第十四章 三角形全等单元复习（全章知识点总结+15种题型举一反三）2025-2026学年人教版数学八年级上册专题复习

第十四章 全等三角形全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.全等三角形的基本概念 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 表示方法：用符号“≌”表示，读作“全等于”，书写时需将对应顶点的字母写在对应位置（如Δ≌Δ，则对应，对应，对应)。 对应元素的找法： 1.由全等符号直接确定(对应顶点顺序一致)； 2.由图形特征确定(公共边、公共角、对顶角为对应元素；最长边与最长边、最短边与最短边为对应边；最大角与最大角、最小角与最小角为对应角)。 2.全等三角形的性质 基本性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等(核心性质，用于求边长、角度)。 衍生性质： 全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 3.全等三角形的判定定理(核心考点) 判定定理 适用范围 条件要点 符号表示 SSS(边边边) 任意三角形 三边对应相等 Δ≌Δ(=，=，=) SAS(边角边) 任意三角形 两边及其夹角对应相等(注意：必须是“夹角”，非邻角) Δ≌Δ(=，∠=∠，=) ASA(角边角) 任意三角形 两角及其夹边对应相等 Δ≌Δ(∠=∠，=，∠=∠) AAS(角角边) 任意三角形 两角及其中一角的对边对应相等 Δ≌Δ(∠=∠，∠=∠，=) HL(斜边、直角边) 仅直角三角形 斜边和一条直角边对应相等(直角三角形特有的判定，无需再证第三边或角) RtΔ≌RtΔ(∠=∠=90°，=，=) 4.角平分线的性质与判定 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等(条件：点在角平分线上+垂直距离；结论：距离相等)。 符号表示：若平分∠，⊥于，⊥于，则=。 角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上(条件：点到两边距离相等+垂直；结论：点在角平分线上)。 符号表示：若⊥于，⊥于，且=，则点在∠的平分线上。 二、重难点突破 1.重点内容 全等三角形的判定定理应用：根据已知条件选择合适的判定(如已知两边找夹角用SAS，已知两角找夹边用ASA)； 角平分线的性质与判定综合：利用性质求距离，利用判定证角平分线，结合全等三角形解决问题； 对应元素的准确识别：复杂图形(如旋转、折叠后的三角形)中，通过“重合”思想找对应边、对应角。 2.难点内容 图形变换中的全等证明：折叠、平移、旋转后，隐藏条件(如折叠后对应边相等、对应角相等)的挖掘； 判定定理的灵活选择：多条件时优先排除无效条件(如SSA不能判定全等)，复杂题目需多次用全等(“多步全等”)； 辅助线的添加：通过添加辅助线构造全等三角形(如倍长中线、截长补短，仅培优阶段涉及基础应用)。 三、高频易错点警示 1.对应元素找错：忽略全等符号的顶点顺序，或未结合图形特征(如公共边)，导致对应边、对应角判断错误，后续计算或证明全错； 2.误用SAS条件：将“两边及其中一边的邻角”(SSA)当作SAS判定，实际上SSA不能判定任意三角形全等(直角三角形除外，HL本质是SSA的特殊情况)； 3.HL适用范围混淆：在非直角三角形中使用HL判定，或直角三角形判定时误将“直角边与斜边”当作“两直角边”用SAS； 4.角平分线性质忽略“垂直”：应用性质时，未强调“点到两边的距离是垂线段长度”，直接用“线段长度”代替“垂直距离”； 5.全等性质滥用：非对应边、非对应角直接用“全等性质”相等(如Δ≌Δ，误将与相等，实际对应)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】全等图形的识别与性质应用 1.核心知识点总结 -全等形的本质特征：完全重合(形状和大小均相同)。 -全等三角形的基本性质：对应边、对应角相等。 2.高频考点梳理 -判断平面图形是否为全等形。 -利用全等性质求线段长度、角度或图形面积(如已知，，求；，求)。 3.易错点警示 -误认为“面积相等”“周长相等”或“形状相同”的图形必全等。 -未找准对应元素导致计算错误(如误将的边对应的边)。 4.解题技巧拆解 -识别全等形：通过平移、翻折、旋转后能否重合判断。 -求对应量：先根据全等符号确定对应顶点(如中，，，)，再推导对应边/角。 【例题1】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在中，于点D，E是CD上一点，若，，，的周长为（   ） A．23 B．25 C．22 D．26 【变式题1-2】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，沿边所在直线向右平移到，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，，，，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【题型2】全等三角形的表示与对应元素判断 1.核心知识点总结 -全等符号“”的含义及书写规则：对应顶点字母对应排列。 -对应元素确定方法：公共边、公共角、对顶角为对应元素；最长边对最长边，最大角对最大角。 2.高频考点梳理 -根据全等表示式(如)确定对应边()、对应角()。 -结合图形特征(如翻折、旋转)识别对应元素(如沿翻折得，则，)。 3.易错点警示 -随意书写顶点顺序，如将写成。 -混淆“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”概念(如中，“对应边”是全等三角形中与重合的边，“对边”是的对边)。 4.解题技巧拆解 -口诀法：“全等符号两边站，顶点对应是关键，顺次对应找边角，公共元素优先看”。 -图形法：标记已知相等的边/角(如用“”标相等边，“”标相等角)，直观匹配对应关系。 【例题2】．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【变式题2-2】．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【变式题2-3】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A．B． C． D． 【题型3】利用判定三角形全等 1.核心知识点总结 -判定定理：三边对应相等的两个三角形全等(若，，，则)。 -常见应用场景：已知三角形三边长度；通过等式性质推导第三边相等(如公共边，，)。 2.高频考点梳理 -直接利用三边相等证明全等(如已知，，，证)。 -结合“线段和差”推导边相等后用判定(如，再结合，证全等)。 3.易错点警示 -遗漏公共边这一隐含条件(如证时，未写)。 -未验证三边对应相等直接得出全等结论(如仅知，，未证就写)。 4.解题技巧拆解 -列表法：罗列两个三角形的三条边，逐一核对对应关系(如下表)： 三角形 边1 边2 边3 -辅助线：连接两点构造公共边(如连接，证)。 【例题3】．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，，，和交于点．求证：． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，点，分别在，上，，，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，则______． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且．求证：（填空）． 证明：， ，即． 在和中， ∵， （______）． （______）． 【题型4】利用判定三角形全等 1.核心知识点总结 -判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(若，，，则)。 -夹角的定义：两条边的公共角，而非其中一边的对角(如是与的夹角)。 2.高频考点梳理 -已知两边及夹角证明全等(如已知，，，证)。 -利用平行线性质(如内错角相等)推导夹角相等后用判定(如，结合，证全等)。 3.易错点警示 -误用“边边角()”判定全等(如已知，，，误判)。 -夹角对应关系判断错误(如将当作与的夹角)。 4.解题技巧拆解 -标记法：在图形中用弧线标记已知角，确认角是否为两边的夹角(如在处画弧线，标注“夹角”)。 -推导法：通过等式性质转化边/角条件(如，，(对顶角相等)，证)。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数 ． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，在和中，，，，则下列结论错误的是（   ） A．与不全等 B． C． D． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，在中，，，D为上的一点，延长到点E，使，的延长线与相交于点F．求证：． 【变式题4-3】．（14-15八年级上·福建南平·期中）“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【题型5】利用判定三角形全等 1.核心知识点总结 -定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(若，，，则)； -定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(若，，，则)。 -两者关系：可由结合“三角形内角和为”推导得出。 2.高频考点梳理 -已知两角及夹边用判定(如已知，，，证)。 -已知两角及一角对边用判定(如已知，，，证)。 3.易错点警示 -混淆与的条件特征(如将的“对边”当作的“夹边”)。 -遗漏“三角形内角和为”的推导作用(如已知，，未证直接用)。 4.解题技巧拆解 -定位法：确定已知角的位置，若边为两角公共边则用，若为一角的对边则用(如与的夹边是，的对边是)。 -补全法：已知两角时，先求第三角()，再选择判定方法。 【例题5】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度？ 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长 【变式题5-2】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）新课标项目学习下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度？ 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到_____；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段_____的长度，即为点到水平地面的高度． 项目数据 …… 任务： (1)请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性； (2)若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗？请说明理由． 【题型6】利用判定直角三角形全等(提升) 1.核心知识点总结 -判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(若，，，则)。 -适用范围：仅局限于直角三角形，不能用于锐角或钝角三角形。 2.高频考点梳理 -直接利用斜边和直角边相等证明全等(如已知，，，证)。 -结合垂直条件(如，)构造后用判定。 3.易错点警示 -对非直角三角形误用判定(如对锐角用证全等)。 -遗漏“直角”条件，仅用两边相等证明全等(如未写，直接用，证)。 4.解题技巧拆解 -标记法：在图形中明确标注直角符号()，区分直角边与斜边(斜边为直角所对的边，如是的斜边)。 -优先法：直角三角形判定时，先看是否满足(已知斜边和一条直角边)，再考虑、等通用方法。 【例题6】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，于点，于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·吉林松原·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题：如图，，，，求证：．小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”你认为他的办法可行吗？并说明理由． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在中，点D在边上，于点E，，交于点F，，．求证：．补全下面的证明过程． 证明：∵，（已知）， ∴（ ）． 在与中， ∴（ ）， ∴ （全等的性质）． ∵ （平角的定义）， ∴． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接．求证：平分． 【题型7】添加条件使三角形全等(提升) 1.核心知识点总结 -思路：根据已有条件，补充、、、(或)中缺少的条件。 -多解性：部分题目存在多种补充方案(如已知一边一角，可补充角或边)。 2.高频考点梳理 -已知两边，补充第三边()或夹角()。 -已知一边一角，补充角(或)或边(，需为夹角的另一边)。 3.易错点警示 -补充条件(如已知，，补充，不符合全等判定)。 -忽略多解情况(如已知，，可补充或)。 4.解题技巧拆解 -条件罗列法：列出已知边/角，对照判定定理找缺失条件(如已知，，缺公共边，用)。 -排除法：排除等无效条件，确保补充后符合判定定理。 【例题7】．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知，，添加下列条件后仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，要使，需要添加的一个条件是 ．    【变式题7-2】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，可以得到，你添加的条件是：____________．（写出一个符合题意的即可） 【变式题7-3】．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知，请你添加一个条件 （只需写一个），使． 【题型8】利用全等三角形证明线段/角相等(提升) 1.核心知识点总结 -思路：要证线段/角相等，先证包含该线段/角的两个三角形全等，再用全等性质(对应边/角相等)； -关键：确定“目标线段/角”所在的两个三角形。 2.高频考点梳理 -证线段相等：如证=，先证Δ≌Δ(SSS或SAS)，再由全等性质得=； -证角相等：如证∠=∠，先证Δ≌Δ(ASA或AAS)，再由全等性质得∠=∠。 3.易错点警示 -选错“目标三角形”(如证=，误选Δ和Δ，而非Δ和Δ)； -未完整证明全等，直接得出线段/角相等(如缺少判定条件，跳过全等证明步骤)。 4.解题技巧拆解 -逆向思维：先看“要证的线段/角在哪个三角形中”，再找这两个三角形全等的条件； -若线段/角不在直接关联的三角形中，可通过“等量代换”(如=，=，则=)。 【例题8】．（2025·广东广州·模拟预测）线段、相交于点E，，，求证：． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，，，，点在线段上．求证：． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，，，．求证：．. 【题型9】全等三角形的尺规作图(提升) 1.核心知识点总结 -基本作图：①作一个角等于已知角；②作已知角的平分线；③已知三边/两边及其夹角/两角及其夹边作三角形(依据、、)。 -作图依据：全等三角形的判定定理，确保所作图形与原图形全等。 2.高频考点梳理 -按要求用尺规作全等三角形(如已知，作，使，，)。 -描述作图步骤并说明依据(如“以为圆心，长为半径画弧”，依据)。 3.易错点警示 -作图未保留痕迹(如未标注弧与交点)。 -混淆“作一角等于已知角”与“作角平分线”的步骤。 4.解题技巧拆解 -步骤分解法：按“画射线→取长度→画弧→找交点→连线段”分步操作。 -验证法：作图后用刻度尺、量角器验证对应边/角相等，确保全等。 【例题9】．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 【变式题9-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【变式题9-2】．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【变式题9-3】．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，已知，是上一点． (1)请用尺规作出射线，使； (2)若，求的度数． 【题型10】角平分线的性质与判定(提升) 1.核心知识点总结 -性质：角平分线上的点到两边的垂直距离相等； -判定：到两边垂直距离相等的点在角平分线上。 2.高频考点梳理 -性质应用：如平分∠，⊥，⊥，已知=3，由性质得=3； -判定应用：如⊥，⊥，且=，由判定得平分∠。 3.易错点警示 -忽略“垂直”条件(如、非垂线段，直接用性质说=)； -判定时未证明“点到两边的距离”(如仅证=，未证⊥、⊥)。 4.解题技巧拆解 -应用性质：先找“角平分线”和“垂线段”，直接得距离相等； -应用判定：先证“垂直”(⊥、⊥)，再证“距离相等”(=)，最后得角平分线。 【例题10】．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．16 B．12 C．8 D．32 【变式题10-1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，点在的平分线上，过点作于点F，于点M，于点，且，连接CE．求证：是的平分线． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，平分，，垂足分别为E，F，点B在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和中，，，，连接交于点O，交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【题型11】角平分线的实际场景应用（提升） 1.核心知识点总结 -角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（若平分，，，则)。 -实际应用原理：利用距离相等转化测量问题(如确定位置使到两边距离相等)。 2.高频考点梳理 -设计测量方案(如测河流宽度、确定仓库位置使到两条公路距离相等)。 -结合全等证明距离相等(如通过证得)。 3.易错点警示 -忽略“垂直距离”条件，误将“到顶点距离相等”当作角平分线性质。 -实际场景中未明确角的两边，导致距离测量对象错误。 4.解题技巧拆解 -建模法：将实际场景抽象为角平分线模型(如两条公路夹角为，仓库在的平分线上)。 -转化法：用全等三角形证明距离相等(构造，，证)。 【例题11】．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【变式题11-1】．（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【变式题11-2】．（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【变式题11-3】．（23-24八年级上·河北沧州·期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 【题型12】一线三等角模型的应用(培优) 1.核心知识点总结 -模型特征：一条直线上有三个相等的角(如)，可推导，进而证。 -核心关系：三角形外角性质()与等角转化()。 2.高频考点梳理 -识别模型并证明全等(如已知，，证)。 -利用模型求角度或线段长度(如由全等得，计算长度)。 3.易错点警示 -未识别“一线”上的三个等角，导致角关系推导错误。 -误用三角形内角和而非外角性质推导角相等。 4.解题技巧拆解 -标记法：在直线上标记三个等角(如标“”)，标注外角关系()。 -推导链：(等角减同角相等)。 【例题12】．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式题12-1】．（20-21八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【变式题12-3】．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【题型13】倍长中线模型的综合应用(培优) 1.核心知识点总结 -模型操作：延长三角形中线至等长(如是的中线，延长至使)，构造。 -作用：转化线段()和角()，解决线段和差、不等关系问题。 2.高频考点梳理 -证明线段关系(如证，转化为)。 -求线段长度(如已知，，，求及范围)。 3.易错点警示 -延长中线后未明确“”，导致全等条件缺失。 -未将所求线段与全等三角形的对应边关联(如忽略)。 4.解题技巧拆解 -口诀：“中线延长一倍长，两端连接构全等，对应边角互转化，线段关系轻松解”。 -步骤：①延长中线至等长；②连接端点形成全等三角形；③利用全等性质转化条件。 【例题13】．（25-26八年级上·天津河西·阶段练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【变式题13-2】．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，是边上的中线． (1)如图①，延长到点E，使，连接． ①求证：； ②若，则的取值范围是______． (2)如图②，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 【题型14】截长补短模型的应用(培优) 1.核心知识点总结 -截长法：在较长线段上截取一段等于某短线段(如在上截)，证剩余部分与另一线段相等。 -补短法：延长短线段至与较长线段相等(如延长至使)，证总长度与目标线段相等。 -适用场景：证明线段和差关系(如)。 2.高频考点梳理 -用截长法证(截，证)。 -用补短法证(延长至使，证)。 3.易错点警示 -截取或延长后未明确线段相等关系(如未写“在上取点使”)。 -未通过全等证明剩余线段相等(如仅截取未证)。 4.解题技巧拆解 -截长步骤：①截等长线段；②证剩余线段相等(构造全等三角形，如）。 -补短步骤：①延长至等长；②证总线段相等（构造全等三角形，如）。 【例题14】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，的平分线交于点．求证：． 【变式题14-1】．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图①的位置时，请你探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图②的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，请写出线段，，之间的数量关系________． 【变式题14-2】．（25-26八年级上·广东肇庆·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A，D，E在直线上，若，求证：； 【变式题14-3】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）在中，，，点为直线上的一个动点（点不与点、重合），以为边作，，，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时， ①请判断和之间的数量关系为____________，位置关系为____________，并完成证明； ②请直接写出、、三者之间的数量关系____________； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【题型15】全等三角形的动态问题分析(培优) 1.核心知识点总结 -动态类型：点的运动(如点沿从向运动)、图形的平移/旋转/翻折(如绕点旋转得)。 -解题关键：运动过程中不变的全等关系(如公共边、对应角始终相等，运动后仍满足、等判定条件)。 2.高频考点梳理 -判断动点运动到某位置时三角形是否全等(如点运动秒后，与是否全等)。 -求动点运动距离使三角形全等(如求的值，使)。 3.易错点警示 -漏解多情况问题(如动点在线段上或延长线上，形成不同的全等情况，仅考虑线段上的情况）。 -未考虑运动边界，导致范围计算错误（如点从到运动，的最大值为长度除以速度，忽略此边界）。 4.解题技巧拆解 -分类讨论法：按动点位置（线段上、延长线上）或全等对应关系（如或）分情况分析。 -画图法：绘制动态过程中的关键位置图形（如秒、秒时的图形），直观识别全等条件，列方程求解（如，）。 【例题15】．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【变式题15-1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点到点运动，它们运动的时间为．当与全等时，求的值． 【变式题15-2】．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）如图， 在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为 ． 【变式题15-3】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）在Rt中，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，___________，当时，___________． (2)如图1，当___________时，点到点与点的距离相等； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等．求点的运动速度． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列各组图形中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的周长相等 C．等边三角形不一定是等腰三角形 D．三角形的角平分线是射线 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）若，则的对应边是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图所示，在中，，点是内一点，连接，，且，过点作交的延长线于点，且，若，，则的长是（   ） A．7 B．4 C．3 D．2 5．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 6．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）已知，，则 °． 7．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 ． 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，用尺规作的依据是 ． 9．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，于A，于B，且，P点从B向A运动，每分钟走，Q点从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动 分钟后与全等． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，已知，，，求证：． 12．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图所示，小昆同学拿着一块等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，已知，，每个小长方体教具的高度均为． (1)若测得，求的度数； (2)求的长． 13．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在上，且，，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 14．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点以的速度向点运动．设运动的时间为． (1)填空：________ ，________ ，________ ；（用含，的式子表示） (2)若，试求，的值． 15．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； (2)在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与以、、为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.全等三角形的基本概念 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 表示方法：用符号“≌”表示，读作“全等于”，书写时需将对应顶点的字母写在对应位置（如Δ≌Δ，则对应，对应，对应)。 对应元素的找法： 1.由全等符号直接确定(对应顶点顺序一致)； 2.由图形特征确定(公共边、公共角、对顶角为对应元素；最长边与最长边、最短边与最短边为对应边；最大角与最大角、最小角与最小角为对应角)。 2.全等三角形的性质 基本性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等(核心性质，用于求边长、角度)。 衍生性质： 全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 3.全等三角形的判定定理(核心考点) 判定定理 适用范围 条件要点 符号表示 SSS(边边边) 任意三角形 三边对应相等 Δ≌Δ(=，=，=) SAS(边角边) 任意三角形 两边及其夹角对应相等(注意：必须是“夹角”，非邻角) Δ≌Δ(=，∠=∠，=) ASA(角边角) 任意三角形 两角及其夹边对应相等 Δ≌Δ(∠=∠，=，∠=∠) AAS(角角边) 任意三角形 两角及其中一角的对边对应相等 Δ≌Δ(∠=∠，∠=∠，=) HL(斜边、直角边) 仅直角三角形 斜边和一条直角边对应相等(直角三角形特有的判定，无需再证第三边或角) RtΔ≌RtΔ(∠=∠=90°，=，=) 4.角平分线的性质与判定 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等(条件：点在角平分线上+垂直距离；结论：距离相等)。 符号表示：若平分∠，⊥于，⊥于，则=。 角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上(条件：点到两边距离相等+垂直；结论：点在角平分线上)。 符号表示：若⊥于，⊥于，且=，则点在∠的平分线上。 二、重难点突破 1.重点内容 全等三角形的判定定理应用：根据已知条件选择合适的判定(如已知两边找夹角用SAS，已知两角找夹边用ASA)； 角平分线的性质与判定综合：利用性质求距离，利用判定证角平分线，结合全等三角形解决问题； 对应元素的准确识别：复杂图形(如旋转、折叠后的三角形)中，通过“重合”思想找对应边、对应角。 2.难点内容 图形变换中的全等证明：折叠、平移、旋转后，隐藏条件(如折叠后对应边相等、对应角相等)的挖掘； 判定定理的灵活选择：多条件时优先排除无效条件(如SSA不能判定全等)，复杂题目需多次用全等(“多步全等”)； 辅助线的添加：通过添加辅助线构造全等三角形(如倍长中线、截长补短，仅培优阶段涉及基础应用)。 三、高频易错点警示 1.对应元素找错：忽略全等符号的顶点顺序，或未结合图形特征(如公共边)，导致对应边、对应角判断错误，后续计算或证明全错； 2.误用SAS条件：将“两边及其中一边的邻角”(SSA)当作SAS判定，实际上SSA不能判定任意三角形全等(直角三角形除外，HL本质是SSA的特殊情况)； 3.HL适用范围混淆：在非直角三角形中使用HL判定，或直角三角形判定时误将“直角边与斜边”当作“两直角边”用SAS； 4.角平分线性质忽略“垂直”：应用性质时，未强调“点到两边的距离是垂线段长度”，直接用“线段长度”代替“垂直距离”； 5.全等性质滥用：非对应边、非对应角直接用“全等性质”相等(如Δ≌Δ，误将与相等，实际对应)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】全等图形的识别与性质应用 1.核心知识点总结 -全等形的本质特征：完全重合(形状和大小均相同)。 -全等三角形的基本性质：对应边、对应角相等。 2.高频考点梳理 -判断平面图形是否为全等形。 -利用全等性质求线段长度、角度或图形面积(如已知，，求；，求)。 3.易错点警示 -误认为“面积相等”“周长相等”或“形状相同”的图形必全等。 -未找准对应元素导致计算错误(如误将的边对应的边)。 4.解题技巧拆解 -识别全等形：通过平移、翻折、旋转后能否重合判断。 -求对应量：先根据全等符号确定对应顶点(如中，，，)，再推导对应边/角。 【例题1】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等图形的概念，解题的关键是掌握形状相同，大小相等的两个图形是全等图形． 根据全等图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．大小不相等，不是全等图形，故本选项不符合题意； B．形状不相同，不是全等图形，故本选项不符合题意； C．形状相同，大小相等，是全等图形，故本选项符合题意； D．大小不相等，不是全等图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在中，于点D，E是CD上一点，若，，，的周长为（   ） A．23 B．25 C．22 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的周长为 故选：B． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，沿边所在直线向右平移到，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解． 【详解】解：A、根据平移，，则A正确，不符合题意； B、根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意； C、根据平移的性质，，则，那么，即，故C正确，不符合题意； D、根据平移可得，，但与不一定相等，故D错误，符合题意； 故选：D． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，，，，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等，可得：，，可以求出，利用三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解： ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C． 【题型2】全等三角形的表示与对应元素判断 1.核心知识点总结 -全等符号“”的含义及书写规则：对应顶点字母对应排列。 -对应元素确定方法：公共边、公共角、对顶角为对应元素；最长边对最长边，最大角对最大角。 2.高频考点梳理 -根据全等表示式(如)确定对应边()、对应角()。 -结合图形特征(如翻折、旋转)识别对应元素(如沿翻折得，则，)。 3.易错点警示 -随意书写顶点顺序，如将写成。 -混淆“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”概念(如中，“对应边”是全等三角形中与重合的边，“对边”是的对边)。 4.解题技巧拆解 -口诀法：“全等符号两边站，顶点对应是关键，顺次对应找边角，公共元素优先看”。 -图形法：标记已知相等的边/角(如用“”标相等边，“”标相等角)，直观匹配对应关系。 【例题2】．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的对应角、对应边相等． 根据全等三角形的性质，判断各全等三角形的对应边、角即可． 【详解】解：和的对应角是与与与； 对应边是与与与． 和的对应角是与与与； 对应边是与与、与． 【变式题2-2】．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 【变式题2-3】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解： ， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【题型3】利用判定三角形全等 1.核心知识点总结 -判定定理：三边对应相等的两个三角形全等(若，，，则)。 -常见应用场景：已知三角形三边长度；通过等式性质推导第三边相等(如公共边，，)。 2.高频考点梳理 -直接利用三边相等证明全等(如已知，，，证)。 -结合“线段和差”推导边相等后用判定(如，再结合，证全等)。 3.易错点警示 -遗漏公共边这一隐含条件(如证时，未写)。 -未验证三边对应相等直接得出全等结论(如仅知，，未证就写)。 4.解题技巧拆解 -列表法：罗列两个三角形的三条边，逐一核对对应关系(如下表)： 三角形 边1 边2 边3 -辅助线：连接两点构造公共边(如连接，证)。 【例题3】．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，，，和交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 根据“”证明，即可得出答案． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，点，分别在，上，，，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握全等的判定方法；先根据边边边判定三角形全等，根据全等的性质和外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)112 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，此题的关键是证明． （1）利用证明得，再根据同位角相等，两直线平行可得结论； （2）利用全等三角形的性质和三角形的外角和内角的关系即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：112． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且．求证：（填空）． 证明：， ，即． 在和中， ∵， （______）． （______）． 【答案】；；；；；全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的判定条件，根据已知条件，通过全等三角形的判定定理证得，则全等三角形的对应角相等． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ∵， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为： ；；；；；全等三角形的对应角相等． 【题型4】利用判定三角形全等 1.核心知识点总结 -判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(若，，，则)。 -夹角的定义：两条边的公共角，而非其中一边的对角(如是与的夹角)。 2.高频考点梳理 -已知两边及夹角证明全等(如已知，，，证)。 -利用平行线性质(如内错角相等)推导夹角相等后用判定(如，结合，证全等)。 3.易错点警示 -误用“边边角()”判定全等(如已知，，，误判)。 -夹角对应关系判断错误(如将当作与的夹角)。 4.解题技巧拆解 -标记法：在图形中用弧线标记已知角，确认角是否为两边的夹角(如在处画弧线，标注“夹角”)。 -推导法：通过等式性质转化边/角条件(如，，(对顶角相等)，证)。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是证明，利用三角形外角性质和内角和定理求解． 先证明，得到，再结合三角形外角性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在和中， ， ， ， ∵是的外角， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，在和中，，，，则下列结论错误的是（   ） A．与不全等 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的 判定定理及性质，运用逻辑推理思想解题关键是准确判定三角形全等，易错点是对全等三角形对应角、对应边的判断失误，解题思路是通过角的关系推出全等条件，再根据全等性质分析各选项． 【详解】解：∵ ， ∴，即； ∵在和中 ∴ 选项 A：由 可证，该选项 “不全等” 的结论错误，符合题意； 选项 B：全等三角形对应边相等，故，结论正确，不符合题意； 选项 C：全等三角形对应角相等，故，结论正确，不符合题意； 选项 D：全等三角形对应角相等，故，结论正确，不符合题意； 故选：A． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，在中，，，D为上的一点，延长到点E，使，的延长线与相交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质、数形结合的思想作答． 根据题意可以得到，然后根据全等三角形的性质和垂直的定义可以证明结论成立． 【详解】证明：∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵中，， ∴， ∴ ∴． 【变式题4-3】．（14-15八年级上·福建南平·期中）“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】 （1）；（2）成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证△AEF≌△AGF是解题的关键． （1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】证明：（1）在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：． （ 2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G．使．连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型5】利用判定三角形全等 1.核心知识点总结 -定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(若，，，则)； -定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(若，，，则)。 -两者关系：可由结合“三角形内角和为”推导得出。 2.高频考点梳理 -已知两角及夹边用判定(如已知，，，证)。 -已知两角及一角对边用判定(如已知，，，证)。 3.易错点警示 -混淆与的条件特征(如将的“对边”当作的“夹边”)。 -遗漏“三角形内角和为”的推导作用(如已知，，未证直接用)。 4.解题技巧拆解 -定位法：确定已知角的位置，若边为两角公共边则用，若为一角的对边则用(如与的夹边是，的对边是)。 -补全法：已知两角时，先求第三角()，再选择判定方法。 【例题5】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键； （1）根据平行线的性质可得，然后利用即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，进而可得，再利用线段间的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关的性质定理，正确作出辅助线为解题关键 （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质证明； （2）延长交于点G，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长交于点G， ， ，又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， 【变式题5-3】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）新课标项目学习下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度？ 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到_____；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段_____的长度，即为点到水平地面的高度． 项目数据 …… 任务： (1)请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性； (2)若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗？请说明理由． 【答案】(1)，；说明见解析 (2)同意小明的观点，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，理解题意并熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由证明，即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到，，，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：①将一根长度大于点A到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点A重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到；（标记此时直杆的顶端点为C，底端点为D） ③测量线段的长度，即为点A到水平地面的高度． 在和中， ， ∴， ∴， 即线段的长度即为线段的长度，即点A的高度． 故答案为：，； （2）解：同意小明的观点，理由如下： ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【题型6】利用判定直角三角形全等(提升) 1.核心知识点总结 -判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(若，，，则)。 -适用范围：仅局限于直角三角形，不能用于锐角或钝角三角形。 2.高频考点梳理 -直接利用斜边和直角边相等证明全等(如已知，，，证)。 -结合垂直条件(如，)构造后用判定。 3.易错点警示 -对非直角三角形误用判定(如对锐角用证全等)。 -遗漏“直角”条件，仅用两边相等证明全等(如未写，直接用，证)。 4.解题技巧拆解 -标记法：在图形中明确标注直角符号()，区分直角边与斜边(斜边为直角所对的边，如是的斜边)。 -优先法：直角三角形判定时，先看是否满足(已知斜边和一条直角边)，再考虑、等通用方法。 【例题6】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，于点，于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据先证明，得到，再利用补角和余角的性质，即可求解． 【详解】解：，， ． ， ． 在与中， ， ， ． ， ． 故选A． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·吉林松原·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题：如图，，，，求证：．小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”你认为他的办法可行吗？并说明理由． 【答案】可行，见解析 【分析】本题考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 连接，由．证明，即可作答． 【详解】解：可行．理由如下： 连接， ，， ． 在和中， ， ． ． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在中，点D在边上，于点E，，交于点F，，．求证：．补全下面的证明过程． 证明：∵，（已知）， ∴（ ）． 在与中， ∴（ ）， ∴ （全等的性质）． ∵ （平角的定义）， ∴． 【答案】垂直的定义；；；； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明，则，再由邻补角互补得到，然后等量代换即可求证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）． 在与中， ， ∴， ∴（全等的性质）． ∵（平角的定义）， ， 故答案为：垂直的定义；；；；． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接．求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查角的和差，全等三角形的判定与性质，线段的和差，角平分线的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据，，推导出，则，即可解答； （2）先证明，得到，由，得到，则，得到，即可解答． （3）连接，先证明，得到，继而推导出，即，得到平分，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2），，， ， ， 又∵， ， ， ． （3）连接，如图 ，， ， ， ， 又∵， ， 即， 平分． 【题型7】添加条件使三角形全等(提升) 1.核心知识点总结 -思路：根据已有条件，补充、、、(或)中缺少的条件。 -多解性：部分题目存在多种补充方案(如已知一边一角，可补充角或边)。 2.高频考点梳理 -已知两边，补充第三边()或夹角()。 -已知一边一角，补充角(或)或边(，需为夹角的另一边)。 3.易错点警示 -补充条件(如已知，，补充，不符合全等判定)。 -忽略多解情况(如已知，，可补充或)。 4.解题技巧拆解 -条件罗列法：列出已知边/角，对照判定定理找缺失条件(如已知，，缺公共边，用)。 -排除法：排除等无效条件，确保补充后符合判定定理。 【例题7】．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知，，添加下列条件后仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法： 、、、． 【详解】解：．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．用，，，无法证明．故该选项符合题意； ．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，要使，需要添加的一个条件是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定方法（）是解题的关键． 两个三角形已经具备与公共边，故只需要添加两条边的夹角或第三条边相等即可． 【详解】解：在和中， 因为，， 所以若添加，则可根据边角边证明； 若添加，则可根据边边边证明； 故答案为：或． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，可以得到，你添加的条件是：____________．（写出一个符合题意的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据已知条件，可以得到，再根据全等三角形的判定方法，添加条件后，可得到即可． 【详解】解：， ， ， ， 添加，可以得到． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知，请你添加一个条件 （只需写一个），使． 【答案】或或（任写一个） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件选择合适的判定定理添加条件是解题的关键． 由图可知为公共边，又有，所以根据判定定理、、添加条件都可使． 【详解】解：由题意知：，， 添加，则 ； 添加，则 ； 添加，则 ； 故答案为：或或． 【题型8】利用全等三角形证明线段/角相等(提升) 1.核心知识点总结 -思路：要证线段/角相等，先证包含该线段/角的两个三角形全等，再用全等性质(对应边/角相等)； -关键：确定“目标线段/角”所在的两个三角形。 2.高频考点梳理 -证线段相等：如证=，先证Δ≌Δ(SSS或SAS)，再由全等性质得=； -证角相等：如证∠=∠，先证Δ≌Δ(ASA或AAS)，再由全等性质得∠=∠。 3.易错点警示 -选错“目标三角形”(如证=，误选Δ和Δ，而非Δ和Δ)； -未完整证明全等，直接得出线段/角相等(如缺少判定条件，跳过全等证明步骤)。 4.解题技巧拆解 -逆向思维：先看“要证的线段/角在哪个三角形中”，再找这两个三角形全等的条件； -若线段/角不在直接关联的三角形中，可通过“等量代换”(如=，=，则=)。 【例题8】．（2025·广东广州·模拟预测）线段、相交于点E，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到．根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵线段、相交于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据条件证明即可得出结论； （2）根据（1）中的结论得出相等的角，然后利用直角三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，，，，点在线段上．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：（直角三角形）． 首先根据得到，然后证明，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，，，．求证：．. 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．根据题意可知，再根据即可证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ． 在△和△中， ， ， ． 【题型9】全等三角形的尺规作图(提升) 1.核心知识点总结 -基本作图：①作一个角等于已知角；②作已知角的平分线；③已知三边/两边及其夹角/两角及其夹边作三角形(依据、、)。 -作图依据：全等三角形的判定定理，确保所作图形与原图形全等。 2.高频考点梳理 -按要求用尺规作全等三角形(如已知，作，使，，)。 -描述作图步骤并说明依据(如“以为圆心，长为半径画弧”，依据)。 3.易错点警示 -作图未保留痕迹(如未标注弧与交点)。 -混淆“作一角等于已知角”与“作角平分线”的步骤。 4.解题技巧拆解 -步骤分解法：按“画射线→取长度→画弧→找交点→连线段”分步操作。 -验证法：作图后用刻度尺、量角器验证对应边/角相等，确保全等。 【例题9】．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 【变式题9-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 【变式题9-2】．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1)图见解析，答案不唯一 (2)图见解析，答案不唯一 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）解：即为所求作（答案不唯一）； （2）解：即为所求作（答案不唯一）． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，已知，是上一点． (1)请用尺规作出射线，使； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了尺规作图和平行线的性质，掌握尺规作图和平行线的性质是解题的关键． （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，点，再以点为圆心，以长为半径作弧，交于点，再以点为圆心，以长为半径作弧，交圆弧于点，连接，即为所作图形； （2）根据，，结合平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：作图如图1或图2所示， （2）解：在图1中， ， ， ； 在图2中， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 【题型10】角平分线的性质与判定(提升) 1.核心知识点总结 -性质：角平分线上的点到两边的垂直距离相等； -判定：到两边垂直距离相等的点在角平分线上。 2.高频考点梳理 -性质应用：如平分∠，⊥，⊥，已知=3，由性质得=3； -判定应用：如⊥，⊥，且=，由判定得平分∠。 3.易错点警示 -忽略“垂直”条件(如、非垂线段，直接用性质说=)； -判定时未证明“点到两边的距离”(如仅证=，未证⊥、⊥)。 4.解题技巧拆解 -应用性质：先找“角平分线”和“垂线段”，直接得距离相等； -应用判定：先证“垂直”(⊥、⊥)，再证“距离相等”(=)，最后得角平分线。 【例题10】．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．16 B．12 C．8 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，正确添加辅助线是解题关键，作于点F，求出，即可求出面积． 【详解】解：作于点F， 平分， ， 的面积为， 故选：A． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，点在的平分线上，过点作于点F，于点M，于点，且，连接CE．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，由角平分线的性质得到，进一步得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：点在的平分线上，，， ， ， ， ，， 是的平分线． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，平分，，垂足分别为E，F，点B在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再利用线段和差计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，，, ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和中，，，，连接交于点O，交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）直接证明，再根据全等三角形的对应边相等即可证明结论； （2）如图2：，即，再证明可得，然后再根据角平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图2：，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点C在的角平分线上，即平分． 【题型11】角平分线的实际场景应用（提升） 1.核心知识点总结 -角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（若平分，，，则)。 -实际应用原理：利用距离相等转化测量问题(如确定位置使到两边距离相等)。 2.高频考点梳理 -设计测量方案(如测河流宽度、确定仓库位置使到两条公路距离相等)。 -结合全等证明距离相等(如通过证得)。 3.易错点警示 -忽略“垂直距离”条件，误将“到顶点距离相等”当作角平分线性质。 -实际场景中未明确角的两边，导致距离测量对象错误。 4.解题技巧拆解 -建模法：将实际场景抽象为角平分线模型(如两条公路夹角为，仓库在的平分线上)。 -转化法：用全等三角形证明距离相等(构造，，证)。 【例题11】．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， 油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选：B． 【变式题11-1】．（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 【变式题11-2】．（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】， 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 【变式题11-3】．（23-24八年级上·河北沧州·期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据题意，两把相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线，的距离相等，进而得是的角平分线，有即可求得答案． 【详解】解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致， ∴点P到射线，的距离相等， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 故选：B． 【题型12】一线三等角模型的应用(培优) 1.核心知识点总结 -模型特征：一条直线上有三个相等的角(如)，可推导，进而证。 -核心关系：三角形外角性质()与等角转化()。 2.高频考点梳理 -识别模型并证明全等(如已知，，证)。 -利用模型求角度或线段长度(如由全等得，计算长度)。 3.易错点警示 -未识别“一线”上的三个等角，导致角关系推导错误。 -误用三角形内角和而非外角性质推导角相等。 4.解题技巧拆解 -标记法：在直线上标记三个等角(如标“”)，标注外角关系()。 -推导链：(等角减同角相等)。 【例题12】．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式题12-1】．（20-21八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【变式题12-2】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题12-3】．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 【题型13】倍长中线模型的综合应用(培优) 1.核心知识点总结 -模型操作：延长三角形中线至等长(如是的中线，延长至使)，构造。 -作用：转化线段()和角()，解决线段和差、不等关系问题。 2.高频考点梳理 -证明线段关系(如证，转化为)。 -求线段长度(如已知，，，求及范围)。 3.易错点警示 -延长中线后未明确“”，导致全等条件缺失。 -未将所求线段与全等三角形的对应边关联(如忽略)。 4.解题技巧拆解 -口诀：“中线延长一倍长，两端连接构全等，对应边角互转化，线段关系轻松解”。 -步骤：①延长中线至等长；②连接端点形成全等三角形；③利用全等性质转化条件。 【例题13】．（25-26八年级上·天津河西·阶段练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故， 故选：C． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）根据三角形三边关系，列式计算即可得出答案； （3）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （4）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）．理由如下： 延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【变式题13-2】．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，是边上的中线． (1)如图①，延长到点E，使，连接． ①求证：； ②若，则的取值范围是______． (2)如图②，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）①根据三角形全等的判定定理证明即可；②由全等得到，再由三角形三边关系得到，即可求解； （2）延长到点E，使，连接，根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答． 【详解】（1）①证明：是BC边上的中线， ， 在与中 ， ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下 证明：延长到点E，使，连接， 同（1）可证明， ，， ， 在和中， ， ． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）A、B间的距离为；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴； ∴A、B间的距离为； （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）， 理由：在上截取， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型14】截长补短模型的应用(培优) 1.核心知识点总结 -截长法：在较长线段上截取一段等于某短线段(如在上截)，证剩余部分与另一线段相等。 -补短法：延长短线段至与较长线段相等(如延长至使)，证总长度与目标线段相等。 -适用场景：证明线段和差关系(如)。 2.高频考点梳理 -用截长法证(截，证)。 -用补短法证(延长至使，证)。 3.易错点警示 -截取或延长后未明确线段相等关系(如未写“在上取点使”)。 -未通过全等证明剩余线段相等(如仅截取未证)。 4.解题技巧拆解 -截长步骤：①截等长线段；②证剩余线段相等(构造全等三角形，如）。 -补短步骤：①延长至等长；②证总线段相等（构造全等三角形，如）。 【例题14】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，的平分线交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质，同角或等角的补角相等， 在上截取，证明，得出，借助平行线的性质判断出，然后证明，得出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：在上截取， ∵的平分线交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式题14-1】．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图①的位置时，请你探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图②的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，请写出线段，，之间的数量关系________． 【答案】(1)，证明见解析 (2)发生了变化，，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义和同角的余角相等得到，然后根据可证得，从而推出，，结合，即可证得结论； （2）同（1）可证得，，结合，即可证得结论； （3）同（1）可证得，，结合，即可证得结论． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：发生了变化，，证明如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题14-2】．（25-26八年级上·广东肇庆·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1，直线l经过点A，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A，D，E在直线上，若，求证：； 【答案】（1）见详解（2）见详解 【分析】本题主要考查了全等三角的判定和性质，三角形内角和定理等知识． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，，由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】解：（1）证明：在中，， ， 又， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ． 【变式题14-3】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）在中，，，点为直线上的一个动点（点不与点、重合），以为边作，，，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时， ①请判断和之间的数量关系为____________，位置关系为____________，并完成证明； ②请直接写出、、三者之间的数量关系____________； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①，，证明见解析；② (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得，证明即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）证明，得出，再根据，即可得到． 【详解】（1）解：①，，证明如下： ∵在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：不成立，存在的数量关系为，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵，即， ∴． 【题型15】全等三角形的动态问题分析(培优) 1.核心知识点总结 -动态类型：点的运动(如点沿从向运动)、图形的平移/旋转/翻折(如绕点旋转得)。 -解题关键：运动过程中不变的全等关系(如公共边、对应角始终相等，运动后仍满足、等判定条件)。 2.高频考点梳理 -判断动点运动到某位置时三角形是否全等(如点运动秒后，与是否全等)。 -求动点运动距离使三角形全等(如求的值，使)。 3.易错点警示 -漏解多情况问题(如动点在线段上或延长线上，形成不同的全等情况，仅考虑线段上的情况）。 -未考虑运动边界，导致范围计算错误（如点从到运动，的最大值为长度除以速度，忽略此边界）。 4.解题技巧拆解 -分类讨论法：按动点位置（线段上、延长线上）或全等对应关系（如或）分情况分析。 -画图法：绘制动态过程中的关键位置图形（如秒、秒时的图形），直观识别全等条件，列方程求解（如，）。 【例题15】．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时，两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 【变式题15-1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点到点运动，它们运动的时间为．当与全等时，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查的是利用动点证明三角形全等，解题关键是分和两种情况分别计算． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 则有， 即， 解得， 当时， 则， 即， 解得， 故答案为：1或4． 【变式题15-2】．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）如图， 在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：4或． 【变式题15-3】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）在Rt中，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，___________，当时，___________． (2)如图1，当___________时，点到点与点的距离相等； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等．求点的运动速度． 【答案】(1)；； (2)或； (3)Q运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间求出路程，即可得出的长度； （2）根据线段中点的定义，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类进行解答即可； （3）设点Q的运动速度为，然后分四种情况：当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，运动路程为：，此时点P在上， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，当P在中点时，点到点与点的距离相等， ∵， ∴， 即当时，点到点与点的距离相等， 当P在的点时，连接，由点到点与点的距离相等得， ∴， ∴，且平分， 即，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点从的路程为， ∴， 即当时，点到点与点的距离相等； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ∴Q运动的速度为或或或． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列各组图形中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握全等图形的概念是解题的关键；因此此题可根据全等图形的概念“能够完全重合的两个图形”进行排除选项即可． 【详解】解：选项中是全等图形的只有B选项，A、C、D都不是全等图形； 故选B． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的周长相等 C．等边三角形不一定是等腰三角形 D．三角形的角平分线是射线 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形性质、等边三角形性质及角平分线定义，熟记全等三角形性质、等边三角形性质及角平分线定义是解决问题的关键． 由全等三角形的性质、等边三角形与等腰三角形的关系、以及角平分线的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由三个角对应相等只能证明相似，不一定全等，知原说法错误，不符合题意； B、∵ 全等三角形的对应边相等， ∴ 全等三角形的周长相等，知原说法正确，符合题意； C、由等边三角形是特殊的等腰三角形，知原说法错误，不符合题意； D、由三角形的角平分线是线段，不是射线，知原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）若，则的对应边是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形性质，熟记全等三角形对应边相等是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质：对应边相等，中，边的对应边是边即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 即的对应边是， 故选：D． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图所示，在中，，点是内一点，连接，，且，过点作交的延长线于点，且，若，，则的长是（   ） A．7 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． 根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵于点E，于点D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．根据得出，结合，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边． 【详解】解：∵， ∴， 又， 则添加①，； 添加②，与不全等； 添加③，； 添加④，． 则能使的条件是①③④． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）已知，，则 °． 【答案】130 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；根据全等三角形的性质，对应角相等，因此等于中的，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为130． 7．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握“”是解题的关键；因此此题可根据“”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴添加，则可根据“”判定； 故答案为． 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，用尺规作的依据是 ． 【答案】全等三角形的对应角相等 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法得：，，， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等． 9．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，于A，于B，且，P点从B向A运动，每分钟走，Q点从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动 分钟后与全等． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分当时和当时，两种情况进行讨论，求得和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】解：于A，于B，且， 当时，， 则， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 当时，，， 则P运动的时间是：（分钟）， Q运动的时间是：（分钟）， 故不能成立． ∴运动4分钟后，与全等， 故答案为：4． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据三角形全等的性质可知，然后通过线段和差可求得答案，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点，，，在同一条直线上， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等． 【详解】证明：如图，∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 12．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图所示，小昆同学拿着一块等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，已知，，每个小长方体教具的高度均为． (1)若测得，求的度数； (2)求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵小昆同学拿着一块等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 13．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在上，且，，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后根据可进行求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点以的速度向点运动．设运动的时间为． (1)填空：________ ，________ ，________ ；（用含，的式子表示） (2)若，试求，的值． 【答案】(1)，，； (2)的值为4、的值为1． 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的性质． （1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，结合全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【详解】（1）解：∵，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动， ∴③， 故答案为：，，； （2）解：，，，， ， 则， ， ． 即的值为4、的值为1． 15．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； (2)在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与以、、为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2)，证明见解析 (3)存在，，或， 【分析】本题属于三角形专题，考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 当时，， 则， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）解：， 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即线段与线段垂直； （3）解：分以下两种情况讨论： ①若， 则，， ∴， 解得，， 则， ∴； ②若， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 学科网（北京）股份有限公司 $