精品解析：河南省周口市西华县部分学校2025-2026学年上学期期中测试九年级数学试卷

2025-2026学年度九年级上期期中调研数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 一元二次方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 将方程化为标准形式后因式分解，利用提公因式法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 或． 故选：． 2. 二次函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入函数，计算对应的值，并与点的坐标比较，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】选项中， 时，，则点不在图象上； 选项中，时，，则点不在图象上； 选项中，时，，与点的纵坐标相等，则点在函数的图象上； 选项中，时，，则点不在图象上。 因此，一定经过的点是． 故选． 3. 下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A. 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形，故该选项符合题意； B. 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D. 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 已知点和关于原点对称，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值． 利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标均互为相反数，求出和的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ， ， ， 故选：B． 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 6. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，将函数y＝－x2的图像先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】二次函数图象的平移规律：对于，函数图象向右（或向左）平移h个单位得到的图象的函数表达式为（或）；函数图象向上（或向下）平移k个单位得到的图象的函数表达式为（或） 则所求的函数表达式为 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟记二次函数图象的平移规律是解题关键． 8. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C． 【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 9. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 10. 如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. B. C. ） D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标． 【详解】解：，， ， 四边形ABCD为正方形， ， ， ， 每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转， 点D的坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个以原点为顶点，开口向上的抛物线的解析式___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式的性质是解题的关键； 由于抛物线以原点为顶点且开口向上，可设解析式为，其中，取 即可． 【详解】解：根据抛物线顶点式，设解析式为，由于开口向上，故，取，得， 故答案为：． 12. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 13. 如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到，再把方程化为一般式，接着再用因式分解法把方程转化为或，然后再解两个一次方程． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ， 或， 所以，， 将代入中，得出为10， 因点在数轴的负半轴上，故（舍去）； 将，代入中，得出为， 点在数轴的负半轴上，故． 故答案：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，也考查了数轴． 14. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是__． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为4的正方形面积为16， ∴图中的阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键． 15. 如图，在中，．将的边绕点逆时针旋转得到线段，转角为，当点的对应点恰好落在的边上时，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了由旋转的性质求解，根据题意画出图形，当点落在上时由旋转的性质可知，，从而得到． 【详解】解：如图，当点落在上时， ，， ； 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）先整理方程，用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可. 【小问1详解】 解： 或； 【小问2详解】 解： ∴或. 17. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）. (1)对称中心的坐标； (2)写出顶点B, C, B1 , C1的坐标. 【答案】（0，）；B（－2,4）C（－2，2）（2,1）（2,3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可． （2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可． 试题解析：（1）根据对称中心的性质，可得 对称中心的坐标是D1D的中点， ∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2）， ∴对称中心的坐标是（0，2.5）． （2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2）， ∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2， ∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2）， ∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3）， ∴A1的坐标是（0，1）， ∴B1，C1坐标分别是（2，1），（2，3）， 综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）． 考点：1、中心对称；2、坐标与图形性质 18. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）10； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 19. 某施工队要修建一个横断面为抛物线（如图所示）的公路隧道，隧道最高点离路面的距离为，宽度为． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽的隔离带．一辆货车装载某大型设备后高，宽为，这辆货车能否安全通过隧道？请说明理由． 【答案】（1） （2）这辆货车不能安全通过，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，得顶点P的坐标为，从而可设抛物线的解析式为，再把点代入，进而计算可以得解； （2）依据题意，由时，，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：根据题意，得顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得：， 解得：， 所求抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 这辆货车不能安全通过． 20. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 21. 某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元． （1）求该种商品每件的进价为多少元； （2）求出当售价为多少时，每星期的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）40元；（2）售价为57或58元时，最大利润为6120元 【解析】 【分析】（1）设成本为m元，根据题意得：80×0.8-m=0.6m，即可解答； （2）根据题意得到y=（80×0.8-x-40）（220+20x）=-20x2+260x+5280=-20（x-6.5）2+6125，利用二次函数的性质，即可解答； 【详解】解：（1）设成本为m元，根据题意得： 80×0.8-m=0.6m 解得：m=40， ∴该种商品每件的进价为40元； （2）y=（80×0.8-x-40）（220+20x）=-20x2+260x+5280=-20（x-6.5）2+6125， ∴当x=6.5时，y最大， ∵x为整数， ∴x1=7，x2=6， ∴当x=6或7时，y最大为6120元． 80×0.8-7=57（元），80×0.8-6=58（元）， ∴当售价为57元或58元时，每星期的利润最大最大值为6120元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题目中的数量关系列出式子，求出函数关系式． 22. 某同学对函数的图象和性质进行探究：无论为何值，函数均有意义，所得自变量与函数的对应值如下表． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 2 0 2 2 0 ．．． （1）补全上表． （2）根据表中数据，画出函数图象位于轴左侧的部分． （3）由图象可知，方程有___________个实数根． （4）由图象可知，方程有两个不相等实数根时，的取值范围为___________． （5）随增大而增大时，的取值范围是___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 （4）或 （5）或  【解析】 【分析】（1）分别把的值代入所给函数式即可得解； （2）描点即可得出函数图象； （3）结合图象和表格可得出结论； （4）根据函数图象可直接得到； （5）由图象可直接求得结论． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 故答案如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 2 2 0 2 2 0 ．．． 小问2详解】 图象如图所示： 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，或或， 故答案为：3； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时，方程有两个不相等的实数根， 函数，最大值在或时取得，此时； ∴当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：或； 【小问5详解】 解：由图象可知，当或时，随的增大而增大； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）90， （2）； （3）或2 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：90，； 【小问2详解】 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 分以下两种情况进行讨论： ①如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上期期中调研数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 一元二次方程的解为（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 3. 下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知点和关于原点对称，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 5 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 用配方法解方程时，配方后得到方程为（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将函数y＝－x2图像先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图像的函数表达式是（ ） A B. C. D. 8. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 9. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 10. 如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. B. C. ） D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个以原点为顶点，开口向上的抛物线的解析式___________． 12. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 13. 如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 _____． 14. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是__． 15. 如图，在中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，转角为，当点的对应点恰好落在的边上时，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）. (1)对称中心的坐标； (2)写出顶点B, C, B1 , C1的坐标. 18. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 19. 某施工队要修建一个横断面为抛物线（如图所示）的公路隧道，隧道最高点离路面的距离为，宽度为． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽的隔离带．一辆货车装载某大型设备后高，宽为，这辆货车能否安全通过隧道？请说明理由． 20. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 21. 某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元． （1）求该种商品每件的进价为多少元； （2）求出当售价为多少时，每星期的利润最大，最大利润是多少？ 22. 某同学对函数的图象和性质进行探究：无论为何值，函数均有意义，所得自变量与函数的对应值如下表． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 2 0 2 2 0 ．．． （1）补全上表． （2）根据表中数据，画出函数图象位于轴左侧的部分． （3）由图象可知，方程有___________个实数根． （4）由图象可知，方程有两个不相等的实数根时，的取值范围为___________． （5）随增大而增大时，的取值范围是___________． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $