北京市海淀区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学 注意事项 1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A 2，1，3 B. 2，1，﹣3 C. 2，﹣1，3 D. 2，﹣1，﹣3 2. 铜镜是中国古代艺术的灿烂瑰宝．下列铜镜图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心旋转后能与自身重合，那么的值可能是（ ） A. 22.5 B. 30 C. 45 D. 60 5. 如图，在平面直角坐标系中，点横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活．北京市新能源汽车保有量从2022年的万辆到2024年的万辆，呈现出逐年增加的趋势．设新能源汽车的保有量从2022年到2024年的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为10的等边绕它的中心顺时针旋转得到分别与交于点．给出下面三个结论：①的长随的增大而增大；②的取值范围是；③当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 10. 请写出一个一元二次方程，使它的两个根互为相反数___． 11. 在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则___________（填“”“”或“”）． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为___________． 14. 二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于一元二次方程的解是___________． 15. 如图，在菱形中，，．将一块边长足够长的三角板的角顶点与点重合，三角板的外侧边缘分别与，交于点，，则四边形的面积是___________． 16. 对任意实数，可用表示不超过的最大整数，如．称函数为“涟漪函数”． （1）当时，若，则的取值范围是___________； （2）当时，“涟漪函数”与轴共有___________个公共点． 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18-19题，每小题5分，第20-21题，每小题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，为上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：． 19. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 20. 已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根； （2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点旋转得到线段（是点的对应点）． （1）在平面直角坐标系中画出线段； （2）若点在线段上，是点关于点的对称点． ①当点与点重合时，面积等于___________； ②的面积的取值范围是___________． 23. 某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 24. 已知抛物线与轴正半轴交于点，顶点为． （1）求直线的表达式； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，当的长为3时，直接写出的值． 25. 小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： （1）函数的自变量的取值范围是___________； （2）小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； （3）写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； （4）过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 27. 在正方形中，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． （1）如图1，点与点重合，若，求的长； （2）如图2，点在的延长线上，用等式表示，和的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形和直线，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形，则称图形为图形的“变换图形” （1）已知点，，图形为线段． ①当直线为轴时，图形的“变换图形”为，则以下说法正确的是___________； A．图形与图形关于原点中心对称 B．图形与图形关于轴对称 C．图形与图形关于直线对称 D．图形与图形关于直线对称 ②当直线为时，若图形的“变换图形”与轴负半轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知正方形的顶点坐标分别为，长为的线段（点在点左侧）在直线上，且点的横坐标为，直线由直线绕点逆时针旋转得到．若线段的“变换图形”与正方形有公共点，直接写出的取值范围． 九年级数学 注意事项 1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】（-2，-3） 【10题答案】 【答案】答案不唯一．如：． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 1 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18-19题，每小题5分，第20-21题，每小题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】见详解 【19题答案】 【答案】7 【20题答案】 【答案】（1）； （2）它的顶点坐标为；图见解析 （3）． 【21题答案】 【答案】（1）见解析； （2）． 【22题答案】 【答案】（1）见详解 （2）①6；② 【23题答案】 【答案】64个 【24题答案】 【答案】（1） （2）的值为或 【25题答案】 【答案】（1）所有实数 （2）①；②见解析 （3） （4）或 【26题答案】 【答案】（1） （2）h的最小值为16． 【27题答案】 【答案】（1） （2），证明见详解 【28题答案】 【答案】（1）①D；② （2）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $