精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

黔东南州教学资源共建共享实验基地名校 2024 年春季学期八年级期末水平检测 数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置上． 2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 一、单项选择题（每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩单位的平均数和方差． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下图是我国南方某市今年春节七天最高气温的统计结果： 这七天最高气温的众数和中位数是（ ） A. 15，17 B. 14，17 C. 17，14 D. 17，15 6. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（ ） A. B. C. D. 9. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的边中点M到对角线交点O的距离为，，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ） （1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点； （3）连接． A. B. C. D. 12. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 二、填空题：（每小题4分，共16分） 13. 化简：______． 14. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表： 尺码/厘米 22 23 24 25 销售量/双 1 2 5 12 6 3 1 如果鞋店要购进90双这种女鞋，那么购进24厘米和25厘米这两种尺码女鞋数量之和最合适的是______． 15. 已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的解析式为___． 16. 如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为________． 三、解答题（本题9个小题，共98分） 17. 计算： （1） （2） 18. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． （2）在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． （3）试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 19. 在一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地，两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车的行驶速度是 千米/时，B、C两地之间的距离为 千米； （2）求点M、N的坐标； （3）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． 20. 开展党史学习教育，是党中央因时因势作出的重大决策，是大力推进红色基因传承的重要举措，是凝聚智慧力量奋进新征程的现实需要，为了解九年级学生对党史的学习情况，某校团委组织部对九年级学生进行了党史知识测试，并将九年级1班和2班全体学生的测试成绩数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下： 信息一：党史知识测试题共道题目，每小题分； 信息二：两个班级的人数均为人； 信息三：九年级1班成绩条形统计图如下： 信息四：九年级2班平均分的计算过程如下： （分） 信息五： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 m 九年级2班 n 根据以上信息，解决下列问题： （1）_____________，_____________ （2）你认为哪个班级的成绩更加稳定，请说明理由； （3）在本次测试中，九年级1班甲同学和九年级2班乙同学的成绩均为分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由． 21. 如图，四边形的两条对角线相交于点O，E是DC边上一点，连接并延长交于点F．若，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，的周长为9，求的长． 22. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求这个函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出函数图象； （3）当时，求出y的取值范围． 23. 如图，在菱形中，过点分别作垂直于，垂直于． （1）求证：； （2）连接，若，求、的长． 24. 5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 25. 小明学了正方形和一次函数后，很感兴趣．他利用相关知识对如下问题进行探究．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，以为边在第二象限内作正方形． （1）【初步探究】填空：点A 和点B的坐标分别是 ， ； （2）【综合解决】求点 C、D的坐标； （3）【拓展延伸】连接、，设两对角线交于点 M，试探究在x轴上是否存在一点 P，使的值最小？若存在，请在图中画出点M、点P的位置并直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔东南州教学资源共建共享实验基地名校 2024 年春季学期八年级期末水平检测 数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置上． 2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 一、单项选择题（每小题3分，共36分，每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式被开方数的非负性，熟练掌握被开方数必须大于或等于零是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于等于0解不等式即可． 【详解】解：∵ 函数， ∴ ， ∴ ； 故选：A． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 解决本题的关键是熟练掌握最简二次根式的性质；二次根式的最简形式就是被开方数不含分母且不含平方因子． 【详解】解： A． ，不是最简二次根式，故错误； B． ，不是最简二次根式，故错误； C． ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误； D． 被开方数3是质数，无平方因子，故正确； 故选：D． 3. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩单位的平均数和方差． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差进行判断即可． 【详解】解：有图表可得：甲和丙的平均数相同大于乙丁， 又因为丙的方差小于甲，所以丙的成绩高且发挥稳定． 故选C． 【点睛】本题考查数据的集中和离散：平均数表示集中程度，方差表示离散程度，平均数越大，成绩越高；方差越小，波动越小． 5. 下图是我国南方某市今年春节七天最高气温的统计结果： 这七天最高气温的众数和中位数是（ ） A. 15，17 B. 14，17 C. 17，14 D. 17，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照温度从低到高排列为8，9，11，14，15，17，17，处在最中间的数据为14，出现次数最多的数据为17， ∴这七天最高气温的众数和中位数是17，14， 故选C． 6. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为； 故选A． 7. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 8. 如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图片可知，、均为长、宽的矩形的对角线，运用勾股定理分别求出、的长再相加即可；本题考查了勾股定理，精准识图、准确计算是解题的关键． 【详解】解：， ． 故选：C． 9. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 10. 如图，矩形的边中点M到对角线交点O的距离为，，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质、勾股定理及三角形中位线是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形中位线可得，进而根据勾股定理及矩形的周长公式可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴矩形的周长为； 故选B． 11. 如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ） （1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点； （3）连接． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，先根据菱形的性质可得，即可判断选项C正确；再证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一即可判断选项A正确；根据菱形的性质可得，根据即可判断选项B错误；根据和三角形的面积公式即可判断选项D正确． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知，垂直平分， ， 四边形是菱形， ， ，，选项C正确； 是等边三角形， ， （等腰三角形的三线合一），选项A正确； 又四边形是菱形， ，， 的边上的高等于的边上的高，，选项B错误； ， ，选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 12. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积 【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变， 可知图中, 根据图像的对称性，， 由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理 矩形的面积为 故答案为：C 【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 二、填空题：（每小题4分，共16分） 13. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 14. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表： 尺码/厘米 22 23 24 25 销售量/双 1 2 5 12 6 3 1 如果鞋店要购进90双这种女鞋，那么购进24厘米和25厘米这两种尺码女鞋数量之和最合适的是______． 【答案】21双 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体的方法是解题的关键． 先计算销售数据中24厘米和25厘米女鞋的销量之和占总销量的比例，按比例估算购进90双时这两种尺码的数量之和即可； 【详解】解：（双）． 故答案为：21双． 15. 已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的解析式为___． 【答案】y＝x+2或y＝﹣x+2． 【解析】 【分析】设一次函数与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2）， ∴b＝2， 设一次函数与x轴的交点是（a，0）， 则×2×|a|＝2， 解得：a＝2或﹣2． 把（2，0）代入y＝kx+2，解得：k＝﹣1，则函数的解析式是y＝﹣x+2； 把（﹣2，0）代入y＝kx+2，得k＝1，则函数的解析式是y＝x+2． 故答案是：y＝x+2或y＝﹣x+2． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得与x轴的交点坐标是关键． 16. 如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作于，则，由，可得，即在距离为2的直线上运动，如图，作关于直线的对称点，连接，，由轴对称的性质可得，，，由，可知当三点共线时，最小，为，根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图，作于， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴在距离为2的直线上运动， 如图，作关于直线的对称点，连接，， 由轴对称的性质可得，，， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 三、解答题（本题9个小题，共98分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 18. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． （2）在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． （3）试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）这个三角形是直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得长为4、宽为1的长方形的对角线长为，长为3、宽为2的长方形的对角线长为，选择合适的矩形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可； （3）观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可证这个三角形是直角三角形； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，连接长为4、宽为1的长方形的对角线为线段，长为3、宽为2的长方形的对角线长为线段； 【小问2详解】 如图，依次连接长为4、宽为3的矩形的对角线，长为2、宽为1的矩形的对角线长和长为4、宽为2的矩形的对角线； 【小问3详解】 ∵， ∴这个三角形是直角三角形． 19. 在一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地，两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车的行驶速度是 千米/时，B、C两地之间的距离为 千米； （2）求点M、N的坐标； （3）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． 【答案】（1）60；360 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象知，根据点F的坐标可求出甲车速度，根据点M的纵坐标可得B、C两地之间距离； （2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地可得点E的坐标，因为乙车匀速行驶且按照原路原速返回，所以乙车从C地到B地和从B地到C地的时间相同，可求出乙车从C地到B地的时间，从而可求出点N坐标； （3）利用待定系数法求解即可． 本题考查了一次函数的实际应用行程问题，结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义是解题关键． 【小问1详解】 解：由图象得，甲车的行驶速度是（千米/时），B、C两地之间的距离为360千米； 故答案为：60；360； 【小问2详解】 ∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地， ∴点， 乙车从C地到B地的时间为（小时）， ∴； 【小问3详解】 设直线NE的解析式为y=kx+b， 将和分别代入得， 解得， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为． 20. 开展党史学习教育，是党中央因时因势作出的重大决策，是大力推进红色基因传承的重要举措，是凝聚智慧力量奋进新征程的现实需要，为了解九年级学生对党史的学习情况，某校团委组织部对九年级学生进行了党史知识测试，并将九年级1班和2班全体学生的测试成绩数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下： 信息一：党史知识测试题共道题目，每小题分； 信息二：两个班级的人数均为人； 信息三：九年级1班成绩条形统计图如下： 信息四：九年级2班平均分的计算过程如下： （分） 信息五： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 m 九年级2班 n 根据以上信息，解决下列问题： （1）_____________，_____________ （2）你认为哪个班级的成绩更加稳定，请说明理由； （3）在本次测试中，九年级1班甲同学和九年级2班乙同学的成绩均为分，你认为两人在各自班级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由． 【答案】（1），； （2） 九年级1班的成绩更加稳定，理由如下： 记九年级1班和九年级2班成绩的方差分别为，， ∵，， ∴， ∴九年级1班的成绩更加稳定； （3） 乙同学的成绩排名在本班更靠前． 理由如下： ∵甲同学的成绩小于本班成绩的中位数，说明有一半以上的同学比甲成绩好， 乙同学的成绩大于本班成绩的中位数，说明乙同学比一半以上的同学成绩好， ∴乙同学成绩的班级排名更靠前 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差进行分析即可； （3）根据中位数综合分析即可． 【小问1详解】 解：∵九年级1班共有名学生，最中间的数是第、个数的平均数， 由九年级1班条形图可知， 第名和第名同学的成绩分别为：、， ， 由九年级2班平均分的计算过程可知， 在九年级2班中，分出现了次，出现的次数最多， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数和方差的性质，掌握知识点是解题关键． 21. 如图，四边形的两条对角线相交于点O，E是DC边上一点，连接并延长交于点F．若，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，的周长为9，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质证明，根据证明，推出，根据对角互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，利用的周长为9，求得，证明，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∵，， 同理，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 22. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求这个函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出函数图象； （3）当时，求出y的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据描点、连线可进行作图； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：将点和点分别代入上式，得：， 解之，得：， ∴这个函数解析式为：； 【小问2详解】 解：所作函数图象如下： 【小问3详解】 解：当时，；当时，，结合（2）中函数图象可知： ∴y的取值范围是：． 23. 如图，在菱形中，过点分别作垂直于，垂直于． （1）求证：； （2）连接，若，求、的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，由垂直于，垂直于，得，进而证，从而可证； （2）由菱形的性质和得是等边三角形，由三线合一得，再利用勾股定理可得的长，由（1）知； 本题主要考查了菱形的性质，全等三角形和等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形四边相等，对角线互相平分等性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵垂直于，垂直于， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 24. 5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部 （2）再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式、二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，由题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，则： ， 解之，得：， 答：营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部． 【小问2详解】 解：设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意得： ， 因为B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍， 所以， 解得：， 因为，， 所以w随着x的增大而减小， 所以当时，w取得最大值，此时，， 所以方案为：再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元． 25. 小明学了正方形和一次函数后，很感兴趣．他利用相关知识对如下问题进行探究．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，以为边在第二象限内作正方形． （1）【初步探究】填空：点A 和点B的坐标分别是 ， ； （2）【综合解决】求点 C、D的坐标； （3）【拓展延伸】连接、，设两对角线交于点 M，试探究在x轴上是否存在一点 P，使的值最小？若存在，请在图中画出点M、点P的位置并直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的解析式为，令求解可得点A的坐标，令求解可得点B的坐标； （2）作轴，轴，由正方形的性质和等角的余角相等可证，进而可求点 C、D的坐标； （3）作点关于轴的对称点，，由中点坐标公式可得点的坐标，进而可得点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，令求解可得点P的坐标； 【小问1详解】 解：令，， 解得， ∴点； 令，， ∴点； 故答案为：． 【小问2详解】 如图，作轴，轴，垂足分别是E、F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 存在，点M、点P的位置如图所示，点P的坐标为． 作点关于轴的对称点，， ∴，， 连接与轴交于点，此时且值最小， 设直线的解析式为， 将点代入解析式得， ∴解得， ， 令，解得， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式等，作点关于轴的对称点，将转化为是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $