12.4.3 角平分线 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质与判定定理，通过角的轴对称性对折操作导入，引导学生观察PD与PE重合，从直观感知过渡到全等三角形证明，构建“操作-猜想-证明-归纳”的学习支架，衔接轴对称与全等知识。 其亮点在于以几何直观培养数学思维，通过对折操作（数学眼光）发现性质，用AAS、HL全等推理（数学思维）证明定理，几何语言规范表达（数学语言）。典例结合面积计算，随堂检测强化应用，帮助学生形成推理意识与应用能力，教师可直接用于探究式教学，提升课堂效率。

12.4 逆命题和逆定理 第12章　全等三角形 3. 角平分线 导入新课 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，你发现PD与PE有什么关系？ 答：PD与PE重合，即PD＝PE. 探究新知 知识模块一　探究角平分线的性质定理和判定定理 探究1 如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？ 如何表达，并简述你的证明过程. 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE. D P A C B E O 下面我们来证明刚才得到的结论. 已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE. D P A C B E O 证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点， ∴ ∠DOP =∠BOP. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴ ∠ODP =∠OEP = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP， ∴ △OPD≌△OPE ( AAS ). ∴PD＝PE. D P A C B E O 探究2 如果点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？ 证明：连结OP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 又∵OP＝OP，PD＝PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL). ∴∠AOP＝∠BOP. ∴OP平分∠AOB. ∴点P在∠AOB的平分线上． 由上面证明，我们得到角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言描述： ∵ OC 平分∠AOB， 且 PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD = PE. 归纳总结 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 典例精析 例1 已知：点P是∠CAB的平分线上的一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.PE＝5 cm，那么PF＝____cm. 5 例2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积是28 cm2，AB＝16 cm，AC＝12 cm，求CD的长． B D C A 解：过点D作DE⊥AB于E. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，即AC⊥CD， ∴DE＝CD. ∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝AC·CD＋AB·DE＝28， ∴×12CD＋×16CD＝28. ∴CD＝2 cm. 知识模块二　运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°. 又∵DB＝DC， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL). ∴BE＝CF. 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 也在∠A 的平分线上. A B C P N M 典例精析 ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PF. ∴ 点 P 在∠A 的平分线上. E D F A B C P M N 证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC， 垂足分别为 D、E、F. 角平分线的性质及判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 课堂小结 随堂检测 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . E B D F A C G 60 BF 2. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB，∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，那么线段 BE 是∠ABC 的_________, AE + DE =______cm. A B E D C 角平分线 6 3. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = FD. 求证：CF = EB. C F A E D B 证明：∵ AD 平分∠CAB，DE⊥AB， ∠C＝90°， ∵ 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中， CD = ED，FD = BD， ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB ( HL). ∴ CF = EB. F A E D B C ∴ CD＝DE. 完成对应课时练习 作业布置 $