湖南省长沙市一中集团联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间:2025年11月5日14:00-16:00 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本试卷时量120分钟,满分 120分. 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项) 1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 2.长沙作为网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，5月1日长沙地铁客运量首次突破 4 000 000 人次，创历史新高，将数据4 000 000 用科学记数法表示为 B.4×10⁶ D.40×10⁵ 3.二次函数. 的顶点坐标是 A.(-1,-3) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(1,3) 4.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,当∠1=35°时,∠2 的度数为 A.35° B.45° C.55° D.65° 5.下列运算正确的是 6.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=8,CD⊥AB 于点 D,E 是AB 的中点，则DE的长为 A.2 B.4 C.6 D.8 7.下列结论不属于矩形性质的是 A.两组对边分别相等 B.两条对角线相等 C.两条对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 8.受国际油价影响，2025年我国汽油价格总体呈先涨后跌再震荡的趋势.部分地区一季度92号汽油价格出现“四连涨”达到7.80元/升，三季度跌至7.10元/升.设这些地区92号汽油价格这两个季度平均每季度的降低率为x，根据题意列出方程，正确的是 D.7.80(1-x)+7.80(1-x)²=7.10 9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.简车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4 米.若点 C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB 所在直线的距离是 A.1米 米 C.2米 米 10.二次函数 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+bc的图象大致是 二、填空题：(本题共6 小题，每小题3分，共18分。) 11.分解因式： 12.已知关于x的方程. 有两个相等的实数根，则k的值是 13.若点 P(m,n)在抛物线 上，则 的值为 14.某班42名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 时间/h 6 7 8 9 人数 2 18 14 8 那么该班42名同学一周参加体育锻炼时间的众数是 . 15.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(6,0),(-4,0),点 D在y轴上，则点 C的坐标是 . 16.如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接DE，AE,BE且满足BE⊥AE,线段DE 的最小值为 . 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21、题每题8分,第22、23题每题9分,第24、25题每题10分,共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题6分)计算: 18.(本小题 6 分)先化简，再求值： 其中x= 19.(本小题6分)如图，在平面直角坐标系中； 的顶点B 的坐标为(1,2). (1)画出 关于x轴对称的 并写出点 的坐标； (2) 将 绕： 逆时针旋转 90 度 得到 画出 20.(本小题8分)为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传。为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A.优秀；B.良好；C.及格；D.不及格。根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表。 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A.优秀 5% 10 B.良好 30 C.及格 45% m D.不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： (1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值； (2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； (3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加。某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加。班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4.然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球。若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加。请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平。 21.(本小题8分)如图：在矩形ABCD中，点E 在 A边 BC 上，点 F 在 BC 的延长线上，且 BE=CF. 求证:(1)△ABE≌△DCF; (2)四边形 AEFD 是平行四边形. 22.(本小题9分)民族要复兴，乡村必振兴。乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务。某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品.A原料的单价是B 原料单价的 2.5倍，若用1000 元收购A原料会比用 1000 元收购B原料少200 kg.生产该产品每盒需要A 原料2 kg和B原料3 kg，每盒还需其他成本16元。市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒. (1)求A，B两种原料的单价； (2)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)； (3)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 23.(本小题9分)如图所示，AB为⊙O的直径，直线 DE与⊙O相切于点 D,过点 B作BE⊥DE,垂足为点 E,BE交⊙O于点 C. (1)求证:BD平分∠ABC; (2)若AB=5,DE=2,求△ABD的面积; (3)在(2)的条件下,求 BE的长. 24.(本小题10分)“两重”“两新”领域是国家为推动经济高质量发展、促进产业升级和消费升级而提出的重要政策方向，在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则称这个点为“两重两新点”，这个函数为“两重两新函数” (1)下列函数是“两重两新函数”的有 ； (2)直线y=3mx+4n-5上只存在两个不同的“两重两新点”，请求出m，n满足的条件； (3)抛物线 )上是否存在四个不同的“两重两新点’ 其中 y₃>y₄，且使得CD=2AB?若存在，请求出b的范围；若不存在，请说明理由. 25.(本小题10分)如图,AB,CD为圆O的直径,且. 点E是弧AD上的一个动点(不与点 A,D重合),OF⊥AE于点 F,( 于点G,连接AD分别交OF,OG于点M,N; (1)如图1,若OA=4,则 (2)如图2，连接OE交AD 于点H，当四边形AODE的面积最大时，试判断线段AE 和OM 的数量关系，并说明理由； (3)在(1)的条件下,设,AM=x,记 的面积为 以线段AM，MN，DN为边构成的三角形的外接圆的面积为 试求y与x的函数关系，并求出 y的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $湖南省长沙市一中集团联考 2025一2026学年度第一学期九年级期中考试 数学参考答案 一、选择题 题号12345678910 答案BBACBACABC 二、填空题 11.2(a+3)(a-3) 12.1 13.2025 14.7 15.(-10,8) 16.2V5-2 三、解答题 17.【解析】原式=-1+1-4-(2-V3)4分 =-1+1-4-2+V31分 =-6+V3.1分 1【折】原=二22分 =1一马1分 x-1x+1 +71分 1=22分 当x=2-1时，原式=2-1+12 19.【解析】(1)如图，△41B1C为所作：点B的坐标为(1，一2).3分 (2)如图，△AB2C2为所作.3分 20.【解析】(1)本次参与调查的学生人数为：10-5%=200（人）， m=200×45%=90, .'200-10-30一90=70 ∴.n=70÷200×100%=35%:3分（三个答案各1分） 2360×10+30=720(人. 200 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人：2分 (3)画树状图为： 开始 ny 2341 345356457 567 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，少写扣1分 小明参加=各-子 P小亮参加)=1-2= 33 2≠1 ”33 ∴.这个游戏规则不公平3分 21.【解析】证明：()四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠ABC=90°，AB∥DC, ,点F在BC的延长线上， .'∠ABE=∠DCF=90°，2分 在△ABE和△DCF中， AB=DC. ∠ABE=∠DCF, BE=CF, .△ABE≌△DCF(SAS).2分 (2)四边形ABCD是矩形， 'AD∥BC,AD=BC,2分 .BE=CF, ∴.BE+EC=CF+EC, ∴.EF=BC=AD,1分 又AD∥BC, ∴.四边形AEFD是平行四边形.1分 22.【解析】(1)设B原料单价为m元kg,则A原料单价为2.5m元/kg, 根据题意，得1000_-1000=200,1分 m2.5m 解得m=3,1分 经检验，m=3是原方程的解且符合题意.未写检验扣1分 .2.5m=7.5,1分 答：A,B两种原料单价分别为7.5元kg,3元kg (2)7.5×2+3×3+16=40(元)， 答：每盒产品的成本为40元.2分 (3)根据题意，得0=(x一40)[600一10x-80)]=一10x2+1800x一56000,2分 ∴.对称轴为x=90, 'a<0, ∴.当x=90时，每天的利润最大 答：每盒产品的售价为90元时，每天的利润最大.2分 23.【解析】(1)证明：连接OD, .DE与⊙O相切， ∴.OD⊥DE,1分 BE⊥DE ∴.OD∥BE, ∴.∠ODB=∠CBD,1分 .OD=OB, ∴.∠OBD=∠ODB, ∴.∠OBD=∠CBD, ∴.BD平分∠ABC.1分 (2)过D作DH⊥AB于H, ,BD平分∠ABC,DE⊥BE, ∴.DH=DE,1分 AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°，1分 S4DB=XABXDH-=上X5X2=5.1分 2 2 D (3)由(2)知，Rt△BED与Rt△BHD中， (DE=DH, BD=BD, ∴.Rt△BED≌Rt△BHD(HL), ∴.BH=BE,1分 设BH=BE=x,则AH=5一x, 在Rt△AHD中，AD2=AP+DP=(5-x)2+4, 在Rt△DHB中，BD2=BP+DP=x2+4, 由(2)知∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB, .(5-x)2+4+x2+4=25,1分 .x1=1,X3=4, 又：∠ABC<90,·∠ABD<45°，故点H在点O左侧，BE=BHD3 .BE=4.1分 24.【解析】(1)①③.共3分，少答一个给2分，答错一个不给分： ②)若3mx+4-5=x有唯一解，则(3m-1r=5-4,六m≠学1分 若3十4n一5=-x有唯一解，则m十1r=5-4,∴m≠字1分 又：直线y=3mr+4n一5上只存在两个不同的“两重两新点”n≠ ,1分 综上：m≠且n≠5 3 4 (3)存在，b>3,理由如下： 由题意可知：A,B为抛物线与直线y=x的两个交点，C,D为抛物线与直线 y=一x的两个交点， ①-x2+bx+c=x, 整理得：x2+(1一b)x一c=0, b>1, 1+2=b-1>0, c<0, x1x32=-c>0, ☑=(1-b)2+4c>0, e>、 (1-b)2 4 ②-x2+bx+c=-x, 整理得：x2-(1+b)x一c=0, 十x4=b+1>0, 34=一c>0, M=（1+b)2+4c>0, b>-1, :0, e>-1+b)? 4 b>1, . 1=b）2=-2+b-1人<0,2分，写出一种情况只给1分 4 4 24 .4B =2 -x2 =2 x(1-b)2+4c CD=2 3-x4l V2×V(1+b)2+4c, 又CD=2AB, ∴.(1+b)2+4c=4(1-b)2+16c, 整理得：c=-b+b-,1分 464' b>1, +*+o b>1, b>0, b钱b>3, 综上：b>3.1分 25.【解析】(1)2V2,45:3分（第1空1分，第2空2分） 图1 (2)AE=OM.理由如下： 如图1，向右平移直线AD得直线1，当直线1与弧AD相切时，直线1与直线 AD的距离最大，此时切点E使△ADE的面积最大，OE⊥， .OE⊥AD,∴.点E为孤AD的中点， ,'Sg政斯AODE=S△AOD十S△ADE,而SA4OD为定值， ,∴.当点E为孤AD中点时，△ADE的面积最大，此时四边形AODE的面积最 大.1分 :∠A0D=90°，OA=OD, ∴.∠0AD=45°=∠AOH,∴.OH=AH, ,∠AHO=∠AFO=90°，∠OMH=∠AMF, ∴.∠MOH=∠MAF,1分 [∠MOH=∠EAH, 在△OMH与△AEH中 OH=AH, ∠OHM=∠AHE, ∴.△OMH≌△AEH(ASA), ∴.AE=OM.1分 (说明：当点E是孤AD的中点时四边形面积最大，有多种方法，如：分别过 点A,D作0E的垂线，两垂线段之和≤AD:也可以利用SM=A证？DE,当 AE=DE时有最大值) 图2 (3)如图2，将△ODN绕，点O逆时针方向旋转90°得△OAK,连接KM,则∠OAD =∠ODA=∠OAK=45°，∠DON=∠AOK,ON=OK,AK=DN,∴.∠MAK=90°， 由(1)知∠MON=45°， ∴.∠MOK=∠AOM什∠AOK=∠AOM+∠DON=45°， ∴.∠MON=∠MOK,又.OM=OM,ON=OK, ∴.△MON≌△MOK(SAS),∴.MN=MK, ∴.以线段AM,MN,DN为边构成的三角形是以MN为斜边的直角三角形.1 分 S=季0，S=XX22=2m,÷y=9=3,1分 S18 DN=1,AM=x,AD=42,MN=42-x-1,AM+DN=MN, +r=42-x-9,化商得1=426MN=42-x-42=6 x-4V21 x-4V2 y=242-x-42x-16.1分 x-4V2 设0=42-x-42-6=42-x+6-45, x-4V2 4V2-x 然45-p0,令45-=a,4总字b,则0,60， (G-b≥0，∴a+b≥2ab, .w≥21 42-)×,16-42=8-45, 4V2-x 即当4恒-4点，o有流小值8-4柜， “当x=42-4时，w有最小值8-42，此时y有最小值(N2-1)m $上一受48-45共p03y有 小值(2-1)π.1分