精品解析：河北省部分校2024-2025学年高三上学期9月阶段测试数学试题

河北省2025届高三年级9月阶段测试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若可分解因式为，且，则复数在复平面内对应的点在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步3%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：，，） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 4. 已知平面向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知定义在正实数集上的函数，设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 锐角中，为边中点，且，，作交于，则等于（ ） A. 7 B. C. D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为4 C. 若，的模长均为1且满足，则 D. 在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 10. 已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是上的增函数 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 13. 已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是________. 14. 若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为. （1）若，求实数的值； （2）求向量与向量的夹角. 16. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 17. 已知，若，，且. （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 18. 已知函数与函数，函数的定义域为. （1）求的定义域和值域； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）证明：时，； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2025届高三年级9月阶段测试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据补集、交集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合， 集合. 所以， 所以. 故选：C. 2. 若可分解因式为，且，则复数在复平面内对应的点在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】解方程可得到的值，再代入计算即可判断. 【详解】由  得根为 ，即  和  为  和 . 若 ，，则 ，，不满足条件； 若 ，，则 ，，满足条件； 故 ，. 则， 故在复平面内对应的点的坐标为，在复平面中的第四象限. 故选：D 3. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步3%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：，，） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 【答案】A 【解析】 【分析】先设初始“日能力值”为1，根据甲、乙能力值的变化规律列出天后的表达式，再根据倍数关系建立方程，通过对数运算求解的值. 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”均为1，天后， 甲和乙的“日能力值”分别为和. 由题知，即. 两边分别取对数得. 因此. 所以大约需要经过99天，甲的“日能力值”是乙的50倍. 故选：A. 4. 已知平面向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示和向量数量积的坐标运算公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为向量，， 由，可得，可得， 则或，可得或， 又由，显然不恒成立，即充分性不成立； 反之：若，可得， 则，即， 则，此时，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的对称性判断出的奇偶性，再结合的单调性求解不等式的解集. 【详解】因为关于点对称，根据函数图象平移的性质， 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的， 所以函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 所以且在内也单调递增. 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以或； 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以. 综上可得不等式的解集为. 故选：C. 6. 若，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的公式可得，所以，再结合基本不等式求解即可． 【详解】若，则， 所以， 所以，即， 所以， 若，则， 若使得取得最大值，由于与同号， 故需，此时， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D 7. 已知定义在正实数集上的函数，设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出分段函数的图象，然后确定的位置和范围，进而求得结果. 【详解】根据分段函数的解析式，可画出该函数的图象为： 不妨令，则，即， 化简得. 当时，单调递减，且与轴交于点， 则. 所以的取值范围为. 故选：B. 8. 锐角中，为边中点，且，，作交于，则等于（ ） A. 7 B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再求出的值，然后即可求出的值，然后根据向量数量积的定义，即可求得结果. 【详解】因为是的中点，所以， 等式两边平方得. 又因为，所以. 所以. 在中，，即. 所以， 解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为4 C. 若，的模长均为1且满足，则 D. 在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则、垂直关系以及复数的模的计算逐项判断即可. 【详解】对于A： 设，所以， 所以， 而，所以， 所以，所以A正确； 对于B： 设，则， 所以. 当时，，所以其最小值不是4，所以B错误； 对于C： 因为，不妨设为方程的复数根， 则. . 所以，所以C正确； 对于D： 设，因为，所以. 则有. 所以，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是上的增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可求，可判断A；令，可判断函数的奇偶性，可判断B；推出，取反例验证可判断C；令，可得数列的递推公式，再求的通项公式可判断D. 【详解】对A：令，则，故A正确； 对B：令，则， 由A可知：，所以函数为奇函数，故B正确； 对C：由， 设，则， 则. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增.故C错误； 对D：令，可得：由得：， 又，所以是以为首项，以1为公差的等差数列. 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于函数方程问题，赋值法是解决问题的突破口. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，设，结合二次函数的性质，可得判定A错误；化简得到，可判定B正确；证得函数为偶函数，图象关于轴对称，取，得到，设，利用二次函数的性质，可得判定C正确；画出函数的图象，结合图象，求得所有根之和组成的集合，可判定D正确. 【详解】对于A，当，可得， 设，则，且函数在上单调递增， 设，则的图象开口向下，对称轴为， 因为，所以时，单调递增，时，单调递减， 所以函数在上不是单调函数，所以A错误； 对于B，由， 所以函数的图象关于直线对称，所以B正确； 对于C，又由， 且， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称且函数的一个周期为， 函数的图象关于直线对称，取， 则， 设，则，可得， 所以，所以的值域为，所以C正确； 对于D，由B知：函数的图象关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示， 当方程在区间上有一个实数根时，可得方程只有一个根为，则所有根之和为； 当方程在区间上有两个实数根时，可得两根关于对称，此时所有根之和为； 当方程在区间上有四个实数根时，可得四个根两两关于对称，此时所有根之和为， 综上可得方程在区间上所有根之和组成的集合为，所以D不正确. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出之间的关系式，然后将其代入原式中进行化简，然后根据求出，最后求得原式的值. 【详解】因为，所以，所以. 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论当，时，根据指数函数和对数函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】当时，， 令，则 因为，要使得此时函数没有零点， 则或，解得或； 当时，， 令，则， 因为，所以， 所以要使得此时函数没有零点，则，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】可转化为求动点与动点的之间距离的最小值，结合与的图象关于对称，即可利用切线以及点到直线距离可得答案． 【详解】可以看作动点与动点的之间距离，再求其最小值， 画出与的图象，如下图： 由于与互为反函数，图象关于对称， 故只需要考虑上的点到直线距离最小即可， 函数的导函数为，在的切线斜率为， 且在处的切线方程为，即， 所以与之间的距离为， 故上的点到直线的距离的最小值为 所以与的距离最小值为 由不等式对任意，恒成立， 只需. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为. （1）若，求实数的值； （2）求向量与向量的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据投影向量求出的值，然后根据向量垂直列出等式，进而通过化简得到，最后即可求出的值. （2）先求出，然后求出，最后根据向量夹角的余弦公式求出夹角的余弦值，进而求得该夹角的值. 【小问1详解】 因为，且在上的投影向量为， 所以，所以. 因为，所以， 所以，则有， 化简得，解得. 【小问2详解】 因为，. 所以. 又因为向量之间的夹角范围为，所以向量与向量的夹角为. 16. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将等式进行化简，得到，然后根据正弦定理可得，进而可求出的值. （2）先求出，则可以确定是等腰直角三角形，然后根据面积公式求出的值，进而求出周长. 【小问1详解】 因为，所以， 所以由得. 化简得， 可得，即. 因为，根据正弦定理得， 所以，因为，所以. 又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以，结合， 得，化简得. 因为，所以，那么. 因为的面积为，所以，解得. 因为，所以. 所以的周长为. 17. 已知，若，，且. （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的对称轴为直线，对称中心为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后根据正弦函数的对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得函数的最小正周期. 所以，所以. 令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数与函数，函数的定义域为. （1）求的定义域和值域； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 【答案】（1）的定义域为，值域为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的表达式，然后根据对数函数的定义域和值域求出结果即可. （2）先化简不等式，变为，然后根据二次函数的性质和定义域求出的最小值，即可求出的范围. （3）根据奇函数性质列出等式，得到，进而求得得到对称中心. 【小问1详解】 因为. 所以要使得有意义，则，解得. 因为，， 所以，所以的定义域为，值域为. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 令，则，则不等式变为， 所以. 因为，所以，所以. 所以存在使得不等式成立，则的取值范围是. 【小问3详解】 设的对称中心为，则函数是奇函数， 即是奇函数，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立。 所以. 因为上式对任意实数恒成立，所以， 解得.所以函数图象的对称中心为. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）证明：时，； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）证明：， 即证，即证， 由（1）可知：，即， 可得，即，当且仅当时，等号成立， 用替换可得，即，当且仅当时，等号成立， 令，则原不等式等价于， 因为，，且，在内单调递减，可得， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出单调区间即可. （2）分析可知原不等式等价于，令，结合（1）分析证明即可. （3）先对求导，然后分两种情况进行讨论该函数的零点个数，进而求得的范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ， 所以. 当时，，在上单调递减，至多有一个零点； 当时，由得， 则当时，，单调递减， 则当时，，单调递增， 此时. 因为当时，，当时，， 则要使有两个零点，需. 令，则在上单调递增， 又，所以； 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $