专题4.4 图形的位似同步精讲精练【课前故事+4大知识点+10大基础题型+5大强化训练+课后练习】-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

专题4.4图形的位似同步精讲精练【课前故事+4大知识点+10大基础题型+5大强化训练+课后练习】 美术课上的“图形魔法”——位似的小秘密 周三的美术课上，教室后排的黑板报前围了一圈同学，因为美术老师李老师要带着大家画新的校园文化角标识——一个由三角形和小圆形组成的“阳光校徽”。 “先画个小草稿试试手！”李老师拿出方格本，很快在纸上画了一个小小的校徽：三角形的三个顶点刚好落在方格线的交点上，旁边的小圆形紧紧贴着三角形的一条边，看起来精致又整齐。坐在第一排的小明看得跃跃欲试，主动举手：“老师，我来把它画到黑板报上吧！” 李老师笑着点头，递过粉笔：“黑板报比本子大好多，你得把这个小校徽‘放大’，但记住——形状可不能变哦！” 小明拿着粉笔走到黑板前，盯着小草稿看了看，凭着感觉开始画：先画三角形的一个顶点，比草稿上高一点，再画第二个顶点，又往右边挪了挪……可等他画完，大家都忍不住笑了——黑板上的校徽歪歪扭扭，三角形的边要么太长要么太短，小圆形也贴错了位置，跟草稿上的样子差了一大截。 “怎么会这样？”小明挠挠头，有点沮丧。李老师走过来，没着急纠正，而是从讲台抽屉里拿出一根棉线，一端按在草稿本上小校徽的一个顶点，另一端拉到黑板上对应的位置，又换了一个顶点，同样用棉线拉了一次。“你们看，这两根棉线延长后，是不是会交到一个点上？” 同学们凑近一看，还真的！两根棉线延长后，刚好在黑板报的正中间交了一个点。李老师接着说：“这就是关键啦！要想把小图形放大后形状不变，就得让它的每个‘对应顶点’都对着同一个‘中心点’，而且每个顶点到中心点的距离，要按同一个比例放大。比如草稿上顶点到中心点是2厘米，黑板上就可以是6厘米，这个‘3倍’就是放大的比例。” 小明照着老师说的方法，先在黑板中间定了那个“中心点”，再把草稿上校徽的每个顶点和中心点连起来，按3倍的长度在黑板上标出对应的新顶点，最后把新顶点连起来，再补上小圆形——这次画出来的校徽，跟草稿上的一模一样，只是变大了，连小圆形贴边的位置都分毫不差！ “太神奇了！”同学们都惊呼起来。李老师笑着问：“其实这种‘对着同一个中心点、按比例放大缩小，还能保持形状不变’的图形变化，有个专门的数学名字，你们想知道叫什么吗？” 思考小问题 小明第一次画歪校徽，是因为没注意“对应顶点对着同一个中心点”，那这个“中心点”在数学里有什么特别的名字？ 草稿上校徽顶点到中心点的距离是2厘米，黑板上是6厘米，这个“3倍”在图形变化中，我们称它为什么？ 如果想把黑板上的大校徽再缩小成原来草稿的大小，需要对着同一个中心点吗？缩小的比例又该是多少呢？ 【题型1位似图形的识别】 6 【题型2判断位似中心】 7 【题型3位似图形相关概念辨析】 8 【题型4求两个位似图形的相似比】 9 【题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 10 【题型6求位似图形的对应坐标】 11 【题型7在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 12 【题型8在坐标系中画位似图形】 13 【题型9在坐标系中位似中心】 15 【题型10坐标与图形综合】 16 【强化训练1求位似图形的线段长度】 17 【强化训练2求两个位似图形的周长比】 18 【强化训练3求两个位似图形的面积比】 19 【强化训练4与位似有关的规律探究】 20 【强化训练5位似图形在坐标系相关问题综合】 22 图形的位似重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1位似图形的有关概念 重点内容 1.一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 拓展：位似中心与对应点的“唯一性”（特殊情况）：当位似中心在图形的一个顶点上时，说明“该顶点的对应点与自身重合”。 2.位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 例题精讲 1.（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．其中正确表述的序号是（　　） A．② B．①② C．③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质和概念．根据位似图形的性质和定义（识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心）逐个判断即可得． 【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误； ②位似图形一定有位似中心，则原命题正确； ③位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，而非任意两点，则原命题错误； 综上，正确命题的序号是②， 故选：A． 知识点2位似图形的性质 重点内容 1.位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2.位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3.位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4.如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 例题精讲 2.（2025·浙江·一模）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合，通过计算即可得到答案． 【详解】∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 知识点3位似图形的画法 重点内容 1.利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2.画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 例题精讲 3.（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 知识点4平面直角坐标系中的位似变换 重点内容 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. k>0：位似图形与原图形在位似中心同侧（同向位似）；k<0：位似图形与原图形在位似中心异侧（反向位似）。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 拓展： 位似变换的可逆性：若图形A以O为中心、k为相似比位似得到图形B，则图形B以O为中心、1/k为相似比可位似得到图形A。 位似是唯一改变图形大小的变换（其他变换均保大小）。 例题精讲 4.（2025九年级·贵州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或. 根据位似图形的坐标性质解答． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为，点的坐标为，且点在第三象限， ∴点的坐标为，即， 故选：B． 【题型1位似图形的识别】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 自我练习 【练习1】（2024·河北唐山·一模）如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（    ） A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形 C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9 【练习2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 【练习3】（24-25九年级上·福建漳州·课后作业）如图，其中属于位似图形的有( 填序号)． 【题型2判断位似中心】 经典例题 【例1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·北京密云·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【练习2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐是 ． 【练习3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，△EFH和△MNK是位似图形，其位似中心是点 ． 【题型3位似图形相关概念辨析】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件 ：，使与是以点为位似中心的位似图形． 【练习3】（24-25九年级下·全国·课后作业）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点A为位似中心把△ABC的各边放大2倍后得到△AB′C′，则∠B的对应角∠B′的度数为 . 【题型4求两个位似图形的相似比】 经典例题 【例1】（2025·浙江舟山·二模）如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2023·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 【练习3】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的周长比为 ． 【题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，四边形和是以点P为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的周长比为（    ） A． B． C．2：3 D．3：2 【练习2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ． 【练习3】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则 ． 【题型6求位似图形的对应坐标】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·江苏·阶段练习）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知，以原点O为位似中心，位似比为把缩小，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【练习2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 【练习3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若，点B的坐标是，则点E的纵坐标是 ． 【题型7在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，为等边三角形，且点坐标为，以原点为位似中心，将放大到，若点的坐标为，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是 ． 【练习3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 【题型8在坐标系中画位似图形】 经典例题 【例1】（2025·河北保定·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【练习2】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3），（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 ． 【练习3】（2023·辽宁丹东·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为 ． 【题型9在坐标系中位似中心】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，若线段和是位似图形，位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 【练习3】（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形．若A(0，3)、B(-2，0)、C(1，0)、E(6，0)，与的位似中心是点M，则M点的坐标为 ． 【题型10坐标与图形综合】 经典例题 【例1】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）平面直角坐标系中由两点，规定，则称点为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点，，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标有（   ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习2】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【练习3】（24-25七年级下·北京·期末）已知三角形，，．若点，，则点B的坐标为 【强化训练1求位似图形的线段长度】 经典例题 【例1】（24-25九年级下·广西北海·期中）如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（   ）    A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【练习2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则边的长为 ． 【练习3】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若A，B的横坐标分别为1，，则的长为 ． 【强化训练2求两个位似图形的周长比】 经典例题 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，PB′＝BB′，则△A′B′C′与△ABC的周长之比为(    ) A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 自我练习 【练习1】（2025·重庆渝中·二模）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是2，则与的周长之比为（    ）． A． B． C． D． 【练习2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【练习3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为 ． 【强化训练3求两个位似图形的面积比】 经典例题 【例1】（2025·浙江金华·二模）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（23-24九年级上·陕西铜川·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ． 【练习3】（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【强化训练4与位似有关的规律探究】 经典例题 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【练习2】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到，，，按照此规律继续下去，若，则的面积为 ． 【练习3】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是 ． 【强化训练5位似图形在坐标系相关问题综合】 经典例题 【例1】（2025·重庆九龙坡·一模）如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【练习2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 【练习3】（2023·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，点，A，的坐标分别为，，，与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为 ． 选择题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 2．（2024·河北唐山·二模）将的各边按如图所示的方式向内等距缩，得到，有以下结论： I与是相似三角形； Ⅱ与是位似三角形．下列判断正确的是（        ） A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确 C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 3．（2025·云南临沧·一模）如图，已知与关于点位似，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为，，，轴，现以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，点A与点对应，点C的对应点纵坐标为，则下列点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则下列说法中正确的是（    ） A．大鱼与小鱼的相似比是 B．对应点到位似中心的距离比是 C．大鱼与小鱼的面积比是 D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是（，） 填空题 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    7．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为    8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，把缩小得到，若变换后，点、的对应点分别为点、，则点的对应点的坐标应为    9．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为；连接，若的周长为，则的面积为 ． 解析题 11．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）（1）在网格内画出△OBC以点O为位似中心，且相似比为2的△OB1C1． （2）C1的坐标是　　，如果=，则=　　． 13．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 14．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，正方形，都是正方形的位似图形，点P是位似中心． （l）哪个图形与正方形的相似比为3？ （2）正方形是正方形的位似图形吗？如果是，求相似比． （3）正方形与正方形的相似比是多少？ 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为____________； ②用含的代数式表示点的坐标为____________． (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出所有的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4图形的位似同步精讲精练【课前故事+4大知识点+10大基础题型+5大强化训练+课后练习】 美术课上的“图形魔法”——位似的小秘密 （课前故事相关内容建议教师家长采用活动或者故事相关形式展开，学生版该部分可删除） 周三的美术课上，教室后排的黑板报前围了一圈同学，因为美术老师李老师要带着大家画新的校园文化角标识——一个由三角形和小圆形组成的“阳光校徽”。 “先画个小草稿试试手！”李老师拿出方格本，很快在纸上画了一个小小的校徽：三角形的三个顶点刚好落在方格线的交点上，旁边的小圆形紧紧贴着三角形的一条边，看起来精致又整齐。坐在第一排的小明看得跃跃欲试，主动举手：“老师，我来把它画到黑板报上吧！” 李老师笑着点头，递过粉笔：“黑板报比本子大好多，你得把这个小校徽‘放大’，但记住——形状可不能变哦！” 小明拿着粉笔走到黑板前，盯着小草稿看了看，凭着感觉开始画：先画三角形的一个顶点，比草稿上高一点，再画第二个顶点，又往右边挪了挪……可等他画完，大家都忍不住笑了——黑板上的校徽歪歪扭扭，三角形的边要么太长要么太短，小圆形也贴错了位置，跟草稿上的样子差了一大截。 “怎么会这样？”小明挠挠头，有点沮丧。李老师走过来，没着急纠正，而是从讲台抽屉里拿出一根棉线，一端按在草稿本上小校徽的一个顶点，另一端拉到黑板上对应的位置，又换了一个顶点，同样用棉线拉了一次。“你们看，这两根棉线延长后，是不是会交到一个点上？” 同学们凑近一看，还真的！两根棉线延长后，刚好在黑板报的正中间交了一个点。李老师接着说：“这就是关键啦！要想把小图形放大后形状不变，就得让它的每个‘对应顶点’都对着同一个‘中心点’，而且每个顶点到中心点的距离，要按同一个比例放大。比如草稿上顶点到中心点是2厘米，黑板上就可以是6厘米，这个‘3倍’就是放大的比例。” 小明照着老师说的方法，先在黑板中间定了那个“中心点”，再把草稿上校徽的每个顶点和中心点连起来，按3倍的长度在黑板上标出对应的新顶点，最后把新顶点连起来，再补上小圆形——这次画出来的校徽，跟草稿上的一模一样，只是变大了，连小圆形贴边的位置都分毫不差！ “太神奇了！”同学们都惊呼起来。李老师笑着问：“其实这种‘对着同一个中心点、按比例放大缩小，还能保持形状不变’的图形变化，有个专门的数学名字，你们想知道叫什么吗？” 思考小问题 小明第一次画歪校徽，是因为没注意“对应顶点对着同一个中心点”，那这个“中心点”在数学里有什么特别的名字？ 草稿上校徽顶点到中心点的距离是2厘米，黑板上是6厘米，这个“3倍”在图形变化中，我们称它为什么？ 如果想把黑板上的大校徽再缩小成原来草稿的大小，需要对着同一个中心点吗？缩小的比例又该是多少呢？ 【题型1位似图形的识别】 6 【题型2判断位似中心】 8 【题型3位似图形相关概念辨析】 11 【题型4求两个位似图形的相似比】 13 【题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 15 【题型6求位似图形的对应坐标】 17 【题型7在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 19 【题型8在坐标系中画位似图形】 23 【题型9在坐标系中位似中心】 26 【题型10坐标与图形综合】 29 【强化训练1求位似图形的线段长度】 33 【强化训练2求两个位似图形的周长比】 36 【强化训练3求两个位似图形的面积比】 38 【强化训练4与位似有关的规律探究】 41 【强化训练5位似图形在坐标系相关问题综合】 45 图形的位似重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1位似图形的有关概念 重点内容 1.一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 拓展：位似中心与对应点的“唯一性”（特殊情况）：当位似中心在图形的一个顶点上时，说明“该顶点的对应点与自身重合”。 2.位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 例题精讲 1.（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．其中正确表述的序号是（　　） A．② B．①② C．③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质和概念．根据位似图形的性质和定义（识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心）逐个判断即可得． 【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误； ②位似图形一定有位似中心，则原命题正确； ③位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，而非任意两点，则原命题错误； 综上，正确命题的序号是②， 故选：A． 知识点2位似图形的性质 重点内容 1.位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2.位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3.位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4.如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 例题精讲 2.（2025·浙江·一模）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合，通过计算即可得到答案． 【详解】∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 知识点3位似图形的画法 重点内容 1.利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2.画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 例题精讲 3.（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 知识点4平面直角坐标系中的位似变换 重点内容 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. k>0：位似图形与原图形在位似中心同侧（同向位似）；k<0：位似图形与原图形在位似中心异侧（反向位似）。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 拓展： 位似变换的可逆性：若图形A以O为中心、k为相似比位似得到图形B，则图形B以O为中心、1/k为相似比可位似得到图形A。 位似是唯一改变图形大小的变换（其他变换均保大小）。 例题精讲 4.（2025九年级·贵州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或. 根据位似图形的坐标性质解答． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为，点的坐标为，且点在第三象限， ∴点的坐标为，即， 故选：B． 【题型1位似图形的识别】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 自我练习 【练习1】（2024·河北唐山·一模）如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（    ） A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形 C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9 【答案】D 【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断． 【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确； B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确； C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确； D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键． 【练习2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 【练习3】（24-25九年级上·福建漳州·课后作业）如图，其中属于位似图形的有( 填序号)． 【答案】(1),(2),(3) 【详解】试题分析：位似图形的性质：对应点的连线经过位似中心，对应线段平行或者在同一直线上，对应线段成比例、对应角相等.所以(1),(2),(3)是位似图形. 【题型2判断位似中心】 经典例题 【例1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心“位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心”，熟练掌握位似中心的定义是解题关键．根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心即可得． 【详解】解：如图，作直线、， 由图可知，直线、交于点， 则位似中心可以是点， 故选：A． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·北京密云·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【答案】B 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键． 【练习2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐是 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的概念，连接AG，与CE的交点即是点P．根据相似三角形的性质求得OP的长，即可得点P的坐标.． 【详解】如图，连接AG， ∵EO=1，DC=2， ∴△ACD与△GOE的位似比是2：1， ∴AD：OG=2：1， ∵△ADC是等腰直角三角形， ∴AD⊥x轴， ∴AD∥OG， ∴△OPG∽△DPA ∴PD：OP=2：1， ∵OD=2， ∴OP=， ∴位似中心P点的坐标是（，0）． 故答案为（，0）． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，熟知位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解决问题的关键． 【练习3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，△EFH和△MNK是位似图形，其位似中心是点 ． 【答案】B 【分析】根据位似中心的含义，得位似图形对应点连线的交点是位似中心． 【详解】如图 ∵△EFH和△MNK是位似图形，连接FN，HK交于点B，故点B是位似中心. 【点睛】本题考查了位似图形的相关知识，解题的关键是知道位似图形对应点连线的交点是位似中心. 【题型3位似图形相关概念辨析】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　） A． B．、、三点在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形相关概念，解题的关键是熟练掌握位似的定义及性质． 根据位似的性质直接判断即可. 【详解】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到， ∴，、、三点在同一条直线上，，， ∴选项不符合题意， 故选：． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【练习2】（24-25九年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件 ：，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 【练习3】（24-25九年级下·全国·课后作业）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点A为位似中心把△ABC的各边放大2倍后得到△AB′C′，则∠B的对应角∠B′的度数为 . 【答案】72° 【详解】∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠C=72° ∵△ABC∽△AB′C′ ∴∠B′=∠B=72°． 故答案是：72°. 【题型4求两个位似图形的相似比】 经典例题 【例1】（2025·浙江舟山·二模）如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形中对应的边成比例，掌握此性质是解决本题的关键． 位似图形中，相对应的边成比例． 【详解】解：∵五边形与五边形是相似图形，且. ∴． 故选：D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为，与相似，相似比为， ∴， 故选：C． 【练习2】（2023·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 故答案为：． 【练习3】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的周长比为 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 与位似， ，， ， ∴ 与的周长比为， 故答案为：． 【题型5画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中位似变换的性质解答即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为，即． 故选：A． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，四边形和是以点P为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的周长比为（    ） A． B． C．2：3 D．3：2 【答案】B 【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比即可解答． 【详解】解：∵四边形和是以点P为位似中心的位似图形， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形和的周长比为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似变换的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键 【练习2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ． 【答案】（4，6） 【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得， ∴对应点的坐标应乘以2， ∵点的坐标为（2，3）， ∴点的坐标为，即（4，6） 故答案为（4，6）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键． 【练习3】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比平方,求出三角形的相似比即可解题. 【详解】∵与是位似图形， ∴与的相似比为=2:3, ∴与的面积比为4：9, ∵， ∴=. 【点睛】本题考查了相似三角形的面积之间的关系,属于简单题,理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键. 【题型6求位似图形的对应坐标】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·江苏·阶段练习）某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换，根据已知图形得出位似比，进而得出对应点坐标． 【详解】解：如图所示：可得两图形的位似比为2， ∵小鱼上的点， ∴对应大鱼上的点为：． 故选：D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知，以原点O为位似中心，位似比为把缩小，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当点在线段上时，根据位似比为，点的坐标为； 当点在线段延长线上时，根据位似比为，点的坐标为； 综上，点的坐标为或， 故选：D． 【练习2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可； 【详解】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【练习3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若，点B的坐标是，则点E的纵坐标是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到，得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为， 点B的坐标是， 点E的坐标是，即， 点E的纵坐标是8． 故答案为：8. 【题型7在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，相似图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为与是以点为位似中心的位似图形，所以，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵与位似，且以点为位似中心， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的周长比为． 故选：A． 8． 自我练习 【练习1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，为等边三角形，且点坐标为，以原点为位似中心，将放大到，若点的坐标为，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键． 利用已知对应点坐标变化得出与位似，且位似比为，进而得出与的面积之比． 【详解】解：过点A作， 在等边中，点坐标为， ∴，， 在中， ∴ 以原点为位似中心，将放大到， ∵点的坐标为， ∴与位似，且位似比为， ∴与的面积之比为， 故选：B． 【练习2】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是 ． 【答案】1：4 【分析】先说明△ABC∽△DEF，△OAC∽△ODF，然后再确定相似比，最后根据相似形的面积之比为相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点0是位似中心 ∴AC//DF，△ABC∽△DEF， ∴△OAC∽△ODF ∵OA=AD，即OD=2OA ∴AC:DF=OA：OD=1：2 ∵△ABC∽△DEF， ∴相似比为AC∶DF=1:2 ∴△ABC与△DEF的面积比是1：4． 故答案为1：4． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似比等于相似比且其对应的面积比等于相似比的平方成为解答本题的关键． 【练习3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 【答案】或1.5 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据求解即可． 【详解】解：∵B，D两点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵把放大后得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8在坐标系中画位似图形】 经典例题 【例1】（2025·河北保定·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、在坐标系中画位似图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，在坐标系中画位似图形，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、在坐标系中画位似图形等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A．点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B．根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C．由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D．由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 【练习2】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3），（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 ． 【答案】（3，4）或（0，4） 【详解】如图，由题意知已知线段与线段AC是对应线段，所以点A和点C的对应点都有两个，对应点的连线交于一点，这一交点即为位似中心，连接位似中心与点B得到直线，由线段AC与已知线段的长度之比为2︰1，知相似比为2︰1．在连线上找到相似比为2︰1的点，从而确定第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）． 【练习3】（2023·辽宁丹东·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，在坐标系中画位似图形等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 【题型9在坐标系中位似中心】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，若线段和是位似图形，位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由位似图形的性质可得位似中心为B、C的中点，已知B、C的坐标，求出位似中心的坐标即可． 【详解】由位似性质可得：位似中心为B、C的中点， ∵B(0，5)，C(0，－1)， ∴位似中心坐标为(0，3)． 故选：D． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，根据位似中心为两对应点连线的中点确认出位似中心的位置是解题关键． 【练习2】（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可． 【详解】解：如图所示： 位似中心点P的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键． 【练习3】（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形．若A(0，3)、B(-2，0)、C(1，0)、E(6，0)，与的位似中心是点M，则M点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出MO：MH=1：2，即可求出MO的长． 【详解】连接DA，并延长交x轴于点M，过点D作DH⊥OE于点H， 由题意可得：BC=3，OE=6，△ABC∽△DOE， 则位似比为：3：6=1：2， 故OH=2OB=4，DH=2OA=6， 则D点的坐标为：（4，6）， 由MO：MH=1：2， MH=MO+4， 故MO：（MO+4）=1：2， 解得：MO=4， 则M点坐标为：（-4，0）． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，在坐标系中画位似中心，正确得出位似比，进而得出M点坐标是解题关键． 【题型10坐标与图形综合】 经典例题 【例1】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求点的坐标等知识，掌握勾股定理是关键；由勾股定理得，则，则求得的长，从而得点C的横坐标． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得， 由题意知， ∴， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点C的横坐标为． 故选：A． 自我练习 【练习1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）平面直角坐标系中由两点，规定，则称点为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点，，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标有（   ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义． 根据“和点四边形”的定义，需考虑点C为A、B的和点，或A、C的和点为B，或B、C的和点为A三种情况，分别计算点C的坐标，再判断选项中符合条件的个数． 【详解】解：当C为A、B的和点时： C的坐标为，对应选项①． 当B为A、C的和点时： 设C的坐标为，则，解得，，对应选项②． 当A为B、C的和点时： 设C的坐标为，则，解得，，对应选项③． 选项④验证： 不存在任何情况使得④满足上述条件． ∴点C的坐标有3个． 故选C． 【练习2】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 【练习3】（24-25七年级下·北京·期末）已知三角形，，．若点，，则点B的坐标为 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，现根据点的坐标得到，轴，即可得到轴，进而得到点B的坐标解答即可． 【详解】解：∵点，， ∴，轴， ∵， ∴轴， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 【强化训练1求位似图形的线段长度】 经典例题 【例1】（24-25九年级下·广西北海·期中）如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（   ）    A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 【答案】A 【分析】由得出，由位似图形的性质可得，即可求出长． 【详解】解：， 与位似，原点是位似中心， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出是解此题的关键． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘（或，，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的倍（或缩小为原来，且连接各对应顶点的直线相交于一点．根据题意求出线段与线段的相似比，计算即可． 【详解】解：，，， 线段与线段的相似比为， ， ， 故选：A． 【练习2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则边的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作轴于H，根据勾股定理求出，根据位似即可得出结果． 【详解】解：过点A作轴于H， ∵，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵与位似，且位似比为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，位似图形的性质，根据勾股定理和位似比计算边长是解题的关键． 【练习3】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若A，B的横坐标分别为1，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】先根据A，B的横坐标求得的长，进而求得的长，再根据位似变换的性质得到且，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵A，B的横坐标分别为1， ∴， ∵正方形，正方形 ∴， ∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶3， ∴，且， ∴，即，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质等知识点，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 【强化训练2求两个位似图形的周长比】 经典例题 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，PB′＝BB′，则△A′B′C′与△ABC的周长之比为(    ) A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 【答案】A 【分析】由△ABC与△A′B′C′是位似图形，PB′=BB′，可求得△A′B′C′与△ABC的位似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案． 【详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，PB′=BB′， ∴A′B′：AB=PB′：PB=1：2， ∴△A′B′C′与△ABC的周长之比为：1：2． 故选A． 【点睛】本题考查了位似图形的性质．注意相似三角形的周长的比等于相似比，注意掌握数形结合思想的应用． 自我练习 【练习1】（2025·重庆渝中·二模）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是2，则与的周长之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比，即可得出周长比． 【详解】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F， ∵以点C（-1，0）为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C，点B的横坐标是-2， ∴EC=1， ∵点B的对应点B'的横坐标是2， ∴CF=3， ∵BE//B'F ∴， ∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：1：3． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换，正确得出位似比是解题的关键． 【练习2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据与是位似图形，以及A和D的坐标，求出与的相似比为，即可求出与的周长之比． 【详解】∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∵，， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是． 故选：D． 【练习3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的周长比等于相似比解题即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为． 故答案为：． 【强化训练3求两个位似图形的面积比】 经典例题 【例1】（2025·浙江金华·二模）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 自我练习 【练习1】（23-24九年级上·陕西铜川·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点，点的坐标可知，，，，进而求得两个正方形的面积即可求得面积之比． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，四边形和四边形均是正方形， ∴，，，， 则正方形的面积为： 正方形的面积为：， ∴两个正方形的面积之比为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，位似变换，理解相关图形的性质是解决问题的关键． ． 故选：A． 【练习2】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ． 【答案】 【详解】此题考查了位似图形和相似的性质，熟练掌握相似形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案． 【分析】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：. 【练习3】（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形面积比等于相似比的平方成为解题的关键． 由题意可得根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴． 故答案为：． 【强化训练4与位似有关的规律探究】 经典例题 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：，，，，， ， ， 的坐标为，即， 故选：A． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质求出点A的坐标，根据位似变换的性质总结规律，代入计算即可． 【详解】∵△OAB是等边三角形，边长为8， ∴点A的坐标为（8，0）， 由位似变换的性质可知，点A1的坐标为（8×，0），即（4，0）， 点A2的坐标为（8×，0），即（2，0）， 由题意得，8×=， 解得，n=11， 故选D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握等边三角形的性质、位似变换的性质是解题的关键． 【练习2】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到，，，按照此规律继续下去，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，找出规律是解题的关键． 根据已知条件得到，求得，得到求得，得到，过作，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， 的面积， 同理，的面积， 的面积， 的面积， 故答案为：． 【练习3】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是 ． 【答案】（﹣1，），（﹣，）． 【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标． 【详解】解：∵OA=2．OC=1， ∴B（-2，1）， ∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，）， ∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1， ∴B1（-3，）， 同理可得B2（-，），B3（-，），B4（-，）， ∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）． 故答案为（-1，），（﹣，）． 【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【强化训练5位似图形在坐标系相关问题综合】 经典例题 【例1】（2025·重庆九龙坡·一模）如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4）， ∴AB＝2，BC＝2， 由勾股定理得：AC＝＝， ∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2， ∴线段DF的长度为AC＝， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【练习2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 【练习3】（2023·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，点，A，的坐标分别为，，，与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是关于原点位似图形的性质，根据位似图形的面积比是相似比的平方解题即可． 【详解】解：与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为或， 即或， 故答案为：或． 选择题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 【答案】A 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 2．（2024·河北唐山·二模）将的各边按如图所示的方式向内等距缩，得到，有以下结论： I与是相似三角形； Ⅱ与是位似三角形．下列判断正确的是（        ） A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确 C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 先利用平行线的判定方法得到，，，再根据平行线的性质得到，，从而可判断；分别延长、、，它们相交于一点，根据位似的定义可判断与是位似三角形． 【详解】解：的各边按如图所示的方式向内等距缩得到， ，，， ∴， ， 同理可得：， ，所以Ⅰ正确； 分别延长、、，它们相交于一点，如图， 与是位似三角形，所以Ⅱ正确． 故选：A． 3．（2025·云南临沧·一模）如图，已知与关于点位似，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据题意可得与的位似比为，即可求解． 【详解】解：与关于点位似， ， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，A，B，C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为，，，轴，现以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，点A与点对应，点C的对应点纵坐标为，则下列点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，求得位似比为，再结合位似图形即可求解． 【详解】解：∵作的位似图形，点的对应点纵坐标为， ∴位似比为， 由题意得点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点A的对应点的坐标为，即， 点的对应点的坐标为，即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 5．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则下列说法中正确的是（    ） A．大鱼与小鱼的相似比是 B．对应点到位似中心的距离比是 C．大鱼与小鱼的面积比是 D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是（，） 【答案】C 【分析】根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、大鱼与小鱼的相似比是，选项错误，不符合题意； B、大鱼与小鱼的对应点到位似中心的距离比是，选项错误，不符合题意； C、大鱼与小鱼的面积比是，选项正确，符合题意； D、若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是，选项错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，是解题的关键． 填空题 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为    【答案】 【分析】根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，把缩小得到，若变换后，点、的对应点分别为点、，则点的对应点的坐标应为    【答案】 【分析】根据两个图形必须是：①相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标． 【详解】J解：∵，且点在的连线上， ∴可得F点位置如图所示：    故点坐标为， 故答案为 【点睛】本题考查位似图形的相关知识，解题的关键是要掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点就是位似中心． 9．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形性质、勾股定理及坐标与图形，先求出等边三角形边长，以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H，求出，，进而求出结论． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H， ， ， 设， ， ， ∴， ， 解得：， ∴， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川成都·期中）已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为；连接，若的周长为，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键， ①依据题意，根据对角线最长，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可； ②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可． 【详解】解：如图，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的． ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形∽正方形，相似比为， ∴正方形的边长为2． ∴． 故答案为：； ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 解析题 11．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长． 【答案】画图见解析，cm 【分析】连接对应点的连线的交点即为位似中心，根据位似比等于相似比，即可求得． 【详解】如图，连接，交点即为位似中心， 相似比是1：2， ， cm， cm． 【点睛】本题考查了根据位似图形找位似中心，根据相似比对应边的长，掌握位似的定义与性质是解题的关键． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）（1）在网格内画出△OBC以点O为位似中心，且相似比为2的△OB1C1． （2）C1的坐标是　　，如果=，则=　　． 【答案】（1）见解析；（2）（-4，-2）；10 【分析】（1）延长到使得，延长到，使得，顺次连接、、，则为所求； （2）由（1）得的坐标为（-4，-2），然后利用勾股定理求出，，再由可得． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； 延长到使得，延长到，使得，顺次连接、、，则为所求； （2）由（1）得的坐标为（-4，-2）， ∵，，， ∴， ∴, 故答案为：（-4，-2）；10． 【点睛】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质． 13．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换，找位似中心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、、，交点即为所求； （2）由图可得，，结合相似三角形的性质即可得解； （3）根据平移的性质作图即可得解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：由图可得：，， 故与的相似比是； （3）解：如图，即为所求， ． 14．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，正方形，都是正方形的位似图形，点P是位似中心． （l）哪个图形与正方形的相似比为3？ （2）正方形是正方形的位似图形吗？如果是，求相似比． （3）正方形与正方形的相似比是多少？ 【答案】（1）正方形；（2）是，正方形与正方形的相似比为；（3）正方形与正方形的相似比为2 【分析】（1）利用位似比等于相似比求解； （2）根据位似的定义和位似比等于相似比解决问题； （3）利用位似比等于相似比求解． 【详解】解：（1）因为PI：PA=6：2=3：1， 所以正方形IJKL与正方形ABCD的相似比为3； （2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形， ∴相似比为：； （3）正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为：． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点； 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为____________； ②用含的代数式表示点的坐标为____________． (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出所有的值． 【答案】(1)①；② (2)的面积不会改变，定值为 (3)或或 【分析】（）①过点作于，证明即可求解；②过点作于，同理①证明即可求解； （）过点作，交的延长线于，可证，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）若，当点与点重合时，，此时；当点与点不重合时，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图，过点作于， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：的面积不会改变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于， ∵矩形的顶点坐标为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∴的面积不会改变，定值为； （3）解：若，当点与点重合时，，此时； 当点与点不重合时，如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此种情形不存在； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $