专题4.6图形的相似进阶28练（进阶压轴题）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

专题4.6图形的相似进阶28练 【题型1 相似三角形的判定综合】 1 【题型2 相似三角形的判定与性质综合】 2 【题型3 相似三角形 —— 动点问题】 4 【题型4 重心的有关性质】 5 【题型5 相似三角形综合问题】 7 【题型6 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 9 【题型7 坐标与图形综合】 10 【题型1 相似三角形的判定综合】 进阶练习一 【练习1】（25-26九年级·全国·期中）下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 【练习2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【练习3】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为 ． 【练习4】（2025·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． (2) 将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【题型2 相似三角形的判定与性质综合】 进阶练习二 【练习1】（2025·安徽淮南·一模）把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“类等腰四边形”．在“类等腰四边形”中，，E为边上一点，若，，则下列两条线段的比值与不一定相等的是（） A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，若，点D为AC中点，过点D的直线交AB于点G，交直线BC于点F，交AM于点E，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【练习3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）四边形的一条对角线把它分割成两个三角形，如果这两个三角形相似，我们就把这个四边形叫做“割似四边形”，如果一个上底长为3，下底长为12的梯形是“割似四边形”，那么这个梯形较短腰与较长腰的比值为 ． 【练习4】（2025九年级·全国·专题练习）（1）如图①，An系列矩形纸张的规格特征：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，……，纸对裁后可以得到两张纸．根据系列纸张规格特征，求该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比． （2）如图②，已知矩形ABCD中，，在BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的F点处．若四边形ECDF与矩形ABCD相似，求AD的长． 【题型3 相似三角形 —— 动点问题】 进阶练习三 【练习1】（24-25·四川德阳·二模）如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【练习2】（2024·江苏苏州·一模）如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连结，在运动过程中，下列4个结论：①当时，；②只有当时，以点构成的三角形与相似；③四边形的周长最小等于；④四边形的面积最大等于38．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习3】（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 ． 【练习4】（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，，点M以每秒1个单位长度的速度沿从点A向点B运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿从点B向点C运动，点P以每秒2个单位长度的速度沿从点C向点D运动，三动点同时出发，设运动时间为t秒，当点N到达点C时，三点同时停止运动．点B关于的对称点为点Q，连接，，，．    (1)当t为何值时，四边形为正方形？并说明理由； (2)若以点M，N，B为顶点的三角形与以点N，P，C为顶点的三角形相似，求t的值． 【题型4 重心的有关性质】 进阶练习四 【练习1】（25-26·台湾·模拟预测）如图，内部有一点D，且的面积分别为5，4，3．若的重心为G，则下列叙述何者正确（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【练习2】（2024·安徽阜阳·三模）如图，在中，与相交于点Q，点Q是的重心，D是的中点，与相交于点P．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【练习3】（2025·上海嘉定·一模）如图，将一块含角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心逆时针旋转．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 平方厘米． 【练习4】（25-26九年级上·全国·期中）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 【题型5 相似三角形综合问题】 进阶练习五 【练习1】（24-25九年级下·浙江·期末）如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【练习2】（2025·山东烟台·一模）如图，正方形的边长为，以为底边在正方形内作等腰，点在边上，再在等腰中作最大的正方形，···，按照此规律继续下去，则第个等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．2 D．2 【练习3】（2023·山东德州·一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 【练习4】（2024·河北廊坊·二模）如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【题型6 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 进阶练习六 【练习1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【练习2】（2025·黑龙江绥化·期中）如图，是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（ ） A． B． C． D． 【练习3】（24-25九年级上·全国·单元测试）三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是 ． 【练习4】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，，与位似，O点为位似中心，点B的对应点为． (1)在图中画出； (2)与的周长比为_______； (3)点是边上一个点，其对应点的坐标为_______． 【题型7 坐标与图形综合】 进阶练习七 【练习1】（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26八年级上·宁夏银川·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（为常数，且），则称点是点关于的“关联点”．如图，边长为的正方形，点坐标为，点在轴正半轴上．给出以下四个结论：点关于的“关联点”在线段上；点关于的“关联点”到原点的距离为；若点关于的“关联点”与点关于的“关联点”重合，则；若点是正方形边上一点（端点除外），其关于的“关联点”始终在正方形内部，则．则正确结论的序号为（　　） A． B． C． D． 【练习3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ． 【练习4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于． (1)求点的坐标； (2)点从点出发沿射线运动，运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，连接，请用含的表达式表示的面积； (3)在（2）的条件下，过点A作，交的延长线于点，交轴正半轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6图形的相似进阶28练 【题型1 相似三角形的判定综合】 1 【题型2 相似三角形的判定与性质综合】 6 【题型3 相似三角形 —— 动点问题】 10 【题型4 重心的有关性质】 16 【题型5 相似三角形综合问题】 21 【题型6 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 30 【题型7 坐标与图形综合】 32 【题型1 相似三角形的判定综合】 进阶练习一 【练习1】（25-26九年级·全国·期中）下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】解：如图， A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确； D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C． 【练习2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键； 根据相似三角形的判定定理分析即可求解； 【详解】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 【练习3】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，将求线段的最小值转化为求的最小值，再利用三角形面积公式求出的最小值，进而得到的最小值． 解题思路：辅助线作法见详解．利用中位线定理得到，根据菱形的性质证得，再利用平行线性质可证，得到，利用含角直角三角形的性质及勾股定理可求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用面积相等法求得高的长度，等于其一半，即为的最小值． 【详解】如图，延长至点H，使，连接．延长与交于点M，因G为的中点，故． ∵且菱形对角线平分， ∴， 由，得；由得， ∴，则，又， ∴，则， 由得，；由得， ∴，则，即， ∴． 自点M作延长线的垂线，垂足为点N，则， ∴，，则， 在直角三角形中，， 当时，因，所以最短时，也相应最短， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【练习4】（2025·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． (2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ②连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ②如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）②中结论仍然成立 【题型2 相似三角形的判定与性质综合】 进阶练习二 【练习1】（2025·安徽淮南·一模）把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“类等腰四边形”．在“类等腰四边形”中，，E为边上一点，若，，则下列两条线段的比值与不一定相等的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的性质与判定；根据题意画出图形得出是两个相似是等腰三角形，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】如图 ，，且， ，，又， ， ∴，， ∴，又， ∴，故A选项不符合题意； ∴，故B选项不符合题意； ∴，故C选项不符合题意； 不一定等于，故D选项符合题意． 故选：D． 【练习2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，若，点D为AC中点，过点D的直线交AB于点G，交直线BC于点F，交AM于点E，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的相似，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键．作，可得，进一步得到线段的比例关系式，逐步得到关键结论与，即可求出答案． 【详解】解：如图， 过点作， ， 点D为AC中点，， ， ， ，即． ，， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【练习3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）四边形的一条对角线把它分割成两个三角形，如果这两个三角形相似，我们就把这个四边形叫做“割似四边形”，如果一个上底长为3，下底长为12的梯形是“割似四边形”，那么这个梯形较短腰与较长腰的比值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解新定义，掌握相似三角形的性质是解题关键． 根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：如图所示，梯形为“割似四边形”， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【练习4】（2025九年级·全国·专题练习）（1）如图①，An系列矩形纸张的规格特征：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，……，纸对裁后可以得到两张纸．根据系列纸张规格特征，求该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比． （2）如图②，已知矩形ABCD中，，在BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的F点处．若四边形ECDF与矩形ABCD相似，求AD的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似多边形，掌握相似多边形的性质是解题的关键． （1）设纸的长和宽分别是（均大于），则纸的长和宽分别为进而根据规格特征可得，根据上述分析，进行解答即可求出的值，即为该系列纸张的长与宽之比； （2）根据沿将向上折叠，使点落在上的点处，可得四边形是正方形．设，则，由四边形与矩形相似，对应边成比例得到，代入数据即可求出的值，即可得到的长． 【详解】（1）设纸的长和宽分别是（均大于0），则纸的长和宽分别为 ， 则，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为． （2）沿将向上折叠，使点落在上的点处， 四边形是正方形． 设， ． 四边形与矩形相似， ， 解得（舍去）． 经检验，是原分式方程的解， 即． 【题型3 相似三角形 —— 动点问题】 进阶练习三 【练习1】（24-25·四川德阳·二模）如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB． ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm， ∴C（-3，0），B（0，4）， ∵∠CDB=90°， ∴BC==5（cm）， ∵EH∥CD， ∴△BEH∽△BCD， ∴， ∴， ∴EH=0.3t，BH=0.4t， ∴E（-0.3t，4-0.4t）， ∵F（0，0.4t）， ∵QE=QF， ∴Q（-t，2）， ∴点Q在直线y=2上运动， ∵B，D关于直线y=2对称， ∴QD=QB， ∴QP+QD=QB+QP， ∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)， ∴QP+QD≥2， ∴QP+QD的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动． 【练习2】（2024·江苏苏州·一模）如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连结，在运动过程中，下列4个结论：①当时，；②只有当时，以点构成的三角形与相似；③四边形的周长最小等于；④四边形的面积最大等于38．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据“SAS”即可判断①；根据相似三角形的性质，列出比例式，即可判断②，用含t的代数式表示出EP+ BQ，结合两点间的距离公式以及对称性，即可求出EP+ BQ的最小值，进而即可判断③；用含t的代数式表示四边形的面积，结合，即可判断④． 【详解】解：由题意得：当时，CQ=8-3-1=4，AE=AD=×8=4， ∴AE=CQ， ∵在正方形中，∠A=∠C=90°，AB=CB， ∴，故①正确； ∵∠D=∠C=90°， ∴点构成的三角形与相似时，或， ∴或，解得：或无解， ∴②正确； ∵EP=，BQ= ∴EP+ BQ可以看作是点(t，0)到点(0，4)与点(5，8)的距离之和， ∴EP+ BQ的最小值=点(0，-4)与点(5，8)的距离=， ∴四边形的周长最小值=BE+PQ+13=+3+13=， 故③正确； ∵四边形的面积== =， 又∵， ∴四边形的面积最大值=， 故④正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的性质以及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式以及相似三角形的性质是解题的关键． 【练习3】（24-25九年级上·浙江·专题练习）如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】证明得出，当点移动至线段的三等分点时，分两种情况讨论，①，，②，，分别计算即可求解． 【详解】解：在正方形中， ， ， 又 四边形为矩形 正方形的边长为3，线段长度为3， 当点移动至线段的三等分点时，有两种情况： ①，， 则在中， ， 在中， ②， 则在中， ， 在中， 综上所述线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 【练习4】（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，，点M以每秒1个单位长度的速度沿从点A向点B运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿从点B向点C运动，点P以每秒2个单位长度的速度沿从点C向点D运动，三动点同时出发，设运动时间为t秒，当点N到达点C时，三点同时停止运动．点B关于的对称点为点Q，连接，，，．    (1)当t为何值时，四边形为正方形？并说明理由； (2)若以点M，N，B为顶点的三角形与以点N，P，C为顶点的三角形相似，求t的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定，轴对称的性质． （1）由轴对称的性质得到，，由矩形的性质得到，当时，四边形是正方形，得到，即可求出t的值； （2）分两种情况，由相似三角形的性质，即可解决问题． 【详解】（1）当时，四边形为正方形，理由如下： ∵点B关于的对称点为点Q， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，，此时四边形是正方形， 当运动t秒时，，，， ∴， ∴， ∴当时，四边形为正方形． （2）运动t秒时，，，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，得到， ∴， ∴， ②当时，得到， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， 综上所述，t的值为或． 【题型4 重心的有关性质】 进阶练习四 【练习1】（25-26·台湾·模拟预测）如图，内部有一点D，且的面积分别为5，4，3．若的重心为G，则下列叙述何者正确（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心，根据三角形重心的性质求出，从而根据三角形面积性质即可判断G，D的位置，从而得到答案． 【详解】解：∵内部有一点，且、、的面积分别为、、， ∴， 如图， E，F，H分别是所在边的中点，则G为的重心， 过G和A分别作的垂线，垂足分别为M、N， 则根据三角形重心的性质可知， ∴， 同理， ∴， ∴点、到的距离相等，且位于的同侧， ∴，故A正确，BCD错误； 故选：A． 【练习2】（2024·安徽阜阳·三模）如图，在中，与相交于点Q，点Q是的重心，D是的中点，与相交于点P．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．连接，根据重心的定义可得为的中位线，从而得到，进而得到，再由D是的中点，可得为的中位线，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点Q是的重心， ∴为的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即， ∵D是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：C 【练习3】（2025·上海嘉定·一模）如图，将一块含角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心逆时针旋转．如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，重心的性质，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的面积，旋转的性质，重心的性质，推出，且相似比为，利用的面积减去三个小三角形的面积求出重叠部分的面积即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， ∵为重心， ∴， ∵绕点旋转180度， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴重叠部分的面积为：； 故答案为：． 【练习4】（25-26九年级上·全国·期中）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，， 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心，勾股定理． （1）证明，即可得出结论； （2）延长到F，使，则是等腰三角形，延长交于H点，则垂直平分，易证E是的重心，求出，利用勾股定理即可求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到F，使，则是等腰三角形， ∵是的中线， ∴是的一条中位线， 延长交于H点，则垂直平分， ∴E是的重心， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴． 【题型5 相似三角形综合问题】 进阶练习五 【练习1】（24-25九年级下·浙江·期末）如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将阴影部分分别分割成两个规则图形，图一可以分为两个梯形，图二可分成两个三角形，设设=m，令AB=1,则AD=m，利用相似求出图形面积，结合面积比即可求出． 【详解】 设=m，令AB=1,则AD=m， ∵两个正三角形以AD、BC为底，所得图形是对称图形， ∴EF所在直线平行AD与BC， ∴AM=BM=， ∵∠HBE=90°-60°=30°， ∴AH=， ∴ME= 根据对称性关系可知EF=m-2×=m-，HG=m- ∴梯形EFGH面积= ∴S1=， 同理根据图二可知 AK=，△ABR的高为， ∴△QPR的高为， 根据△QPR∽△ABR， 求得PQ= ∴三角形PQR面积=， ∴S2=， ∵， 整理得到：， ∴化简求得m=或（舍弃）， ∴=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形、等边三角形有关知识，对知识的灵活运用要求较高，注重培养学生的分析问题和知识综合运用能力． 【练习2】（2025·山东烟台·一模）如图，正方形的边长为，以为底边在正方形内作等腰，点在边上，再在等腰中作最大的正方形，···，按照此规律继续下去，则第个等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质和正方形的性质可证A₁B₁=，同理A₂B₂=，依照规律即可求解． 【详解】如图，过点作EF∥AD交AB于点，则A₁D₁∥EF， 设等腰的底边长为， ，，， ，， ， ，解得， 等腰的底边长为， 同理可得等腰的底边长为，···， 以此类推可得第个等腰三角形△An-1Bn-1En-1的底边长为, 第2019个等腰三角形的底边为． 故选：A 【点睛】本题考查的是利用正方形性质和相似三角形的性质来求出A₁B₁的值，同理求出A₂B₂,…然后发现规律，根据规律求出第n个三角形的底边长．找到规律是解决问题的关键． 【练习3】（2023·山东德州·一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 【答案】①②④⑤ 【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰直角三角形，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴P，E，D，F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误， 连接，， ∵，， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【练习4】（2024·河北廊坊·二模）如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理求解三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及动点问题中距离与取值范围的探究．熟练掌握全等三角形的判定与相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间最小距离为； （3）解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 【题型6 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 进阶练习六 【练习1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【答案】D 【分析】由点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA1=1：3，可得位似比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】∵点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA1＝1：3， ∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似比为1：3， ∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是1：9． 故选：D． 【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意相似图形的周长的比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【练习2】（2025·黑龙江绥化·期中）如图，是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC． ∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3， ∴ = 故选A． 考点：位似变换． 【练习3】（24-25九年级上·全国·单元测试）三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是 ． 【答案】 【分析】由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比． 【详解】解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），∴△A′B′C′与△ABC的位似比是：1：3． 故答案为1：3． 【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比． 【练习4】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，，与位似，O点为位似中心，点B的对应点为． (1)在图中画出； (2)与的周长比为_______； (3)点是边上一个点，其对应点的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，在坐标系中画位似图形，求位似图形的对应坐标等知识点，熟练掌握位似图形的作图方法及位似图形的性质是解题的关键． （1）按照画位似图形的方法在图中画出即可； （2）根据位似中心，点及其对应点的坐标即可求出与的相似比； （3）由于点为位似中心，点是边上一个点，根据位似变换的坐标特征及相似比即可求出的对应点的坐标． 【详解】（1）解：在图中画出如下： （2）解：点的坐标为，O点为位似中心，点B 的对应点为， 与的相似比为：， ∴与的周长比为； 故答案为：； （3）解：点为位似中心，点是边上一个点， 的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 【题型7 坐标与图形综合】 进阶练习七 【练习1】（25-26八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出． 过点分别作轴，轴，垂足分别为点，先证明，推出，再通过点的坐标即可求出的值，从而得到点的坐标 ． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为点 ． ， ． 轴，轴， 和都是直角三角形 ． 在和中， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ． 点在轴正半轴上， ，故选：D ． 【练习2】（25-26八年级上·宁夏银川·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（为常数，且），则称点是点关于的“关联点”．如图，边长为的正方形，点坐标为，点在轴正半轴上．给出以下四个结论：点关于的“关联点”在线段上；点关于的“关联点”到原点的距离为；若点关于的“关联点”与点关于的“关联点”重合，则；若点是正方形边上一点（端点除外），其关于的“关联点”始终在正方形内部，则．则正确结论的序号为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，解决本题的关键是理解材料中的内容，根据材料提供的定义进行解答．先写出、、的坐标，求得点关于的“关联点”以及点关于的“关联点”，即可判断和；写出若点关于的“关联点”为，点关于的“关联点”为，根据重合，即可得到，判断；若点是正方形边上一点（端点除外），不妨设，其中，那么其关于的“关联点”为，根据始终在正方形内部，得到，，从而得到的范围，判断出，最后得出答案． 【详解】解：正方形的边长为4，点坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点关于的“关联点”为，即， 点关于的“关联点”不在线段上； 故错误； 点关于的“关联点”为，即， 到原点的距离为：， 故正确； 若点关于的“关联点”为， 点关于的“关联点”为， 又点关于的“关联点”与点关于的“关联点”重合， ， 解得：， 故错误； 若点是正方形边上一点（端点除外）， 不妨设，其中， 那么其关于的“关联点”为， 其关于的“关联点”始终在正方形内部， ，， ， 故正确； 故选：C． 【练习3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点为点， ∴， ∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，即点B是的中点， ∴，解得， ∴， 又∵点为的中点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【练习4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于． (1)求点的坐标； (2)点从点出发沿射线运动，运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，连接，请用含的表达式表示的面积； (3)在（2）的条件下，过点A作，交的延长线于点，交轴正半轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的面积公式，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用三角形面积公式列式运算即可； （2）利用三角形面积公式列式即可； （3）分类讨论的位置，过点作于点，当的面积等于的面积时，则，再利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意可得： 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴ ∴； （3）解：①当时，过点作于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， 当的面积等于的面积时，则， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于点，如图所示： 同理当的面积等于的面积时，则需要， 又∵，，， ∴， ∴此种情况不成立； 综上的坐标为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $