轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学上册

轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 考点目录 利用轴对称性质求角度 最短路径问题 垂直平分线问题 考点一 利用轴对称性质求角度 例1.(25-26八年级上·湖南长沙阶段练习)如图，△ABC和△A'B'C'关于直线1对称，∠BAC=20°，∠B'=30°， 则∠C的度数为() A(A) A.100° B.110° C.120° D.130° 【答案】D 由△ABC和△AB'C'关于直线1对称，得到△ABC≌△A'B'C',再由全等三角形“对应角相等”即可求解. 【详解】解：：△ABC和aA'B'C'关于直线1对称，∠B'=30°， △ABC≌△A'B'C', ∠B'=∠B=30°. :∠BAC=20°， :在△ABC中， ∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-20°-30°=130°. 故选：D. 例2.(25-26八年级上广东广州阶段练习)如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴， 若LAFC+∠DCF=I50°，则∠AFE+∠BCD的大小是() F A.150° B.300° C.210° D.330° 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 【答案】B 【详解】解：作出对称轴直线CF, 根据题意，得∠AFC=∠EFC,∠DCF=∠BCF, .∠AFE=∠AFC+∠EFC=2LAFC,∠BCD=∠DCF+∠BCF=2∠DCF, B D :∠AFC+∠DCF=150°， .∠AFE+∠BCD=2∠AFC+2∠DCF=2∠AFC+∠DCF)=300°， 故选：B. 例3.(25-26八年级上辽宁阶段练习)如图，在四边形ABCD中，LD=90°，连接AC,点B在CD边上，连接 AB,ABC与△AB,C关于直线AC对称，若LABC=1I5°，则∠DAB的度数为() D B A.25° B.35° C.30° D.45° 【答案】A 【详解】解：~ABC与△AB,C关于直线AC对称，∠ABC=115°， ∠AB,C=∠ABC=115°， ∠D=90°，∠AB,C=∠D+∠DAB, ∴.∠DAB,=115°-90°=25°， 故选：A. 例4.(2526八年级上·重庆渝中开学考试)如图所示，LMON=45°，点P为∠MON内一点，点P关于0M、ON的 对称点分别为点P、B,连接OP、OP、PR、PP、PP,PP分别与OM、ON交于点A、B,连接AP、BP, 则∠PPP的度数为() 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 M B A.45° B.90° C.135° D.150° 【答案】C 【详解】~∠MON=45 .∠0AB+∠0BA=180°-∠M0N=180°-45°=135° ∠PAM=∠OAB,∠P,BN=∠OBA ∴∠PAM+∠P,BN=135° 又~点P关于OM、ON对称的对称点分别为点PP ∴∠MAP=∠PAM,∠NBP=∠PBN,∠APP=∠APP,∠BPP=∠BPP ∴LMAP+∠NBP=135 ∴∠PAB+∠PBA=360°-135°x2=90° 即∠APP+∠APP+∠BP,P+∠BPP=90° ∠APP+∠BP,P=45o ∠PPP=180°-∠APP-∠BPP=135 故选：C 例5.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，ABC与ADEF关于直线MN对称，∠A=40°，∠F=20°， 则∠B的度数为 【答案】120°/120度 【详解】解：ABC与aDEF关于直线MN对称， ·△ABC≌△DEF, 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 ∠C=∠F=20°， ∠A=40°， ∠B=180°-∠A-∠C=120°. 故答案为：120°. 例6.(2526八年级上·江苏无锡阶段练习)如图所示，△ABE、△ADC和ABC分别是关于AB,AC边所在直线 的轴对称图形，若∠1：∠2：L3=28:5:3,则∠a的度数为一 D P 2 【答案】80°/80度 【详解】解：∠1：∠2：∠3=28：5：3， 设∠1=28x,∠2=5x,∠3=3x, 由∠1+∠2+∠3=180°得：28x+5x+3x=180°， 解得：x=5, 故∠1=28×5=140°，∠2=5×5=25°，∠3=3×5=15°， ~延长BA,△ABE和△ADC是ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的， Ga P A 2 B ∴LDCA=LE=∠3=15°，∠2=∠EBA=∠D=25°，L4=∠EBA+∠E=25°+15°=40°， ∠5=∠2+∠3=25°+15°=40°， 故∠EAC=∠4+∠5=40°+40°=80°， 在△EGP与△CAP中，∠E=∠DCA,LDPE=∠CPA, ∴.∠a=∠EAC=80°. 故答案为：80°. 例7.(24-25七年级下山西临汾·期末)如图，ABC与△DBC关于直线CB成轴对称，△DBC与△DBE关于直线 DB成轴对称，LACB=120.若AB∥DE,则∠A=一°. 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 B 【答案】40 【详解】解：由轴对称的性质得，∠DEB=∠DCB=∠ACB=120°，∠DBE=∠DBC=∠ABC, ∠ABE=3∠ABC, AB∥DE ∴∠DEB+∠ABE=180°， ∠ABE=180°-∠DBE=180°-120°=60°， 3∠ABC=60°， 解得：LABC=20°， ∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-20°-120°=40°. 故答案为：40 例8.(24-25八年级上湖北十堰期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D,E是BC边上的点，连接 AD,AE,作ADE关于直线AE对称的△ADE,连接D'C,若BD=CD',则∠DAE= 【答案】60°160度 【详解】解：：△ADE与△AD'E是关于AE的轴对称图形， :AD=AD', 在△ABD和△ACD'中， AB=AC BD=CD', AD=AD △ABD≌△ACD'SSS), .∠BAD=LCAD', ∠DAD'=∠BAC=120°， :△ADE与△AD'E是关于AE的轴对称图形， 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 :∠DAE=∠DAE=∠DAD'=60°， 2 即∠DAE=60°， 故答案为：60°. 例9.(25-26八年级上·吉林期中)如图，ABC与△DEF关于直线1对称，且∠A=78°，∠F=48°. (1)若点B到直线1的距离为5，则B、E两点间的距离为 (2)求∠E的度数. 【答案】(1)10 (2)54° 【详解】(1)解：~ABC与△DEF关于直线1对称， B到直线1的距离等于E到直线1的距离， B、E两点间的距离为5×2=10， 故答案为：10； (2)解：~ABC与△DEF关于直线1对称， LD=∠A=78°， 在△DEF中，∠E=180°-∠D-∠F=180°-78°-48°=54°. 例10.(2425七年级下山西晋城期末)如图，△ABM与△ACM关于AM成轴对称，点B,M,C在同一直线上， N是AC边上一点，D是AM延长线上一点，连接DN,DN与CM交于点O,作△ADN关于AN的对称图形 △AEN,点D,N,E在同一直线上. B M (I)填空：△ABM≌△ ,△ADN≌△ (2)若∠ABM=42°，求∠E和∠MON的度数， 【答案】(I)ACM,AEN (2)132°. 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 【详解】(1)解：，△ABM与△ACM关于AM成轴对称，△ADN关于AN的对称图形△AEN, △ABM≌△ACM,△ADN≌△AEN, 故答案为：ACM,AEN; (2)根据轴对称的性质，得∠AMB=∠AMC,∠AND=∠ANE,∠ACM=∠ABM=42°，∠DAN=LEAN. ∴.∠AMC=∠ANE=90°. .∠CAM=180°-∠AMC-∠ACM=48°. ∴.∠CAE=∠CAM=48°. .∠E=180°-∠CAE-∠AWE=42°. ∴.∠MON=360°-∠AMC-∠CAM-∠CAE-∠E-132°. 变式1.(24-25九年级下山东青岛阶段练习)如图，ABC内有一点P,点D、E、F分别是点P关于AB、BC、 AC对称的点.若ABC的内角LBAC=70°，LABC=60°，∠ACB=50,则∠ADB+∠BEC+∠CFA等于() A D B E A.180° B.270° C.360 D.480 【答案】C 【详解】解：连接AP,BP,CP,如图所示： D B 点D、E、F分别是点P关于AB、BC、AC对称的点， AAPB≌△ADB,△BEC≌△BPC,△APC≌△AFC, ∠ADB=∠APB,∠BEC=∠BPC,∠CFA=∠APC, ∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC=360°. 故选C. 变式2.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)如图，∠MON内有一点P,P点关于0M的对称点是G,P点关于 ON的轴对称点是H,GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=() > 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 A.70° B.75° C.80° D.90 【答案】A 【详解】解：如图，连接OP, G ~P点关于OM的对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H, ∠G0M=∠M0P,∠PON=∠NOH, ∠G0H=∠G0M+∠M0P+∠P0N+∠N0H=2∠M0N, ~∠M0N=35°， .∠G0H=2×35°=70°. 故选：A. 变式3.(25-26八年级上湖北武汉阶段练习)如图，ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC为对称 轴，画出对称点E、F,并连接AE、AF,根据图中标示的角度，可得∠EAF的度数为() B48°702c D A.124° B.122° C.120° D.118 【答案】A 【详解】解：D点分别以AB,AC为对称轴， ∠EAB=∠BAD,∠FAC=∠CAD, ∠B=48°，∠C=70°， .∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-48°-70°=62°， ∠EAF=2∠BAC=124 故选：A. 8 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 变式4.(25-26八年级上：吉林延边期中)如图，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AD1BC,垂足为D,△ABD与 △ABD'关于直线AD对称，若LB'AC=14°，则∠B的度数为() B D A.38° B.48° C.50° D.52° 【答案】D 【详解】解：：LBAC=90°，∠B'AC=14°， LBAB′=∠BAC-∠B'AC=90°-14°=76°， :△ABD与△ABD'关于直线AD对称， ∠BAD=∠B'AD= 1∠BAB'=38°， :AD⊥BC, ·∠ADB=90°， .∠B=90°-38°=52°. 故选：D. 变式5.(2425八年级上广东广州阶段练习)如图，是一个轴对称图形，点A和点D,点B和点E是对应点.若 ∠A=50°，∠B=70°，则∠D+∠E的度数为， 【答案】120° 【详解】解：：该图形为轴对称图形，点A和点D,点B和点E是对应点， :∠A=∠D=50°，∠B=∠E=70°， .∠D+∠E=50°+70°=120°， 故答案为：120°. 变式6.(24-25七年级下·陕西西安：阶段练习)如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，若∠D=115°，则∠B的 度数为 9 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 im E 【答案】115°/115度 【详解】解：根据轴对称图形的性质得∠B=∠D=115°， ∴故答案为：115°. 变式7.(25-26八年级上·福建福州阶段练习)如图，ABC的边CB关于CA的对称线段是CB,边CA关于CB的 对称线段是CA,连接BB',若点A落在BB'所在的直线上，∠ABB'=54°，则∠ACB= 度. 【答案】27 【详解】解：连接BA,AC与BB交点为O, B A ~CB关于CA的对称线段是CB, ∴BB'⊥AC, ∠ABB'=54°，∠ACB'=∠ACB, ∠A=90°-∠AB0=36°， 边CA关于CB的对称线段是CA, △A'CB≌△ACB, ∠A'=∠A=36°，∠ACA'=2∠ACB=2∠ACB′， 又点落在BB'所在的直线上，BB'⊥AC, ∠ACA'=90°-LA'=54°， 10轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 轴对称：利用轴对称性质求角度、最短路径问题、垂直平分线问题专项训练 考点目录 利用轴对称性质求角度 最短路径问题 垂直平分线问题 考点一 利用轴对称性质求角度 例1．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，和关于直线l对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 例6．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，和分别是关于，边所在直线的轴对称图形，若，则的度数为 ． 例7．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，．若，则 ． 例8．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，D，E是边上的点，连接，作关于直线对称的，连接，若，则 ． 例9．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，与关于直线l对称，且，． (1)若点B到直线l的距离为5，则B、E两点间的距离为______； (2)求的度数． 例10．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于成轴对称，点B，M，C在同一直线上，N是边上一点，D是延长线上一点，连接，与交于点O，作关于的对称图形，点D，N，E在同一直线上． (1)填空：________，________； (2)若，求和的度数． 变式1．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，内有一点P，点D、E、F分别是点P关于、、对称的点．若的内角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，点D在边上，将点D分别以为对称轴，画出对称点E、F，并连接．根据图中标示的角度，可得的度数为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式5．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 变式6．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为 ． 变式7．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，若点落在所在的直线上，，则 度． 变式8．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为 变式9．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 变式10．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数． 考点二 最短路径问题 例1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 例2．（25-26八年级上·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， (1)画出关于x轴对称的，直接写出，两点的坐标：___________； (2)在y轴上有一点D，使得和最小，请画出点D的位置（保留画图痕迹）． 例3．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作关于y轴对称的图形，并分别写出，，三点的坐标； (2)求由点A、C、、构成的四边形面积． (3)在y轴上画出点P，使的值最小，保留画图痕迹． 例4．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 变式1．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形，且点的坐标为___________； (2)在轴上找一点，使得的值最小，则最小值为___________； (3)若点与点关于轴对称，，求出点的坐标． 变式2．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 变式3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 变式4．（25-26八年级上·西藏林芝·期中）如图，在边长为的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线上作点，使的值最小． 考点三 垂直平分线问题 例1．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，点与点恰好重合，则为（ ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 例4．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，的周长为，则的长为 例5．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线与线段的垂直平分线的交点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，过点D作线段于点E．求证：． 例6．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 变式1．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，于点，垂直平分，已知，，则的长为 ． 变式4．（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，为上任意一点，且，，，则周长的最小值为 ． 变式5．（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）已知：如图，中的平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，交B的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式6．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $