专题4.5图形的相似筑基52练（基础必刷题）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

专题4.5图形的相似筑基52练 【题型1 比例的性质】 1 【题型2 比例线段】 3 【题型3 成比例线段】 4 【题型4 黄金分割】 7 【题型5 由平行判断成比例的线段】 10 【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 14 【题型7 相似图形】 18 【题型8 相似多边形的性质】 20 【题型9 证明三角形的对应线段成比例】 23 【题型10 位似图形的识别】 25 【题型11 位似图形相关概念辨析】 27 【题型12 求两个位似图形的相似比】 30 【题型13 求位似图形的对应坐标】 33 【题型1 比例的性质】 筑基训练一 【练习1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在一张比例尺为的地图上，的面积表示的实际面积是（ ） A．1000 cm2 B．100m2 C．10m2 D．100000cm2 【答案】D 【分析】根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该地方的实际面积即可． 【详解】设该地方的实际面积为xcm2， 则1：x=（1：1000）2， 解得x=1000000． 故1cm2的面积表示的实际面积是100000cm2． 故选D． 【点睛】本题考查了比例尺的定义，关键是熟悉面积比是比例尺的平方比的知识点． 【练习2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是 平方米． 【答案】500 【分析】本题考查比例尺，掌握比例尺的换算是关键． 根据比例尺换算出长方形的土地实际的长与宽，计算即可． 【详解】解：∵测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，比例尺是， ∴实际长方形的土地长厘米米， 实际长方形的土地宽厘米米， ∴这块土地的实际面积是平方米． 故答案为：500． 【练习3】（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）在一张的地图上，测得我国澳门的面积为平方厘米，则澳门的实际面积是 平方千米 【答案】 【分析】设澳门的实际面积是，根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：设澳门的实际面积是， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例尺，解题的关键是理解题意，掌握比例尺． 【练习4】（2024九年级上·全国·专题练习）已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且a＋b＋c＝12. (1)试求a，b，c的值； (2)试求△ABC的面积． 【答案】(1) a＝5，b＝3，c＝4;(2)6 【详解】试题分析：(1)、设比值等于k，然后将a、b、c用含k的代数式来进行表示，然后代入a+b+c=12求出k的值，从而得出a、b、c的值；(2)、根据a、b、c的值得出三角形为直角三角形，从而根据直角三角形的面积计算法则求出三角形的面积． 试题解析：(1)、设，得a=3k－4，b=2k－3，c=4k－8， ∵a＋b＋c=12，∴3k－4＋2k－3＋4k－8=12， 解得：k=3，∴a=5，b=3，c=4； (2)、∵32＋42＝52，即b2＋c2＝a2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝×3×4＝6. 点睛：本题主要考查的就是比例的性质以及直角三角形的判定和面积的计算，属于简单题型．对于这种题型，我们一般设已知等式的值为k，然后根据等式的值求出k的值，从而得出题目中未知数的值，然后进行计算．如果三边的长度满足较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形就是直角三角形． 【题型2 比例线段】 筑基训练二 【练习1】（24-25九年级下·全国·单元测试）某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可． 【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得： 1：x2＝1：9000000， 解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）． 则该地图的比例尺是1：3000； 故选：B． 【点睛】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键． 【练习2】（24-25九年级下·全国·单元测试）图中的八边形是由10个单位正方形所组成的，在PQ下面的部分包含一个单位正方形与底边为5的三角形．若PQ恰将这八边形平分成两个面积相等的部分，则之值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设QY＝x，则XQ＝1﹣x，根据题意得到：PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形5×（1+x）+1＝5，解方程即可求得结果． 【详解】设QY＝x，则XQ＝1﹣x． ∵PQ恰将这八边形平分成两个面积相等的部分，∴PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形5×（1+x）+1＝5，解得：x，∴QY，则XQ＝1﹣x＝1，∴XQ：QY2：3． 故选D． 【点睛】本题考查了比例线段、不规则图形的面积的求解方法：注意将原图形分割求解．此题难度不大，要注意仔细识图． 【练习3】（24-25八年级下·重庆·期末）地图上某地的面积为100cm2，比例尺是l：500，则某地的实际面积是 m2． 【答案】2500 【详解】设某地的实际面积为xcm2， 则100：x=（1：500）2， 解得x=25000000cm2． 25000000cm2=2500m2． ∴某地的实际面积是2500平方米． 【练习4】（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 【题型3 成比例线段】 筑基训练三 【练习1】（24-25九年级上·全国·期中）在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是（　　）m2． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该园区的实际面积是， ∵地图上长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区的面积为ab平方厘米，根据题意得：， ∴，即可得平方厘米＝平方米． 故选D． 【练习2】（2024·浙江金华·一模）下列有关比例中项的描述正确的有（ ） （1）若a，b，c满足，则b是a，c的比例中项； （2）实数b是2，8的比例中项，则b=4； （3）如图1，点F是EG边上一点，且∠EDF=∠G，则DE是EF，EG的比例中项； （4）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，两对角线相交于点O，记△AOD，△ABO，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则S2是S1、S3的比例中项． A．（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（3） 【答案】B 【详解】试题分析：（1）根据比例中项的定义，若a，b，c满足=，则b2=ac，b是a，c的比例中项，符合题意； （2）根据比例的基本性质，依题意有b2=2×8，解得b=±4，不符合题意； （3）根据AA可得△DEF∽△GED，根据相似三角形的性质和比例中项的定义，可知EF：DE=DE：EG，即DE2=EF•EG，因此可得DE是EF，EG的比例中项，符合题意； （4）根据AD∥BC得到△AOD∽△COB，可得相似三角形相似比，再利用同高的三角形面积比等于底边比，即可得S1：S2=S2：S3，因此可知S1•S3=S22，则S2是S1、S3的比例中项，符合题意． 故选B． 考点：比例线段 【练习3】（24-25八年级下·上海·期末）我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是 ． 【答案】18 【分析】根据比例中项的定义可求对角线的乘积．再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：对角线的乘积， 菱形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是解题关键． 【练习4】（2024九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，． (1)求的长； (2)若的面积为70，求的面积． 【答案】(1)， (2)28 【分析】（1）先求得，再根据求得；由求得； （2）先由“高相等的两个三角形的面积的比等于底的比”求得，则，再由，求得的面积． 【详解】（1），，，， ， ， ； ， ， ，； （2）设点到的距离为，点到的距离为， ， ， ， ， 的面积是28． 【点睛】此题重点考查成比例线段、高相等的两个三角形的面积的比等于底的比等知识，根据线段成比例求出线段的长是解题的关键． 【题型4 黄金分割】 筑基训练四 【练习1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2． 【详解】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴PA2=PB•AB， 又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积， ∴S1=PA2，S2=PB•AB， 又∵PA2=PB•AB， ∴S2= PA2． ∴S1=S2． 故选B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 【练习2】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，S3：S2的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设AB＝a，根据黄金比值用a表示出AE、BE，根据矩形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：设AB＝a， ∵点E是边AB边上的黄金分割点，AE＞EB， ∴AEABa， 则BE＝AB﹣AE＝aaa， ∴S3：S2， 故选：C． 【点睛】本题考查是黄金分割的概念、黄金比值，熟记黄金比值为是解题的关键． 【练习3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，若表示以为边的正方形面积，表示以为长、为宽的矩形面积，且，则图中可看作线段黄金分割点的是 ． 【答案】点C和点D 【分析】此题考查了黄金分割点．根据面积关系得到，再根据黄金分割点的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴点C是线段的黄金分割点， ∵， ∴， ∴点D是线段的黄金分割点， 综上可知，图中可看作线段黄金分割点的是点C和点D， 故答案为：点C和点D 【练习4】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知点是线段的黄金分割点，且． (1)若，求的长． (2)若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间的关系是解决问题的关键． （1）设，，根据黄金分割点的概念得到，再列方程求解即可． （2）分别求出，再根据即可得解． 【详解】（1）解：设，， 点是线段的黄金分割点，且， ， ， 解得， ，不符合题意， ， 的长为． （2）解：表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积， ， 由（1）知，， ． 【题型5 由平行判断成比例的线段】 筑基训练五 【练习1】（2023·浙江宁波·二模）如图，过的对称中心的线段交于点，交于点为边上的一点，作交于，连结，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知道的面积（    ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积 【答案】B 【分析】过点P作于点N，过点A作于点M，则，得到，由过的对称中心，则，由，得到进一步得到，，则可得到，即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点N，过点A作于点M， ∴， ∴， ∵过的对称中心， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴， 即只需要知道的面积，就能知道的面积． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键 【练习2】（2024九年级上·江苏南京·期末）如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（    ） A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72 【答案】B 【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题； 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC， ∵DF=CF，BE=CE， ∴，， ∴， ∴BG=GH=DH， ∴S△ABG=S△AGH=S△ADH， ∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH， ∴S△AGH：=1：6， ∵E、F分别是边BC、CD的中点, ∴, ∴, ∴, ∴=7∶24, 故选B. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等． 【练习3】（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，点A在第二象限内，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过A点作AH⊥OB于H，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH、AH、BH的长度，再根据平行线分线段成比例求出OC，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】 过A点作AH⊥OB于H，在Rt△OAH中， ， ， ， ， ，即， ， ， 故△AOC的面积为． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质、三角形面积公式以及平行线分线段成比例，平行线分线段成比例求OC是本题的关键． 【练习4】（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均落在格点上．    (1)的面积等于________． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，过点画一条直线，交于点，使的面积等于面积的3倍，并简要说明画图的方法__________．（不要求证明） 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求出答案； （2）根据题意，在上取，即可画出图形． 【详解】（1）解：； （2）解：如图：找的四等分点，连接为所求．      作法：①取线段，在线段取一点，使， ②过作的平行线，使，交于点， ③作直线． 则直线就是所求作的直线． 【点睛】本题考查了由平行判断成比例的线段，复杂作图，以及三角形的面积，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，巧妙利用格点作四等分点，属于作图中比较难的题目． 【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 筑基训练六 【练习1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．25：16 【答案】A 【分析】过点C作，交的延长线于点E，利用平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积特点解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 则，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【练习2】（2024·浙江嘉兴·二模）如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相邻两条直线之间的距离相等，△ABC的顶点A，B，C分别在l1，l3，l5上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，AC交l2于点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（　　） A．3. 5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】观察图形可以发现, 以BG为底,把△ABC 分成与计算较好,根据平行线分线段成比例定理,可得,的高与△DEF都相等,那么再求出底与的比例,按照三角形面积计算公式计算即可. 【详解】解：如图， ∵每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为2， ∴ ×DF×2＝1， ∴DF＝1， ∵DF∥BG， ∴ ＝＝， ∴BG＝2， ∴S△ABC＝S△ABG+S△BCG＝×2×2+ ×2×2＝4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理,理解掌握定理,仔细观察图形,寻找比例关系是解答关键. 【练习3】（2024九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，若四边形的面积恰好是面积的一半，则 ． 【答案】/4 【分析】连接，由已知推出的面积是的面积的4倍，得到的面积的面积，即可求解． 【详解】解：连接， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形的面积恰好是面积的一半， 的面积是的面积的4倍， 的面积的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是连接得到的面积是的面积的4倍． 【练习4】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，与平行？ (2)面积能否等于？请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，一元二次方程根与判别式的关系，三角形的面积，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设x秒后，与平行，根据平行线分线段成比例可得，列方程求解即可； （2）设P，Q分别从A，B同时出发，运动t秒，则，根据三角形的面积公式列出关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式的关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：设x秒后，与平行， ∴， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴当P，Q分别从A，B同时出发，秒后，与平行． （2）解：不能，理由如下： 设P，Q分别从A，B同时出发，运动t秒，则， 若面积能等于， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴面积不能等于． 【题型7 相似图形】 筑基训练七 【练习1】（2024·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似比得到面积之比是解题的关键． 【详解】解：以顶点为位似中心进行位似变换， 正方形与正方形相似， ， 正方形与正方形的面积比为， 纪念徽章的面积是， 故选：D． 【练习2】（2023·河北衡水·模拟预测）《西游记》的事故家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．若这个过程可以看成是平面直角坐标系中的一次无旋转的变化，设变化前树叶尖部某点的坐标为，在咒语中变化后得到对应点的坐标为，则变化后树叶的面积变为原来的(   ) A．20倍 B．200倍 C．400倍 D．4000倍 【答案】C 【分析】根据题意无旋转的放大变化为相似方法和平移，所以考查面积变化只需要考虑相似放大，根据坐标的变化得到边长的放大倍率，坐标的加减变化为移动，不影响大小变化．再利用相似图形的面积比为相似比的平方，可计算出放大倍率． 【详解】题意树叶放大后射向妖魔可得树叶做了放大和平移变化，平移不影响面积大小． 由坐标变化可知边长放大倍率为20倍，相似图形的面积比为相似比的平方，所以面积放大了倍． 故选C. 【点睛】本题是材料分析类型，考查了图形的几何变化，阅读材料后利用信息解题．图形的几何变化有“平移、对称、放缩“三种，其中相似放缩中注意面积比是等于边长比的平方，计算时须小心． 【练习3】（24-25八年级下·上海·期中）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【答案】（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 【练习4】（2024·山东日照·一模）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析． 【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形． 【详解】解：（1）存在 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）不存在 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【点睛】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． 【题型8 相似多边形的性质】 筑基训练八 【练习1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）两个相似多边形的相似比为，则下列结论正确的是（　　） A．周长之比为 B．对应角之比为 C．面积之比为 D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应角相等逐项判断即可． 【详解】解：A、如果两个相似多边形的相似比为，那么它们的周长之比为，故该选项错误，不符合题意； B、如果两个相似多边形的相似比为，那么它们对应角之比为，故该选项错误，不符合题意； C、如果两个相似多边形的相似比为，那么它们的面积之比为，故该选项正确，符合题意； D、C选项正确，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【练习2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键．根据相似多边形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 矩形矩形，且面积比为， ， ， ． 故选：B 【练习3】（24-25九年级上·河北·期末）若两个形状相同的多边形的面积比为，则它们的对应边的比为： ； 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质．根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵两个形状相同的多边形， ∵这两个多边形是相似多边形， ∴两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， 故答案为：． 【练习4】（2024九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意可得，，根据相似多边形的性质得，据此代值计算即可； （2）根据相似多边形的性质得，然后利用比例性质求出，再利用矩形面积公式计算矩形的面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形与矩形相似， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵矩形与原矩形相似， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 【题型9 证明三角形的对应线段成比例】 筑基训练九 【练习1】（24-25九年级上·全国·期中）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵DE把△ABC分成的两部分面积相等， ∴S△ADE=S△ABC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【练习2】（24-25九年级下·全国·单元测试）小李家承包了两块三角形土地和△A´B´C´，已知，且的面积为，则△A´B´C´的面积是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题. 【详解】解：∵ ∴∽， ∴S△ABC：S△A´B´C´=9：16, ∵的面积为， ∴的面积是 , 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的性质是解题关键. 【练习3】（24-25九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 【练习4】（24-25九年级上·全国·期中）已知，＝，的角平分线CD＝4cm，的面积为64cm2 求：（1） 的角平分线的长； （2）的面积． 【答案】（1）8cm；（2）256cm 【分析】（1）利用三角形相似性质得到对应边的比相似比角平分线的比解题即可； （2）根据相似的性质求得相似比，再根据面积比相似比的平方解题即可． 【详解】解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，， . ∵△ABC的角平分线CD＝4 cm， ∴C′D′＝4×2＝8 (cm)． (2)∵△ABC∽△A′B′C′，， . ∵△ABC的面积为64 cm2，∴△A′B′C′的面积＝64×4＝256 (cm2)． 【点睛】本题考查三角形相似的性质，是常见考点，难度一般，熟练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题关键． 【题型10 位似图形的识别】 筑基训练十 【练习1】（2024·广东阳江·一模）下列说法中，正确的个数有（  ） ①位似图形都相似； ②两个等边三角形一定是位似图形； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为； ④两个圆一定是位似图形； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查位似，相似，掌握相关知识是解决问题的关键．根据概念逐项判断即可 【详解】①位似图形都相似，原命题正确，故此选项符合题意； ②两个等边三角形不一定是位似图形，原命题错误，故此选项不符合题意； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为，原命题错误，故此选项不符合题意； ④两个圆一定是位似图形，原命题正确，故此选项符合题意； 故选：B． 【练习2】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意； △ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将△ABC的三边缩小到原来的， ∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意； ∵面积比等于相似比的平方， ∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键． 【练习3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形的对应边平行，是的中位线，若四边形的面积4，则四边形面积是 ．    【答案】16 【分析】根据位似图形的判定可得四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形，然后根据位似图形的性质可得，然后根据三角形中位线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形与四边形的对应边平行， ∴四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形 ∴ ∵是的中位线，若四边形的面积4， ∴EH=2AD ∴ 解得： 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质，掌握位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质是解决此题的关键． 【练习4】（24-25九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，以点O为位似中心，将放大得到若，则与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，运用相似比的平方等于面积比求解即可． 【详解】由题，根据位似图形的性质可得：， 且放大得到， ∴△ABC∽△DEF，相似比为， 根据相似图形面积比等于相似比的平方， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形的性质及相似三角形的面积比，熟记面积比等于相似比的平方是解题关键． 【题型11 位似图形相关概念辨析】 筑基训练十一 【练习1】（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）与是位似图形，且与的相似比是．已知的面积是3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，与位似比是， ∴，且与相似比是， ∴与面积比是， ∵， ∴， 故选：D． 【练习2】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 【答案】B 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式．根据位似图形的性质，对各选项依次分析可得答案． 【详解】解：A、每对对应点所在的直线相交于同一点，故本选项不符合题意； B、两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，故本选项符合题意； C、根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，故本选项不符合题意； D、根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 【练习3】（2024·江苏苏州·一模）如图，与是位似图形，点为位似中心，若，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵OA′=A′A， ∴ ， ∵△A′B′C′与△ABC是位似图形， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴△A′B′C′与△ABC的面积比， 故答案为：1：4． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【练习4】（24-25九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 【答案】9 【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积． 【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形， ∴△DEF∽△BCF， ∴＝（）2＝， ∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4， ∵EF：FC＝1：2， ∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF， ∴S△BEF＝2， ∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式． 【题型12 求两个位似图形的相似比】 筑基训练十二 【练习1】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似及相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由与是以点为位似中心的位似图形，可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为； 故选B． 【练习2】（2024·重庆·三模）如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【练习3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出与关的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵与关于点位似， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【练习4】（2023·河南周口·一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标； (2)与的位似比为__________，面积比为__________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接、，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可； （2）根据，，即可得出相似比和面积比． 【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．    （2）解：∵，， ∴与的位似比为：， 与的面积比为：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【题型13 求位似图形的对应坐标】 筑基训练十三 【练习1】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换的性质，掌握位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于．根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，进一步可得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似， ∴矩形矩形， ∵矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故选：D． 【练习2】（2024·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形与等边三角形是以原点为位似中心的位似图形，面积比为，点、、均在轴上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，在平面直角坐标系中，位似图形是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比为k或，据此解答即可． 【详解】解：∵正与正是以原点O为位似中心，且面积比为， ∴，且相似比为． ∵点C的坐标为， ∴点E的坐标为，即． 故选：C． 【练习3】（24-25九年级下·新疆·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，则有它们的相似比为，然后分类进行求解即可． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵它们的面积比为， ∴它们的相似比为， ∵， 当点在y轴的右侧时， ∴，即； 当点在y轴的左侧时， ∴，即； 故答案为或． 【练习4】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得． (1)在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法） (2)计算的面积； (3)内一点，内与点P对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见详解 (2)8 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，位似图形的性质，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）利用网格的特征，列式计算，求出的面积，即可作答． （3）根据位似图形的性质，且结合内一点，则内与点P对应的点的坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：符合要求的，如图所示： （2）解：依题意，的面积 （3）解：∵以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得，且内一点， ∴内与点P对应的点的坐标为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5图形的相似筑基52练 【题型1 比例的性质】 1 【题型2 比例线段】 2 【题型3 成比例线段】 3 【题型4 黄金分割】 4 【题型5 由平行判断成比例的线段】 5 【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 6 【题型7 相似图形】 8 【题型8 相似多边形的性质】 9 【题型9 证明三角形的对应线段成比例】 10 【题型10 位似图形的识别】 11 【题型11 位似图形相关概念辨析】 12 【题型12 求两个位似图形的相似比】 13 【题型13 求位似图形的对应坐标】 14 【题型1 比例的性质】 筑基训练一 【练习1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在一张比例尺为的地图上，的面积表示的实际面积是（ ） A．1000 cm2 B．100m2 C．10m2 D．100000cm2 【练习2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是 平方米． 【练习3】（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）在一张的地图上，测得我国澳门的面积为平方厘米，则澳门的实际面积是 平方千米 【练习4】（2024九年级上·全国·专题练习）已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且a＋b＋c＝12. (1)试求a，b，c的值； (2)试求△ABC的面积． 【题型2 比例线段】 筑基训练二 【练习1】（24-25九年级下·全国·单元测试）某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级下·全国·单元测试）图中的八边形是由10个单位正方形所组成的，在PQ下面的部分包含一个单位正方形与底边为5的三角形．若PQ恰将这八边形平分成两个面积相等的部分，则之值为（　　） A． B． C． D． 【练习3】（24-25八年级下·重庆·期末）地图上某地的面积为100cm2，比例尺是l：500，则某地的实际面积是 m2． 【练习4】（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【题型3 成比例线段】 筑基训练三 【练习1】（24-25九年级上·全国·期中）在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是（　　）m2． A． B． C． D． 【练习2】（2024·浙江金华·一模）下列有关比例中项的描述正确的有（ ） （1）若a，b，c满足，则b是a，c的比例中项； （2）实数b是2，8的比例中项，则b=4； （3）如图1，点F是EG边上一点，且∠EDF=∠G，则DE是EF，EG的比例中项； （4）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，两对角线相交于点O，记△AOD，△ABO，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则S2是S1、S3的比例中项． A．（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（3）（4） D．（1）（3） 【练习3】（24-25八年级下·上海·期末）我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是 ． 【练习4】（2024九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，． (1)求的长； (2)若的面积为70，求的面积． 【题型4 黄金分割】 筑基训练四 【练习1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【练习2】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，S3：S2的值为（　　） A． B． C． D． 【练习3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，若表示以为边的正方形面积，表示以为长、为宽的矩形面积，且，则图中可看作线段黄金分割点的是 ． 【练习4】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知点是线段的黄金分割点，且． (1)若，求的长． (2)若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．试判断与的大小关系，并说明理由． 【题型5 由平行判断成比例的线段】 筑基训练五 【练习1】（2023·浙江宁波·二模）如图，过的对称中心的线段交于点，交于点为边上的一点，作交于，连结，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知道的面积（    ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．四边形的面积 【练习2】（2024九年级上·江苏南京·期末）如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（    ） A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72 【练习3】（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，点A在第二象限内，，，，则的面积是 ． 【练习4】（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均落在格点上．    (1)的面积等于________． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，过点画一条直线，交于点，使的面积等于面积的3倍，并简要说明画图的方法__________．（不要求证明） 【题型6 由平行截线求相关线段的长或比值】 筑基训练六 【练习1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．25：16 【练习2】（2024·浙江嘉兴·二模）如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，且l1，l2，l3，l4，l5中相邻两条直线之间的距离相等，△ABC的顶点A，B，C分别在l1，l3，l5上，AB交l2于点D，BC交l4于点E，AC交l2于点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（　　） A．3. 5 B．4 C．4.5 D．5 【练习3】（2024九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，若四边形的面积恰好是面积的一半，则 ． 【练习4】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，与平行？ (2)面积能否等于？请说明理由． 【题型7 相似图形】 筑基训练七 【练习1】（2024·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2023·河北衡水·模拟预测）《西游记》的事故家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．若这个过程可以看成是平面直角坐标系中的一次无旋转的变化，设变化前树叶尖部某点的坐标为，在咒语中变化后得到对应点的坐标为，则变化后树叶的面积变为原来的(   ) A．20倍 B．200倍 C．400倍 D．4000倍 【练习3】（24-25八年级下·上海·期中）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【练习4】（2024·山东日照·一模）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【题型8 相似多边形的性质】 筑基训练八 【练习1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）两个相似多边形的相似比为，则下列结论正确的是（　　） A．周长之比为 B．对应角之比为 C．面积之比为 D．以上结论都不对 【练习2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 【练习3】（24-25九年级上·河北·期末）若两个形状相同的多边形的面积比为，则它们的对应边的比为： ； 【练习4】（2024九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 【题型9 证明三角形的对应线段成比例】 筑基训练九 【练习1】（24-25九年级上·全国·期中）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（    ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级下·全国·单元测试）小李家承包了两块三角形土地和△A´B´C´，已知，且的面积为，则△A´B´C´的面积是（      ） A． B． C． D． 【练习3】（24-25九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【练习4】（24-25九年级上·全国·期中）已知，＝，的角平分线CD＝4cm，的面积为64cm2 求：（1） 的角平分线的长； （2）的面积． 【题型10 位似图形的识别】 筑基训练十 【练习1】（2024·广东阳江·一模）下列说法中，正确的个数有（  ） ①位似图形都相似； ②两个等边三角形一定是位似图形； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为； ④两个圆一定是位似图形； A．个 B．个 C．个 D．个 【练习2】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1 【练习3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形的对应边平行，是的中位线，若四边形的面积4，则四边形面积是 ．    【练习4】（24-25九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，以点O为位似中心，将放大得到若，则与的面积之比为 ． 【题型11 位似图形相关概念辨析】 筑基训练十一 【练习1】（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）与是位似图形，且与的相似比是．已知的面积是3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【练习2】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 【练习3】（2024·江苏苏州·一模）如图，与是位似图形，点为位似中心，若，则与的面积比为 ． 【练习4】（24-25九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 【题型12 求两个位似图形的相似比】 筑基训练十二 【练习1】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【练习2】（2024·重庆·三模）如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【练习3】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为 ． 【练习4】（2023·河南周口·一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标； (2)与的位似比为__________，面积比为__________． 【题型13 求位似图形的对应坐标】 筑基训练十三 【练习1】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【练习2】（2024·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形与等边三角形是以原点为位似中心的位似图形，面积比为，点、、均在轴上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【练习3】（24-25九年级下·新疆·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【练习4】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得． (1)在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法） (2)计算的面积； (3)内一点，内与点P对应的点的坐标为______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $