精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

哈三中2025—2026学年度上学期 高二学年期中考试数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 有一散点图如图，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 解释变量与响应变量的线性相关性变弱 B. 数据的方差变大 C. 决定系数变小 D. 残差平方和变小 4. 已知的展开式系数和为729，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 衡水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012年起每年9月份举行一届．竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等5名马拉松爱好者均计划参加衡水湖国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5名马拉松爱好者的竞赛项目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 18种 6. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 7 C. 21 D. 22 7. 在平面直角坐标系xOy中，为第一象限内的动点且在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：（），则（    ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线，之间的距离为2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，3 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据，，…，调整为，，，决定系数不变 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知圆的面积为，则______． 13. 已知随机变量，若，则_______. 14. 已知直线（）恒过定点A，圆C：上的两点，满足（），则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. （1）求外接圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程. 16. 某种产品2020年到2024年的年份代码x与年利润y（万元）的数据统计如下， 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2020-2024年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； （2）求回归直线方程并预测该产品2026年的年利润. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 样本相关系数，. 17. 某零件生产车间，对甲乙两台机器生产的零件进行检验，现从两台机器生产的零件中抽查100个零件，检验结果如下表所示： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 乙机器 45 合计 （1）完成列联表并依据小概率值的独立性检验，判断该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产是否有关联； （2）已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布，若该车间又新购一台机器，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213.如果你是该车间的负责人，以原两台机器生产性能为标准，试根据原则通过计算概率判断这台机器是否需要进一步调试？并说明你的理由. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，，. 18. 某自来水厂消毒系统原有4台消毒装置，为确保饮用水微生物安全性，该自来水厂进行了设备升级，又引进了2台新型消毒装置.据已有数据记录，原消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.2%，新消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.8%，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升. （1）若从该厂6台消毒装置中随机选择3台进行检测，记为这3台装置中新型装置的台数，求的分布列； （2）经原消毒系统处理后，设一升水中大肠杆菌的个数为X，求的概率（结果保留3位小数）及X的数学期望； （3）经新消毒系统处理后，试用泊松分布近似计算，一升水中大肠杆菌个数不超出2个的概率（结果保留3位小数）. 附：①泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见的离散型概率分布，是适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.若随机变量的分布列为，，1，2，…，（其中为自然对数），则称随机变量服从泊松分布. ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布.即，其中. 参考数据：，，，. 19. 组合恒等式是一类含有组合数的恒等式，其结构工整精美，是数学园林中的一组瑰宝.其证明方法有很多，有构造计数模型法（算两次），构造函数法及数学归纳法等等.请根据条件解决以下问题： （1）求证：； （2）设，求证：； （3）求证：，m，. （提示：证明过程中，可能会用到以下公式：），（a，，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2025—2026学年度上学期 高二学年期中考试数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得. 【详解】由题知，直线的斜率为， 记倾斜角为，则，因为，所以. 故选：C 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 3. 有一散点图如图，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 解释变量与响应变量的线性相关性变弱 B. 数据的方差变大 C. 决定系数变小 D. 残差平方和变小 【答案】D 【解析】 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，方差，决定系数，残差的平方和的变化情况． 【详解】从散点图可分析出，若去掉点，则剩下的点更能集中在一条直线附近， 所以解释变量与响应变量的线性相关性变强， 数据的离散程度减小，所以方差变小，决定系数越接近1，会变大， 因为拟合效果越好，所以残差平方和变小. 故选：D 4. 已知的展开式系数和为729，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，令，即可求出. 【详解】因为的展开式系数和为729， 所以令，则，则，所以或， 因为，所以. 故选：C 5. 衡水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012年起每年9月份举行一届．竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等5名马拉松爱好者均计划参加衡水湖国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5名马拉松爱好者的竞赛项目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】根据参加迷你马拉松的情况进行分两类进行讨论，只有甲和乙参加迷你马拉松和有3人参加迷你马拉松，分别求出方案数，再相加即可． 【详解】若只有甲和乙参加迷你马拉松，则剩下的3人按1，2分成2组， 所以有种参赛方案； 若有3人参加迷你马拉松，则从剩下的3人中选1人参加迷你马拉松， 再将剩余的2人按1，1分成2组，所以有种参赛方案． 故不同的参赛方案共有种， 故选：B． 6. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 7 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 7. 在平面直角坐标系xOy中，为第一象限内的动点且在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为点到轴和的距离之和求解. 【详解】表示点到轴和定点的距离之和. 如图， 设关于直线的对称点，则，过作轴于点， 则 则点位于与直线的交点位置时，最小， （若点位于处，则） 最小值为到轴的距离. 由，解得，即， 因为到轴的距离为， 故选：D. 8. 为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：（），则（    ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线，之间的距离为2 【答案】AB 【解析】 【分析】将直线变形为即可求解定点坐标，进而可判断A；将直线化为斜截式方程，再根据两直线垂直和平行满足的关系判断BC；根据两平行线间距离公式可判断D. 【详解】将直线的方程变形为， 由 ，则，因此直线过定点，故A正确； 当时，，， 斜率相等，纵截距不等，故两直线平行，故B正确； 当时，，：， 因斜率之积不为，故两直线不垂直，故C错误； 当时，则满足，解得， 此时：，：，则两直线间的距离为，故D错误． 故选：AB． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，3 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据，，…，调整为，，，决定系数不变 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立性检验的原理可判断A；对两边取对数，对照求解可判断B；由回归方程不一定过样本点可判断C，根据决定系数公式可判断D. 【详解】对A，由独立性检验的原理可知，的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，错误； 对B，对两边取对数得，即， 又，所以，即，正确； 对C，回归方程不一定过样本点，所以无法确定的值，错误； 对D，由决定系数公式可知， 当代换成时，和的值都没有发生变化，故决定系数不变，正确. 故选：BD 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可求解；对于B项，1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球即可求解；对于C项，先求，，再利用条件概率公式求解即可；对于D项，先求出，再利用并事件的概率公式求解即可. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白. 对于A项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可， 则，故A项正确； 对于B项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球， 所以，故B项正确； 对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有1个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有2个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以， 要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以，则，故C错误； 对于D项，由，，， 所以，故D项正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知圆的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程可得圆的半径，结合圆的面积运算求解即可. 【详解】因为圆，即， 则，解得或， 可知圆的半径， 由题意可得：，解得． 故答案为：. 13. 已知随机变量，若，则_______. 【答案】0.4 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称. ，则， 根据正态曲线的对称性. 故答案为：0.4. 14. 已知直线（）恒过定点A，圆C：上的两点，满足（），则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出定点的坐标，由条件可得点三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】由得 可得定点， 因为，所以三点共线，且， 所以为过点的直线与圆的交点， 设线段的中点为，则， ， 因为表示点到直线的距离和， 表示点到直线的距离， 分别过点作与直线垂直，垂足为， 则，即， 因为，直线过点，所以， 所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 即方程为， 所以点到直线的距离的最小值为， 即，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. （1）求外接圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先得到线段的垂直平分线的方程，与线段的垂直平分线联立，可得外接圆圆心的坐标，再利用两点间的距离公式求圆的半径，可得所求三角形外接圆的方程. （2）先利用几何法确定圆心到直线的距离，再分直线的斜率不存在和存在，利用点到直线的距离公式求直线的斜率. 【小问1详解】 线段的垂直平分线为：，即. 由，即. 又. 所以外接圆方程为 【小问2详解】 如图： 因为直线与圆相交截得弦长为8，所以圆心到直线的距离为：. 若直线斜率不存在，则方程为：，点到直线的距离为3，故满足题意； 若直线斜率存在，可设直线的方程为，即. 由，此时直线方程为：. 综上直线的方程为：或. 16. 某种产品2020年到2024年的年份代码x与年利润y（万元）的数据统计如下， 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2020-2024年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； （2）求回归直线方程并预测该产品2026年的年利润. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 样本相关系数，. 【答案】（1） （2）回归直线方程为，年利润万元 【解析】 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可得解； （2）先利用最小二乘法求出回归直线方程，再将代入计算，即可求解. 【小问1详解】 由，， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 ，， 所以关于的回归直线方程为． 2026年对应代码为7，当时，， 由此预测该产品2026年的年利润为万元. 17. 某零件生产车间，对甲乙两台机器生产的零件进行检验，现从两台机器生产的零件中抽查100个零件，检验结果如下表所示： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 乙机器 45 合计 （1）完成列联表并依据小概率值的独立性检验，判断该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产是否有关联； （2）已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布，若该车间又新购一台机器，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213.如果你是该车间的负责人，以原两台机器生产性能为标准，试根据原则通过计算概率判断这台机器是否需要进一步调试？并说明你的理由. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，，. 【答案】（1） 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 45 乙机器 45 10 55 合计 75 25 100 ，该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关联； （2） 由题意得：，则， 所以， 即， 所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为， 又，则试产的5个零件中内径出现了1个不在内，小概率事件已发生， 根据原则，这台设备需要进一步调试. 【解析】 【分析】（1）根据题设完成列联表，再求出即可判断； （2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在的概率约为，而试生产的5个零件中内径出现了1个不在内，根据原则，得到结论. 【小问1详解】 列联表如下： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 45 乙机器 45 10 55 合计 75 25 100 设零假设为：该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关， 而， 依据小概率值，零假设成立，故可以认为该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关联. 【小问2详解】 略 18. 某自来水厂消毒系统原有4台消毒装置，为确保饮用水微生物安全性，该自来水厂进行了设备升级，又引进了2台新型消毒装置.据已有数据记录，原消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.2%，新消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.8%，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升. （1）若从该厂6台消毒装置中随机选择3台进行检测，记为这3台装置中新型装置的台数，求的分布列； （2）经原消毒系统处理后，设一升水中大肠杆菌的个数为X，求的概率（结果保留3位小数）及X的数学期望； （3）经新消毒系统处理后，试用泊松分布近似计算，一升水中大肠杆菌个数不超出2个的概率（结果保留3位小数）. 附：①泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见的离散型概率分布，是适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.若随机变量的分布列为，，1，2，…，（其中为自然对数），则称随机变量服从泊松分布. ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布.即，其中. 参考数据：，，，. 【答案】（1） 的分布列为： 0 1 2 （2）；4 （3） 【解析】 【分析】（1）确定的取值，求得对应概率即可求解； （2）求得每个大肠杆菌的存活率为，则，即可求解； （3）设经新消毒系统处理后，一升水中大肠杆菌个数为，由，即可求解. 【小问1详解】 由题意的取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】 由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为， 设一升水中大肠杆菌个数为，则， ， 【小问3详解】 经新消毒系统处理后，一升水中大肠杆菌个数为， 由题意，，其中且， 所以，其中. 所以 19. 组合恒等式是一类含有组合数的恒等式，其结构工整精美，是数学园林中的一组瑰宝.其证明方法有很多，有构造计数模型法（算两次），构造函数法及数学归纳法等等.请根据条件解决以下问题： （1）求证：； （2）设，求证：； （3）求证：，m，. （提示：证明过程中，可能会用到以下公式：），（a，，）. 【答案】（1） 因为 ， 所以. （2） 因为 ， 即， 则， 令，则， 可得， 所以. （3） 设， 利用数学归纳法证明该等式，过程如下： 当时，左边为； 右边为； 即左边右边，等式成立； 假设当时，等式成立，即； 当时，则， 因为，即， 则 ， 又因为， 可得； 综上所述：对任意，均有， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合组合数公式分析证明即可； （2）整理可得，结合二项式系数和的性质分析证明即可； （3）利用数学归纳法，根据（1）中的结论以及分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $