精品解析：四川省绵阳市安州区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度八年级上学期期中试卷 八年级数学 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，8 C. 5，6，11 D. 7，8，18 2. 如图，木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 3. 如图，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 点关于轴对称点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 清明节当天八年级某班组织学生去烈士林园为革命先烈扫墓，以此表达对先烈的追思和崇敬之情，细心的小明发现革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 7. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 8. 如图，为的中线， 为的中线，若 的面积为16，那么的面积为 （ ） A. 10 B. 8 C. 2 D. 4 9. 若等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为（　　） A. 17 B. 22 C. 13或22 D. 17或22 10. 如图，在中，，，若，平分，则D到的距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 11. 已知一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 12. 如图，中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为（ ） A. 2厘米/秒 B. 2.5厘米/秒 C. 2厘米/秒或2.5厘米/秒 D. 2.5厘米/秒或3厘米/秒 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为______． 14. 如图，等腰的周长为20，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为______． 15. 如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，若．则的度数为__________．（用含a的式子表示） 16. 如图，在中，若的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为________． 17. 在平面直角坐标系中，已知，，以为直角边作等腰，若点在第一象限内，则点的坐标是______． 18. 如图，将一个45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系的点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为______． 三．解答题（共46分） 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若，，且的周长为偶数，求c的值． 20. （1）如图，，垂足分别为、求证：； （2）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，求这个多边形的边数？ 21. 如图在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）求出的面积； （3）在x轴上确定一点P，使的周长最小，在图中作图说明，不写作法． 22. 如图，是平分线上的一点，若，试探究与的数量关系，并证明． 23. 如图，，垂足为D，平分，交于于E，，，求的度数． 24. 如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 25. 在中，和边上的高交于点F，． 【问题背景】 （1）如图1，求证：； （2）如图1，求的度数； （3）如图2，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，已知，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上学期期中试卷 八年级数学 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，8 C. 5，6，11 D. 7，8，18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”来判断． 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，逐项判断即可． 【详解】解：A、，满足三角形三边关系，能组成三角形； B、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形； C、，不满足＂任意两边之和大于第三边＂（等于第三边），不能组成三角形； D、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形． 故选：A． 2. 如图，木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，则形成三角形，由于三角形具有稳定性，故能防止椅子摇晃． 【详解】解：木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：A． 3. 如图，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴， 故选：A． 4. 点关于轴对称点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得关于轴对称的点，即可得． 【详解】解：关于轴对称的点， 点在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于x轴对称点的坐标特点，象限内点的坐标符号，解题的关键是掌握这些知识点． 5. 清明节当天八年级某班组织学生去烈士林园为革命先烈扫墓，以此表达对先烈的追思和崇敬之情，细心的小明发现革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：这个八边形的内角和为：； 故选C 【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，熟记多边形内角和公式是解本题的关键． 6. 如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 7. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 8. 如图，为的中线， 为的中线，若 的面积为16，那么的面积为 （ ） A. 10 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键在于理解中线将三角形分成两个面积相等的三角形．根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，可知，，据此求解即可． 【详解】解：∵的面积为16，为的中线， ∴， ∵ 为的中线， ∴． 故选：D． 9. 若等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为（　　） A. 17 B. 22 C. 13或22 D. 17或22 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：①当4为底边长，9为腰长时，即可得出三角形的周长＝22；②当9为底边长，4为腰长时，由4+4＜9，根据三角形的三边关系得出不能构成三角形；即可得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9， ∴三角形的周长＝4+9+9＝22； ②当9为底边长，4为腰长时， ∵4+4＜9， ∴不能构成三角形； ∴这个三角形的周长是22． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键． 10. 如图，在中，，，若，平分，则D到的距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，与角平分线有关的计算，角平分线的性质，30度的直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合三角形内角和性质进行列式得，根据平分，故，则，，又因为，所以，，最后结合角平分线的性质进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，且平分， ∴D到的距离， 故选：A． 11. 已知一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理与三角形的分类，解题的关键是根据内角的度数之比求出各角的度数，再判断三角形的类型． 先根据三角形内角和为以及三个内角的度数之比，求出每个内角的度数，再结合等腰三角形和直角三角形的定义判断三角形类型． 【详解】解：设三角形三个内角的度数分别为， 根据三角形内角和定理，， 解得，则， 所以这个三角形的三个内角分别为， 因为有两个角相等，所以是等腰三角形；又有一个角是，所以是直角三角形，综上，这个三角形是等腰直角三角形． 故选：D． 12. 如图，中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为（ ） A. 2厘米/秒 B. 2.5厘米/秒 C. 2厘米/秒或2.5厘米/秒 D. 2.5厘米/秒或3厘米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键． 设点Q的运动速度为，运动时间为，则，， 由等腰三角形得到，那么当与全等时，有①，②，分别列式计算即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， 设点Q的运动速度为，运动时间为， 则，， ∵， ∴， ∴当与全等时， 有①， ∴， 解得：； ②， ∴， 解得：， 综上所述，当与全等时，点Q的运动速度为2厘米/秒或2.5厘米/秒， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，三角形的内角和，根据四边形的内角和为度，求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，等腰的周长为20，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，利用性质将线段进行等量代换是解题的关键．由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据题目条件求出，再根据的周长，求出结果即可． 【详解】解：∵等腰的周长为20，底边， ∴， ∴， 是的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：13． 15. 如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M，若．则的度数为__________．（用含a的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点N，交的延长线于点M， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 16. 如图，在中，若的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质与三角形内角和定理，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而求出角的度数． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而推出，再结合三角形内角和求出，最后计算的度数． 【详解】解： 是的垂直平分线， ，则， 在中，根据三角形内角和为，可得， ． 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，已知，，以为直角边作等腰，若点在第一象限内，则点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建两个在三角形全等是解答关键． 分两种情况：（1）以为斜边时，过点作轴于点，（2）以为斜边，过点作轴于点，构建两个三角形全等，再根据全等三角形的性质来求解． 【详解】解： （1）以为斜边时，过点作轴于点，如下图 则， ，． 在和中 ， ，． ，， ，， ， ． （2）以为斜边，过点作轴于点，如下图． 则，，， ． 在和中 ， ，． ，， ，， ， ． 综上所述，的坐标为或． 故答案为：或． 18. 如图，将一个45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系的点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 过C作轴于点D，轴于点E，证，得即可解决问题． 【详解】解：如图，过C作轴于点D，轴于点E，则， ∵点， ∴， 由题意得是等腰直角三角形，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 三．解答题（共46分） 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若，，且的周长为偶数，求c的值． 【答案】（1）； （2）5或7． 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系与绝对值的化简、三角形边长的求解，解题的关键是利用三角形三边关系判断绝对值内式子的符号，以及确定第三边的取值范围． （1）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简式子； （2）先根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合周长为偶数的条件求出的值． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ， ； 【小问2详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ∵是奇数，的周长为偶数， ∴是奇数， ∴或7． 20. （1）如图，，垂足分别为、求证：； （2）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，求这个多边形的边数？ 【答案】 （1）证明：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）8． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理和多边形内角和公式． （1）通过线段的和差关系得到，再结合垂直条件得到直角，利用“”判定两个直角三角形全等，进而证明； （2）设多边形边数为，根据多边形内角和公式与外角和的关系列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设这个多边形的边数为，由题意可得：， ∴， 答：这个多边形的边数为8． 21. 如图在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）求出的面积； （3）在x轴上确定一点P，使的周长最小，在图中作图说明，不写作法． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： 点的坐标为、的坐标为、的坐标为 （2）5 （3） 如图，点P即为所求点． 【解析】 【分析】此题考查作图-轴对称变换，三角形的面积计算，轴对称的性质等知识点，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出，并写出各点坐标即可； （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接，则与x轴的交点即为P点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：的周长，最小值即为． 22. 如图，是平分线上的一点，若，试探究与的数量关系，并证明． 【答案】 解：过点作于点，于点， 是平分线上的一点， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，过点作于点，于点，利用，由可证，由全等的性质可得结论． 【详解】略 23. 如图，，垂足为D，平分，交于于E，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线，三角形的内角和定理． 由可得，从而，根据平分可得，在中根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先证明得到，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质求，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ， 在中，，， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为． 25. 在中，和边上的高交于点F，． 【问题背景】 （1）如图1，求证：； （2）如图1，求的度数； （3）如图2，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，已知，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵的高交于点F，如图1所示： ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3）13． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形综合．做出辅助线，熟练掌握直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等，得到，根据等腰直角三角形性质可得； （3）在上截取，连接，证明和全等，得到，，再证，得到，得到，根据，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 在上截取，连接，如图2所示： ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵，, ， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $