精品解析：吉林省长春市朝阳区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

九年级数学阶段练习B 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果支出500元记作元，那么收入200元可记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是某几何体表面展开图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 不等式组的整数解是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点到的距离（ ） A B. C. D. 6. 关于x方程kx+b=3的解为x=7，则直线y=kx+b的图象一定过点（　　） A. （3，0） B. （7，0） C. （3，7） D. （7，3） 7. 某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，（单位：），则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 的立方根是_____________． 10. 写出一个多项式，使它与单项式的和是单项式：_____． 11. 若实数满足，则的值为_______． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 13. 如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为__________． 14. 如图，在正方形中，点和点分别是边和的中点，连接、交于点，点是延长线上一点，连接．给出下面四个结论：；；；当时，．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. （1）计算：． （2）解方程：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，、、、是四个座位，甲先从4个座位中随机选择一个并坐下，然后乙从剩下的座位中随机选择一个座位并坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两人座位相邻的概率． 18. 如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形． 19. 为贯彻落实党二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动全国青少年学生读书行动广泛深入开展，某学校计划逐步增加学校图书馆的图书数量．已知学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． （3）在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 21. 某篮球队全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）“命中5次”所在扇形的圆心角是______；并补充完整条形统计图； （2）全员定点投篮训练的众数是______次，中位数是______次； （3）若在投篮结果为2次的10名队员中随机选择x名队员进行投篮集训，集训结束后，这x名队员再次进行五次定点投篮，命中结果均大于3次．将此结果与其他队员的原命中结果组成一组新数据，发现中位数达到了4次，则x的最小值为______． 22. 某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题： （1）求线段所表示的函数关系式； （2）当x的值为多少时，恰好停止注水． 23. 已知正方形的边长为4，点P是线段上一点，取中点O，点P关于点O的对称点为Q，连结，以为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在的同侧，连结． （1）当点P不与点B重合时，求证：≌． （2）连结，当是直角三角形时，求的长． （3）线段的最小值为__________． （4）四边形的最大面积为__________，此时线段的长度为__________． 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连接、、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）试说明线段的长度为4； （3）当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）．若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段练习B 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果支出500元记作元，那么收入200元可记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 根据正负数表示相反的意义，“正”表示收入则“负”所表示支出，再根据题意作答． 【详解】解：如果支出500元记作元， 那么收入200元可记作． 故选：B． 2. 如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 不等式组的整数解是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴整数解为． 故选：C． 5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点到的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，过点作，构造，则的长度就是点到的距离，利用求出的长即可． 【详解】解：如下图所示，过点作， 则的长度就是点到的距离，， 在中，， ，， ， ． 故选：A． 6. 关于x的方程kx+b=3的解为x=7，则直线y=kx+b的图象一定过点（　　） A. （3，0） B. （7，0） C. （3，7） D. （7，3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先确定b与k的关系，然后代入一次函数解析式中，最后根据各选项进行逐项分析即可． 【详解】解：∵关于x的方程kx+b=3的解为x=7， ∴7k+b=3， ∴b=3-7k； 把b=3-7k代入y=kx+b得：y=kx+3-7k， A.当x=3时，y=3k+3-7k=3-4k，所以此时直线y=kx+b不一定过点（3，0）； B.当x=7时，y=7k+3-7k=3，所以此时直线y=kx+b一定不过点（7，0）； C.当x=3时，y=3k+3-7k=3-4k，所以此时直线y=kx+b不一定过点（3，7）； D.当x=7时，y=7k+3-7k=3，所以此时直线y=kx+b一定过点（7，3）； 故选：D． 【点睛】本题考查方程的解，以及一次函数图象上点坐标的特征，理解方程的解的定义，掌握一次函数图象上点坐标的特征是解题关键． 7. 某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，（单位：），则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段成比例定理，根据平行线等分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线等分线段定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故选：B 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入 得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴根据函数图象可得：当时，， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 的立方根是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根的定义，掌握定义是解决问题的关键．如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的立方根是． 故答案为：． 10. 写出一个多项式，使它与单项式的和是单项式：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴这个 可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 若实数满足，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的化简与求值，整体代换的思想，熟练掌握代数式的化简是解题关键． 根据题意，将变形为，将变形为，把代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 将代入，得：， ． 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．根据一元二次方程根的判别式和题意得出，进行计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，， ， 解得：． 故答案为：． 13. 如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，全等三角形的判定和性质． 根据题意可知，求出，根据正多边形内角和求出，连接，可知，进而求出，，即可求出的度数． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∵外围轮廓恰好是一个正十边形， ∴， 如图，连接， ∵ ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点和点分别是边和的中点，连接、交于点，点是延长线上一点，连接．给出下面四个结论：；；；当时，．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和中点的性质，利用可证明，即可判断；设，利用勾股定理可表示出的长， 由全等三角形的性质可得， 易证， 根据相似三角形的性质可表示出的长，从而可得，即可判断；由相似三角形的性质可得 ， 利用勾股定理可表示出的长，分别求出，，，进而表示出，从而得到，即可判断；根据， 得到， 结合已知， 根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可判断． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点和点分别是边和的中点， ，， ， 和中， ， ，故正确； 设， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，故正确； ， ， ， ，，， ， ，故错误； ， ， ， ，故正确， 正确的结论是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】 （1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟知二次根式混合运算的法则和解一元二次方程的方法是解题的关键 ． （1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则和绝对值的性质化简，再算加减法即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ， 或， ，． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式，单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，、、、是四个座位，甲先从4个座位中随机选择一个并坐下，然后乙从剩下的座位中随机选择一个座位并坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两人座位相邻的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率，正确画出相应的树状图是解题的关键． 甲有4种选择方式，乙有3种选择方式，据此画出树状图，再确定所有等可能的结果和甲乙两人座位相邻的结果数，最后利用概率的公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， 由树状图可得，共有12种等可能结果，其中甲乙两人座位相邻的结果有8种，即 所以甲乙两人座位相邻的概率为：． 18. 如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识；先证明四边形是平行四边形，得；再证明四边形是平行四边形，最后由即可证明四边形是矩形． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 是矩形． 19. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动全国青少年学生读书行动广泛深入开展，某学校计划逐步增加学校图书馆的图书数量．已知学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率． 【答案】这两年图书馆的平均增长率为． 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，设这两年的平均增长率为，根据题意列方程求解即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设这两年的平均增长率为． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两年图书馆的平均增长率为． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． （3）在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为4的等腰梯形即可； （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为5的平行四边形即可； （3）取格点H，使，过点H利用平移的性质作的平行线，在平行线上取不是格点的点G即可． 【小问1详解】 解：如图①，四边形即为所求． 【小问2详解】 解：如图②，四边形即为所求． 【小问3详解】 解：如图③，取格点H，使，过点H作的平行线，在平行线上取不是格点的点G， 则点G即所求（答案不唯一）． 21. 某篮球队全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）“命中5次”所在扇形的圆心角是______；并补充完整条形统计图； （2）全员定点投篮训练的众数是______次，中位数是______次； （3）若在投篮结果为2次的10名队员中随机选择x名队员进行投篮集训，集训结束后，这x名队员再次进行五次定点投篮，命中结果均大于3次．将此结果与其他队员的原命中结果组成一组新数据，发现中位数达到了4次，则x的最小值为______． 【答案】（1），补全图形见解答 （2）4，3 （3）3 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数和众数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用命中3次的人数除以所占的比例求出总人数，用360度乘以命中5次的人数所占的比值，求出圆心角的度数，求出命中4次的人数，补全条形图即可； （2）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （3）根据中位数的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 被调查的总人数为人， “命中5次”所在扇形的圆心角是为， “命中4次”的人数为人，补充条形统计图如图： 故答案为：； 【小问2详解】 命中4次的人数最多，故全员定点投篮训练的众数是4次， 将数据排序后，第20和第21个数据均为3， 故中位数为次， 故答案为：4，3； 【小问3详解】 原命中结果中位数为3次，按从小到大排序后，原命中结果第20位与第21位都为3，且第11位到第22位也是3， 将此结果与其他队员的原命中结果组成一组新数据，中位数发生变化，变为4，且数据的总数不变， ∴第20位和第21位的数据都为4， 这x名队员命中结果均大于3， ∴当时，中位数变为，当时，中位数变为， ∴x最小值为3； 故答案为：3． 22. 某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题： （1）求线段所表示的函数关系式； （2）当x值为多少时，恰好停止注水． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析式，根据图像获得信息是解题的关键． （）把点、代入，即可求出线段所表示的函数关系式； （）当代入解析式，求出的值即可 【小问1详解】 解：设线段所表示的函数关系式为， 则， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为：． 【小问2详解】 当时，， 解得． 答：当时，恰好停止注水． 23. 已知正方形的边长为4，点P是线段上一点，取中点O，点P关于点O的对称点为Q，连结，以为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在的同侧，连结． （1）当点P不与点B重合时，求证：≌． （2）连结，当是直角三角形时，求的长． （3）线段的最小值为__________． （4）四边形的最大面积为__________，此时线段的长度为__________． 【答案】（1）见解析 （2）4或3 （3）2 （4）；1 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）分两种情况：当Q与点A重合时，，当O、R、D共线时，，分别画出图形，求出结果即可； （3）以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，证明，得出，，设，，则，，，，求出，得出，然后求出最小值即可； （4）以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，根据解析（3）设，则点R的坐标为，根据，求出最大值即可． 【小问1详解】 证明：∵O为的中点， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：当Q与点A重合时，，如图所示： 此时； 当O、R、D共线时，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上分析可知：的长为4或3； 【小问3详解】 解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示： 则，，， ∵正方形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最小，且最小值为， 即的最小值为2； 【小问4详解】 解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示： 根据解析（3）设，则点R的坐标为， ， ， ， ， ∵， ∴当时，最大，且最大值为，此时． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，二次函数的应用，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握二次函数的性质． 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点，点M在抛物线上，横坐标为m，点N的横坐标为，纵坐标与点M相同，点A在y轴上，纵坐标为m．当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连接、、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）试说明线段的长度为4； （3）当直线与抛物线（b是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为P、Q（点P在点Q左侧）．若点M在对称轴左侧，点P在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2时，求m的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线解析式中，即可求解； （2）由题意知，点M、N分别是的中点，从而是的中位线，根据M、N的坐标特征，即可求解； （3）分两种情况，当点A在上方时；当点A在下方时，利用抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2建立方程，即可求得m的值． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A关于点M的对称点为点B，点A关于点N的对称点为点C， ∴点M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设点A到的距离为h，点A到的距离为； 由（2）知，， ∴， ∴， 即； ∵抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为2， 即点M到的距离为2， ∴， 解得； 当点A在上方时，如图； ∵，轴， ∴点的纵坐标为， 由题意得， ∴， 整理得：， 解得； 由于点M在抛物线对称轴左侧，且抛物线的对称轴为直线， ∴； 当点A在下方时，则得点的纵坐标为， 同理得：， 整理得：， 解得； 由于点M在抛物线对称轴的左侧，且抛物线的对称轴为直线， ∴； 综上，m的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，对称的性质，解一元二次方程等知识，有一定的综合性，熟练运用这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $