专题4.5～4.7 相似三角形的判定、应用与性质（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题4.5-4.7 相似三角形的判定、应用与性质 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：相似三角形的相关概念 1 知识点梳理02：相似三角形的判定 2 知识点梳理03：相似三角形的性质 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：相似三角形判定定理的证明 4 考点2：相似三角形实际应用 5 考点3：证明三角形的对应线段成比例 8 考点4：利用相似三角形的性质求解 9 考点5：相似三角形的判定与性质综合 10 考点6：利用相似求坐标 11 考点7：在网格中画与已知三角形相似的三角形 13 考点8：相似三角形—动点问题 14 考点9：重心的有关性质 16 考点9：相似三角形实际应用 17 考点10：相似三角形的综合问题 19 中考真题 实战演练 21 难度分层 拔尖冲刺 26 基础夯实 26 培优拔高 29 知识点梳理01：相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点梳理02：相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点梳理03：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 =注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 考点1：相似三角形判定定理的证明 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业） (1)如图①，在中，是上一点，，垂足为D．求的长． (2)如图②，在中，，点分别在线段上，．求的长． 【变式训练1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 【变式训练2】（21-22九年级上·陕西·期中）问题探究 （1）如图1所示，在四边形ABCD中，与互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是______； 问题解决 （2）如图2所示，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中，与互余，，，，求BD的长． 考点2：相似三角形实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 【变式训练2】（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 考点3：证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【变式训练1】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ． 【变式训练2】（2022·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 考点4：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，点是轴负半轴上一点，且． (1)求点、、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 【变式训练2】（2023八年级下·全国·竞赛）如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．问一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是多少？ A． B． C． D． 考点5：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【变式训练2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，为等腰三角形，，，点为边的中点．过点作，连接交边于点，且．将绕着点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，交边于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，平分交延长线于点，连接，当时，请直接写出四边形的面积． 考点6：利用相似求坐标 【典例精讲】（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【变式训练2】（21-22九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点． （1）如图，当点在边上时，联结． ①求证：； ②若，求的长； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 考点7：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【变式训练1】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2的网格中作出与相似的最小格点． 【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中位线EF，使点E、F分别在边、上． (3)在图③中画，使，与的相似比为，且于点M． 考点8：相似三角形—动点问题 【典例精讲】（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【变式训练2】（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 考点9：重心的有关性质 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为 ． 【变式训练1】（22-23九年级上·全国·期中）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 【变式训练2】（21-22九年级下·浙江宁波·自主招生）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． (1)①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； (2)在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 考点9：相似三角形实际应用 【典例精讲】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图①所示，在灯柱上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定榕树在地面上的影子； ②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图①，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长，均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度； (2)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物高为50米，建筑物上有一个广告牌，合计总高度为70米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌的底端M处，观测者沿着直线向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌的顶端E处．则广告牌的高度为多少米． 【变式训练2】（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 考点10：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【变式训练1】（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【变式训练2】（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【真题演练1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点.    （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，连接交于点．若，求的值．    【真题演练2】（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？      【真题演练3】（2025·吉林长春·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）    A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 【真题演练4】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【真题演练5】（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 基础夯实 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列说法中，两个三角形不相似的是（    ） A．一个三角形的两个角分别是；另一个三角形的两个角分别是 B．一个三角形的三边长分别是；另一个三角形的三边长分别是 C．一个三角形的两边长分别是和，夹角是；另一个三角形的两边长分别是和，夹角是 D．各有一个角是的两个等腰三角形 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 3．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小姚的身高为1.6米，他在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一栋教学楼的影长为15米，则该教学楼的高度为 米． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，四边形的对角线交于点O，，如果，那么的值是 ． 7．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 8．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形为矩形，，则的度数为 ． 10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)用含有的代数式表示________； (3)当面积是的面积的倍时，求出的值． 培优拔高 11．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，用直尺和圆规在上确定点，具体操作过程是：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·山东·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 14．（18-19九年级·全国·课后作业）下列能判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 15．（22-23九年级下·辽宁本溪·开学考试）《海岛算经》是我国最早的一部测量数学专著，书中第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根长度相等的标杆和，两杆之间的距离步，，，共线；从到走123步，此时A，，三点共线；从到走127步，此时A，，三点共线．计算山峰的高度及的长．若设步，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）小玲很想知道法门寺合十舍利塔的高度，于是，她带着测量工具来到合十舍利塔进行测量．测量方案如下：如图，首先，小玲在点C处放置一平面镜，她从点C处沿后退，当后退到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为；然后，小玲沿的延长线继续后退到点G处，用测倾器测得舍利塔的顶端A的仰角为，此时，测得，测倾器的高度．已知点在同一水平直线上，且均垂直于，则合十舍利塔的高度为 m． 17．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H，若H恰好为的中点，则的长为 ． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知和，边，交于点，，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 19．（17-18九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，在四边形中，，，，，，点是轴上一个动点，点不与点、重合，连接，点是边上一点，连接. （1）求点的坐标； （2）若是等腰三角形，求此时点的坐标； （3）当点在边上，，且时，求此时点的坐标. 20．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连结、交于点，若，求的值． (1)猜想证明： 思路1：过点作交于点． 思路2：过点作交于点． 思路3：过点作分别交延长线于点、点． 请选择一种思路、写出解答过程． (2)类比探究： 如图②，在中，是边上的点，是边延长线上的点，连结、交延长线于点．若，且面积为2，则四边形的面积为________． (3)延伸拓展： 如图③，在矩形中，、分别为边、上的点，，，与、分别交于点．若，，则的长为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5-4.7 相似三角形的判定、应用与性质 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：相似三角形的相关概念 1 知识点梳理02：相似三角形的判定 2 知识点梳理03：相似三角形的性质 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：相似三角形判定定理的证明 4 考点2：相似三角形实际应用 8 考点3：证明三角形的对应线段成比例 13 考点4：利用相似三角形的性质求解 17 考点5：相似三角形的判定与性质综合 21 考点6：利用相似求坐标 28 考点7：在网格中画与已知三角形相似的三角形 35 考点8：相似三角形—动点问题 38 考点9：重心的有关性质 42 考点9：相似三角形实际应用 48 考点10：相似三角形的综合问题 55 中考真题 实战演练 61 难度分层 拔尖冲刺 72 基础夯实 72 培优拔高 79 知识点梳理01：相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点梳理02：相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点梳理03：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 =注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 考点1：相似三角形判定定理的证明 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业） (1)如图①，在中，是上一点，，垂足为D．求的长． (2)如图②，在中，，点分别在线段上，．求的长． 【答案】(1) ； (2) 。 【思路引导】（1）证明，根据相似三角形的性质得到，把边长代入即可求解； （2）在上截取，连接BH，根据等边三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到相似比，即可求解。 【规范解答】（1）解： ； 又， ． ， ， 解得； 故答案为. （2）解：在上截取，连接，如图． ， 为等边三角形， ， ． ， ， ． 又， ， 即， 解得． 【变式训练1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（1）作的平分线交于点即可； （2）由，得，由，，则，由，即可得证． 【规范解答】（1）解：作的平分线交于点， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点即为所作； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【思路引导】本题考查基本作图—作角平分线，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． 【变式训练2】（21-22九年级上·陕西·期中）问题探究 （1）如图1所示，在四边形ABCD中，与互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是______； 问题解决 （2）如图2所示，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中，与互余，，，，求BD的长． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）易得∠ADE=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90゜，由勾股定理可得AD、DE、AE三者间的数量关系； （2）在∠ADC的外部作，过点C点作CE⊥DF于E，连接AE；则由（1）得∠ADE=90゜．易得△CDE∽△CBA，从而有DE=2CE，∠DCE=∠BCA，则有∠ACE=∠BCD，由勾股定理可得AE的长及，从而可得△ECA∽△DCB，由相似三角形的性质可求得BD的长． 【规范解答】（1）∵∠ADE=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90゜ ∴在Rt△ADE中，由勾股定理得： 即AD、DE、AE三者间的数量关系为 故答案为： （2）在∠ADC的外部作，过点C点作CE⊥DF于E，连接AE 则由（1）得∠ADE=90゜ ∵∠CED=∠BAC=90゜， ∴△CDE∽△CBA ∴，∠DCE=∠BCA ∴DE=2CE ∵∠DCE=∠BCA ∴∠DCE+∠ACD=∠BCA+∠ACD ∴∠ACE=∠BCD 在Rt△DCE中，由勾股定理得： 即 ∴， ∴在Rt△ADE中，由勾股定理得： ∵在Rt△ABC中，AB=2AC ∴由勾股定理得： ∴ ∵∠ACE=∠BCD ∴△ECA∽△DCB ∴ ∴ 即BD的长为． 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题的关键根据探究问题（1）获得问题（2）的解题思路，从而顺利完成本题． 考点2：相似三角形实际应用 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，跨学科物理学知识，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）如图所示：    ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示：    ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】米 【思路引导】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【规范解答】解：过点作水平线交于点，交于点，如图，    ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴(米)． ∴这棵树的高度为米． 【变式训练2】（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【思路引导】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【规范解答】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 考点3：证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【规范解答】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查直角平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． 连接交于O，证明四边形是平行四边形，再根据得出，利用勾股定理即可求解. 【规范解答】解：如图，连接交于O． ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 【变式训练2】（2022·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【思路引导】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【规范解答】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 考点4：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，点是轴负半轴上一点，且． (1)求点、、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)存在，点的坐标为或． 【思路引导】（1）根据题意即可求得点、、的坐标； （2）求得是等腰直角三角形，作于点，求得是等腰直角三角形，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【思路引导】此题考查了一次函数综合题，相似三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，解题的关键学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数图象的交点坐标． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【思路引导】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可得出的值； （3）分两种情况考虑，根据三角形相似可得对应边成比例，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ， ， ， 点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ； 故答案为：；； （2）由题意得：， 解得： (不合题意舍去)，， 当秒时，的长度等于； （3）在中，，， 又 与以B、P、Q为顶点的三角形相似， 或， 即或， 解得：或， 故的值为：或． 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质、列代数式、勾股定理、解一元二次方程，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式训练2】（2023八年级下·全国·竞赛）如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．问一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是多少？ A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了相似，利用相似图形的相似比求对应的面积比是解题的关键，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【规范解答】解：延长、和相交于点，如下图所示： 四边形为等腰梯形， ， 在和中， ， ． ， ，， ， ， 故选：． 考点5：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算求出，再由求解即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ∵ 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴． 【变式训练1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【思路引导】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【规范解答】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 【变式训练2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，为等腰三角形，，，点为边的中点．过点作，连接交边于点，且．将绕着点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，交边于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，平分交延长线于点，连接，当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）由得到，由得到，，根据旋转得到，因此，从而根据三角形的内角和定理可求解． （2）延长至点G，使得，则，由垂直平分线的性质得到 ，因此，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，从而有，证明得到，即可得证． （3）连接，由等腰三角形的“三线合一”与角平分线的定义得到，得出是等腰直角三角形，，即可证明，得到，从而，则是等腰直角三角形，．设，则，在中，根据勾股定理构造方程，求解得到，，证明，则在中，．由（2）得到，则，由是等腰直角三角形，得到，因此在中，求得，证明，得到，即可求得．过点Q作，交的延长线于点H，根据角平分线的性质得到，即可求得，再根据即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ， 由旋转得， ∴， ∴． （2）证明：延长至点G，使得，则，连接 ∵，即， ∴， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由（2）可知， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 由（2）有， ∴， ∴， 由（1）有，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 过点Q作，交的延长线于点H， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 考点6：利用相似求坐标 【典例精讲】（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【思路引导】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【规范解答】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【思路引导】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【思路引导】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【规范解答】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴， ， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 【变式训练2】（21-22九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点． （1）如图，当点在边上时，联结． ①求证：； ②若，求的长； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为或 【思路引导】（1）①先证明，再证明，，推导出，得； ②由，得，依次求出、、、的长，再根据勾股定理求出的长，再求出的长； （2）分三种情况讨论，一是，可证明，求出AP的长，在中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是，可证明，则，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线没有交点． 【规范解答】（1）①证明：如图1，，， （AA）， ， ，， （AA）， ， ，， ， （SAS）， ， ，． ②如图1，， ， ∵ ∴∠BAE=∠CBA 又∵∠AFE=∠BFC （AA）， ， ，， ， ，， ∵ ∴， ， ，， ∵∠ EAC =∠ CDE=90° ∴C、A、E、D四点共圆， ∴∠CEA=∠CDA ∴△AEF∽△DCF（AA） ∴， ∴，即， 解得， ． （2）如图2，， ， ， ， ，， ， ， ， ∵ ∴ C、E、A、D四点共圆 又∵∠ CDE=90° ∴ ∠ CAE=90° ∴， ， ， ， ∴ △AFE ∽ △ BFC ， 如图3，， ， ，， 设交于点， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图4，，则， ，， ， ， ， 射线与射线没有交点， 综上所述，的长为或． 【思路引导】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，分类讨论等腰三角形PCE边的关系式解决本题的关键． 考点7：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【思路引导】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【规范解答】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 【变式训练1】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2的网格中作出与相似的最小格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可． 【规范解答】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，即为所求． 【变式训练2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中位线EF，使点E、F分别在边、上． (3)在图③中画，使，与的相似比为，且于点M． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识． （1）取点右边3格的点，连接与交点即为，此时线段为的高； （2）找出、的中点即可； （3）在直线上找一点G，使得，再过作的平行线，再作于点M，与平行线交点即为． 【规范解答】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，即为所求． 考点8：相似三角形—动点问题 【典例精讲】（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 【答案】能，或 【思路引导】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，点D、E、F为顶点的三角形能与相似． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【思路引导】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 【变式训练2】（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【答案】(1)， (2)或3 (3)或1 (4)或3 【思路引导】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3），， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 方程，解得或3， 方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 考点9：重心的有关性质 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．连接，延长交于F点，连接，由G是的重心，可证是的中位线，从而可得．利用三角形重心的定义和性质得到，，得到，再证明得即可． 【规范解答】解：连接，延长交于F点，连接，如图， ∵G是的重心， ∴、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵P，Q分别是和的重心， ∴点为的中点，， ∴点在中线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（22-23九年级上·全国·期中）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，， 【思路引导】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心，勾股定理． （1）证明，即可得出结论； （2）延长到F，使，则是等腰三角形，延长交于H点，则垂直平分，易证E是的重心，求出，利用勾股定理即可求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到F，使，则是等腰三角形， ∵是的中线， ∴是的一条中位线， 延长交于H点，则垂直平分， ∴E是的重心， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴． 【变式训练2】（21-22九年级下·浙江宁波·自主招生）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． (1)①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； (2)在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 【答案】(1)；10 (2) 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质，要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键． （1）①结合“妙点”的定义以及等边三角形的性质，得出点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故，运用勾股定理算出，再代入进行计算，即可作答． ②充分理解“妙点”的定义，且结合等边三角形的性质，进行作图，分类讨论，即可作答． （2）按照题干要求，逐个情况作图，结合“妙点”的定义，运用数形结合思想进行全面分析，即可作答． 【规范解答】（1）解：①依题意， ∵点是边长为4的等边内部一个“妙点”， ∴点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故， 结合三线合一，得， ∴， 则， 故答案为：． ②当点P在三角形内部时，点P是边的垂直平分线的交点，是三角形的外心， 当点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图： 共有9个点符合要求， 则 ∴具有这种性质的点P共有10个． （2）解：依题意，第一种如图1（点在的右边）或图2（点在的左边）， ∵在中，是的一个“妙点”， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， 第二种如图3， ∵是的一个“妙点”， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 则 同理得 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 则 ∴； 第三种如图4， 与第二种同理，得 ∴； 第四种如图5，． ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 综上：满足题意的的度数分别为． 【思路引导】本题考查了新定义，三角形内角和性质，重心的应用，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点9：相似三角形实际应用 【典例精讲】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 【答案】140 【思路引导】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【规范解答】解：如图， ∵ ，． ∴， 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图①所示，在灯柱上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定榕树在地面上的影子； ②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图①，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长，均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度； (2)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物高为50米，建筑物上有一个广告牌，合计总高度为70米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌的底端M处，观测者沿着直线向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌的顶端E处．则广告牌的高度为多少米． 【答案】(1)榕树的高度为米 (2)广告牌的高度为米 【思路引导】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可； （2）根据求出，再根据求出，进而求出． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：榕树的高度为米； （2）解：∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴（米）， 答：广告牌的高度为米． 【变式训练2】（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【思路引导】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ， 故答案为：； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 考点10：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【思路引导】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 【变式训练1】（2021·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【思路引导】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【规范解答】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【思路引导】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 【变式训练2】（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【思路引导】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【规范解答】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 【思路引导】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键． 【真题演练1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点.    （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，连接交于点．若，求的值．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）. 【思路引导】(1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，先证明四边形是正方形，继而证明，即可得结论； (2)由(1)得，，根据比例线段可得，，再根据可得，从而求得AN、BN长即可得结论； (3)把绕点逆时针旋转得到，连接，，进而可推导得出，，证明是等腰直角三角形，继而证明，可得MG=HG，根据题意设，则，根据勾股定理可求得，再结合正方形的性质可求得a的值，继而证明， 根据相似三角形的性质即可求得答案. 【规范解答】(1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，    四边形是正方形， ，， ， 平行四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； (2)由(1)得：，， ， ，， ， ， ，， ； (3)把绕点逆时针旋转得到，连接，    ，， ，，，. ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，则， 正方形的边长为， ， ， ， ，， ，， ， ， . 【思路引导】本题考查的是四边形的综合题，涉及了正方形判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，正确把握相关的判定定理与性质定理是解题的关键. 【真题演练2】（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？      【答案】当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米 【思路引导】连接，分别交于点，交于点，先判断出四边形是矩形，从而可得，再判断出四边形和四边形都是矩形，从而可得米，，然后设矩形的面积为平方米，米，则米，米，利用矩形的面积公式可得关于的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得． 【规范解答】解：如图，连接，分别交于点，交于点，   ， ， 米， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形都是矩形， 米，， 和都是等腰直角三角形， ， ， 设矩形的面积为平方米，米，则米，米， 米， 米， ， 又，与之间的距离为2米，米， ， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米． 【思路引导】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【真题演练3】（2025·吉林长春·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）    A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 【答案】B 【思路引导】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【规范解答】设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴， 解得x=45（尺）， 即竹竿的长为四丈五尺． 故选B 【思路引导】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【真题演练4】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 【真题演练5】（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）90；；（2）①（1）中的结论仍然成立，证明见解析；② 【思路引导】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【规范解答】解：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）①中的结论仍然成立，证明 ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴,； ②在中，∵，，， ∴， 由①得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴． 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 基础夯实 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列说法中，两个三角形不相似的是（    ） A．一个三角形的两个角分别是；另一个三角形的两个角分别是 B．一个三角形的三边长分别是；另一个三角形的三边长分别是 C．一个三角形的两边长分别是和，夹角是；另一个三角形的两边长分别是和，夹角是 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】B 【思路引导】根据三角形相似的判定定理，逐一分析各选项是否满足相似条件. 【规范解答】选项A：第一个三角形的三个角为40°，80°、60°（第三个角由内角和计算得出），第二个三角形的三个角为60°、80°、40°,根据两角分别相等的两个三角形相似，故相似. 选项B：第一个三角形三边为4cm、6cm、8cm，第二个为12cm、18cm、21cm，计算对应边比例：因为三边不成比例，故不相似. 选项C：第一个三角形两边2cm、5cm，夹角40°；第二个三角形两边3cm、7.5cm，夹角40°，两边比例,根据两边成比例且夹角相等，故相似. 选项D：等腰三角形顶角为120°时，底角均为30°；若底角为120°，则顶角无法成立.因此两个等腰三角形必为顶角120°，底角30°，根据两角分别相等的两个三角形相似，故相似. 故选：B. 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形判定定理. 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【思路引导】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【规范解答】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 3．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答． 【规范解答】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】D 【思路引导】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【规范解答】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：D． 5．（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）小姚的身高为1.6米，他在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一栋教学楼的影长为15米，则该教学楼的高度为 米． 【答案】12 【思路引导】本题考查了相似三角形的应用，先明确同一时刻物体高度与影长成正比，再设教学楼高度为未知数，根据比例关系列出方程，最后解方程求出教学楼高度即可． 【规范解答】解：根据题意，设楼高为x米， 则， 解得：，即楼高为12米． 故答案为：12． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，四边形的对角线交于点O，，如果，那么的值是 ． 【答案】 【思路引导】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键．由，证明得 ，则， ，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的值是， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【规范解答】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 8．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查相似三角形，平行四边形的知识，解题是掌握相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据相似三角形的判定，平行四边形的性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据，等量代换，根据等边对等角，得到，再根据三角形的内角和为，即可； （2）根据，得到，再根据等边对等角，可得，根据相似三角形的判定，即可． 【规范解答】（1）解：证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形为矩形，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据已知推出，进而推出，根据矩形的性质得出，求出即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)用含有的代数式表示________； (3)当面积是的面积的倍时，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查矩形的判定和性质、一元二次方程的应用，相似三角形的性质与判定、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建参数解决问题． （1）根据勾股定理可得的长，由，得出，进而可得可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题； （2）根据（1）得出，则，即可表示出的长， （3）求出的面积，根据计算即可． 【规范解答】（1）解：在中，，，， ， ， ， ， ，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：； （2）解：， ， 故答案为：． （3）解： ， ， 解得：． 培优拔高 11．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，用直尺和圆规在上确定点，具体操作过程是：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 根据直尺和圆规在上确定点的步骤可知，再根据角度的关系可判定与相似，与相似，由此可判断选项． 【规范解答】解：由题意可知，， 即， ∵， ∴，， ∴，故选项D错误； 在与中， ， ∴， ∴，即，故选项A正确； ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即，故B选项错误； 在中，， ∵，故C选项错误． 故选：A ． 12．（25-26九年级上·山东·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知，，，进而利用证明与全等，得到，再证明，，代入计算即可． 【规范解答】解：连接， 根据题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则 ∵点H恰好为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴（舍负）， 故选：A． 13．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【规范解答】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P， ∵水面离桌面的高度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 即此时点C离桌面的高度为． 故选：C． 14．（18-19九年级·全国·课后作业）下列能判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似. 【规范解答】A. ，,两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似. B. ，，两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似. C. ，，两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似. D. ，，两边成比例且夹角相等，故两个三角形一定相似. 故选D 【思路引导】考核知识点：相似三角形的判定.熟记“两边成比例且夹角相等”是关键. 15．（22-23九年级下·辽宁本溪·开学考试）《海岛算经》是我国最早的一部测量数学专著，书中第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根长度相等的标杆和，两杆之间的距离步，，，共线；从到走123步，此时A，，三点共线；从到走127步，此时A，，三点共线．计算山峰的高度及的长．若设步，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】证明，得到，由得到，根据已知条件代入即可得到结论． 【规范解答】解：由题意可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 【思路引导】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）小玲很想知道法门寺合十舍利塔的高度，于是，她带着测量工具来到合十舍利塔进行测量．测量方案如下：如图，首先，小玲在点C处放置一平面镜，她从点C处沿后退，当后退到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为；然后，小玲沿的延长线继续后退到点G处，用测倾器测得舍利塔的顶端A的仰角为，此时，测得，测倾器的高度．已知点在同一水平直线上，且均垂直于，则合十舍利塔的高度为 m． 【答案】 【思路引导】根据题意可得米，米，米，，，米，证明对应边成比例求出的值，进而可以解决问题． 【规范解答】解：如图，过点作于点H． 根据题意可知，，， ． 设， 则． 根据题意可知，， ， ， ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 故合十舍利塔的高度为． 故答案为：． 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 17．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H，若H恰好为的中点，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定，连接，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【规范解答】解：连接，如图所示∶ 由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知和，边，交于点，，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义、相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得到，再根据即可得证； （2）通过证明得到，代入数值进行计算即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ， 又， ； （2）解：由（1）知， ， 又， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， 又， ， ， ， 的长为． 19．（17-18九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，在四边形中，，，，，，点是轴上一个动点，点不与点、重合，连接，点是边上一点，连接. （1）求点的坐标； （2）若是等腰三角形，求此时点的坐标； （3）当点在边上，，且时，求此时点的坐标. 【答案】（1）；（2），；（3） 【规范解答】试题分析：（1）过B作BF⊥OA于F易得∠COA=∠BAO=60°，在Rt△BFA中，根据三角函数的定义可得FB的长，进而可得OF的长；即可得B的坐标； （2）分点P在x正半轴上与x负半轴上上两种情况讨论，结合等腰三角形的性质，可得OP、OC的长，进而可得答案； （3）根据题意易得△COP∽△PAD，进而可得比例关系，代入数据可得答案． 试题解析：（1）过作       （2）①  ， ②   ③     ， （3）        【思路引导】本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错的题． 20．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连结、交于点，若，求的值． (1)猜想证明： 思路1：过点作交于点． 思路2：过点作交于点． 思路3：过点作分别交延长线于点、点． 请选择一种思路、写出解答过程． (2)类比探究： 如图②，在中，是边上的点，是边延长线上的点，连结、交延长线于点．若，且面积为2，则四边形的面积为________． (3)延伸拓展： 如图③，在矩形中，、分别为边、上的点，，，与、分别交于点．若，，则的长为________． 【答案】(1)选择思路1，过程见解析 (2) (3) 【思路引导】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，矩形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）选择思路1：过点作交于点，根据相似三角形的判定得出，，再利用其性质求解即可； 思路二：过点作交于点，根据相似三角形判定，，再利用其性质求解即可； 思路三：过点作分别交 延长线于点、点，根据相似三角形的判定得出，，，再利用其性质求解即可； （2）连接，根据等高三角形计算面积得出面积为4，面积为，设的面积为，则的面积为，结合图形列出方程求解即可； （3）延长、交于点M，利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质得出，，，，继续利用相似三角形的判定和性质确定，延长 交于点N，同理，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【规范解答】（1）解：选择思路1：过点作交于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 思路2：过点作交于点，如图所示； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ； 思路3：过点作分别交延长线于点、点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 设， 则， ， ， ， ； （2）如图所示：连接， ∵，面积为2， ∴面积为4， ∴面积为， ∵， ∴面积为， 设的面积为，则的面积为， ∵， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为：， 故答案为： （3）解：延长、交于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长、交于点N， 同理得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $