称的直线经过点； ②直线与的交点坐标为； ③已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为； ④已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 13. 已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 14. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（共40分，每小题4分） 15. 已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为__________． 16. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 17. 已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是_______． 18. 已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则__________________. 19. 已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是______． 20. 设椭圆的焦点为，，点P在该椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为______． 21. 已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是______． 22. 椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为______． 23. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______． 24. 已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点A、B，则的最大值是_________. II卷（共50分） 三､解答题（共50分，26~28题每小题12分，29题14分） 25. 在四棱锥中，，，且PD，AD，BD两两垂直，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 26. 已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 27. 已知椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 28. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $