第二十一章一元二次方程重难点专题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

一元二次方程重难点专题分类（解析版） 一、 一元二次方程 知识点 1 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是 2。 知识点 2： 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中 ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数；c 叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0 中的 a≠0 ．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时 不要漏掉前面的性质符号。 知识点 3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论： （1）若 a+b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为 x=1;若 x=1 是一元二次方程 ax² +bx+c=0（a≠0）的一个根，则 a+b+c=0。 （2）若 a-b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为 x=-1;若 x=11 是一元二次方程 ax ²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则 a-b+c=0。 一、一元二次方程的判断 1 ．下列方程中一定是关于 x 的一元二次方程的是 ( ) A ． 2ax2 + x +1 = 0 B ． a2x + 4x = 0 C ． x2 + xy = 0 D ． (a + 2)x2 + 4x + 5 = 0 ( 【答案】 D ) 2 ．下列方程是关于x 的一元二次方程的是 ( ) A ． πx = 6 B ． x2 + 3x - 4 = 0 C ． xy = 3 D ． x ( 【答案】 B ) 3 ．下列方程是一元二次方程的是 ( ) A ． x + 3y = -1 B ． x2 + 5x - 6 = 0 C ． x D ． 3x + 8 = 5x - 2 ( 【答案】 B ) 二、一元二次方程的定义含参 4 ．若方程(a -1) xa2 +1 - ax = 2 是关于x 的一元二次方程，则a 的值为 ． ( 【答案】 - 1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的方程叫做一元二次方程， 由此得出 a - 1 ≠ 0 ， a 2 + 1 = 2 ，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解： 由题意得： a - 1 ≠ 0 ， a 2 + 1 = 2 ， 解得： a = - 1 ， 故答案为： - 1 ． ) 5 ．已知关于 x 的方程(m + 2)xm2 -2 + 3x -1 = 0为一元二次方程，则 m 的值是 ． ( 【答案】 2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出 关于 m 的一元二次方程和一元 一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： m 2 - 2 = 2 ， 解得： m 1 = 2 ， m 2 = - 2 ， m + 2 ≠ 0 ， 解得： m ≠ - 2 ， 即 m = 2 ， 故答案为： 2 ． ) 6 ．若关于x 的方程(k- 2)xk2 -2 + 4x - 3 = 0 是一元二次方程，则k = ． ( 【答案】 - 2 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 2 的整式方程，叫做一元二次方程） 即可得． 【详解】解： ∵关于 x 的方程 ( k - 2) x k 2 - 2 + 4 x - 3 = 0 是一元二次 方程， 解得 k = - 2 ， 故答案为： - 2 ． ) 7 ．若(m +1)xm+1 + 2x -1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 ． ( 【答案】 1 ) 三、一元二次方程的一般形式 8 ．一元二次方程(x - 2)(x + 3) = 2x - 5 化为一般形式是 ． ( 【答案】 x 2 - x - 1 = 0 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开 ，将方程转化为 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的形式即可． 【详解】解： ( x - 2 )( x + 3 ) = x 2 + x - 6 = 2 x - 5 ， 整理，得： x 2 - x - 1 = 0 ； 故答案为： x 2 - x - 1 = 0 ． ) 9 ．把方程(3x + 2)2 = 4 (x - 3)2 化为一元二次方程的一般形式是 ． ( 【答案】 5 x 2 + 36 x - 32 = 0 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化， 不要漏乘，移项 时要注意符号的变化． 首先根据完全平方公式进行计算，把方程变 形为一元二次方程的一般形式是： ax 2 + bx + c = 0( a , b , c 是常数 且 a ≠ 0) 特别要注意 a ≠ 0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：方程 (3 x + 2) 2 = 4( x - 3) 2 去括号得： 9 x 2 + 12 x + 4 = 4 ( x 2 - 6 x + 9 ) ， 即 9 x 2 + 12 x + 4 = 4 x 2 - 24 x + 36 ， 移项合并同类项得： 5 x 2 + 36 x - 32 = 0 ， 即可化成 5 x 2 + 36 x - 32 = 0 ， 故答案为： 5 x 2 + 36 x - 32 = 0 ． ) 10 ．一元二次方程x2 - 4x + 2 = 0的一次项系数是 ． ( 【答案】 - 4 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握 “ 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的 含义 ” 是解题的关键．根据一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的二次项系数、一 次项系数、常数项分别为 a ， b ， c ，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程 x 2 - 4 x + 2 = 0 的一次项系数为 - 4 ． 故答案为： - 4 ． ) 11．一元二次方程3x2 - x - 2 = 0的二次项系数和常数项的和是 . ( 【答案】 1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程经过整 理，都能化成如下形式 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中 ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项； c 叫做常数项可得答案． 【详解】解：一元二次方程 3 x 2 - x - 2 = 0 的二次项系数和常数项分别为 3 ， - 2 ， 即 3 + ( - 2 ) = 1 ， 故答案为： 1. ) 12 ．已知一元二次方程(x - 2)(x + 3) = 0 ，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． ( 【答案】 - 6 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键．先把化方程为一般式，从而得到常数项． 【详解】解： ( x - 2 )( x + 3 ) = 0 ， 去括号，得 x 2 + 3 x - 2 x - 6 = 0 ， 合并，得 x 2 + x - 6 = 0 ， 所以常数项是 - 6 ． 故答案为： - 6 ． ) 四、已知方程的根求参数的值 13 ．已知关于 x 的方程x2 + 5x + m = 0 有一个根为-2 ，则 m 为 ． ( 【答案】 6 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解的意义是解答的关键．将 x = - 2 代 入方程中得到关于 m 的方程，然后解方程即可解答． 【详解】解： ∵方程 x 2 + 5 x + m = 0 的一个根为 - 2 ， ∴ 4 - 10 + m = 0 ， 解得： m = 6 ， 故答案为： 6 ． ) 14 ．一元二次方程(a +1)x2 - ax + a2 = 1 的一个根为 0 ，则a = ． ( 【答案】 1 【分析】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，能根据题意得出 a 2 = 1 ，且 a + 1 ≠ 0 ，是解此题 的关键．把 x = 0 代入一元二次方程 ( a + 1 ) x 2 - ax + a 2 = 1 得到 a 2 = 1 ，且 a + 1 ≠ 0 ，求出即可． 【详解】解：把 x = 0 代入一元二次方程 ( a + 1 ) x 2 - ax + a 2 = 1 ， 得： a 2 = 1 ，且 a + 1 ≠ 0 ， 解得： a = 1 ， 故答案为： 1 ． ) 15 ．若关于x 的一元二次方程2x2 + mx +1 = 0的一个根是-1 ，则m 的值是 ． ( 【答案】 3 ) ( 【分析】本题考查一元二次方程的根，将 x = - 1 代入 2 x 2 + mx + 1 = 0 ，解关于 m 的一元一次方程即可． 【详解】解：将 x = - 1 代入 2 x 2 + mx + 1 = 0 ， 得： 2 - m + 1 = 0 ， 解得： m = 3 ， 故答案为： 3 ． ) 16 ．若关于 x 的方程x2 + 2x - m = 0 的一个根是x = 3 ，则 m 的值为 ． ( 【答案】 15 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值， 据此把 x = 3 代入原方程求出 m 的值即可． 【详解】解： ∵关于 x 的方程 x 2 + 2 x - m = 0 的一 个根是 x = 3 ， ∴ 3 2 + 2 × 3 - m = 0 ， ∴ m = 15 ， 故答案为： 15 ． ) 五、整体思想求代数式的值 17 ．已知 m 是方程x2 - x - 6 = 0的一个根，则代数式2m2 - 2m -11 的值是 ． ( 【答案】 1 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．根据方程的解，得到 m 2 - m = 6 ，整体代入法求值即可． 【详解】解： ∵ m 是方程 x 2 - x - 6 = 0 的 一个根， ∴ m 2 - m - 6 = 0 ， ∴ m 2 - m = 6 ， ∴ 2 m 2 - 2 m - 11 = 2 ( m 2 - m ) - 11 = 2 × 6 - 11 = 1 ； 故答案为： 1 ) 18 ．设 a 是方程x2 + x - 2023 = 0 的一个实数根，则2a2 + 2a + 3值为 ． ( 【答案】 4049 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数 式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】 ∵ a 是方程 x 2 + x - 2023 = 0 的一个根， ∴ a 2 + a - 2023 = 0 ， ∴ a 2 + a = 2023 ， ∴ 2 a 2 + 2 a + 3 = 2 ( a 2 + a ) + 3 = 4046 + 3 = 4049 ， 故答案为： 4049 ． ) ( 19 ．已知 a 是关于 x 的一元二次方程 x 2 - 5 x - 1 = 0 的一个根， 则代数式 10 a - 2 a 2 - 5 的值为 ． 【答案】 - 7 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握能使一元二次方程左右两 边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键，解题时应注意把 a 2 - 5 a 当成一个整体，利用了整体的思想． 【详解】解： ∵ a 是方程 x 2 - 5 x - 1 = 0 的一个根， ∴ a 2 - 5 a = 1 ∴ 10 a - 2 a 2 - 5 = - 2( a 2 - 5 a ) - 5 = - 2 × 1 - 5 = - 7 ，故答案为： - 7 ． ) 20 ．已知m 是方程x2 + 3x - 2 = 0 的一个实数根，则2m2 + 6m + 2020 的值为 ． ( 【答案】 2024 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入 原方程，等式左右两边相等． 把 m 代入方程，然后利用整体思想代入求值， 【详解】解： ∵ m 是方程 x 2 + 3 x - 2 = 0 的一个实数根， ∴ m 2 + 3 m - 2 = 0 ，即 m 2 + 3 m = 2 ， 原式 = 2 ( m 2 + 3 m ) + 2020 = 2 × 2 + 2020 = 2024 ， 故答案为： 2024 ． ) 21 ．已知a2 - 3a+ 2 = 0 ，则代数式a3 - a2 - 4a + 2024的值为 ( ) A ．2022 B ．2021 C ．2020 D ．2019 ( 【答案】 C 【分析】本题考查的是代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解题的关键．根据 a 2 - 3 a + 2 = 0 ，可得 a 2 - 3 a = - 2 ，再将其整体代入原式计算即可． 【详解】解： : a 2 - 3 a + 2 = 0 ， : a 2 - 3 a = - 2 ， : a 3 - a 2 - 4 a + 2024 = a ( a 2 - 3 a ) + 2 a 2 - 4 a + 20 24 = - 2 a + 2 a 2 - 4 a + 2024 = 2( a 2 - 3 a ) + 2024 = - 4 + 2024 = 2020 ， 故选： C ) 22 ．已知 m 为方程x2 + x - 3 = 0的一个根，则代数式m3 + 2m2 - 2m + 6 的值为 ． ( 【答案】 9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题 关键是运用整体代入思想进行解题．先将 m 代入 方程得 m 2 + m = 3 ，再将 m 2 + m = 3 代入 m 2 ( m + 2 ) - 2 ( m - 3 ) 变形后的式子进行化简求 值即可． 【详解】解：根据题意得： m 2 + m = 3 ， : m 3 + 2 m 2 - 2 m + 6 = m 3 + m 2 + m 2 - 2 m + 6 = m ( m 2 + m ) + m 2 - 2 m + 6 = 3 m + m 2 - 2 m + 6 = m 2 + m + 6 = 3 + 6 = 9 ． 故答案为： 9 ． ) 23 ．已知m 为方程x2 + 3x - 2024 = 0 的根，那么m3 + 2m2 - 2027m + 2024的值为 ( 【答案】 0 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方 程，化简得 m 2 + 3 m = 2024 ，将代数式变 形，整体代入求值即可． ) ( 【详解】 ∵ m 为方程 x 2 + 3 x 一 2024 = 0 的根， ∴ m 2 + 3 m 一 2024 = 0 ， ∴ m 2 + 3 m = 2024 ， ∴原式 = m 3 + 3 m 2 一 m 2 一 3 m 一 2024 m + 2024 = m ( m 2 + 3 m ) 一 ( m 2 + 3 m ) 一 2024 m + 2024 = 2024 m 一 2024 一 2024 m + 2024 = 0 ． 故答案为： 0 ． ) 二、解一元二次方程（一） - 开平方和配方法 知识点 1 ：解一元二次方程-直接开方 （1）如x2 = p（p ≥ 0）或（nx+m）2 = p(p ≥ 0)的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。 （2）如果化成x2 = p的形式，那么可得x (3)如果方程能化成（nx+m)2 = p(p ≥ 0)的形式，那么nx + m 进而得出方程的根 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 知识点 2：解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为 1 ，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式； ⑤如果 b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0 ，则原方程无解． 总结： 六、解方程一：直接开平方法 24 ．用直接开平方法解下列方程： (1) x2 - 9 = 0 (2) 3x2 - 54 = 0 ． ( 【答案】 (1) x 1 = 3, x 2 = - 3 【详解】（ 1 ）解：移项，得 x 2 = 9 ， 根据平方根的意义，得 x = ± 3 ，即 x 1 = 3, x 2 = - 3 ． （ 2 ）解：移项，得 3 x 2 = 54 ， 两边同除以 3 ，得 x 2 = 18 ， 根据平方根的意义 ， 得 x ， 即 x ． ) 25 ．（1） 4x2 = 9 ； （2）（x + 3）2 - 2 = 0 ． ( 【答案】（ 1 ） x ， x （ 2 ） x 【详解】解 ：（ 1 ） 由 4 x 2 = 9 ，得 x ， 两边直接开平方，得 x ∴原方程的解是 x ， x ． （ 2 ）移项，得 （ x + 3 ） 2 = 2 ． 两边直接开平方，得 x ． ∴原方程的解是 x ) 26 ．解方程： (3x -1)2 = 4 (2x + 3)2 ( 【答案】 x x 2 = - 7 【详解】解： ( 3 x - 1 ) 2 = 4 ( 2 x + 3 ) 2 ， ) ( ∴ 3 x - 1 = ± 2 ( 2 x + 3 ) ， 则 3 x - 1 = - 4 x - 6 或 3 x - 1 = 4 x + 6 ， 解得 x x 2 = - 7 ． ) 27 ．用适当的方法解方程： (3x -1)2 = ( x -1)2 ( 【答案】 x 1 = 0 ， x . 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的 关键，用直接开 平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： ( 3 x - 1 ) 2 = ( x - 1 ) 2 开方得， 3 x - 1 = x - 1 或 3 x - 1 = - ( x - 1 ) 解得 x 1 = 0 ， x ． ) 七、解方程二：配平方法 28 ．解方程： x2 - 2x = 4 【答案】 x ， x 【详解】解： x2 - 2x = 4 x2 - 2x +1 = 4 +1 ， (x -1)2 = 5 ， 29 ．解方程： x2 + 3x - 4 = 0 （用配方） 【答案】 x1 = 1, x2 = -4 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为 ，开平方得到x ，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： x2 + 3x - 4 = 0 ( ∴ x 2 + 3 x = 4 则 x 2 + 3 x 开平方得， x 解得 x 1 = 1, x 2 = - 4 30 ．用配方法解方程： x 2 + 2 mx - m 2 = 0 ． 【答案】 x 1 = - m m ， x 2 = - m m 【分析】本题考查了解一元二次方程 —— 配方法 ．先移项，再进行配方，最后开方即可得． 【详解】解：移项得 x 2 + 2 mx = m 2 ， 配方得 x 2 + 2 mx + m 2 = m 2 + m 2 ，即 ( x + m ) 2 = 2 m 2 ， 所以原方程的解为： x 1 = - m m ， x 2 = - m m ． 31 ．配方法解一元二次方程： - 2 x 2 + 2 x + 1 = 0 ． 【答案】 x ， x 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法 ：直接开平方法，配方法， 公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： - 2 x 2 + 2 x + 1 = 0 两边同除以 - 2 ，得 x 2 - x ， 移项，得 x 2 - x ， 配方，得 x 2 - x 即 开平方，得 x ， ∴ x ，或 x ， 32 ．解方程： x 2 + 6 x + 2 = 0 ． 【答案】 x 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，方程两边都加上一次 项系数一半的平方，配方后再开方，得到两个一元一次方程，求解即可． 【详解】解： x 2 + 6 x + 2 = 0 ) 12 学科网（北京）股份有限公司 ( 移项得： x 2 + 6 x = - 2 ， ∴ x 2 + 6 x + 9 = - 2 + 9 ， ∴ ( x + 3 ) 2 = 7 ， ) 33 ．解方程： x2 -14x + 21 = 0 ． ( 【答案】 x 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可． 【详解】解： x 2 - 14 x + 21 = 0 ， x 2 - 14 x = - 21 x 2 - 14 x + 49 = 28 ( x - 7 ) 2 = 28 解得 x ． ) ( 34 ． 用配方法解方程： x x - 4 = 0 【答案】 x 【分析】本题考查了解一元二次方程 - 配方法：将一元二次方程配成 ( x + m ) 2 = n 的形式，再利用直接开平方 法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方 法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得， x ， 配方得 ， x x + 2 = 4 + 2 ， 即 ， ∴方程的解为 x ． ) 八、配平方的应用 35 ．用配方法解一元二次方程x2 - 2x = 3时，此方程可变形为( ) A ． (x -1)2 = 4 B ． (x +1)2 = 4 13 学科网（北京）股份有限公司 C ． (x -1)2 = 2 D ． (x +1)2 = 2 ( 【答案】 A 【分析】利用配方法解已知方程时，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方 1 ，左边化为完全平方式， 右边合并为一个非负常数，即可得到所求的式子． 【详解】解： x 2 -2 x =3 ， 两边都加上 1 得： x 2 -2 x +1=3+1 ， 即（ x -1 ） 2 =4 ， 则用配方法解一元二次方程 x 2 -2 x =3 时，方程变形正确的是（ x -1 ） 2 =4 ． 故选 A ． 【点睛】此题考查了解一元二次方程 - 配方法，利用此方法解方程时，首先 将方程常数项移动方程右边，二 次项系数化为 1 ，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为 一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． ) 36 ．一元二次方程y2 - y 配方后可化为 ( ) ( 【答案】 B 【分析】根据题意直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可． 【详解】解：根据题意， 把一元二次方程 y 2 - y 配方得 ： ， 即 ∴化成 ( x + a ) 2 = b 的形式为 ． 故选： B ． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等 号的右边；把二 次项的系数化为 1 ；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方 程的二次项的系数为 1 ，一次项的系数是 2 的倍数． ) 37 ．用配方法解方程x2 - 2x - 2 = 0 ，原方程应变形为 ( ) A ． (x +1)2 = 3 B ． (x -1)2 = 3 C ． (x + 1)2 = 1 D ． (x -1)2 = 1 【答案】B 【分析】先移项，再配方，即方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】移项得， x2 - 2x = 2 ，配方得， x2 - 2x +1 = 2 +1 ， 即(x -1)2 = 3 ， ( 故选： B ． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程 ，掌握配方法的步骤是解题的关键． ) 38 ．将一元二次方程： x2 - 8x - 5 = 0 化成(x + a)2 = b 的形式正确的是 ( ) A ． (x + 4)2 = 21 B ． (x - 4)2 = 11 C ． (x - 4)2 = 21 D ． (x - 8)2 = 69 ( 【答案】 C 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系 数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解： : x 2 - 8 x - 5 = 0 ， : x 2 - 8 x = 5 ， 则 x 2 - 8 x + 16 = 5 + 16 ，即 ( x - 4) 2 = 21 ， 故选： C ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． ) 39 ．将方程x2 - 4x - 3 = 0化成(x - m)2 = n （m 、n 为常数）的形式，则 m 、n 的值分别为 ( ) A ． m = 2, n = 7 B ． m = -2, n = 1 C ． m = 2, n = 4 D ． m = -2, n = 4 ( 【答案】 A 【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应 用，解题的关键 是会用配方法解方程． 【详解】 x 2 - 4 x - 3 = 0 x 2 - 4 x = 3 x 2 - 4 x + 4 = 3 + 4 ( x - 2 ) 2 = 7 m = 2, n = 7 故选： A ． ) 40 ．用配方法解一元二次方程x2 - 8x - 4 = 0时，可将原方程配方成(x - 4)2 = m ，则m 的值是 ． ( 【答案】 20 【详解】解： ∵ x 2 - 8 x - 4 = 0 ， ∴ x 2 - 8 x = 4 ， ∴ x 2 - 8 x + 16 = 4 + 16 ， 即 ( x - 4 ) 2 = 20 ∴ m = 20 ． 故答案为： 20 ． ) 41 ．问题：聪明的你知道代数式x2 - 4x + 5 的最小值为多少吗？解：因为 x2 - 4x + 5 = x2 - 4x + 4 +1 = x2 - 4x + 22 +1 = (x - 2 )2+1 ，又因为(x - 2)2 ≥ 0 ，所以(x - 2)2 +1≥ 1 ，所以 x2 - 4x + 5 的最小值为 1 ．请用上述方法，解决代数式x2 + 6x + 6的最小值为 ( ) A ．3 B ． -3 C ．6 D ． -6 【答案】B 【详解】解：依题意， x2 + 6x + 6 = x2 + 6x + 6 + 3 - 3 = x2 + 6x + 9 - 3 =( x + 3)2 - 3， ∵ (x + 3)2 ≥ 0 ， ∴ (x + 3)2 - 3 ≥ -3， ∴所以x2 + 6x + 6的最小值为-3 ，故选：B． 42 ．将代数式 x2 -10x+5 配方后，发现它的最小值为 ( ) A ． -30 B ． -20 C ． -5 D ．0 ( 【答案】 B 【详解】 x 2 −10x+5=x 2 −10x+25−20=(x−5) 2 −20 ， 当 x=5 时，代数式的最小值为 −20 ， 故选 B. ) 43 ．已知实数 m ，n 满足m - n2 = 1 ，则代数式m2 + 2n2 + 4m -1的最小值等于 ． ( 【答案】 4 【详解】 解： ∵ m - n 2 = 1 ， ∴ n 2 = m - 1 ≥ 0 ∴ m ≥ 1 ， 则 m 2 + 2 n 2 + 4 m - 1 = m 2 + 2 ( m - 1 ) + 4 m - 1 = m 2 + 2 m - 2 + 4 m - 1 = m 2 + 6 m - 3 = m 2 + 6 m + 9 - 9 - 3 = ( m + 3 ) 2 - 12 ∵ m ≥ 1 ， ∴ ( m + 3 ) 2 - 12 ≥ 4 ， 即代数式 m 2 + 2 n 2 + 4 m - 2 的最小值等于 4 ， 故答案为： 4 ． ) 44 ．（1）当x = ___________时，多项式x2 - 6x +12的最小值为___________． （2）当x = ___________时，多项式-x2 + 2x - 3的最大值为___________． （3）当x 、 y 为何值时，多项式2x2 - 4xy + 6y2 -12y +19 取最小值？并求出这个最小值． ( 【答案】（ 1 ） 3 ， 3 ) ( （ 2 ） 1 ， — 2 （ 3 ） x ， y ，最小值是 10 【详解】（ 1 ） x 2 — 6 x + 12 = x 2 — 6 x + 9 + 3 = ( x — 3) 2 + 3 : ( x — 3) 2 ≥ 0 : 当 x = 3 时，多项式 x 2 — 6 x + 12 取最小值，且最小值为 3 ； 故答案为： 3 ， 3 （ 2 ） — x 2 + 2 x — 3 = — ( x 2 — 2 x + 1) — 2 = — ( x — 1) 2 — 2 : ( x — 1) 2 ≥ 0 : 当 x = 1 时，多项式 — x 2 + 2 x — 3 取最大值，且最大值为 — 2 ； 故答案为： 1 ， — 2 ； （ 3 ） 2 x 2 — 4 xy + 6 y 2 — 12 y + 19 = 2( x 2 — 2 xy + y 2 ) + (4 y 2 — 12 y + 9) + 10 = 2( x — y ) 2 + (2 y — 3) 2 + 10 : ( x — y ) 2 ≥ 0 ， (2 y — 3) 2 ≥ 0 : 当 x — y = 0 且 2 y — 3 = 0 ，即 x = y 时，多项式 2 x 2 — 4 xy + 6 y 2 — 1 2 y + 19 取最小值，并且最小值为 10 ． x ， y ，最小值是 10 ． ) 三、解一元二次方程（二） - 公式法和因式分解 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式ax2 + bx + c = 0，确定a 、b 、c的值（注意符号） , （2） 求出判别式 Δ = b2 — 4ac的值，判断根的情况 （3） 在Δ = b2 - 4ac ≥ 0（注：此处 Δ读“德尔塔 ”）的前提 下，把a 、b 、c的值代入公式x 进行计算，求出方程的根。 知识点 2：一元二次方程的判别式 根的判别式： ① b2 - 4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； ② b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； ③ b2 - 4ac＜0 时，方程无实数根，反之亦成立 知识点 3：解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 如：x2 +（p + q)x + pq = 0 —→(x + p)(x + q) = 0 九、解方程三：公式法 45 ．用公式法解一元二次方程3x2 = 2x - 3时，首先要确定 a 、b 、c 的值，下列叙述正确的是 ( ) A ． a = 3, b = 2, c = 3 B ． a = -3,b = 2,c = 3 C ． a = 3,b = 2,c = -3 D ． a = 3, b = -2, c = 3 ( 【答案】 D 【详解】 解： 3 x 2 = 2 x - 3 ， 移项，得 3 x 2 - 2 x + 3 = 0 ， 这里 a = 3, b = - 2, c = 3 ， 故选： D ． ) 46 ．将方程 2 x 2 + 7 = 4 x 改写成ax2 + bx + c = 0 的形式，则a ，b ， c 的值分别为 ( ) A ．2 ，4 ，7 B ．2 ，4 ， -7 C ．2 ， -4 ，7 D ．2 ， -4 ， -7 ( 【答案】 C 【详解】解： ∵ 2 x 2 + 7 = 4 x 可化为 2 x 2 - 4 x + 7 = 0 ， ) ( ∴它的二次项系数 a ，一次项系数 b 和常数项 c 分别为 2 ， 一 4 ， 7 ， 故选： C ． ) 47 ．用公式法解下列方程： (1) x2 一 x 一12 = 0 ； (2) 2x2 + 5x 一 3 = 0； (3) 2x2 一 7x + 7 = 0 ． ( 【答案】 (1) x 1 = 4, x 2 = 一 3 ； , x 2 = 一 3 ； (3) 方程无解 【详解】（ 1 ）解： x 2 一 x 一 12 = 0 ∴ a = 1, b = 一 1, c = 一 12 ， ∴ Δ = b 2 一 4 ac = 1 + 4 × 1 × 12 = 49 > 0 ， ∴ x 1 = 4 ， x 2 = 一 3 ； （ 2 ）解： 2 x 2 + 5 x 一 3 = 0 ∴ a = 2, b = 5, c = 一 3 ， ∴ Δ = b 2 一 4 ac = 25 + 4 × 2 × 3 = 49 > 0 ， ∴ x ， x 2 = 一 3 ； （ 3 ）解： 2 x 2 一 7 x + 7 = 0 ∴ a = 2, b = 一 7, c = 7 ， ∴ Δ = b 2 一 4 ac = 49 一 4 × 2 × 7 = 一 7 < 0 ， ∴原方程无解． ) ( 48 ．解方程： 2 x 2 + 4 x 一 11 = 0 ． 【答案】 x 1 = 一 1 一 x 2 = 一 【详解】解： 2 x 2 + 4 x 一 11 = 0 ∴ a = 2, b = 4, c = 一 11 ， Δ = b 2 一 4 ac = 16 + 88 = 104 解得： x 1 = 一 1 一 x 2 = 一 ) 49 ．解方程： x2 = 6x -1． ( 【答案】 x ， x 【详解】解： : x 2 = 6 x - 1 ， : x 2 - 6 x + 1 = 0 ， : a = 1 ， b = - 6 ， c = 1 ， :Δ = ( - 6 ) 2 - 4 × 1 × 1 = 36 - 4 = 32 > 0 ， ) 50 ．解方程： 2x2 -1= x (x + 3)． ( 【答案】 x ． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先将所 给的一元二次方 程整理后，分别找到二次项系数、一次项系数、常 数项，利用一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：方程整理得： x 2 - 3 x - 1 = 0 ， 则 a = 1 ， b = - 3 ， c = - 1 , ∵ Δ = b 2 - 4 ac = 9 + 4 = 13 > 0 ， 解得： x ． ) 51 ．解方程： 2x2 = 3(2x +1) ． ( 【答案】 x 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解 方程．掌握并灵 活选用一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解： 2 x 2 = 3 ( 2 x + 1 ) ，即： 2 x 2 - 6 x - 3 = 0 ， 这里 a = 2 ， b = - 6 ， c = - 3 ， ∵ Δ = b 2 - 4 ac = ( - 6 ) - 4 × 2 × ( - 3 ) = 60 ， 52 ． 解方程： x x - 9 = 0 ) ( 【答案】 x ， x 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： x x - 9 = 0 ∴ a = 1 , b c = - 9 ， Δ = b 2 - 4 ac = 12 + 36 = 48 解得： x ， x ) 十、一元二次方程的判别式 53 ．方程x2 - 2x = 0 的判别式Δ = . ( 【答案】 4 【分析】根据根的判别式△ = b 2 - 4 ac 计算即可． 【详解】解： : 一元二次方程 x 2 - 2 x = 0 的二次项系数 a = 1 ，一次项系数 b = - 2 ，常数 项 c = 0 ， : Δ = b 2 - 4 ac = 4 - 0 = 4 ． 故答案为： 4 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．注意判别式△ = b 2 - 4 ac 中的字母所表示的意义． ) 54 ．一元二次方程x2 + 5x +1 = 0 的根的判别式的值是 ． ( 【答案】 21 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次 方程根的判别式 Δ = b 2 - 4 ac 即可求出值． 【详解】解： : a = 1, b = 5, c = 1 ， :Δ = b 2 - 4 ac = 5 2 - 4 × 1 × 1 = 25 - 4 = 21 ． : 一元二次方程 x 2 + 5 x + 1 = 0 根的判别式的值为 21 ． 故答案为： 21 ． ) 55 ．若关于 x 的方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个不相等的实数根，则b2 - 4ac 0（填“>” ，“<”或“=”） ( 【答案】 > 【分析】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况的关系是解题 的关键．一元二 次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0 ) 的根与 Δ = b 2 - 4 ac 有如下关系：当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方 程无实数根．利用判别式的意义得到 Δ = b 2 - 4 ac > 0 ， 即得解． 【详解】解： ∵关于 x 的方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 有两个 不相等的实数根， ∴ b 2 - 4 ac > 0 ， 故答案为： > ) 十一、根据判别式求根的情况 56 ．一元二次方程2x2 + 3x +1 = 0 的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 ( 【答案】 A 【分析】本题考查了一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式 Δ = b 2 - 4 ac 与根的关系．求出根的判 别式 Δ = b 2 - 4 ac ，判断其的符号即可． 【详解】解： ∵ Δ = 3 2 - 4 × 2 × 1 = 9 - 8 = 1 > 0 ， ∴ 2 x 2 + 3 x + 1 = 0 有两个不相等的实数根， 故选： A ． ) 57 ．关于 x 的方程4x2 - 4x = -1的根的情况是 ( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根 ( 【答案】 A 【详解】将方程化为一般式为 4 x 2 - 4 x + 1 = 0 ， : Δ = ( - 4) 2 - 4 × 4 × 1 = 0 : 该方程有两个相等的实数根， 故选： A ． ) 58 ．一元二次方程(x +1)(x - 3) = 2 的根的情况是 ( ) A ．无法确定 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 ( 【答案】 D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式 Δ = b 2 - 4 ac 来判断即可，当 Δ > 0 时， 方程有两个不相等的实数根，当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根，当 Δ < 0 时，方程没有实数根． 【详解】解： ( x + 1)( x - 3) = 2 整 理得： x 2 - 2 x - 5 = 0 ， 其中 a = 1 ， b = - 2 ， c = - 5 ， : Δ = b 2 - 4 ac = ( - 2 ) 2 - 4 × 1 × ( - 5 ) = 4 + 20 = 24 > 0 ， : 一元二次方程 ( x + 1)( x - 3) = 2 有两个不相等的实数根， 故选： D ． ) 59 ．下列一元二次方程中，没有实数根的是 ( ) A ． x2 - 2x = 0 B ． x2 + 4x - 4 = 0 C ． (x - 2)2 - 3 = 0 D ． 3x2 + 2 = 0 ( 【答案】 D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判 别式的各量是一般式的各项 系数，根的判别式 Δ 与实数根的情况之间的关系如下： Δ > 0 ，一元二次方程有两个不相等的实数根； Δ =0 ， 一元二次方程有两个相等的实数根； Δ < 0 ，一元二次 方程无实数根． 【详解】解： A 选项 Δ = ( - 2 ) 2 - 4 × 1 × 0 = 4 > 0 ，则 A 选项有两个不等实数根，不符合题意； B 选项 Δ = 16 + 16 = 32 > 0 ，则 B 选项有两个不等实数根，不符合题意； C 选项方程的一般式为： x 2 - 4 x + 1 = 0 ，则 Δ = 16 - 4 = 12 > 0 ，则 C 选项有两个不等实数根，不符合题意； D 选项方程 Δ =0 - 4 × 3 × 2 = - 24 < 0 ，则 D 选项没有实数根，符合题意． 故选： D ． ) 60 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + nx — 2 = 0 ，则该方程根的情况为 ( ) A ．无实数根 B ．两个相等的实数根 C ．两个不相等的实数根 D ．无法判断 ( 【答案】 C 【分析】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，牢记 “ 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根 ” 是解 题的关键． 先计算根的判别式，得到 Δ = n 2 + 8 ，由 n 2 ≥ 0 ，得到 n 2 + 8 > 0 ，故 Δ > 0 ，因此该方程有两个不相等的实数 根． 【详解】解： Δ = n 2 — 4 × 1 × ( — 2 ) = n 2 + 8 ， ∵ n 2 ≥ 0 ， ∴ n 2 + 8 > 0 ， 即 Δ > 0 ， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选： C ． ) 61 ．关于x 的一元二次方程kx2 — 4x — 4k = 0 ，其根的情况为 ( ) A ．有两个相等的实数根 B ．无实根 C ．无法判断 D ．有两个不相等的实数根 ( 【答案】 D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式 Δ = b 2 — 4 ac 来判断即可，当 Δ > 0 时， 方程有两个不相等的实数根，当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根，当 Δ < 0 时，方程没有实数根． 【详解】解：根据题意： a = k ， b = — 4 ， c = — 4 k ， : Δ = b 2 — 4 ac = ( — 4 ) 2 — 4 k . ( — 4 k ) = 16 + 16 k 2 > 0 : 关于 x 的一元二次方程 kx 2 — 4 x — 4 k = 0 有两个不相等的实数根， 故选： D ． ) 62 ．关于 x 的一元二次方程 x2 + mx — m2 —1 = 0的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．实数根的个数由 m 的值确定 ( 【答案】 A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据 Δ > 0 ， Δ = 0 ， Δ < 0 ， 分别对应的是有两个不相 等的实数根、 有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算， 即可作答． 【详解】解： ∵ x 2 + 2 mx — m 2 — 1 = 0 ∴ Δ = b 2 — 4 ac = ( 2 m ) 2 — 4 × 1 × ( — m 2 — 1 ) = 4 m 2 + 4 m 2 + 4 > 0 ， ∴有两个不相等的实数根， 故选： A ) 63 ．关于 x 的一元二次方程x2 — (2m —1)x — 2m = 0 （其中m 的根的情况是 ( ) A ．没有实数根 B ．有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不等的实数根 ( 【答案】 D ) ( 【详解】 解： 由题意， Δ = b 2 — 4 ac = 4 m 2 — 4 m + 1 + 8 m ， = 4 m 2 + 4 m + 1 ， = ( 2 m + 1 ) 2 ． : m ， : ( 2 m + 1 ) 2 > 0 ， : 方程有两个不相等的实数根 ) 64 ．已知关于x 的一元二次方程mx2 — 2x — 4 = 0 有两个实数根． (1)若方程的一个根是 2 ，求m 的值； (2)求m 的取值范围． ( 【答案】 (1) m = 2 ； 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式． （ 1 ）把 x = 2 代入一元二次方程，求出 m 的值即可； （ 2 ）根据一元二次方程有两个实数根可知 Δ ≥ 0 ，求出 m 的取值范围即可． 【详解】（ 1 ）解：把 x = 2 代入 mx 2 — 2 x — 4 = 0 得： 4 m — 4 — 4 = 0 ， 解得 m = 2 ； （ 2 ）解： : 一元二次方程 mx 2 — 2 x — 4 = 0 有两个实数根， 解得 m 且 m ≠ 0 ． ) 65 ．已知：关于x 的方程x2 + 2kx +k2 —1 = 0 ． (1)试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为 3 ，试求2k2 +12k + 2023 的值． ( 【答案】 (1) 见解析 (2)2007 【分析】（ 1 ）根据一元二次方程根的判别式恒大于零即可证 明结论； （ 2 ）将 x = 3 代入方程得 k 2 + 6 k = — 8 ，然后对 2 k 2 + 12 k + 2023 变形后代入计算即可解答． 【详解】（ 1 ）解： ∵方程总有两个不相等的实数根 Δ = ( 2 k ) 2 — 4 × 1 × ( k 2 — 1 ) = 4 k 2 — 4 k 2 + 4 = 4 > 0 ， : 无论 k 取何值时，方程 x 2 + 2 kx + k 2 — 1 = 0 总有两个不相等的实数根． （ 2 ）解： ∵方程有一个根为 3 ， ) ( ∴ 9 + 6 k + k 2 - 1 = 0 ，即 k 2 + 6 k = - 8 ∴ 2 k 2 + 12 k + 2023 = 2 ( k 2 + 6 k ) + 2023 = - 16 + 2023 = 2007 ． ) 66 ．已知：关于x 的方程x2 - (k+ 2)x + 2k = 0 ． (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形 ABC 的底边长为1 ，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求 △ABC 的周长． ( 【答案】 (1) 见解析 (2) 5 【详解】（ 1 ）证明： Δ = ( k + 2 ) 2 - 4 × 2 k = ( k - 2) 2 ， : ( k - 2) 2 ≥ 0 ，即 Δ ≥ 0 ， : 无论 k 取任何实数值，方程总有实数根； （ 2 ）解：依题意有 Δ = ( k - 2) 2 = 0 ，则 k = 2 ， 方程化为 x 2 - 4 x + 4 = 0 ， 解得 x 1 = x 2 = 2 ， 故 △ ABC 的周长 = 2 + 2 + 1 = 5 ． ) 十二、根据根的个数求参数范围 67 ．若关于x 的一元二次方程x2 - 8x + 2m = 0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ． ( 【答案】 m < 8 【分析】根据一元二次方程 x 2 - 8 x + 2 m = 0 有两个不相等的实数根则可知根的判别式 大于 0 ，直接列不等式 求解即可． 【详解】解： 由题意知： Δ = b 2 - 4 ac = ( - 8) 2 - 4 × 1 × 2 m > 0 解得 m < 8 ． 故答案为： m < 8 【点睛】此题考查一元二次方程根的情况，解题关键是一元二次方程有两个不相等的实数根时 Δ > 0 ． ) 68 ．如果关于 x 的方程 x2 -x＋2m ＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ． ( 【答案】 m 【分析】方程有两个不相等实数根，则根的判别式 Δ > 0 ，建立关于 m 的不等式，求解不等式 解集即可． 【详解】解： ∵方程有两个不相等实数根， a = 1 ， b = — 1 ， c = 2 m ， ∴ Δ = b 2 — 4 ac = 1 — 8 m > 0 ， 解得： m ， 故答案为： m ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的 关系是解答本题 的关键． ) 69 ．如果关于 x 的方程ax2 — x +1 = 0 有实数根，那么 a 的取值范围是 ． ( 【答案】 a 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据关于 x 的方程 ax 2 — x + 1 = 0 有实数根，得出 Δ = b 2 — 4 ac ≥ 0 ， 代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵关于 x 的方程 ax 2 — x + 1 = 0 有实数根， ∴ Δ = ( — 1 ) 2 — 4 a × 1 ≥ 0 ， 解得 a ， 故答案为： a ． ) 70 ．若关于x 的方程kx2 — 6x — 9 = 0有实数根，则k 的取值范围是 ． ( 【答案】 k ≥ — 1 / — 1 ≤ k 【详解】解：对于关于 x 的方程 kx 2 — 6 x — 9 = 0 ， 当 k = 0 时，可有 — 6 x — 9 = 0 ，解得 x ； 当 k ≠ 0 时，该方程为一元二次方程， 则有 Δ = ( — 6 ) 2 — 4 × k × ( — 9 ) ≥ 0 ， 解得 k ≥ — 1 ， ∴ k 的取值范围是 k ≥ — 1 ． 故答案为： k ≥ — 1 ． ) 71 ．已知关于 x 的一元二次方程 a x2+4x -2 ＝0 有实数根，则 a 的最小值是 ． 【答案】-2 【分析】 由关于 x 的一元二次方程 ax2+4x-2 ＝0 有实数根，则 a≠0 ，且△≥0 ，解不等式得到 a 的取值范围，最后确定 a 的最小值． 【详解】解： ∵关于 x 的一元二次方程 ax2+4x-2 ＝0 有实数根， ∴a≠0 ，且△≥0， 即△ =42 -4a×（-2）＝16+8a≥，解得 a≥-2， ( ∴ a 的 a 的最小值是 -2 ， 故答案为： -2 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a≠0 ， a ， b ， c 为常数）根的判别式△ = b 2 −4 ac ．当△> 0 ， 方程有两个不相等的实数根；当△ = 0 ，方程有两个相等的实数根；当△< 0 ，方程没有实数根．也考查了 一元二次方程的定义和不等式的特殊解． ) 72 ．已知关于x 的一元二次方程(m —1)x2 + x +1 = 0 有实数根，则m 的取值范围是 ． ( 【答案】 m 且 m ≠ 1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程根 的判别式与根的 关系，根据一元二次方程有实数根得根的判别式大于等于 0 ，及根据一元二次方程的 定义得二次项系数不等 于 0 ，列出不等式，求解即可． 【详解】解： : 关于 x 的一元二次方程 ( m — 1 ) x 2 + x + 1 = 0 有实数根， : Δ = b 2 — 4 ac = 1 2 — 4( m — 1) × 1 ≥ 0 ，且 m — 1 ≠ 0 ， 解得 m 且 m ≠ 1 ， 故答案为 m 且 m ≠ 1 ． ) 73 ．关于x 的一元二次方程x2 — 6x + m = 0 有两个不相等的实数根，请写出一个合适的m 的值 ． ( 【答案】 1( 答案不唯一 ) 【分析】先根据判别式的意义得到 Δ = ( — 6) 2 — 4 m > 0 ，解不等式得到 m 的范围，然后在此范围内取一个值即 可． 【详解】解：根据题意得 Δ = ( — 6) 2 — 4 m > 0 ， 解得 m < 9 ， 所以当 m 取 1 时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为： 1( 答案不唯一 ) ． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的根与 Δ = b 2 — 4 ac 有如下关系 ：当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程无实数根． ) 74 ．关于x 的一元二次方程(k+1)x2 — 2x +1 = 0 有两个实数根，则k 的取值范围是 ( ) A ． k ≥ 0 B ． k ≤ 0 C ． k < 0 且k ≠ —1 D ． k ≤ 0 且k ≠ —1 ( 【答案】 D 【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程 ( k + 1 ) x 2 — 2 x + 1 = 0 有两个实数根， Δ = b 2 — 4 ac = 4 — 4 ( k + 1 ) ≥ 0, ) 27 学科网（北京）股份有限公司 ( 解得： k ≤ 0 ， 根据二次项系数 k + 1 ≠ 0, 可得： k ≠ - 1. 故选 D ． 【点睛】考查一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 根的判别式 Δ = b 2 - 4 ac ， 当 Δ = b 2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实 数根； 当 Δ = b 2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的 实数根； 当 Δ = b 2 - 4 ac <0 时，方程没有实数根． ) 75 ．已知关于 x 的方程(k +1) x2 - (2k +1) x +k-1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A ． k 且k ≠ -1 B ． k 且k ≠ -1 C ．k D ． k ( 【答案】 C 【分析】根据方程有实数根，分两种情况分析：当方程为一元二次方程时，当方程为一元 一次方程时，利用根的判别式来求 k 的取值范围即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于 x 的方程 ( k + 1 ) x 2 - ( 2 k + 1 ) x + k - 1 = 0 有实数根， ∴ Δ = ( 2 k + 1 ) 2 - 4 × ( k - 1 ) ( k + 1) ≥ 0 ，且 k ≠ - 1 ， 解得， k 且 k ≠ - 1 ， 当方程为一元一次方程时， k = - 1 ， 方程有实根 综上， k 故选： C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中 a ≠ 0 ，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． ) 十三、解方程四：因式分解法 76 ．方程x2 - 2x = 0 的根是 ( ) A ． x1 = 0, x2 = 2 B ． x1 = 0, x2 = -2 C ． x = 0 D ． x = 2 ( 【答案】 A 【分析】先把方程化为 x ( x - 2 ) = 0 ，可得两 个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】解： x 2 - 2 x = 0 ， ∴ x ( x - 2 ) = 0 ， 解得： x 1 = 0 ， x 2 = 2 ， 故选 A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式 分解的方法解方程是解本题的关键． ) 28 学科网（北京）股份有限公司 77 ．方程x2 3x = 0 的解是 ( 【答案】 0 或 3 【分析】本题考查解一元二次方程 - 因式分解法解题的关键是 掌握因式分解法解方程，属于中考常考题型；提公因式法因式分解，可得结论； 【详解】解： ∵ x 2 3 x = 0 : x ( x 3) = 0, : x = 0 或 x 3 = 0, : x 1 = 0, x 2 = 3. 故答案为： 0 或 3 ． ) 78 ．一元二次方程x2 2x 24 = 0 的两根分别为： x1 = ， x2 = ． ( 【答案】 4 6 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可作答． 【详解】 x 2 2 x 24 = 0 ( x 6 ) ( x + 4 ) = 0 ， 即： x 6 = 0 ， x + 4 = 0 ， ∴ x 1 = 6 ， x 2 = 4 ， 故答案为： 4 ， 6 ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的知识， 掌握因式分解法，是解答本题的关键． ) 79 ．一元二次方程3x (x 1) = 2 (x 1) 的解x = ( 【答案】 1 或 或 1 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 3 x ( x 1 ) = 2 ( x 1 ) 3 x ( x 1 ) 2 ( x 1 ) = 0 ( x 1 )( 3 x 2 ) = 0 ∴ x 1 = 0 或 3 x 2 = 0 解得 x 1 = 1 ， x ． 故答案为： 1 或 ． ) 80 ．已知等腰三角形的两边长分别是方程x2 7x +12 = 0 的两根，则该等腰三角形的底边长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．3 或 4 ( 【答案】 D 【分析】先把方程化为 ( x 3 )( x 4 ) = 0 ，可得 x 1 = 3 ， x 2 = 4 ，再根据等腰三角形的定义可得答案． ) 29 学科网（北京）股份有限公司 ( 【详解】解： ∵ x 2 - 7 x + 12 = 0 ， ∴ ( x - 3 )( x - 4 ) = 0 ， ∴ x - 3 = 0 或 x - 4 = 0 ， 解得： x 1 = 3 ， x 2 = 4 ， ∴等腰三角形的两边长分别 3 或 4 ； ∴该等腰三角形的底边长为 3 或 4 ； 故选 D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，熟练的解一元二次方程是解本题的关键． ) 81 ．等腰三角形的边长都是方程x2 - 6x + 8 = 0的根，则此三角形的周长为 ． ( 【答案】 10 【分析】先利用因式分解法求出方程的根，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系 定理得出此三角形的三边长，最后利用三角形的周长公式即可得答案． 【详解】解： x 2 - 6 x + 8 = 0 ， ∴ ( x - 2)( x - 4) = 0 ， 解得 x 1 = 2, x 2 = 4 ， 由题意得：这个三角形的三边长分别为 2 , 2, 4 或 2, 4, 4 ， （ 1 ）当这个三角形的三边长分别为 2 , 2, 4 时， : 2 + 2 = 4 ， : 不满足三角形的三边关系定理，舍去， （ 2 ）当这个三角形的三边长分别为 2, 4, 4 时， : 2 + 4 > 4 ， : 满足三角形的三边关系定理， ∴三角形的周长为 2 + 4 + 4 = 10 ； 故答案为： 10 【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理，正确 求出等腰三角形 的三边长是解题关键． ) 82 ．已知三角形的两边长为 3 和 5 ，第三边的长为方程x2 - 5x + 4 = 0 的根，则该三角形的周长为 ． ( 【答案】 12 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系．熟练掌握因式分解 法解一元二次方 程，三角形的三边关系是解题的关键． 解一元二次方程得， x = 1 或 x = 4 ，根据三角形的三边关系可得第三边长为 4 ，然后求周长即可． 【详解】解： x 2 - 5 x + 4 = 0 ， ( x - 1 )( x - 4 ) = 0 ， 解得 x = 1 或 x = 4 ， 由题意知，第三边的长大于 5 - 3 = 2 ，小于 5 + 3 = 8 ， ∴第三边长为 4 ， ∴该三角形的周长为 3 + 4 + 5 = 12 ， 故答案为： 12 ． ) 83．若三角形两边分别为 2 和 5，第三边的长是方程x2 - 5x + 4 = 0 的解，则这个三角形的周长是 ． ( 【答案】 11 ) 30 学科网（北京）股份有限公司 ( 【详解】解： x 2 — 5 x + 4 = ( x — 1 )( x — 4 ) = 0 解得： x 1 = 1, x 2 = 4 ① 当 x = 1 时， ∵ 1 + 2 = 3 < 5 ， ∴舍去； ② 当 x = 4 时，满足构成三角形的条件 此时，三角形的周长为： 2 + 4 + 5 = 11 故答案为： 11 ) 84 ．解方程： (1) x2 + 2x — 3 = 0 (2) x(x — 2) = 3(x — 2) ( 【答案】 (1) x 1 = — 3 ， x 2 = 1 (2) x 1 = 3 ， x 2 = 2 【详解】（ 1 ）解： x 2 + 2 x — 3 = 0 ∴ ( x + 3)( x — 1) = 0 ∴ x + 3 = 0 或 x — 1 = 0 解得： x 1 = — 3 ， x 2 = 1 （ 2 ）解： x ( x — 2) = 3( x — 2) ∴ ( x — 3)( x — 2) = 0 ∴ x — 3 = 0 或 x — 2 = 0 解得： x 1 = 3 ， x 2 = 2 ) 85 ．（1） x (x + 2)— (x + 2) = 0 （2） (2x —1)2 = x (2x + 6)- 7 ． ( 【答案】（ 1 ） x 1 = — 2, x 2 = 1 ；（ 2 ） x 1 = 4, x 2 = 1 ． 【详解】解 ：（ 1 ） x ( x + 2 ) — ( x + 2 ) = 0 ， ( x + 2 )( x — 1 ) = 0 ， ) ( ∴ x + 2 = 0 或 x — 1 = 0 ， ∴ x 1 = — 2, x 2 = 1 ． （ 2 ） ( 2 x — 1 ) 2 = x ( 2 x + 6 ) — 7 ，整理得： x 2 — 5 x + 4 = 0 ， ( x — 4 )( x — 1 ) = 0 ， ∴ x — 4 = 0 或 x — 1 = 0 ， ∴ x 1 = 4, x 2 = 1 ． ) 86 ．计算： (1) x2 ＋4x－5 ＝0 (2)（x＋2）2 -10（x＋2）＋25 ＝0 ( 【答案】 (1) x 1 = 1, x 2 = — 5 ． (2) x 1 = x 2 = 3 ． 【分析】（ 1 ）利用因式分解法求解可得． （ 2 ）根据完全平方公式分解因式，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（ 1 ） x 2 ＋ 4 x － 5 ＝ 0 解 ：（ x -1 ）（ x +5 ） =0 ， ∴ x -1=0 或 x +5=0 ， 解得 x =1 或 x =-5 ， ∴ x 1 = 1, x 2 = — 5 ． （ 2 ） （ x ＋ 2 ） 2 - 10 （ x ＋ 2 ）＋ 25 ＝ 0 解：方程整理得 ： （ x + 2 — 5 ） 2 = 0 ， 即 （ x — 3 ） 2 = 0 解得： x 1 = x 2 = 3 ． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解方程， 熟练掌握解方程的方法是解题关键． ) 十四、解方程五：换元法 87 ．若(x + y)(1— x —y ) + 6 = 0 ，则x + y 的值是 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． —2 或3 D ． 2 或 —3 ( 【答案】 C 【分析】先设 x+y=t ，则方程即可变形为 t 2 -t-6=0 ，解 方程即可求得 t 即 x+y 的值． 【详解】解：设 t=x+y ，则原方程可化为： t （ 1-t ） +6=0 即 -t 2 +t+6=0 t 2 -t-6=0 ) ( ∴ t=-2 或 3 ， 即 x+y=-2 或 3 ． 故选 C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． ) 88 ．实数 x 满足方程（x2+x）2-（x2+x）-2=0 ，则 x2+x 的值等于 ( ) A ．2 B ． -1 C ．2 或-1 D ．1 或-2 ( 【答案】 A 【详解】试题分析：设 y=x 2 +x ，则由原方程，得 y 2 -y-2=0 ， 整理得（ y-2 ）（ y+1 ） =0 ， 解得 y 1 =2 ， y 2 =-1 ， 即 x 2 +x 的值等于 2 或 -1 ． x 2 +x=-1 时，该方程无解，所以 x 2 +x=-1 舍去， 故选 A ． 考点：换元法解一元二次方程． ) 89 ．我们知道方程x2 + 2x - 3 = 0 的解是x1 = 1，x2 = -3 ，现给出另一个方程(2x + 3)2 + 2(2x + 3) - 3 = 0 ，它的 解是 ( ) A ． x1 = 1，x2 = 3 B ． x1 = 1，x2 = -3 C ． x1 = -1，x2 = 3 D ． x1 = -1，x2 = -3 ( 【答案】 D 【分析】把方程 ( 2 x + 3 ) 2 + 2 ( 2 x + 3 ) - 3 = 0 看作关于 2 x + 3 的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果． 【详解】把方程 ( 2 x + 3 ) 2 + 2 ( 2 x + 3 ) - 3 = 0 看 作关于 2 x + 3 的一元二次方程， ∴ 2 x + 3 = 1 或 2 x + 3 = - 3 ， ∴ x 1 = - 1 ， x 2 = - 3 ． 故选 D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法 , 熟悉换元法的解题步骤是解题关键． ) ( 90 ．已知（ a 2 + b 2 ）（ a 2 + b 2 - 1 ）＝ 6 ，则 a 2 + b 2 = . 【答案】 3 【分析】把 a 2 + b 2 看做整体设为 y ，利用换元法得到新方 程 y （ y － 1 ） =6 解方程求答． 【详解】解：设 a 2 + b 2 = y ， 则原方程化为： y （ y － 1 ） =6 ， 去括号移项得： y 2 － y － 6=0 ， （ y － 3 ）（ y ＋ 2 ） =0 ， 解得 y 1 =3 ， y 2 = - 2 ， ∵ a 2 + b 2 ≥0 ， ∴ a 2 + b 2 =3 ． 故答案为： 3 【点睛】本题考查用换元法解一元二次方程，解题时要注意换元法的运用，还要注意 a 2 + b 2 的取值是非负数． 91 ．解方程（ x - 1 ） 2 - 5 （ x - 1 ） +4 ＝ 0 时，我们可以将 x - 1 看成一个整体，设 x - 1 ＝ y ，则原方程可化为 ) y2 -5y+4 ＝0 ，解得y1 ＝1，y2 ＝4 ．当y ＝1 时，即 x -1 ＝1 ，解得 x ＝2；当y ＝4 时，即 x -1 ＝4，解得 x ＝5，所以原方程的解为：x1 ＝2，x2 ＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2 -4（2x+5）+3 ＝0 的解为 ( 【答案】 x 1 ＝ - 2 ， x 2 ＝ - 1 【分析】首先根据题意可以设 y ＝ 2 x +5 ，方程可以变为 y 2 - 4 y +3 ＝ 0 ，然后解关于 y 的一元二次方程，接着 就可以求出 x ． 【详解】解 ：（ 2 x +5 ） 2 - 4 （ 2 x +5 ） + 3 ＝ 0 ，设 y ＝ 2 x +5 ， 方程可以变为 y 2 - 4 y +3 ＝ 0 ， ∴ y 1 ＝ 1 ， y 2 ＝ 3 ， 当 y ＝ 1 时，即 2 x +5 ＝ 1 ，解得 x ＝ - 2 ；当 y ＝ 3 时，即 2 x +5 ＝ 3 ，解得 x ＝ - 1 ，所以原方程的解为： x 1 ＝ - 2 ， x 2 ＝ - 1 ． 故答案为： x 1 ＝ - 2 ， x 2 ＝ - 1 ． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是 掌握解一元二次 方程进行解题． ) 92 ．方程x4 - 6x2 + 5 = 0 是关于x 的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2 = y ，那么 x4 = y2 ，原方程可变为y2 - 6y + 5 = 0 ，先求解y ，再求解x ．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若 (x2 + y2 + 2)(x2 + y2 + 3)= 20 ，则x2 + y2 = ． ( 【答案】 2 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．把一些形式复杂的方程 通过换元的方法变成一元二次方程， 从而达到降次的目的．设 x 2 + y 2 = t ，原方程可变形为 t 2 + 5 t - 14 = 0 ，运用因式分解法解得 t 1 = 2 ， t 2 = - 7 ， 再根据 x 2 + y 2 ≥ 0 ，即可得出 x 2 + y 2 = 2 ． 【详解】解：设 x 2 + y 2 = t ，原方程可变形为 ( t + 2)( t + 3) = 20 ， 整理得 t 2 + 5 t - 14 = 0 ， 即 ( t - 2)( t + 7) = 0 ， : t 1 = 2 ， t 2 = - 7 ， : x 2 + y 2 ≥ 0 ， : x 2 + y 2 = 2 ， 故答案为： 2 ． ) 93 ．解方程： x2 - 2x ． ( 【答案】 x 1 = 3, x 2 = - 1 ) ( 可根据方程特点设 y = x 2 - 2 x ，则原方程可化为 y 2 - y - 6 = 0 ，解一元二次方程求 y ，再求 x ． 【详解】设 y = x 2 - 2 x ，则原方程化 为 y : y 2 - y - 6 = 0 ， 即 ( y - 3 )( y + 2 ) = 0 ， 解得 y 1 = - 2 ， y 2 = 3 ． 当 y 1 = - 2 时， x 2 - 2 x = - 2 ，该方程无解， 当 y 2 = 3 时， x 2 - 2 x = 3 ． 解得 x 1 = 3 ， x 2 = - 1 ， 检验：当 x 1 = 3 时，原方程左边 右边， 当 x 2 = - 1 时 ，原方程左边 右边， ∴ x 1 = 3 ， x 2 = - 1 都是原方程的根， ∴原方程的根是 x 1 = 3 ， x 2 = - 1 ． ) 94 ．【阅读材料】解方程(x2 +1)2 - 2(x2 +1)- 3 = 0 ． 解：设x2 +1 = y ,则原方程可变形为y2 - 2y - 3 = 0 : y1 = 3, y2 = -1． 当y = 3 时， x2 +1 = 3, :x2 = 2, :x 当y = -1 时， x2 +1= -1, :x2 = -2 ,此方程无实数根． ∴原方程的解为x ．我们将上述解方程的方法叫做换元法． 【问题解决】利用上述方法解方程(2y-1)2 - (2y-1) -12 = 0 ． ( 【答案】 y 1 = - 1, y 【详解】解：设 m = 2 y - 1 ，则原方程可变形为 m 2 - m - 12 = 0 ． 解得： m 1 = - 3, m 2 = 4 ， 当 m = - 3 时， 2 y - 1 = - 3 ，解得 y = - 1 ， ) ( 当 m = 4 时， 2 y - 1 = 4 ，解得 y ． ∴原方程的解为 y 1 = - 1, y ． ) 95 ．解方程(x2 -1)2 - 5(x2 -1)+ 4 = 0 时，我们可以将(x2 -1) 视为一个整体，设x2 -1 = y ，则原方程可化为y2 - 5y + 4 = 0 ，解得y1 = 1, y2 = 4 ．当y = 1 时，x2 -1 = 1 ，: x 当y = 4 时，x2 -1 = 4, : x :原方程的解为x ，x ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．运用上述方法解下列方程：(1) x4 - 3x2 - 4 = 0 ； (2) (x2 + x )(x2 + x - 2) = -1 ． ( 【答案】 (1) x 1 = 2, x 2 = - 2 【详解】（ 1 ）解：设 t = x 2 ，则原方程可化为 t 2 - 3 t - 4 = 0 ， 解得 t 1 = 4, t 2 = - 1 （舍去 ）． : x 2 = 4 ， 解得 x 1 = - 2, x 2 = 2 ． : 原方程的解为 x 1 = 2, x 2 = - 2 ． （ 2 ）解：设 y = x 2 + x ，则原方程可化为 y ( y - 2 ) = - 1 ， 整理，得 ( y - 1 ) 2 = 0 ， 解得 y 1 = y 2 = 1 ， : x 2 + x = 1 ， 解得 x ， : 原方程的解为 x ． ) 36 学科网（北京）股份有限公司 四、 一元二次方程根与系数的关系 知识点：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即ax2 + bx + c = 0 的两根为 x1、x2 ，则x1 +x ，x1 . x 。利用韦达定 理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理十五、根与系数的关系 1 ．设方程3x2 + 7x - 9 = 0的两根为x1，x2 ，则x1x2 = ． ( 【答案】 - 3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两根时 ， x 1 + x ， x 1 x ．直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：根据根与系数的关系得 x 1 x ． 故答案为： - 3 ． ) 2 ．方程x2 + 2x - 3 = 0 的两根分别是x1 和 x2 ，则x1 + x2 = ． ( 【答案】 - 2 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两根分别为 x 1 和 x 2 ，则 x x 1 x 根据根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解： : 方程 x 2 + 2 x - 3 = 0 的两根分别为 x 1 和 x 2 ， 故答案为： - 2. ) 3 ．若a, b 是方程x2 - x - 2 = 0 的两个根，则 a +b 的值是 ． ( 【答案】 1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得 a + b = 1 ，即可求解． 【详解】解： ∵ a , b 是方程 x 2 - x - 2 = 0 的两个根， ∴ a + b = 1 ， 故答案为： 1 ． ) 4 ．方程 2x2+3x-1=0 的两根之和为 ( ) A ． B ． C ． D ． ( 【答案】 A 【分析】据一元二次方程的根与系数的关系即可判断． ) ( 【详解】根据一元二次方程的根与系数的关系可得：两个根的和是： x 1 + x 故选 A ． . ) 5 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + 3x - m = 0的一个根是x=- 1 ，则该方程两个根的和等于 ( ) A ． -10 B ． -3 C ．3 D ．10 ( 【答案】 B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系， x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的两根时， x 1 + x ， x 1 x ．根据根与系数的关系得出 x 1 + x 2 = - 3 即可． 【详解】解：设方程的两个根为 x 1 ， x 2 ， : x 1 + x 2 = - 3 ． 故选： B ． ) 6 ．一元二次方程x2 - 3x + 2 = 0 的两根为 x1 ， x2 ，则2x1 + 2x2 = ． ( 【答案】 6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得 x 1 + x 2 = 3 ，代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∵一元二次方程 x 2 - 3 x + 2 = 0 的两根为 x 1 ， x 2 ， ∴ x 1 + x 2 = 3 ， ∴ 2 x 1 + 2 x 2 = 2 × 3 = 6 ， 故答案为： 6 ． ) 7 ．已知方程x2 - 2x - 3 = 0的两个根分别为x1x2 ，则x1 + x2 - x1 . x2 的值为 ． 【答案】5 【分析】根据根与系数的关系得x1 + x2 = 2，x1x2 = -3 ，然后再整体代入即可解答． 【详解】解：根据根与系数的关系得x1 + x2 = 2，x1x2 = -3 ，所以x1 + x2 - x1 . x2 = 2 - (-3) = 5 ． 故答案为：5． 8 ．已知一元二次方程x2 + 4x — 5 = 0 的两根为x1 , x2 ，则 x1 x2 ( 【答案】 /0.8 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．根据根与系 数的关系得到 x 1 + x 2 = — 4, x 1 x 2 = — 5 ，然后利用整体思想代入进行计算即可． 【详解】解： ∵一元二次方程 x 2 + 4 x — 5 = 0 的两根为 x 1 , x 2 ， ∴ x 1 + x 2 = — 4, x 1 x 2 = — 5 ， 故答案为： ) 9 ．已知方程x2 — 3x +1 = 0的两根是x1 ，x2 ，则x1 + x2 + x1x2 的值是 ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 ( 【答案】 D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键； 由根 与系数的关 系得 x 1 + x 2 = 3 ， x 1 x 2 = 1 ，再直接代入即可 求解． 【详解】解： ∵ x 2 — 3 x + 1 = 0 的两根是 x 1 ， x 2 ， : x 1 + x 2 = 3 ， x 1 x 2 = 1 ， : x 1 + x 2 + x 1 x 2 = 3 + 1 = 4 ． 故选： D ． ) 10 ．若方程x2 — 3x — 2 = 0的两根分别是 x1 ， x2 ，则x1 (2) + x2 (2) 的值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．13 D ．16 ( 【答案】 C 【分析】 本题考查利用一元二次方程根与系数关系求代数式 值，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解： ∵方程 x 2 — 3 x — 2 = 0 的两根分别是 x 1 ， x 2 ， ∴ x 1 + x 2 = 3 ， x 1 . x 2 = — 2 ， ∴ x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 2 x 1 x 2 = 3 2 — 2 × ( — 2 ) = 13 ， 故选： C ． ) 11．已知 α 、 β 是关于x 的一元二次方程x2 + (2m + 3)x + m2 = 0 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m 的值是( ) A ． 3 B ． 1 C ． 3 或 —1 D ． —3 或1 ( 【答案】 A 【详解】解： ∵ α 、 β 是关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2 m + 3) x + m 2 = 0 的两个不相等的实数根， ∴ Δ = b 2 — 4 ac = ( 2 m + 3 ) 2 — 4 m 2 = 12 m + 9 > 0 ， 解得： m ， 又∵ α + β = — ( 2 m + 3 ) , α β = m 2 ， ， ∴ 2 m + 3 = m 2 即 m 2 — 2 m — 3 = 0 解得： m = 3 或 m = — 1 ， ∵ m ， ∴ m = 3 ， 故选： A ． ) 12 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + 4x + 3 = 0的两根分别为a 、b ，则 的值为 ( ) A ． B ． C ． D ． ( 【答案】 D 【分析】先根与系数的关系得 a + b = — 4 ， ab = 3 ，再利用通分得到 ，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得： a + b = — 4 ， ab = 3 ， 故选： D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两根时， x 1 + x ， ) 13 ．一元二次方程x2 — 3x + 2 = 0 的两根为 x1 ， x2 ，则下列结论错误的是 ( ) A ． x1 + x2 = 3 B ． x1 . x2 = 2 C ． (x1 — x2 )2 = 1 D ． x1 (2) + x2 (2) = 6 ( 【答案】 D ) ( 【详解】解： ∵一元二次方程 x 2 — 3 x + 2 = 0 的两根为 x 1 ， x 2 ， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，可得 x 1 + x ， x ， ∴ ( x 1 — x 2 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 4 x 1 x 2 = 1 ， x 2 1 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 2 x 1 x 2 = 5 ， 故选项 A 、 B 、 C 正确，选项 D 错误，符合题意． 故选： D ． ) 14 ．已知方程x2 — 5x + 2 = 0 的两个根分别为 x1 、 x2 ，则x1 + x2 — x1x2 的值为 ( ) A ． B ． C ．7 D ．3 ( 【答案】 D 【分析】根据一元二次方程根与系数关系整体代入即可得到答案． 【详解】解： : 方程 x 2 — 5 x + 2 = 0 的两个解分别为 x 1 、 x 2 ， : x 1 + x 2 = 5 ， x 1 x 2 = 2 ， : x 1 + x 2 — x 1 x 2 = 5 — 2 = 3 ， 故选： D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，两根积等于常数项比二次项系数，两根 和等于一次项系 数与二次项系数比值的相反数． ) 15 ．若 x1 、 x2 是x2 + bx — 3b = 0 的两个根，且x1 (2) + x2 (2) = 7 ，则b 的值是 ( ) A ． —7 B ． 1 C ． 1或—7 D ． 7 或 —1 ( 【答案】 B 【分析】根据根与系数关系得出 x 1 + x 2 = — b ， x 1 . x 2 = — 3 b ，由 x 2 1 + x 2 2 = 7 配方得 x 2 1 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 2 x 1 x 2 = 7 ， 得出方程 ( — b ) 2 — 2 × ( — 3 b ) = 7 ，解方程即可． 【详解】解： ∵ x 1 、 x 2 是 x 2 + bx — 3 b = 0 的两个根， ∴ x 1 + x 2 = — b ， x 1 . x 2 = — 3 b ， ∵ x 2 1 + x 2 2 = 7 ， ∴ x 2 1 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 2 x 1 x 2 = 7 ， ) ( ∴ ( — b ) 2 — 2 × ( — 3 b ) = 7 ， b 2 + 6 b — 7 = 0 ， 解得 b 1 = 1 ， b 2 = — 7 ， 但 b =-7 时，方程为 x 2 — 7 x + 21 = 0 ，此时 Δ = ( — 7 ) 2 — 4 × 21 < 0 ，所以 原方程无实数根， 故选 B ． 【点睛】本题考查根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程，掌握根与系数关 系，完全平方公 式变形，解一元二次方程是解题关键． ) 16 ．设 a 、b 是方程x2 + x — 2025 = 0的两个实数根，则(a —1)(b—1) 的值为 ． ( 【答案】 — 2023 【分析】根据根与系数的关系可得出 a + b = — 1 ， ab = — 2025 ，再将 ( a — 1 )( b — 1 ) 化成 ab — ( a + b ) + 1 ，最后整 体代入即可解答． 【详解】解： ∵ a 、 b 是方程 x 2 + x — 2025 = 0 的 两个实数根， ∴ a + b = — 1 ， ab = — 2025 ， ∴ ( a — 1 )( b — 1 ) = ab — ( a + b ) + 1 = — 2025 — ( — 1 ) + 1 = — 2023 ． 故答案为 — 2023 ． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、代数式求值等 知识点，掌握一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的 两根之和等于 ，两根之积等于 是解题的关键． ) 17 ．设 a ，b 是方程x2 + 2x — 2023 = 0的两个实数根，则(a +1)(b+1) 的值为 ． ( 【答案】 — 2024 【详解】解： ∵ a ， b 是方程 x 2 + 2 x — 2023 = 0 的两个实数根， ∴ a + b = — 2, ab = — 2023 ， ∴ ( a + 1)( b + 1) = ab + ( a + b ) + 1 = — 2 — 2023 + 1 = — 2024 ． 故答案为： — 2024 ． ) 18 ．若 m ，n 是一元二次方程x2 + 3x — 9 = 0的两个根，则m2 + 4m + n 的值是 ( ) A ．0 B ．4 C ．6 D ．12 ( 【答案】 C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据题意可得 m 2 + 3 m — 9 = 0 ， m + n = — 3 ， 再代入即可求解．熟练掌握若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个实数根，则 x 1 + x ， x 1 . x 是解题的关键． 【详解】解： ∵ m ， n 是一元二次方程 x 2 + 3 x — 9 = 0 的两个根， ∴ m 2 + 3 m — 9 = 0 ， m + n = — 3 ， ) ( ∴ m 2 + 3 m = 9 ， ∴ m 2 + 4 m + n = m 2 + 3 m + m + n = 9 + ( — 3 ) = 6 ． 故选： C ． ) 19 ．设 a ，b 是方程x2 + x — 2025 = 0的两个实数根，则a2 + 2a +b 的值为 ( ) A ．2022 B ．2023 C ．2024 D ．2025 ( 【答案】 C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的两根，则 x 1 + x ， x 1 . x ．也考查了一元二次方程的根．先利用一元二次方程解的定义得到 a 2 + a = 2025 ，再根 据根与系数的 关系得到 a + b = — 1 ，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： : a 是方程 x 2 + x — 2025 = 0 的实数根， : a 2 + a — 2025 = 0 ， : a 2 + a = 2025 ， : a ， b 是方程 x 2 + x — 2025 = 0 的两个实数根， : a + b = — 1 ， : a 2 + 2 a + b = a 2 + a + a + b = 2025 + ( — 1) = 2024 ． 故选： C ． ) 20 ．若 x1 、x2 是方程x2 — 4x — 2020 = 0的两个实数根，则代数式x1 (2) — 2x1 + 2x2 的值等于 ( ) A ．2020 B ．2019 C ．2029 D ．2028 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x1 (2) — 4x1 = 2020 ， x1 + x2 = 4 ，再将代入原 式变形为x1 (2) — 4x1 + 2(x1 + x2 ) ，代入计算可得． 【详解】解：: x1 ， x2 是方程x2 — 4x — 2020 = 0的两个实数根， : x1 + x2 = 4 ， x1 (2) — 4x1 — 2020 = 0 ，即x1 (2) — 4x1 = 2020， 则x1 (2) — 2x1 + 2x2 = 2020 + 2 × 4 = 2020 + 8 = 2028 ．故选：D 21 ．已知关于x 的方程x2 — (k+ 2)x + 2k = 0 ． 43 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：k 取任何实数值，方程总有实数根； (2)若Rt△ABC 斜边长a = 3 ，另两边长 b ，c 恰好是这个方程的两个根，求 △ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2) △ABC 的周长为 ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得b + c = k + 2 ，bc = 2k ，再利用完全平方公式得到(k + 2)2 - 2× 2k = 9 ，求得 b + c ，据此求解即可． 【详解】（1）证明： ∵ Δ = (k+ 2)2 - 8k = k 2 + 4k + 4- 8k = (k- 2 )2 ≥ 0 ， ∴无论k 取何值，方程总有实数根； （2）解： ∵边长 b ，c 恰好是这个方程x2 - (k+ 2)x + 2k = 0 的两个根， ∴ b + c = k + 2 ，bc = 2k ，（k > 0 ） ∵ Rt△ABC 斜边长a = 3 ， ∴ b2 + c2 = 32 = 9 ， ∴ (b + c )2 - 2bc = 9 ，即(k + 2)2 - 2× 2k = 9 ，整理得k （负值舍去）， ∴ △ABC 的周长为a + b + c ∴ △ABC 的周长为 ． 22 ．已知关于 x 的一元二次方程（k -1）x2 -2kx+k+2=0 有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1 ，x2 是一元二次方程的两个实数根，且满足 求 k 的值，并求此时方程的解． ( 【答案】（ 1 ） k ＜ 2 且 k≠1 ；（ 2 ） k= - 1 ， x ． 【详解】（ 1 ） ∵关于 x 的一元二次方程（ k - 1 ） x 2 - 2 kx +k+2=0 有两个不相等的实数根， ∴△ = （ - 2k ） 2 - 4 （ k - 1 ）（ k+ 2 ） = - 4k+8 ＞ 0 ，且 k - 1≠0 ， 解得： k ＜ 2 且 k≠1 ； （ 2 ） ∵ x 1 ， x 2 是一元二次方程的两个实数根， ) ( 解得： k= - 1 ， ∴方程为 - 2x 2 +2x+1=0 ， 解得： x ． ) 23 ．关于 x 的方程x2 + 2(k- 2)x +k2 = 0 有两个不相等的实数根x1 , x2 ． (1)求 k 的取值范围； (2)若x1 + x2 - x1x2 = -11 ，求 k 的值． 【答案】(1) k <1 (2) -5 【详解】（1）解：: 方程x2 + 2(k- 2)x +k2 = 0 有两个不相等的实数根x1 , x2 ， : Δ = b2 - 4ac = 4 (k - 2)2 - 4k2 > 0 ，即-16k +16 > 0 ，解得： k <1 ； （2）解：: x1 + x2 = -2(k - 2) ， x1x2 = k 2 ， ∵ x1 + x2 - x1x2 = -11 ， ∴-2(k - 2)-k2 = -11， 解得： k1 = -5 ， k2 = 3， ∵ k <1 ， ∴k 的值为-5 ． 24 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - (2m + 3)x + m2 + 2 = 0 ． (1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； (2)若方程的两个根分别为x1 、x2 ，且满足x12 + x22 = 3x1x2 -14 ，求实数 m 的值． ( 【答案】 (1) 实数 m 的取值范围是 m ≥ 一 (2) m = 13 【分析】（ 1 ） 由题意可得根的判别式 Δ = b 2 一 4 ac ≥ 0 ，据此得到不等式求 解即可； （ 2 ） 由根与系数的关系可得 x 1 + x 2 = 2 m + 3 ， x 1 x 2 = m 2 + 2 ；然后代入 x 1 2 + x 2 2 = 3 x 1 x 2 一 14 求出 m 的值即可． 【详解】（ 1 ）解： ∵方程 x 2 一 (2 m + 3) x + m 2 + 2 = 0 有实数根， ∴ Δ = 一 ( 2 m + 3 ) 2 一 4 ( m 2 + 2 ) ≥ 0 ，整理得 12 m + 1 ≥ 0 ，解得 m ≥ 一 ， ∴实数 m 的取值范围是 m ≥ 一 （ 2 ）解：由两根关系得 x 1 + x 2 = 2 m + 3 ， x 1 x 2 = m 2 + 2 ， ∵ x 1 2 + x 2 2 = 3 x 1 x 2 一 14 ， ∴ ( x 1 + x 2 ) 2 一 2 x 1 . x 2 = 3 x 1 x 2 一 14 ， 整理得： m 2 一 12 m 一 13 = 0 解得： m = 一 1 （不符合要求，舍去）或 m = 13 ， ∴ m = 13 ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握 一元二次方程根 的判别式和根与系数的关系是解题的关键． ) 25 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + (m + 2)x + m = 0 ． (1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根x1，x2 ，且x1 + x2 + 2x1x2 = 一1 ，求m 的值． ( 【答案】 (1) 见解析 (2) m 的值为 1 【详解】（ 1 ）证明： Q Δ = ( m + 2 ) 2 一 4 m = m 2 + 4 m + 4 一 4 m = m 2 + 4 > 0 ， : 无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； ) ( （ 2 ）解：根据根与系数的关系得 x 1 + x 2 = — ( m + 2 ) ， x 1 x 2 = m ， Q x 1 + x 2 + 2 x 1 x 2 = — 1 ， :— ( m + 2 ) + 2 m = — 1 ， 解得 m = 1 ， 即 m 的值为 1 ． ) 26 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + (k+ 4)x +k—1 = 0 ． (1)求证：一元二次方程x2 + (k+ 4)x +k—1 = 0 一定有两个不相等的实数根． (2)若x1 ，x2 是方程x2 + (k + 4)x +k—1 = 0 两个不相等的根，且x12 + x22 — x1x2 = 13 ，求 k 的值？ ( 【答案】 (1) 证明见解析 (2) k = — 2 或 — 3 【详解】（ 1 ）证明： 由题意得：关于 x 的一元二次方程 x 2 + ( k + 4) x + k — 1 = 0 ， a = 1 ， b = k + 4 ， c = k — 1 ， :Δ = b 2 — 4 ac = ( k + 4) 2 — 4 × 1 × ( k — 1) = k 2 + 4 k + 20 = ( k + 2) 2 + 16 > 0 ， 故该方程一定有两个不相等的实数根． （ 2 ）解：由题意得： x 1 + x 2 = — k — 4 ， x 1 x 2 = k — 1 ， 2 2 : x 1 + x 2 — x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 3 x 1 x 2 = ( — k — 4) 2 — 3( k — 1) = k 2 + 5 k + 19 ， ∴ k 2 + 5 k + 19 = 13 ， 即 k 2 + 5 k + 6 = 0 ， 解得 k 1 = — 2 ， k 2 = — 3 ， ) 47 学科网（北京）股份有限公司 ( 综上 k = - 2 或 - 3 ． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次 方程，配方法的 应用，正确运用配方法是解题的关键． ) 27 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - (1- 2k ) x +k2 - 3 = 0 有两个不相等的实数根． (1)求实数k 的取值范围， (2)当k = 2 时，设方程的两个实数根分别为x1 , x2 ，求x1 (3) - x1x2 (2) + 4x1 (2) + x2 (2) + 3 的值． ( 【答案】 (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的两根时， x 1 + x ， x 1 x ．也考查了根的判别式． （ 1 ）根据根的判别式的意义得到 Δ = [ - (1 - 2 k )] 2 - 4( k 2 - 3) > 0 ，然后解不等式即可； （ 2 ） k = 2 时，方程变为 x 2 + 3 x + 1 = 0 ，利用根与系数的关系 得到 x 1 + x 2 = - 3 ， x 1 x 2 = 1 ，再将 x 3 1 - x 1 x 2 2 + 4 x 2 1 + x 2 2 + 3 变形代入求解即可． 【详解】（ 1 ）解：根据题意得 Δ = [ - (1 - 2 k )] 2 - 4( k 2 - 3) > 0 ， 解得 k ； （ 2 ）解： k = 2 时，方程变为 x 2 + 3 x + 1 = 0 ， : 设方程的两个实数根分别为 x 1 ， x 2 ， : x + x = - 3 x x = 1 : x 3 1 - x 1 x 2 2 + 4 x 2 1 + x 2 2 + 3 = 9 + 1 + 3 = 13 ． 1 2 ， 1 2 ， ) 28 ．已知关于x 的方程x2 - 2x +k-1 = 0 有两个实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若x2 -1 ，求k 的值． ( 【答案】 (1) k ≤ 2 (2) k = 2 ) 48 学科网（北京）股份有限公司 ( 【详解】（ 1 ）解：由题意得 a = 1, b = — 2, c = k — 1 ， :Δ = ( — 2) 2 — 4( k — 1) = 8 — 4 k ≥ 0 ，解得 k ≤ 2 ； （ 2 ）解：由根与系数的关系得 x 1 + x 2 = 2, x 1 x 2 = k — 1 ， x 1 2 — 2 x 1 + k — 1 = 0 ∴ x 1 2 = 2 x 1 — k + 1 k ， 解得 k = 2 或 5 ， 由（ 1 ）知 k ≤ 2 ，则 k = 2 ． 【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等 式、一元二次方 程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握 一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． ) 五、 一元二次方程的实际应用 知识点 ：传染、分裂问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x 个人： 十六、应用列式一：传染、分裂问题 29 ．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 169 个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则下列方程正确的是 ( ) A ． 1+ x + x (x +1) = 169 B ． x (x +1) = 169 C ． x + x (x +1) = 169 D ． x + x2 = 169 ( 【答案】 A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关 ) ( 键．由每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，可得出第一轮传染中有 x 人被传染，第二轮传染中有 x (1 + x ) 人 被传染，结合经过两轮传染后共有 169 个人患了流感，即可列出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则第一轮传染中有 x 人被传染，第二轮 传染中有 x (1 + x ) 人被传染， 根据题意得： 1 + x + x (1 + x ) = 169 ． 故选： A ． ) 30 ．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 169 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，可列方程为 ( ) A ． 1+ 2x = 169 B ． 1 + x2 = 169 C ． 1+ x + x (1+ x ) =169 D ．1 + x + x2 =169 ( 【答案】 C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意， 等量关系列出方 程是解题的关键． 【详解】解： 由题意得： 1 + x + x ( 1 + x ) = 169 ， 故选 C ． ) 31 ．一年中，春季是最适合病毒传播的季节．某地有 1 人感染了A 病毒，经过两轮传染后，一共有 196 人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染 x 个人，下面所列方程正确的是 ( ) A ． 1+ x + x(x +1) = 196 B ． 1+ (1+ x) + x(x +1) = 196 C ．1 + x + x2 = 196 D ． x(x +1) = 196 ( 【答案】 A 【分析】根据设每轮传染中一人可以传染 x 个人，可得出在第 一轮及第二轮传染中的感染人数，结合 “ 经过 两轮传染，共有 196 名感染者 ” ，即可 得出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染 x 个人， 第一轮传染中有 x 人被感染，第二轮传染中有 x ( x + 1) 人被感染． 根据题意得： 1 + x + x (1 + x ) = 196 ． 故选： A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关 键． ) 32 ．冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有 144 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，可列方程为 ( ) A ． 2x +1 = 144 B ． 2x2 +1 = 144 C ． (1+ x )2 = 144 D ． x + x (x +1) = 144 ( 【答案】 C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．根据有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 144 人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，由题意，得： ( 1 + x ) 2 = 144 ， 故选： C ． ) 33 ．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有 225 人感染（225 人可以理解为三轮感染的总人数），若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程（ ）. A ．1+x ＝225 B ．1+x2 ＝225 C ．（1+x）2 ＝225 D ．1+（1+x2 ）＝225 ( 【答案】 C 【分析】此题可设 1 人平均感染 x 人，则第一轮共感染（ x +1 ）人，第二轮共感染 x （ x +1 ） + x +1 ＝（ x +1 ） （ x +1 ）人，根据题意列方程即可． 【详解】解：设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程 ：（ 1+ x ） 2 ＝ 225 ． 故选： C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． ) 34 ．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 13 ，则每个支干长出 ( ) A ．2 根小分支 B ．3 根小分支 C ．4 根小分支 D ．5 根小分支 ( 【答案】 B 【分析】先设每个支干长出 x 个分支，则每个分支又长出 x 个 小分支， x 个分支共长出 x 2 个小分支；再根据 主干有 1 个，分支有 x 个，小分支有 x 2 个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的 x 的值即可 . 【详解】设每个支干长出 x 个分支， 根据题意得 1+ x + x • x =13 ， 整理得 x 2 + x -12=0 ， 解得 x 1 =3 ， x 2 =-4 （不符合题意舍去 ）， 即每个支干长出 3 个分支 . 故应选 B. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合 适的等量关系，列出方程，再求解． ) 35 ．小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 ( 【答案】 D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种植物每个支干长出 的小分支个数是 x , 则支干个数为 x ，小 分支个数为 x 2 ，根据主干、支干和小分支的总数是 21 即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是 x , 则支干个数为 x ，小分支个数为 x 2 ， 由题意得： 1 + x + x 2 = 21 ， 解得： x 1 = 4, x 2 = — 5 （舍 ）， 故选： D ． ) 36．某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的 1 个主干上长出 x 个枝干，每个枝干上再长出x 个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是 57 个，则根据题意，下列方程正确的是 ( ) A ． 1 + x2 = 57 B ． (1+ x )2 = 57 C ． x + x2 = 57 D ．1 + x + x2 = 57 ( 【答案】 D ) ( 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据在 1 个主干上的主干、枝干和小分支的数量之 和是 57 个，即可得出关于 x 的一元二次方程． 【详解】解：依题意得： 1 + x + x 2 = 57 ， 故选： D ． ) 37 ．双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请 x 个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请 x 个好友转发，经此两轮转发后，已知共有 241 人次参与了转发，则可列方程是 ( ) A ． x2 + x = 241 B ． ( x + 1)2 = 241 C ． x (x —1) = 241 D ． x2 + x + 1 = 241 ( 【答案】 D 【分析】根据经过两轮转发后，共有 241 人次参与了转发，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得： x 2 + x + 1 = 241 ． 故选： D ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关 键． ) 十七、应用列式二：单、双循环问题 知识点： 单双循环问题 单： 双：n(n — 1) 38 ．2021 年是中国共产党成立 100 周年，某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友图，再邀请 n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又邀请 n 个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有 931 人参与了传递活动，则方程列为 ( ) A ．（1+n）2 ＝931 B ．n（n -1）＝931 C ．1+n+n2 ＝931 D ．n+n2 ＝931 ( 【答案】 C 【详解】解： 由题意，得 n 2 + n +1 ＝ 931 ， 故选： C ． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，难度 一般，根据题意找出相等的量是关键． ) 39 ．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90 场，设共有x 个队参加比赛，则下列方程符合题意的是 ( ) A ． B ． x (x +1) = 90 C ． D ． x (x —1) = 90 ( 【答案】 D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握每两队之间都进行两 场比赛的意义是解题的关键． 【详解】根据题意，得 x ( x — 1 ) = 90 ， 故选 D ． ) 40． 第二十二届世界杯足球赛将于2022 年11月20 日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯的到来，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66 场比赛，设比赛组织者邀请了 x 个队比赛，则下列方程正确的是 ( ) A ． B ． x (x —1) = 66 C ． x (x +1) = 66 D ． ( 【答案】 D 【详解】解：根据题意得： 故选： D ． 【点睛】此题考查了一元二次方程解应用题，解题 的关键是根据题意找出等量关系式． ) 41 ．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1980 张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A ． x (x +1) = 1980 B ． x (x —1) = 1980 ( 【答案】 B 【详解】解： ∵全班有 x 名同学， ∴每名同学要送出（ x −1 ）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是 x （ x −1 ）＝ 1980 ． 故选： B ． ) 42 ．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共 1892 张，设全班共有 x 人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 x(x —1) = 1892 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设全班有x 人．根据互赠卡片一张，则x 人共赠卡片x(x —1) 张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， x(x —1) = 1892 ， 故答案为： x(x —1) = 1892 ． 43 ．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，设有x 队参加比赛，根据题意，可列方程为 ． ( 【答案】 ) ( 【分析】设邀请 x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其 他球队打 ( x - 1) 场球，第二个球队和其他球队打 ( x - 2) 场 ， 以此类推可以知道共打 (1 + 2 + 3 + … + x - 1) 场球，然后根据计划安排 15 场比赛即可列出方程． 【详解】解：设邀请 x 个球队参加比赛， 依题意得 1 + 2 + 3 + … + x - 1 = 15 ， 即 ， 故答案为 ： ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准 确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． ) 44 ．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间需比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 56场比赛，比赛组织者应邀请 个队参赛． ( 【答案】 8 【分析】设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，根据题 意列出一元二次方程 x ( x - 1 ) = 56, 即可求解． 【详解】解：设比赛组织者应邀请 x 个队参赛 由题意得： x ( x - 1 ) = 56, 整理得 x 2 - x - 56 = 0 解得： x 1 = 8, x 2 = - 7( 舍 ) 故赛组织者应邀请 8 个队参赛 故答案为： 8 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键． ) 十八、应用列式三：增长率问题 知识点 ：变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为a × (1± x) ；第二次增长（或下降）后为 a(1± x)² . 可列方程为 a(1± x)²=b。 45 ．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑， 自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约 5 亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20 亿元，设增长率为x ，则方程可以列为 ( ) A ． 5 + 5x + 52 = 20 B ． 5 (1+ x)2 = 20 C ． 5 (1+ x )3 = 20 D ． 5 + 5(1+ x)+ 5(1+ x)2 = 20 ( 【答案】 D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关 键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约 5 ( 1 + x ) 亿元、第三 天票房约 5 ( 1 + x ) 2 亿元，根据 三天后票房收入累计达约 20 亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： : 第一天票房约 5 亿元，增长率为 x ， ) ( : 第二天票房约 5 ( 1 + x ) 亿元，第三天票房约 5 ( 1 + x ) 2 亿元． 依题意得： 5 + 5 ( 1 + x ) + 5 ( 1 + x ) 2 = 20 ． 故选： D ． ) 46．据国家文旅部统计，5 月 1 日全国旅游收入为207.9 亿元，5 月 1 日、5 月 2 日和 5 月 3 日的全国旅游收入之和为1027.96 亿元．若全国旅游收入日平均增长率为 x ，则可以列出方程为 ( ) A ． 207.9 + 207.9 (1 + x ) + 207.9 (1 + x )2 = 1027.96 B ． 207.9 (1 + x )2 = 1027.96 C ． 207.9 + 207.9 (1 + x )2 = 1027.96 D ． 207.9 (1 + x )2 = 1027.96 ( 【答案】 A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为 x ，则 5 月 2 日的收入 为 207.9 ( 1 + x ) 亿元， 5 月 3 日的收入为 207.9 ( 1 + x ) 2 亿元，据此列出方程即可． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为 x ， 由题意得， 207.9 + 207.9 ( 1 + x ) + 207.9 ( 1 + x ) 2 = 102 7.96 ， 故选： A ． ) 47．近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款 6 万，“利滚利”的月平均利率为 x ，小林 2 个月总共需还 18 万元，根据题意，以下所列方程正确的是 ( ) A ． 6 (1+ x) = 18 B ． 6 (1+ 2x) = 18 C ． 6 (1+ x )2 = 18 D ． 6 + 6(1+ x ) + 6(1+ x )2 = 18 ( 【答案】 C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用小林 2 个月后总共需还 18 万元 = 小林借贷 6 万 元 × （ 1 + 月平均利率 ） 2 ，即可列出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】根据题意得： 6 ( 1 + x ) 2 = 1 8 ． 故选： C ． ) 48 ．某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4 月对绿化投入 25 万元，计划6 月绿化投入 49 万元，5 月、 6 月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为 x ，根据题意所列方程为 ( ) A ． 25(1+ x)2 = 49 B ． 25(1+ x) + 25(1+ 2x) = 49 C ． 25(1 + x) + 25(1 + x) 2 = 49 D ． 25 + 25(1 + x) + 25(1 + x) 2 = 49 ( 【答案】 A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关 键．利用计划 6 月绿化投入金额 = 4 月绿化投入金额 × (1 + 这两月绿化投入的月平均增长率） 2 ，即可得出关 于 x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得： 25(1 + x ) 2 = 49 ． ) 55 学科网（北京）股份有限公司 ( 故选： A ． ) 49 ．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应全民阅读号召，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一周进馆 200 人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆 242 人次，若每周进馆人次的平均增长率相同．设每周进馆人次的平均增长率为x ，根据题意，可列方程 ( ) A ． 242(1 + x )2 = 200 B ． 200(1— x )2 = 242 C ． 200(1 + x )2 = 242 D ． 200 + 200(1+ x ) + 200(1+ x )2 = 242 ( 【答案】 C 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，根据题目中的数量关系，列式即可求 解，掌握一元二 次方程是解题的关键． 【详解】解：第一周进馆 200 人次，第三周进馆 242 人次，每周进馆 人次的平均增长率为 x ， ∴ 200 ( 1 + x ) 2 = 242 ， 故选： C ． ) 50 ．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司 2021 年缴税 40 万元，2023 年缴税 48.4 万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． ( 【答案】 10% 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为 x ，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为 x ，由题意得： 40 ( 1 + x ) 2 = 48.4 ， 解得： x 1 = 0.1 = 10% ， x 2 = — 2 . 1 （不符合题意，舍去 ）； 故答案为： 10% ． ) 51 ．电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到 1.5 亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到 2.535 亿次，设平均每天的增长率是x ，根据题意，可列方程为 ． ( 【答案】 1.5 ( 1 + x ) 2 = 2.535 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每天的增长率是 x ，列方程为 1.5 ( 1 + x ) 2 = 2.535 ， 故答案为： 1.5 ( 1 + x ) 2 = 2.535 ． ) 52 ．随着人口老龄化的加剧，养老问题逐渐成为社会关注的焦点，一种新型的养老模式——社区养老服务机构应运而生．某社区养老服务机构 10 月份为 800 名老人提供服务，12 月份为 1352 名老人提供服务，设 11、12 月份服务老人人数的增长率为 x ，根据题意，可列方程为： ． 【答案】 800(1+ x )2 = 1352 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由 10 月份老人数量和 12 月份老人数量即可得出关于 x 的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意，可列方程为： 800(1+ x )2 = 1352 ( 故答案为： 800 ( 1 + x ) 2 = 1352 ． ) 53．开州区赵家工业园区今年三月份提供就业岗位 1240 个，并按计划逐月增长，预计五月份将提供岗位 1510个，设四、五两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 x ，根据题意，可列方程为 ． ( 【答案】 1240 ( 1 + x ) 2 = 1510 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据今年 三月份提供就业岗位 1240 个，并按计划逐月增长，预 计五月份将提供岗位 1510 个，列一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意，得 1240 ( 1 + x ) 2 = 1510 ， 故答案为： 1240 ( 1 + x ) 2 = 1510 ． ) 54 ．某县开展老旧小区改造，2020 年投入此项工程的专项资金为 1000 万元，2021 、2022 年投入资金一共为 3440 万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为 x ，根据题意，可列方程为 ． ( 【答案】 1000(1 + x ) + 1000(1 + x ) 2 = 3440 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关 键． 根据 2020 年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造 工程专项资金的年平均增长率，可得 出 2021 、 2022 年投入此项工程的专项资金，结合 2021 、 2022 年投入资金一共为 3440 万元，即可 得出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： : 2020 年投入此项工程的专 项资金为 1000 万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资 金的年平均增长率为 x ， : 2021 年投入此项工程的专项资金为 1000(1 + x ) 万元， 2022 年投入此项工程的专项资金为 1000(1 + x ) 2 万元． 根据题意得： 1000(1 + x ) + 1000(1 + x ) 2 = 3440 ． 故答案为： 1000(1 + x ) + 1000(1 + x ) 2 = 3440 ． ) 55 ．某商品连续两次降价后的价格比降价之前减少了19% ，则平均每次降价的百分率 ( 【答案】 10% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为 x ，利用原价 × (1 — 平均每次降价的百 分率） 2 = 经过连续两次降价后的价格（原价当成 1) ，可列出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的 值，即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为 x ， 根据题意得： (1 — x ) 2 = 1 — 19% ， 解得： x 1 = 0.1 = 10% ， x 2 = 1.9 （不符合题意，舍去 ）， : 平均每次降价的百分率是 10% ． 故答案为： 10% ． ) 56 ．某乡镇2021 年旅游总收入为50 万元，到2023 年旅游总收入达60.5 万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是 ． ( 【答案】 10% ) ( 【详解】设年平均增长率是 x ， 根据题意列方程： 50 ( 1 + x ) 2 = 60.5 ， 解得： x 1 = — 2.1 （不合题意，舍去 ）， x 2 = 0.1 = 10% ，故答案为： 10% ． ) 十八、应用列式四：形积问题 57 ．如图，在长为 60m ，宽为40m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024m2 ，问道路应为多宽？若设道路宽为xm ，则下列方程正确的是 ( ) A ． 40× 60 — 40× 2x — 60x = 2024 B ． 40× 60 — (40 — x)(60 — 2x) = 2024 C ． (40 — x)(60 — 2x) = 2024 D ． 40× 60 — 40× 2 x — 60 x — 2 x 2 = 2024 ( 【答案】 C 【分析】设道路宽为 x m ，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为 2024m 2 ，列方 程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图 形，读懂题意，设出未知 数，找出合适的等量关系，列方程． 【详解】 解： 由题意得， (40 — x )(60 — 2 x ) = 2024 ． 故选： C ． ) 58 ．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m ，宽15m ，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2 ，则图中x 的值为 ( ) A ．1 米 B ． 1.5 米 C ．2 米 D ． 2.5 米 ( 【答案】 A 【详解】解： 由题意知， ( 18 — 2 x )( 15 — x ) = 224 ， 整理得， x 2 — 24 x + 23 = 0 ， ∴ ( x — 1 )( x — 23 ) = 0 ， 解得， x 1 = 1 ， x 2 = 23 （舍去 ）， 故选： A ． ) 59 ．如图，一张长宽比为5 : 3 的长方形纸板，剪去四个边长为5 cm的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为200 cm3 （纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为5x 厘米，则由题意可列出的方程是 ( ) A ． 5 (5x +10)(3x +10) = 200 B ． 5 (5x — 5)(3x — 5) = 200 C ． 5 (5x +10)(3x —10) = 200 D ． 5 (5x —10)(3x —10) = 200 ( 【答案】 D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解 题关键．根据题 意设这张长方形纸板的长为 5 x cm ，宽为 3 x cm ，进而表 示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进 而得出等式求出答案． 【详解】解：设这张长方形纸板的长为 5 x cm ，宽为 3 x cm ，根 据题意可得： 5 ( 5 x — 10 )( 3 x — 10 ) = 200 ． 故选： D ． ) 60 ．2024 年，山西省政府提出“聚焦建设国际知名文化旅游目的地，集中力量打造旅游热点门户” ．如图， 某景区计划在一个长为 64m ，宽为36m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为1344m2 ，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少 m？设行车通道的宽度是xm ，则可列方程为 ( ) A ． (64 — 4x)(36 — x) = 1344 B ． (64 — x)(36 — x) = 1344 C ． (64 — 3x)(36 — 2x) = 1344 D ． (64 — 4x)(36 — 2x) = 1344 ( 【答案】 D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设行车通道的宽度为 x m ，再根据停车区域面积之和为 1 344m 2 列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：设行车通道的宽度为 x m ． 根据题意， 得 ( 64 — 4 x )( 36 — 2 x ) = 13 44 ． 故选： D ． ) 61 ．如图，在一块长为 36 米，宽为 25 米的矩形空地上修建三条宽均为 x 米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840 平方米，求 x 的值．根据题意，下列方程正确的是( ) A ． 36× 25 — 36x — 25x = 840 B ． 36x + 25x = 840 C ． (36 — x)(25 — x) + x2 = 840 D ． (36 — x)(25 — x) = 840 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．根据题意表示出种草部分的长为(36 — x)m ，宽为(25 — x)m ，即可求解． 【详解】解：把小路平移后，如图所示， 设小路宽为 x ，则种草坪部分的长为(36 — x)m ，宽为(25 — x)m ，由题意建立等量关系得： (36 — x)(25 — x) = 840 故选：D 60 学科网（北京）股份有限公司 62 ．如图是某公园在一长35m ，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的 ，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm ，则x 满足的方程为 ( ) A ． B ． (35 — x)(23 — x)+ 2x2 = 23× 35 C ． D ． (35 — x)(23 — x) = 23× 35 【答案】A 【分析】根据图中曲桥分布，列出方程即可【详解】解：如图， 将曲桥移至同一水平上可得， 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 63 ．如图，有一面积为600m2 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为 69m ．设鸡场垂直于墙的一边为xm ，则列方程正确的是( ) A ． x (69 +1 — 2x ) = 600 B ． x (69 —1— 2x) = 600 C ． x (69 — 2x) = 600 D ． x (35 +1— 2x) = 600 ( 【答案】 A 【分析】求出平行于墙的一边的长度，即可建立一元二次 方程． 【详解】解： ∵鸡场垂直于墙的一边为 x m ， ∴平行于墙的一边的长度为： ( 69 + 1 — 2 x ) m ∴ x ( 69 + 1 — 2 x ) = 600 ) ( 故选： A 【点睛】本题考查图形与一元二次方程．正确理解题意是解题关键． ) 64 ．2024 年 4 月 3 日，太原广播电视台携手柳州市融媒体中心推出《柳侯之风嘉惠双城——柳州-太原清明节双城联动大型融媒体直播》节目，受到了社会各界的关注，在直播中，他们为观众准备了一批“惊喜盲盒”．如图，制作该盲盒的矩形纸板的宽为60cm ，剪去两个矩形和一个正方形（阴影部分）后，沿虚线折起即可制成一个有盖的长方体纸盒．若矩形 A 的面积为400cm2 ，正方形 B 的边长为xcm ，则根据题意可列方程为 ( ) A ． = 400 B ． (60 一 2x)(60 一 x) = 400 C ． = 400 D ． (60 一 x)2 = 400 ( 【答案】 A 【详解】解： 由题意知，矩形 A 的长为 (60 一 x ) cm ，宽为 cm ， 故可列方程 = 400 ， 故选 A ． ) 65 ．某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙（墙长 m= 15 米），并利用已有总长 27 米的铁围栏，且留有 1 米宽的门．设矩形自行车棚的边 AB 长 x 米，面积为 S 平方米． (1)用含 x 的代数式表示长方形的面积S； (2)若要求车棚的面积为 80 平方米，求 AB 长； (3)若要求车棚的面积为 100 平方米，能否搭建？ ( 【答案】 (1) S = x ( 28 一 2 x ) = 一 2 x 2 +28 x ； (2) AB ＝ 10m ； (3) 不能搭建面积为 100 平方米的车棚． ) ( 【分析】（ 1 ）根据题意表示出 BC 的长，再利用矩形面积得出答案； （ 2 ）利用（ 1 ）中所求，结合 S ＝ 80 进而得出答案； （ 3 ）利用（ 1 ）中所求，结合 S ＝ 100 ，再由根的判别式得出答案． 【详解】（ 1 ）解：由题意可得： AB ＝ xm ，则 BC ＝（ 27+1− 2 x ）＝（ 28−2 x ） m ， 故 S = x ( 28 — 2 x ) = — 2 x 2 +28 x ； （ 2 ） 由（ 1 ）得： 80= — 2 x 2 +28 x ， 整理得： x 2 — 14 x +40=0 ， 解得： x 1 = 4 ， x 2 = 10 ， ∵当 AB ＝ 4 时， BC ＝ 28−2 x ＝ 20 （ m ）， ∴此时不合题意，故 AB ＝ 10m ； （ 3 ）当 100= — 2 x 2 +28 x 整理得： x 2 — 14 x +50=0 ， ∵ Δ= b 2 — 4 ac =196 — 250= — 54< 0 ， ∴此方程无实数根， ∴不能搭建面积为 100 平方米的车棚． ) 66 ．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为 8 米，在与墙平行的一面开一个 2 米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为 26 米，且全部用于除墙外其墙余三面木板外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少多少米？ (2)如图按（1）问的最小长度建好车棚，为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中内部阴影区域），使得停放自行车的空白面积为 54 平方米，那么小路的宽度是多少米？ ( 【答案】 (1) 长方形车棚与墙垂直的一面至少 10 米； (2) 小路的宽为 1 米． 【分析】（ 1 ）设与墙垂直的一面为 x 米，然后可得 另两面则为 ( 2 6 — 2 x + 2 ) 米 ，然后利用这堵墙的长度为 8 米，列出不等式求解即可； （ 2 ）设小路的宽为 a 米，利用去掉小路的面积为 54 平米列出方程求解即可得 到答案． 【详解】（ 1 ）解：设与墙垂直的一面为 x 米，另一面则为 ( 2 6 — 2 x + 2 ) 米 ， 根据题意得： 26 — 2 x + 2 ≤ 8 ． 解得 x ≥ 10 ， ) ( 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少 10 米； （ 2 ）解：设小路的宽为 a 米，根据题意得： (8 - 2 a )(10 - a ) = 54 ， 整理得 a 2 - 14 a + 13 = 0 ， 解得： a = 13 > 8 （舍去 ）， a = 1 ， 答：小路的宽为 1 米． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，要结合图 形求解．找到关键描述语， 找到等量关系准确地列出方程是解决第 2 问的关键． ) 67 ．为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成 26000 平方米的绿化任务．某施工队在按计划施工 7 天后，将每天的工作量增加为原来的 1 ．5 倍，结果再花 4 天刚好完成该项绿化工程． (1)该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？ (2)如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为 16 米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为 1米的两个小门，其余部分刚好用完长为 28 米的篱笆．若此时花画的面积为 72 平方米，求此时花圃的长和宽． ( 【答案】 (1) 该绿化项目原计划每天完成 20 00 平方米 (2) 花 圃 的长为 6 米，宽为 12 米． 【分析】 （ 1 ）直接利用每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，再用 4 天完成了该项绿化工程，进而得出方程求 出答案； （ 2 ）设花圃的宽 AB 为 x 米，它的面积为 72 米 2 ，进而列出方程求出答案即可． 【详解】（ 1 ） 解：设该项绿化工程原计划每天完成 x 米 2 ， 根据题意得： 解得： x ＝ 2000 ， 经检验， x ＝ 2000 是原方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成 2000 平方米； （ 2 ）解： 设花圃的宽 AB 为 x 米，则 BC ＝ 28+2 - 3 x ＝ 30 - 3 x ， 根据题意，得（ 30 - 3 x ） x ＝ 72 ，解得： x 1 ＝ 4 ， x 2 ＝ 6 ． ∵当 x ＝ 4 时， 30 - 3 x ＝ 18 ＞ 16 ， ∴不符合题意，舍去． ∴宽为 6 米，长为 12 米． 答：花圃的长为 6 米，宽为 12 米． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方的应用以及分式方程的应用，正确找到等量关系，列 出方程是解题关 键． ) 64 学科网（北京）股份有限公司 二十、应用列式五：营销问题（每每问题） 知识点：销售利润问题 ： （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨 a 元，少买 y 件。若涨价 y 元，则少买的数量为 y件 68 ．某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15 元，经市场调研发现：售价为22 元时，可销售40 个，售价每上涨 1 元，销量将减少3 个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156 元，设这种文具盒的售价上涨x 元，根据题意可列方程为 ( ) A ． (22 + x —15)(40 — 3x) = 156 B ． (x —15) 40 — 3(x — 22) = 156 C ． (22 + x)(40-3x) = 156 D ． (22 + x)(40 — 3x) —15× 40 = 156 ( 【答案】 A 【分析】本题主要考查一元二次方程应用题中的营销问题，直接依据题意设上涨 x ，计算出销量，再把一件利润计算出来，直接作乘即可求出方程． 【详解】根据题意知，每件商品的利润为 (22 — 15 + x ) 元，销售量为 ( 40 — 3 x ) 件， 则可列方程为 (22 + x — 15)(40 — 3 x ) = 156 ， 故选： A ． ) 69．宾馆有50 间房供游客居住，当每间房每天定价为180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890 元？设房价定为x 元．则下列方程中正确的是 ( ) ( 【答案】 B 【分析】设房价定为 x 元，根据利润 = 房价的净利润 × 入住的房间数可得． 【详解】设房价定为 x 元， 根据题意，得 故选 B ． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题 目蕴含的相等关 系． ) 70 ．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30 元，每星期可以卖出 100 件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价 5 元，每星期可以多卖出20 个，店里每星期衬衫的利润要达到 2800 元．若设每件衬衫售价降低 x 元，则可列方程为 ( ) A ． (30 + x ) (100 — 20x ) = 2800 B ． (30 + x )(100 — 4x )= 2800 C ． (30 — x ) (100 + 20x ) = 2800 D ． (30 — x )(100 + 4x )= 2800 ( 【答案】 D ) ( 【详解】解：设每件衬衫售价降低 x 元，根据题意得， ( 30 — x )( 100 + 4 x ) = 2800 ， 故选： D ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题 意，准确得到等量关系是解题的关键． ) 71 ．某电商销售一款进价为 80 元/台的电吹风，若按每台 120 元出售，当月可销售 50 台，经调查发现这款电吹风的售价每下降 3 元，其销售数量增加 10 台．设售价为 x 元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500 元，则可列方程为 ( ) A ． (x —80)(50 +10x) = 2500 B ． (x —120)(50 +10x) = 2500 ( 【答案】 D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为 x 元 / 台，根据利润 = 销售量 × 每台风扇的利润， 列方程 即可． 【详解】解：设售价为 x 元 / 台， 根据题意可得： 故选： D ． ) 72 ．“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋 40 元，当售价为每袋 80 元时，每分钟可销售 100 袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降 2 元，则每分钟可多销售 10 袋，设每袋大米降价 x 元（x 为偶数），若要平均每分钟获利4180 元，则 x 满足 ( ) 66 学科网（北京）股份有限公司 ( 【答案】 B 【分析】考查了一元二次方程的应用，根据等量关系：每分钟的获利 = 每分钟售出的件数 × 每件的盈利，列 方程即可． 【详解】设每袋大米降价 x 元（ x 为偶数 ）， 则每分钟可售出 件，每件盈利 ( 80 — x — 40 ) 元，由题意得 ( 80 — x 故选： B ． ) 73 ．某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价 1 元平均每天可多售出20 箱，若要使每天销售饮料获利 1440 元，则每箱应降价 元． ( 【答案】 3 或 4 ) ( 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每箱利润是解题关键． 利用的数量关系 是：销售每箱饮料的利润 × 销售总箱数 = 销售总利润， 由 此列方程解答即可． 【详解】解：设每箱降价 x 元，则每天多售出 2 0 x 箱， ∴ ( 12 — x )( 100 + 20 x ) = 1440 ， 整理得： x 2 — 7 x + 12 = 0 ， 解得： x 1 = 3 或 x 2 = 4 ， 答：每箱降价 3 或 4 元． ) 74 ．在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为40 元的小商品进行直播销售，如果按每件60 元销售，每天可卖出20 件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5 元，日销售量增加10 件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． ( 【答案】 50 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键．设售价应定为 x 元，按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件，每件小商品售价每降低 5 元， 日销售量增 加 10 件列出等 式解答即可． 【详解】解：设售价应定为 x 元，则每件的利润为 ( x — 40 ) 元， 日销售量为 件， 依题意，得： ( x — 40 )( 140 — 2 x ) = ( 60 — 40 ) × 20 ， 整理，得： x 2 — 110 x + 3000 = 0 ，解得： x 1 = 50 ， x 2 = 60 ． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为 50 元． 故答案为： 50 ． ) 75 ．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金” ，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售 120 件，每件盈利200 元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价 20 元，则每月可多售出30 件.如果每 ( 月要盈利 2.88 万元，则每件应降价 元． 【答案】 80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键．设每件 应降价 x 元，则每件的销售利润为 ( 200 — x ) 元，每月可售出 ( 120 + 1. 5 x ) 件，利用总利润 = 每件的销售利润 × 月销售量，可列出关于 x 的一元二次方程，解之可得出 x 的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解：设每件应降价 x 元，则每件的销售利润为 ( 200 — x ) 元，每月可售出 件， 根据题意得： ( 200 — x )( 120 + 1. 5 x ) = 28800 ， 整理得： x 2 — 120 x + 3200 = 0 ， 解得： x 1 = 40 ， x 2 = 80 ， 又∵要尽快减少库存， ∴ x = 80 ， ) ( ∴每件应降价 80 元． 故答案为： 80 ． ) 76 ．某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元． ( 【答案】 9 【详解】解：设降低 x 元， 由题意得出 : 200 × (10 - 6) + (10 - x - 6)(200 + 50 x ) + (4 - 6) [ (60 0 - 200) - (200 + 50 x ) ] = 1250 ， 整理得： x 2 - 2 x + 1 = 0 ， 解得： x 1 = x 2 = 1 ． ∴ 10 - 1 = 9 ． 即：第二周的销售价格为 9 元． 故答案为： 9 ． ) 二十一、应用列式六：数字问题 77 ．两个连续奇数的积为 99 ，设较小的奇数为x ，列方程为 ( ) A ． x (x + 2) = 99 B ． x (x - 2) = 99 C ． x (x +1) = 99 D ． x (x -1) = 99 ( 【答案】 A 【详解】解： ∵较小的奇数为 x ∴较大的奇数为 x + 2 故： x ( x + 2 ) = 99 故选： A 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．注意正确理解题意． ) 78．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大 4．设个位数字为x ，则方程为 ( ) A ． x2 + (x - 4)2 = 10(x - 4) + x - 4 B ． x2 + (x - 4)2 = 10(x - 4) + x + 4 C ． x2 + (x - 4)2 = 10x + x - 4 - 4 D ． x2 + (x + 4)2 = 10(x + 4) + x + 4 【答案】D 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x + 4 ，那么这两位数为： 10(x + 4) + x ，这两个数的平方和为： x2 + (x + 4)2 ，再根据两数的值相差 4 即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为： x + 4 ，这个数为： x +10(x + 4) ( 这两个数的平方和为： x 2 + ( x + 4) 2 ， : 两数相差 4 ， : x 2 + ( x + 4) 2 = x + 10( x + 4) + 4 ) 79 ．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3 ，则这个两位数为 ( ) A ．25 B ．36 C ．25 或 36 D ． —25 或 —36 ( 【答案】 C 【详解】解：设十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 ( x + 3 ) ， 由题意得： 10 x + x + 3 = ( x + 3 ) 2 ， 整理得： x 2 — 5 x + 6 = 0 ， 解得： x = 2 或 x = 3 ， 当 x = 2 时， x + 3 = 2 + 3 = 5 ，此时这个两位数为 25 ， 当 x = 3 时， x + 3 = 3 + 3 = 6 ，此时这个两位数为 36 ， 综上所述，这个两位数为 25 或 36 ， 故选： C ． ) 80 ．小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快， 多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小 3 ，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为 x ，则可列方程 ( ) A ． 10(x + 3)+ x = x 2 B ． 10(x — 3) + x = ( x — 3)2 C ．10(x — 3) + x = x2 D ．10(x + 3)+ x = (x —3 )2 ( 【答案】 C 【分析】设周瑜去世时年龄的个位数字为 x ，则设周瑜去 世时年龄的十位数字为 x -3 ，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程即可． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为 x ，则设周瑜去世 时年龄的十位数字为 x -3 ， 由题意得 10 ( x — 3 ) + x = x 2 ， 故选： C ． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理 解题意找到等量关系是解题的关键． ) 81 ．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，则可列 方程为 ( ) A ． 10x + (x — 3) = (x — 3) 2 B ． 10(x — 3) + x = x2 C ． 10x + (x + 3) = (x + 3) 2 D ．10(x + 3) + x = (x + 3) 2 ( 【答案】 C 【分析】本题考查一元二次方解决数字问题，设周瑜去世时年龄的十位数字是 x ，根据个位平方与寿同列式 即可得到答案； 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是 x ，由题意可得， 10 x + ( x + 3) = ( x + 3) 2 ， 故选： C ． ) 82．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的 6 个数(如：8 ，14 ，15 ，16， 17 ，24) ．如果圈出的 6 个数中，最大数 x 与最小数的积为 225 ，那么根据题意可列方程为( ) A ．x(x+8)=225 B ．x(x+16)=225 C ．x(x -16)=225 D ．(x+8)(x -8)=225 ( 【答案】 C 【分析】最大数为 x ，则我们只需要将最小数用 x 表示出来即可列出方程． 【详解】 ∵最大数为 x ， ∴最小数用 x 表示为： x-16 ， ∴列方程为： x ( x - 16)=225 ，故选： C 【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程． ) 二十二、应用七：工程问题 83 ．“端午临中夏，时清日复长” ．临近端午节，一网红门店接到一批 3200 袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组 3 天加工的粽子数比乙组 2 天加工的粽子数多 300 袋．两组同时开工， 甲组原计划加工 10 天、乙组原计划加工 8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工 2 天后，临时又增加了 500 袋的任务， 甲组人员从第 3 天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工 100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前 1 天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后， 甲组平均每天能加工多少袋粽子？ ( 【答案】 (1) 甲、乙两组平均每天各能加工 200 袋、 150 袋粽子 (2)400 【详解】（ 1 ）解：设甲、乙两组平均每天各能加工 x 袋、 y 袋粽子 ) ( 由题意得： 解得： 答： 甲、乙两组平均每天各能加工 200 袋、 150 袋粽子． （ 2 ）解：设提高效率后， 甲组平均每天比原计划平均每天多加工 100 a 袋粽子 由题意得： 2 × (200 + 150) + (200 + 100 a )(8 — a ) + 150(6 — a ) = 3200 + 500 整理得： 2 a 2 — 9 a + 10 = 0 解得： a 1 = 2 ， a 2 = 2 .5 ， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ a = 2 ∴ 200+100×2=400 （袋） 答：提高工作效率后， 甲组平均每天能加工 400 袋粽子． ) 84 ．某工程队采用 A 、B 两种设备同时对长度为 4800 米的公路进行施工改造．原计划 A 型设备每小时铺设路面比 B 型设备的 2 倍多 30 米，则 32 小时恰好完成改造任务． (1)求 A 型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的 4800 米多了 1000 米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m + 25) 小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值． ( 【答案】 (1) A 型设备每小时铺设的路面 110 米 (2)18 【详解】（ 1 ）设 B 型设备每小时铺设的路面 x 米，则 A 型设备每小时铺设路面 ( 2 x + 30 ) 米， 由题意得 32 x + 32 ( 2 x + 30 ) = 4800 ， 解得 x = 40 ， 2 x + 30 = 80 + 30 = 110 米， 所以 A 型设备每小时铺设的路面 110 米； （ 2 ）根据题意得： 40 ( 32 + m + 25 ) + ( 110 — 3 m )( m + 32 ) = 4800 + 1000 ， 解得 m = 18 ， m = 0 （舍去 ）， 答： m 的值是 18 ． ) 85．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对 39000 米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面 30 米，大型设备每小时铺设路面 60 米． 71 学科网（北京）股份有限公司 (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程 39000 米多了 9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了 18m 小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了 m 米，使用时间增加了(150 + 2m) 小时，求 m 的值． ( 【答案】 (1)300 (2)5 【详解】（ 1 ）解：设小型设备的使用时间为 x 小时，则大型设备的使用时间为 x 小时，根据题 意得： 解得： x = 300 ， 答：小型设备的使用时间为 300 小时； （ 2 ）解：由（ 1 ）得：大型设备的原来使用 时间为 小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为 ( 300 + 18 m ) 小时，大型设备铺设公路每小时为 ( 60 — m ) 米，大型设备的 使用时间为 500 + 150 + 2 m = ( 650 + 2 m ) 小时， ∴ 30 ( 300 + 18 m ) + ( 60 — m )( 650 + 2 m ) = 39000 + 9000 ， 整理得： m 2 — 5 m = 0 ， 解得： m 1 = 5, m 2 = 0 （舍去 ）． 即 m 的值为 5 ． ) 86 ．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69 银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里， 甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长 2100 米， 甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工 6 米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成 1 米隧道施工所需成本不一样． 甲每合格完成 1 米隧道施工成本为 8 万元；乙每合格完成 1 米隧道施工成本为 9 万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂， 甲乙两队每日完成量和成本都发生变化． 甲每合格完成 1 米隧道施工成本增加 m 万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多(9m — 2) 万元，求m 的值． 【答案】(1)甲最多施工 900 米 (2) m 的值为 2 【详解】（1）解：设甲施工x 米， 解得： x ≤ 900 ． 答： 甲最多施工 900 米． 整理得m2 — 4m + 4 = 0 ， 解得m1 = m2 = 2 ． 答： m 的值为 2 ． 87．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同， 甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2 万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后， 甲每合格完成1米隧道施工成本增加a 万元，且每天多挖 a ．乙每合格完成1米隧道施工成本增加a 万元，且每天多挖a 米．若最终每天实际总成本比计划多 万元，求a 的值． ( 【答案】 (1) 甲每合格完成 1 米桥梁施工成本为 10 万元，乙每合格完成 1 米的桥梁施工成本为 8 万元 (2) a 的值为 12 【分析】（ 1 ）设乙每合格完成 1 米的桥梁施工成本为 x 万元，则甲每合格完成 1 米桥梁施工成本为 ( x + 2) 万元， 根据题意列方程即可求解； （ 2 ）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（ 1 ）解：设乙每合格完成 1 米的桥梁施工成本为 x 万元，则甲每合格完成 1 米桥梁施工成 本为 ( x + 2) 万元， ∴ 6 x + 6( x + 2) = 108 ，解得， x = 8 ， ) ( ∴甲每合格完成 1 米桥梁施工成本为 10 万元，乙每合格完成 1 米的桥 梁施工成本为 8 万元． （ 2 ）解：由（ 1 ）可知，甲每合格完成 1 米桥梁施工成本 为 10 万元，乙每合格完成 1 米的桥梁施工成本为 8 万 元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成 1 米隧道施工成本增加 a 万元，则甲每合格完成 1 米实际成本为 万元，且每天多挖 a ，则甲每天实际完成量为 米，乙每合格完成 1 米隧道施工成 本增加 a 万元，则乙每合格完成 1 米实际成本为 万元，且每天多挖 a 米，则乙每 天实际完成量为 米，终每天实际总成本比计划多 万元，则最中每天的实际总成本为 整理得， a 2 + 12 a — 288 = 0 ，解得， a 1 = 12 ， a 2 = — 24 （不符合题意，舍去 ）， ∴ a 的值为 12 ． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方 法，解一元一次 方程，一元二次方程的方法是解题的关键． ) 88 ．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的 3 月 12 日，通过立法确定的节日．今年 3 月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A 、B 两个社区计划共种树 78 棵，已知A 社区每天可以种植 6 棵树， B 社区每天可以种植 12 棵树． （1）由于人员调动，要求B 社区种植天数至少是A 社区种植天数的倍，当种植结束时，A 社区至多种植多少天？ （2） A 、B 两个社区种植一棵树的所需费用分别为 500 元和 750 元，在（1） 问A 社区最多种植天数基础上， B 社区最少种植了 5 天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入 67500 元，A 社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A 社区最多天数多5a%；B 社区每为种植棵数下降a% ，种植天数比（1） 问中B 社区最少种植天数多 ，求a 的值． ( 【答案】（ 1 ） A 社区至多种植 3 天 ；（ 2 ） a 的值为 40 【详解】解 ：（ 1 ）设 A 社区种植 x 棵树，则 B 社区种植（ 78- x ）棵树， 依题意得： 解得： x ≤18 ， . 答： A 社区至多种植 3 天； ) 整理得：2.25 a2 -90a=0 ， 解得： a1 =0（不合题意，舍去）， a2 =40 ． 答：a 的值为 40 ． 89 ．“绿水青山，就是金山银山” ，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018 年 11 月至 12 月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计 20 千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至 2018 年 12 月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资 840 万元，其中疏通河道工程共耗资 600 万元；2019 年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低 2.5a％，里程数较一期增加 3a％； 修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨 2.5a％，里程数较一期增加 5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加 2a％，求 a 的值. ( 【答案】（ 1 ）原计划修建滨河步道 8 千米 ；（ 2 ） a 的值是 28. 【详解】（ 1 ）设原计划修建滨河步道 x 千米， 根据题意，得 = x . 解这个方程，得 x = 8 . 答：原计划修建滨河步道 8 千米 （ 2 ）根据题意， 一期工程疏通河道里程数： 20 — 8 = 12 （千米） . 一期工程疏通河道费用： 600 ÷ 12 = 50 （万元 / 千米） . 一期工程修建滨河步道费用： ( 840 — 600 ) ÷ 8 = 30 （万元 / 千米） 50 ( 1 — 2.5 a % ) × 12 ( 1 + 3 a % ) + 30 ( 1 + 2.5 a % ) × 8 ( 1 + 5 a % ) = 840 ( 1 + 2 a % ) 令 a ％ = t ，原方程可化为 50 ( 1 — 2.5 t ) × 12 ( 1 + 3 t ) + 30 ( 1 + 2.5 t ) × 8 ( 1 + 5 t ) = 840 ( 1 + 2 t ) ， 整理这个方程，得 25 t 2 — 7 t = 0 . 解这个方程，得 t 1 = 0 ， t 2 = 0.28 . ∴ a ％ = 0 （舍去 ）， a ％ = 0.28 . ∴ a = 28 . 答： a 的值是 28. ) 75 学科网（北京）股份有限公司 二十三、应用八：行程问题 90 ．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2 倍，张大伯走5 分钟，李大伯走10 分钟，共走800 米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a 米，时间都各自多走了10a 分钟，结果两人又共走了6900 米，求a 的值． ( 【答案】 (1) 张大伯每分钟走 60 米，李大伯每分钟走 50 米 (2) a 的值为 5 【分析】（ 1 ）设李大伯徒步走的速度为每分钟 x 米，则张大伯每分钟走 1.2 x 米，根据两人共 走了 800 米列方 程，解得 x 的值代入 1.2 x 中计算即可； （ 2 ）结合（ 1 ）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走 ( 50 + 2 a ) 米，由已知条件可得张大伯走了 ( 10 a + 5 ) 分钟，李大伯走了 ( 10 a + 10 ) 分钟，根据两人又共走了 6900 米列方程，解方程并根据实际意义确定 a 值即可． 【详解】（ 1 ）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟 x 米，得 5 × 1.2 x + 10 x = 800 解得 x = 50 ∴ 1.2 x = 60 （米） 所以，张大伯每分钟走 60 米，李大伯每分钟走 50 米； （ 2 ）解：依题意，得 60 ( 10 a + 5 ) + ( 50 + 2 a )( 10 a + 10 ) = 6900 整理得 a 2 + 56 a — 305 = 0 解得 a 1 = — 61 （舍 ）， a 2 = 5 答： a 的值为 5 ． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量 关系是解决问题 的关键． ) 91 ．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从 A 地出发，匀速跑向距离12000m处的 B 地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的 1.2 倍，那么小凤比小鸣早 5 分钟到达 B 地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从 A 地到达 B 地后，小凤以跑步形式继续前进到 C 地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始， 前 30 分钟内，平均每分钟消耗热量 10 卡路里，超过 30 分钟后，每多跑步 1 分钟，平均每分钟消耗的热量就增加 1 卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗 2300 卡路里的热量，小凤从 A 地到 C 地锻炼共用多少分钟？ ( 【答案】 (1) 小凤的跑步速度为每分钟 480m ； (2) 小凤从 A 地到 C 地锻炼共用 70 分钟． 【分析】（ 1 ）设小鸣的跑步速度为每分钟 x m ，则小凤的 跑步速度为每分 1.2 x m ．根据小鸣的跑步时间 — 小 凤的跑步时间 = 5 列分式方程求解即可； （ 2 ）设小凤从 B 地到 C 地用时 y 分钟，根据前 30 分钟消耗的热量 + 30 分钟 后的热量 = 2300 列方程解答即可． ) 76 学科网（北京）股份有限公司 ( 【详解】（ 1 ）设小鸣的跑步速度为每分钟 x m ，则小凤的跑步速度为每分 1.2 x m ， 根据题意，得 解得 x = 400 ， 经检验 x = 400 是原方程的解， : 原方程的解为 x = 400 ， ∴小凤的跑步速度为每分钟 400 × 1.2=4 80m ， 答：小凤的跑步速度为每分钟 480m ； （ 2 ） 由（ 1 ）知，小凤的跑步速度为每分 480m ， 则小凤从 A 地到 B 地所用时间为 （分钟 ）． 设小凤从 B 地到 C 地用时 y 分钟， 根据题意， 得 30 × 10 + ( y - 5 ) × ( 10 + y - 5 ) = 2300 ， 解得 y = 45 或 y = - 45 （舍去 ）， 则 25 + 45 = 70 （分钟 ）． 答：小凤从 A 地到 C 地锻炼共用 70 分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语， 列出等量关系是 解题的关键． ) 92．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了 320 千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了 120 千米/小时，全程设计运行时间只需 8 小时，比原铁路设计运行时间少用 16 小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少 m% ，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 m 小时，求 m 的值． ( 【答案】（ 1 ） 1600 ；（ 2 ） 20 ． 【分析】（ 1 ）利用 “ 从重庆到上海比原铁路全程缩短了 320 千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了 l 20 千米 / 小时，全程设计运行时间只需 8 小时，比原铁路设计运行时间少用 16 小时 ” ，分别得出等式组成方程组求出即可； （ 2 ）根据题意得出： = 1600 进而求出即可． 【详解】（ 1 ）设原时速为 x km / h ，通车后里程为 y km ，则有： y ， 解得 ： ， 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程 是 1600 千米； （ 2 ） 由题意可得出： = 1600 ， 解得： m 1 = 20 ， m 2 = 0 （不合题意舍去 ）， 答： m 的值为 20 ． ) 93 ． 1月21 日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围， 甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表 77 学科网（北京）股份有限公司 演的人较多， 甲先将车开到距离自己家50 千米的A 停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5 小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25 倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到B 停车场后，再步行前往目的地，总路程为46 千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快m 千米/小时(m > 0) ，乙开车时间比甲开车时间少 m 小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快 m 千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求m 的值． ( 【答案】 (1) 甲开车的平均速度是 50 千米 / 小时，步行的平均速度是 2 千米 / 小时； (2) 4 ． 【分析】（ 1 ）设甲步行的平均速度是 x 千米 / 小时， 则甲开车的平均速度是 25 x 千米 / 小时，根据甲先将车开 到距离自己家 50 千米的 A 停车场后，再步行 1 千米到达目的地，共花了 1.5 小时．列出分式方 程，解方程即 可； （ 2 ）根据乙先将车开到 B 停车场后，再步行前往目的地，总路程为 46 千米．列出一元二次 方程，解之取 其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等 量关系，正确列出分式方程和 一元二次方程． 【详解】（ 1 ）设甲步行的平均速度是 x 千米 / 小时，则甲开车的平均速度是 25 x 千米 / 小时， 由题意得 ： ， 解得： x = 2 ， 经检验， x = 2 是原方程的解，且符合题意， ∴ 25 x = 25 × 2 = 50 ， 答： 甲开车的平均速度是 50 千米 / 小时，步行的平均速度是 2 千米 / 小时； （ 2 ） 由（ 1 ）可知， 甲开车的时间为 50 ÷ 50 = 1 小时 ) ，则乙 开车的时间为 小时， 由题意可知，乙开车的速度为 ( 50 + m ) 千米 / 小时，乙步行的速度 为 千米 / 小时， 由题意得： ( 50 + m 整理得： m 2 + 24 m - 112 = 0 ， 解得： m 1 = 4 ， m 2 = - 24( 不符合题意，舍去 ) ， 答： m 的值为 4 ． ) 二十四、应用九：含字母和百分比问题 94 ．随着气温的逐步升高，空调成为了许多家庭的必需品，某商场最新推出的 A、B 两款空调凭借出色的性价比、智能互联功能以及时尚简约的设计风格，迅速赢得了年轻消费群体的青睐，已知 A 款空调的售价比 B款空调的售价高 600 元，某商场在 5 月份销售了 80 台 A 款空调和 100 台 B 款空调，销售总金额为 264000元． (1)求 A 、B 两款空调的销售单价分别为多少元？ (2)6 月份的气温持续升高，商场抓住商机，对 A 款空调进行优惠促销，销售单价在 5 月份的基础上下降了 m 元，销售的数量比 5 月份增加了 m 台，B 款空调的销售单价不变，最终 6 月份两款空调一共销售了 230 台，销售金额比 5 月份增加了 60000 元．求 m 的值． 【答案】(1) A款空调的销售单价为 1800 元， B 款空调的销售单价为 1200 元 (2) m 的值为 200 【详解】（1）解：设A 款空调的销售单价为x 元， B 款空调的销售单价为y 元， 答： A 款空调的销售单价为 1800 元， B 款空调的销售单价为 1200 元； 整理得： m2 - 200m = 0 ， 解得： m1 = 2 0 0 ， m2 = 0 （不符合题意，舍去）， 答： m 的值为 200 ． 95 ．2024 年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒． 甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的 1.5 倍，且花费 6000 元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费 7200 元购买的“事事高中”礼盒的数量多 5 盒． (1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元； (2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价6m元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价5m元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多 m 盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求 m 的值． ( 【答案】 (1)“ 冰淇淋粽 ” 粽子礼盒的单价为 240 元， “ 事事高 中 ” 粽子礼盒的单价为 360 元 (2)12 )（1）根据“乙公司的总花费与甲公司的总花费相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解 ∶ 设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为 x 元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为1.5x 元， 解得x = 240 ， 经检验， x = 240 是原方程的解， ∴ 1.5x = 360 ， 答：“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为 240 元，“事事高中”粽子礼盒的单价为 360 元； 解得m = 12 或m = 0 （舍去）， ∴m 的值为 12 ． 96 ．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费144 元和120 元．若中果的单价比大果少4 元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． (1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ (2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了6 元/斤，大果单价便宜 ，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了25a% ，大果的数量在上次的基础上增加了 ，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了60 元，求a 的值． ( 【答案】 (1) 中果车厘子的单价是 36 元，大果车厘子的单价是 40 元 (2) a 的值为 2 【详解】（ 1 ）解：设大果车厘子的单价是 x 元，则中果车厘子的单价是 ( x - 4 ) 元， 根据题意得 ： ， 解得： x = 40 ， 经检验， x = 40 是原方程的解， : x = 40 ， 中果车厘子单价： 40 - 4 = 36 （元 ）， 答：中果车厘子的单价是 36 元，大果车厘子的单价是 40 元； （ 2 ）水果店购买大果的数量： 120 ÷ 40 = 3 （斤 ）， ) ( 水果店购买中果的数量 ： （ 斤 ）， 网购中果的单价为： 36 - 6 = 30 （元 ）， 网购大果的单价为： a ， 网购中果的数量： 4 ( 1 + 25 a % ) = 4 + a （斤 ）， 网购大果的数量： 根据题意得 + ( 40 - 2 a 解得： a = 2 或 a = 42 （舍去 ）， : a 的值为 2 ． ) 97 ．每年 5 月上旬，广阳岛回龙枇杷基地都会举办“江南枇杷节” ．去年，果农小王自产自销了白玉枇杷 800千克、五星枇杷 200 千克，且白玉枇杷的单价是五星枇杷的单价的2 倍，全部售出后，销售总额为 45000元． (1)去年，果农小王销售的白玉枇杷、五星枇杷的单价分别是多少？ (2)因白玉枇杷成熟期较晚，汁多味甜，是广阳岛主力推出的新兴品种．今年，小王扩大果园的规模，并加强了科学管理， 白玉枇杷、五星枇杷的产销量分别增加了a% 和10a%(a > 0) ，为了推广白玉枇杷，小王决 定大力降价促销，将白玉枇杷的单价下调了2a% ，五星枇杷的单价不变，全部售出后，销售总额和去年持平，求 a 的值． ( 【答案】 (1) 五星枇杷的单价为 25 元， 白玉枇杷的单价为 50 元 (2) a 的值为 12.5 【详解】（ 1 ）设五星枇杷的单价为 x 元，则白玉枇杷的单价为 2 x 元， 根据题意可得， 800 . 2 x + 200 . x = 45000 ， 解得 x = 25 ∴ 2 x = 50 ， ∴五星枇杷的单价为 25 元， 白玉枇杷的单价为 50 元． （ 2 ）根据题意可知， 800 × ( 1 + a % ) × 50 ( 1 - 2 a % ) + 20 0 × ( 1 + 10 a % ) × 50 = 45000 ， 令 a % = t ，整理得 16 t 2 - 2 t = 0 ， 解得 t = 0 （舍去）或 t ， 即 a 的值为 12.5 ． ) 98 ．清明至，青团香，清明节吃青团的传统习俗承载着深厚的文化内涵和象征意义．王老板 4 月份购进豆沙和蛋黄肉松两种口味的青团进行销售．4 月份第一周，王老板卖出两种口味的青团共 900 盒，豆沙青团的售价为每盒 10 元，蛋黄肉松青团的售价为每盒 18 元，蛋黄肉松青团的销售额比豆沙青团的销售额多 5000 元． (1)4 月份第一周王老板卖出两种口味的青团各多少盒？ (2)4 月份第二周，王老板将两种口味的青团售价进行了调整．豆沙青团每盒的售价在第一周的基础上降低 2a% ，蛋黄肉松青团每盒的售价在第一周的基础上降低a% ，结果第二周豆沙青团卖出750 盒，蛋黄肉松青团比第一周多卖出3a% ，最终 4 月份第二周两种口味的青团的总销售额为 16500 元， 求 a 的值． 【答案】(1)4 月份第一周王老板卖出400 盒豆沙青团，500 盒蛋黄肉松青团 (2)a 的值为 20 【详解】（1）解：设 4 月份第一周王老板卖出 x 盒豆沙青团，y 盒蛋黄肉松青团，根据题意得： 答：4 月份第一周王老板卖出400 盒豆沙青团，500 盒蛋黄肉松青团； 解得： a1 = 20，a2 = 0 （不符合题意，舍去）． 答：a 的值为 20 ． 99 ．“端午节”是我国传统节日，赛龙舟吃粽子，某蛋糕店销售“杏花楼”和“元祖”两个品牌的粽子，每个“杏花楼”粽子的售价是 10 元，每个“元祖”粽子的售价是 8 元． （1）4 月份，两个品牌的粽子一共销售 180 个，且总销售额不低于 1640 元，则卖出“杏花楼”粽子至少多少个？ （2）5 月份，粽子大量上市，受此影响，“杏花楼”粽子售价降低了a%（ a% < 30% ），销售量在 4 月份的最低销售量的基础上增加了5a% ，“元祖”粽子的售价降低了a% ，销售量在 4 月份的最高销售量的基础上增加了a% ，结果 5 月份的总销售额比 4 月份最低销售额增加了 680 元，求a 的值． ( 【答案】（ 1 ） 100 个 ；（ 2 ） 20 【详解】（ 1 ）设卖出 “ 杏花楼 ” 粽子 x 个，则卖出 “ 元祖 ” 粽子 (180- x ) 个． ) 依题意得：10x +8(180-x )≥1640 解得： x ≥100 ∴卖出“杏花楼”粽子至少 100 个； 设a %= t ，则化简整理得：175 t2 -120t +17=0 ∴ a =20 ． 100 ．葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品” ，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠” 、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在 6 月购进“黑珍珠” 、“仙粉黛”两种葡萄共 200 千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的 3 倍． （1）那么原计划今年 6 月至少购进“仙粉黛”多少千克？ （2）今年 6 月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠” 、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年 7 月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为 1 ∶3 购进两种葡萄一共 160 千克，按照单价4 ∶3 售出，共得销售额 1040 元．通过 7 月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8 月商店购进“黑珍珠” 、“仙粉黛”的质量在 6 月的基础上分别增加了2a%、a% ，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年 7 月份的基础上分别降价a% （降价幅度不超过 50%），最终 8 月的销售额比 7 月的销售额增加了 535 元．求a 的值． 【答案】（1）150 千克；（2）30 【分析】（1）设原计划今年 6 月购进“仙粉黛”x 千克，则：x≥3（200-x）． （2）由题可得：6 月购进“黑珍珠”50 千克，“仙粉黛”150 千克；7 月购进“黑珍珠”40 千克，“仙粉黛”120 千克．设 7 月“黑珍珠”单价为 4m ，“仙粉黛”单价为 3m ，则有：40×4m+120×3m= 1040 ，易得 7 月“黑珍珠”单价为 8 元/千克，“仙粉黛”单价为 6 元/千克．根据题意列出方程并利用换元法解方程． 【详解】解：（1）设原计划今年 6 月购进“仙粉黛”x 千克，则：x≥3（200-x）． 解得：x≥150 ， 答：原计划今年 6 月至少购进“仙粉黛”150 千克； （2）由题可得：6 月购进“黑珍珠”50 千克，“仙粉黛”150 千克；7 月购进“黑珍珠”40 千克，“仙粉黛”120 千克． 设 7 月“黑珍珠”单价为 4m ，“仙粉黛”单价为 3m ，则有：40×4m+120×3m= 1040 ， ∴m=2 ． 则 7 月“黑珍珠”单价为 8 元/千克，“仙粉黛”单价为 6 元/千克． ( 令 a %= t ，则： 80 t 2 -134 t +33=0 ， 又∵当 t 时， , 舍去． ∴ t ． ∴ a =30 ． 答： a 的值是 30 ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题 关键是要读懂题目的意思， 根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程或不等式，再求解． ) 84 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程重难点专题 学 生 版 目 录 一、一元二次方程 3 专题 1 一元二次方程的判断 4 专题 2、一元二次方程的定义含参 4 专题 3、一元二次方程的一般形式 4 专题 4、已知方程的根求参数的值 5 专题 5、整体思想求代数式的值 5 二、解一元二次方程（一） - 开平方和配方法 6 专题 6、解方程一：直接开平方法 7 专题 7、解方程二：配平方法 7 专题 8、配平方的应用 8 三、解一元二次方程（二） - 公式法和因式分解 10 专题 9、解方程三：公式法 10 专题 10、一元二次方程的判别式 12 专题 11、根据判别式求根的情况 12 专题 12、根据根的个数求参数范围 14 专题 13、解方程四： 因式分解法 14 专题 14、解方程五：换元法 15 四、一元二次方程根与系数的关系 17 专题 15、根与系数的关系 17 五、一元二次方程的实际应用 21 专题 16、应用列式一：传染、分裂问题 21 1 学科网（北京）股份有限公司 专题 17、应用列式二：单、双循环问题 23 专题 18、应用列式三：增长率问题 24 专题 19、应用列式四：形积问题 26 专题 20、应用列式五：营销问题（每每问题） 30 专题 21、应用列式六：数字问题 32 专题 22、应用七：工程问题 33 专题 23、应用八：行程问题 36 专题 24、应用九：含字母和百分比问题 38 2 学科网（北京）股份有限公司 一、 一元二次方程 知识点 1 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是 2。 知识点 2： 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中 ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数；c 叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0 中的 a≠0 ．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时 不要漏掉前面的性质符号。 知识点 3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论： （1）若 a+b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为 x=1;若 x=1 是一元二次方程 ax² +bx+c=0（a≠0）的一个根，则 a+b+c=0。 （2）若 a-b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为 x=-1;若 x=11 是一元二次方程 ax ²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则 a-b+c=0。 3 学科网（北京）股份有限公司 专题 1 一元二次方程的判断 1 ．下列方程中一定是关于 x 的一元二次方程的是 ( ) A ． 2ax2 + x +1 = 0 B ． a2x + 4x = 0 C ． x2 + xy = 0 D ． (a + 2)x2 + 4x + 5 = 0 2 ．下列方程是关于x 的一元二次方程的是 ( ) A ． πx = 6 B ． x2 + 3x - 4 = 0 C ． xy = 3 D ． x 3 ．下列方程是一元二次方程的是 ( ) A ． x + 3y = -1 B ． x2 + 5x - 6 = 0 C ． x D ． 3x + 8 = 5x - 2 专题 2、一元二次方程的定义含参 4 ．若方程(a -1) xa2 +1 - ax = 2 是关于x 的一元二次方程，则a 的值为 ． 5 ．已知关于 x 的方程(m + 2)xm2 -2 + 3x -1 = 0为一元二次方程，则 m 的值是 ． 6 ．若关于x 的方程(k- 2)xk2 -2 + 4x - 3 = 0 是一元二次方程，则k = ． 7 ．若(m +1)xm+1 + 2x -1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 ． 专题 3、一元二次方程的一般形式 8 ．一元二次方程(x - 2)(x + 3) = 2x - 5 化为一般形式是 ． 9 ．把方程(3x + 2)2 = 4 (x - 3)2 化为一元二次方程的一般形式是 ． 10 ．一元二次方程x2 - 4x + 2 = 0的一次项系数是 ． 11．一元二次方程3x2 - x - 2 = 0的二次项系数和常数项的和是 . 12 ．已知一元二次方程(x - 2)(x + 3) = 0 ，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 4 学科网（北京）股份有限公司 专题 4、 已知方程的根求参数的值 13 ．已知关于 x 的方程x2 + 5x + m = 0 有一个根为-2 ，则 m 为 ． 14 ．一元二次方程(a +1)x2 - ax + a2 = 1 的一个根为 0 ，则a = ． 15 ．若关于x 的一元二次方程2x2 + mx +1 = 0的一个根是-1 ，则m 的值是 ． 16 ．若关于 x 的方程x2 + 2x - m = 0的一个根是x = 3 ，则 m 的值为 ． 专题 5、整体思想求代数式的值 17 ．已知 m 是方程x2 - x - 6 = 0的一个根，则代数式2m2 - 2m -11 的值是 ． 18 ．设 a 是方程x2 + x - 2023 = 0 的一个实数根，则2a2 + 2a + 3值为 ． 19 ．已知a 是关于x 的一元二次方程x2 - 5x - 1 = 0的一个根，则代数式10a - 2a2 - 5的值为 ． 20 ．已知m 是方程x2 + 3x - 2 = 0 的一个实数根，则2m2 + 6m + 2020 的值为 ． 21 ．已知a2 - 3a+ 2 = 0 ，则代数式a3 - a2 - 4a + 2024的值为 ( ) A ．2022 B ．2021 C ．2020 D ．2019 22 ．已知 m 为方程x2 + x - 3 = 0的一个根，则代数式m3 + 2m2 - 2m + 6 的值为 ． 23 ．已知m 为方程x2 + 3x - 2024 = 0 的根，那么m3 + 2m2 - 2027m + 2024的值为 5 学科网（北京）股份有限公司 二、解一元二次方程（一） - 开平方和配方法 知识点 1 ：解一元二次方程-直接开方 （1）如x2 = p（p ≥ 0）或（nx+m）2 = p(p ≥ 0)的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。 （2）如果化成x2 = p的形式，那么可得x (3)如果方程能化成（nx+m)2 = p(p ≥ 0)的形式，那么nx + m 进而得出方程的根 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 知识点 2：解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为 1 ，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式； ⑤如果 b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0 ，则原方程无解． 总结： 6 学科网（北京）股份有限公司 专题 6、解方程一：直接开平方法 24 ．用直接开平方法解下列方程： (1) x2 - 9 = 0 (2) 3x2 - 54 = 0 ． 25 ． （1） 4x2 = 9 ； （2）（x + 3）2 - 2 = 0 ． 26 ．解方程： (3x -1)2 = 4 (2x + 3)2 27 ．用适当的方法解方程： (3x -1)2 = ( x -1)2 专题 7、解方程二：配平方法 28 ．解方程： x2 - 2x = 4 29 ．解方程： x2 + 3x - 4 = 0 （用配方法） 30 ．用配方法解方程： x2 + 2mx - m2 = 0 ． 31 ．配方法解一元二次方程： -2x2 + 2x +1 = 0 ． 7 学科网（北京）股份有限公司 32 ．解方程： x2 + 6x + 2 = 0 ． 33 ．解方程： x2 -14x + 21 = 0 ． 34 ．用配方法解方程： xx - 4 = 0 专题 8、配平方的应用 35 ．用配方法解一元二次方程x2 - 2x = 3时，此方程可变形为( ) A ． (x -1)2 = 4 B ． (x +1)2 = 4 C ． (x -1)2 = 2 D ． (x +1)2 = 2 36 ．一元二次方程y2 - y 配方后可化为 ( ) 37 ．用配方法解方程x2 - 2x - 2 = 0 ，原方程应变形为 ( ) A ． (x +1)2 = 3 B ． (x -1)2 = 3 C ． (x + 1)2 = 1 D ．(x -1)2 = 1 38 ．将一元二次方程： x2 - 8x - 5 = 0 化成(x + a)2 = b 的形式正确的是 ( ) A ． (x + 4)2 = 21 B ． (x - 4)2 = 11 C ． (x - 4)2 = 21 D ． (x - 8)2 = 69 39 ．将方程x2 - 4x - 3 = 0化成(x - m)2 = n （m 、n 为常数）的形式，则 m 、n 的值分别为 ( ) A ． m = 2, n = 7 B ． m = -2, n = 1 C ． m = 2, n = 4 D ． m = -2, n = 4 8 学科网（北京）股份有限公司 40 ．用配方法解一元二次方程x2 - 8x - 4 = 0时，可将原方程配方成(x - 4)2 = m ，则m 的值是 ． 41 ．问题：聪明的你知道代数式x2 - 4x + 5 的最小值为多少吗？解：因为 x2 - 4x + 5 = x2 - 4x + 4 +1 = x2 - 4x + 22 +1 = (x - 2 )2+1 ，又因为(x - 2)2 ≥ 0 ，所以(x - 2)2 +1≥ 1 ，所以x2 - 4x + 5 的最小值为 1 ．请用上述方法，解决代数式x2 + 6x + 6的最小值为 ( ) A ．3 B ． -3 C ．6 D ． -6 42 ．将代数式 x2 -10x+5 配方后，发现它的最小值为 ( ) A ． -30 B ． -20 C ． -5 D ．0 43 ．已知实数 m ，n 满足m - n2 = 1 ，则代数式m2 + 2n2 + 4m -1的最小值等于 ． 44 ．（1）当x = 时，多项式x2 - 6x +12的最小值为___________． （2）当x = 时，多项式-x2 + 2x - 3的最大值为___________． （3）当x 、y 为何值时，多项式2x2 - 4xy + 6y2 -12y +19 取最小值？并求出这个最小值． 9 学科网（北京）股份有限公司 三、解一元二次方程（二） - 公式法和因式分解 知识点 1 ： 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式ax2 + bx + c = 0，确定a 、b 、c的值（注意符号） , （2）求出判别式 Δ = b2 - 4ac的值，判断根的情况 （3）在Δ = b2 - 4ac ≥ 0（注：此处 Δ读“德尔塔 ”）的前提 下，把a 、b 、c的值代入公式x 进行计算，求出方程的 根。 知识点 2：一元二次方程的判别式 根的判别式： ① b2 - 4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； ② b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； ③ b2 - 4ac＜0 时，方程无实数根，反之亦成立 知识点 3：解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 如：x2 + x + pq 专题 9、解方程三：公式法 45 ．用公式法解一元二次方程3x2 = 2x - 3时，首先要确定 a 、b 、c 的值，下列叙述正确的是 ( ) A ． a = 3, b = 2, c = 3 B ． a = -3,b = 2,c = 3 C ． a = 3,b = 2,c = -3 D ． a = 3, b = -2, c = 3 10 学科网（北京）股份有限公司 46 ．将方程 2 x 2 + 7 = 4 x 改写成ax2 + bx + c = 0的形式，则a ，b ， c 的值分别为 ( ) A ．2 ，4 ，7 B ．2 ，4 ， -7 C ．2 ， -4 ，7 D ．2 ， -4 ， -7 47 ．用公式法解下列方程： (1) x2 - x -12 = 0 ； (2) 2x2 + 5x - 3 = 0 ； (3) 2x2 - 7x + 7 = 0 ． 48 ．解方程： 2x2 + 4x -11 = 0 ． 49 ．解方程： x2 = 6x -1． 50 ．解方程： 2x2 -1= x (x + 3)． 51 ．解方程： 2x2 = 3(2x +1) ． 52 ．解方程： xx - 9 = 0 11 学科网（北京）股份有限公司 专题 10、一元二次方程的判别式 53 ．方程x2 - 2x = 0 的判别式Δ = . 54 ．一元二次方程x2 + 5x +1 = 0 的根的判别式的值是 ． 55 ．若关于 x 的方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个不相等的实数根，则b2 - 4ac 0（填“>” ，“<”或“=”） 专题 11、根据判别式求根的情况 56 ．一元二次方程2x2 + 3x +1 = 0 的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 57 ．关于 x 的方程4x2 - 4x = -1的根的情况是 ( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根 58 ．一元二次方程(x +1)(x - 3) = 2 的根的情况是 ( ) A ．无法确定 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 59 ．下列一元二次方程中，没有实数根的是 ( ) A ． x2 - 2x = 0 B ． x2 + 4x - 4 = 0 C ． (x - 2)2 - 3 = 0 D ． 3x2 + 2 = 0 60 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + nx - 2 = 0 ，则该方程根的情况为 ( ) A ．无实数根 B ．两个相等的实数根 C ．两个不相等的实数根 D ．无法判断 61 ．关于x 的一元二次方程kx2 - 4x - 4k = 0 ，其根的情况为 ( ) A ．有两个相等的实数根 B ．无实根 C ．无法判断 D ．有两个不相等的实数根 62 ．关于 x 的一元二次方程 x2 + mx - m2 -1 = 0的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．实数根的个数由 m 的值确定 12 学科网（北京）股份有限公司 63 ．关于 x 的一元二次方程x2 - (2m -1)x - 2m = 0 （其中m 的根的情况是 ( ) A ．没有实数根 B ．有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不等的实数根 64 ．已知关于x 的一元二次方程mx2 - 2x - 4 = 0 有两个实数根． (1)若方程的一个根是 2 ，求m 的值； (2)求m 的取值范围． 65 ．已知：关于x 的方程x2 + 2kx +k2 -1 = 0 ． (1)试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程有一个根为 3 ，试求2k2 +12k + 2023 的值． 66 ．已知：关于x 的方程x2 - (k+ 2)x + 2k = 0 ． (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形 ABC 的底边长为1 ，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求 △ABC 的周长． 13 学科网（北京）股份有限公司 专题 12、根据根的个数求参数范围 67 ．若关于x 的一元二次方程x2 - 8x + 2m = 0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ． 68 ．如果关于 x 的方程 x2 -x＋2m ＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ． 69 ．如果关于 x 的方程ax2 - x + 1 = 0 有实数根，那么 a 的取值范围是 ． 70 ．若关于x 的方程kx2 - 6x - 9 = 0有实数根，则k 的取值范围是 ． 71 ．已知关于 x 的一元二次方程 a x2+4x -2 ＝0 有实数根，则 a 的最小值是 ． 72 ．已知关于x 的一元二次方程(m -1)x2 + x +1 = 0 有实数根，则m 的取值范围是 ． 73 ．关于x 的一元二次方程x2 - 6x + m = 0 有两个不相等的实数根，请写出一个合适的m 的值 ． 74 ．关于x 的一元二次方程(k+1)x2 - 2x +1 = 0 有两个实数根，则k 的取值范围是 ( ) A ． k ≥ 0 B ． k ≤ 0 C ． k < 0 且k ≠ -1 D ． k ≤ 0 且k ≠ -1 75 ．已知关于 x 的方程(k +1) x2 - (2k +1) x +k-1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是 ( ) 专题 13、解方程四： 因式分解法 76 ．方程x2 - 2x = 0 的根是 ( ) A ． x1 = 0, x2 = 2 B ． x1 = 0, x2 = -2 C ． x = 0 D ． x = 2 77 ．方程x2 - 3x = 0 的解是 78 ．一元二次方程x2 - 2x - 24 = 0 的两根分别为： x1 = ， x2 = ． 79 ．一元二次方程3x (x -1) = 2 (x -1) 的解x = 80 ．已知等腰三角形的两边长分别是方程x2 - 7x +12 = 0 的两根，则该等腰三角形的底边长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．3 或 4 81 ．等腰三角形的边长都是方程x2 - 6x + 8 = 0的根，则此三角形的周长为 ． 14 学科网（北京）股份有限公司 82 ．已知三角形的两边长为 3 和 5 ，第三边的长为方程x2 - 5x + 4 = 0 的根，则该三角形的周长为 ． 83．若三角形两边分别为 2 和 5，第三边的长是方程x2 - 5x + 4 = 0 的解，则这个三角形的周长是 ． 84 ．解方程： (1) x2 + 2x - 3 = 0 (2) x(x - 2) = 3(x - 2) 85 ． （1） x (x + 2)- (x + 2) = 0 ； （2） (2x -1)2 = x (2x + 6) - 7 ． 86 ．计算：(1) x2 ＋4x－5 ＝0 (2) （x＋2）2 -10（x＋2）＋25 ＝0 专题 14、解方程五：换元法 87 ．若(x + y)(1- x -y ) + 6 = 0 ，则x + y 的值是 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． -2 或3 D ． 2 或-3 88 ．实数 x 满足方程（x2+x）2-（x2+x）-2=0 ，则 x2+x 的值等于 ( ) A ．2 B ． -1 C ．2 或-1 D ．1 或-2 15 学科网（北京）股份有限公司 89 ．我们知道方程x2 + 2x - 3 = 0 的解是x1 = 1，x2 = -3 ，现给出另一个方程(2x + 3)2 + 2(2x + 3) - 3 = 0 ，它的 解是 ( ) A ． x1 = 1，x2 = 3 B ． x1 = 1，x2 = -3 C ． x1 = -1，x2 = 3 D ． x1 = -1，x2 = -3 90 ．已知（a2+b2 ）（a2+b2 -1）＝6 ，则 a2+b2 = . 91 ．解方程（x -1）2 -5（x -1）+4 ＝0 时，我们可以将 x -1 看成一个整体，设 x -1＝y ，则原方程可化为y2 -5y+4 ＝0 ，解得y1 ＝1，y2 ＝4 ．当y ＝1 时，即 x -1 ＝1 ，解得 x ＝2；当y ＝4 时，即 x -1 ＝4，解得 x ＝5，所以原方程的解为：x1 ＝2，x2 ＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2 -4（2x+5）+3 ＝0 的解为 ． 92 ．方程x4 - 6x2 + 5 = 0 是关于x 的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2 = y ，那么 x4 = y2 ，原方程可变为y2 - 6y + 5 = 0 ，先求解y ，再求解x ．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若 (x2 + y2 + 2)(x2 + y2 + 3)= 20 ，则x2 + y2 = ． 93 ．解方程： x2 - 2x 94 ．【阅读材料】解方程(x2 +1)2 - 2(x2 +1)- 3 = 0 ． 解：设x2 +1 = y ,则原方程可变形为y2 - 2y - 3 = 0 : y1 = 3, y2 = -1．当y = 3 时， x2 +1 = 3, :x2 = 2, :x1 = ·、 , x2 = - ·、 当y = -1 时， x2 +1= -1, :x2 = -2 ,此方程无实数根． ∴原方程的解为x1 = ·、 , x2 = - · . 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 【问题解决】利用上述方法解方程(2y-1)2 - (2y-1) -12 = 0 ． 16 学科网（北京）股份有限公司 95 ．解方程(x2 -1)2 - 5(x2 -1)+ 4 = 0 时，我们可以将(x2 -1) 视为一个整体，设x2 -1 = y ，则原方程可化为y2 - 5y + 4 = 0 ，解得y1 = 1, y2 = 4 ．当y = 1 时，x2 -1 = 1 ，: x = ± ·、 ；当y = 4 时，x2 -1 = 4, : x = ± ·、 . :原方程的解为x1 = - ·、 , x2 = ·、 , x3 = - ·、 ，x4 = 、 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1) x4 - 3x2 - 4 = 0 ； (2)(x2 + x )(x2 + x - 2) = -1 ． 17 学科网（北京）股份有限公司 四、 一元二次方程根与系数的关系 知识点：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即ax2 + bx + c = 0 的两根为 x1、x2 ，则x1 +x x1 . x 利用韦达定 理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 专题 15、根与系数的关系 1 ．设方程3x2 + 7x - 9 = 0的两根为x1，x2 ，则x1x2 = ． 2 ．方程x2 + 2x - 3 = 0 的两根分别是x1 和 x2 ，则x1 + x2 = ． 3 ．若a, b 是方程x2 - x - 2 = 0 的两个根，则 a +b 的值是 ． 4 ．方程 2x2+3x-1=0 的两根之和为 ( ) A ． B ． C ． D ． 5 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + 3x — m = 0的一个根是x= — 1 ，则该方程两个根的和等于 ( ) A ． —10 B ． —3 C ．3 D ．10 6 ．一元二次方程x2 — 3x + 2 = 0 的两根为 x1 ， x2 ，则2x1 + 2x2 = ． 7 ．已知方程x2 — 2x — 3 = 0的两个根分别为x1x2 ，则x1 + x2 — x1 . x2 的值为 ． 8 ．已知一元二次方程x2 + 4x — 5 = 0 的两根为x1 , x2 ，则 ． x1 x2 9 ．已知方程x2 — 3x +1 = 0的两根是x1 ，x2 ，则x1 + x2 + x1x2 的值是 ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 10 ．若方程x2 — 3x — 2 = 0的两根分别是 x1 ， x2 ，则x1 (2) + x2 (2) 的值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．13 D ．16 11．已知 α 、 β 是关于x 的一元二次方程x2 + (2m + 3)x + m2 = 0 的两个不相等的实数根，且满足，则m 的值是( ) A ． 3 B ． 1 C ． 3 或 —1 D ． —3 或1 12 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + 4x + 3 = 0 的两根分别为a 、b ，则 的值为 ( ) A ． B ． C ． D ． — 13 ．一元二次方程x2 — 3x + 2 = 0 的两根为 x1 ， x2 ，则下列结论错误的是 ( ) A ． x1 + x2 = 3 B ． x1 . x2 = 2 C ． (x1 — x2 )2 = 1 D ． x1 (2) + x2 (2) = 6 14 ．已知方程x2 — 5x + 2 = 0 的两个根分别为 x1 、 x2 ，则x1 + x2 — x1x2 的值为 ( ) 7 9 A ． B ． C ．7 D ．3 4 4 15 ．若 x1 、 x2 是x2 + bx — 3b = 0 的两个根，且x1 (2) + x2 (2) = 7 ，则b 的值是 ( ) A ． —7 B ． 1 C ． 1或—7 D ． 7 或 —1 16 ．设 a 、b 是方程x2 + x — 2025 = 0的两个实数根，则(a —1) (b—1) 的值为 ． 17 ．设 a ，b 是方程x2 + 2x — 2023 = 0的两个实数根，则(a +1)(b+1) 的值为 ． 18 ．若 m ，n 是一元二次方程x2 + 3x — 9 = 0的两个根，则m2 + 4m + n 的值是 ( ) A ．0 B ．4 C ．6 D ．12 18 学科网（北京）股份有限公司 19 ．设 a ，b 是方程x2 + x — 2025 = 0的两个实数根，则a2 + 2a +b 的值为 ( ) A ．2022 B ．2023 C ．2024 D ．2025 20 ．若 x1 、x2 是方程x2 — 4x — 2020 = 0的两个实数根，则代数式x1 (2) — 2x1 + 2x2 的值等于 ( ) A ．2020 B ．2019 C ．2029 D ．2028 21 ．已知关于x 的方程x2 — (k+ 2)x + 2k = 0 ． (1)求证：k 取任何实数值，方程总有实数根； (2)若Rt△ABC 斜边长a = 3 ，另两边长 b ，c 恰好是这个方程的两个根，求 △ABC 的周长． 22 ．已知关于 x 的一元二次方程（k -1）x2 -2kx+k+2=0 有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1 ，x2 是一元二次方程的两个实数根，且满足 求 k 的值，并求此时方程的解． 23 ．关于 x 的方程x2 + 2(k— 2)x +k2 = 0 有两个不相等的实数根x1 , x2 ． (1)求 k 的取值范围； (2)若x1 + x2 — x1x2 = —11 ，求 k 的值． 19 学科网（北京）股份有限公司 24 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - (2m + 3)x + m2 + 2 = 0 ． (1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； (2)若方程的两个根分别为x1 、x2 ，且满足x12 + x22 = 3x1x2 -14 ，求实数 m 的值． 25 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + (m + 2)x + m = 0 ． (1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根x1，x2 ，且x1 + x2 + 2x1x2 = -1 ，求m 的值． 26 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + (k+ 4)x +k-1 = 0 ． (1)求证：一元二次方程x2 + (k+ 4)x +k-1 = 0 一定有两个不相等的实数根． (2)若x1 ，x2 是方程x2 + (k + 4)x +k-1 = 0 两个不相等的根，且x12 + x22 - x1x2 = 13 ，求 k 的值？ 20 学科网（北京）股份有限公司 27 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - (1- 2k ) x +k2 - 3 = 0 有两个不相等的实数根． (1)求实数k 的取值范围， (2)当k = 2 时，设方程的两个实数根分别为x1 , x2 ，求x1 (3) - x1x2 (2) + 4x1 (2) + x2 (2) + 3 的值． 28 ．已知关于x 的方程x2 - 2x + k-1 = 0 有两个实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若x2 -1 ，求k 的值． 五、 一元二次方程的实际应用 专题 16、应用列式一：传染、分裂问题 知识点 ：传染、分裂问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x 个人： 21 学科网（北京）股份有限公司 29 ．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 169 个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则下列方程正确的是 ( ) A ． 1+ x + x (x +1) = 169 B ． x (x +1) = 169 C ． x + x (x +1) = 169 D ． x + x2 = 169 30 ．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 169 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，可列方程为 ( ) A ． 1+ 2x = 169 B ． 1 + x2 = 169 C ． 1+ x + x (1+ x ) =169 D ．1 + x + x2 =169 31 ．一年中，春季是最适合病毒传播的季节．某地有 1 人感染了A 病毒，经过两轮传染后，一共有 196 人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染 x 个人，下面所列方程正确的是 ( ) A ． 1+ x + x(x +1) = 196 B ． 1+ (1+ x) + x(x +1) = 196 C ．1 + x + x2 = 196 D ． x(x +1) = 196 32 ．冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有 144 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，可列方程为 ( ) A ． 2x +1 = 144 B ． 2x2 +1 = 144 C ． (1+ x )2 = 144 D ． x + x (x +1) = 144 33 ．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有 225 人感染（225 人可以理解为三轮感染的总人数），若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程（ ）. A ．1+x ＝225 B ．1+x2 ＝225 C ．（1+x）2 ＝225 D ．1+（1+x2 ）＝225 34 ．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 13 ，则每个支干长出 ( ) A ．2 根小分支 B ．3 根小分支 C ．4 根小分支 D ．5 根小分支 35 ．小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 36．某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的 1 个主干上长出 x 个枝干，每个枝干上再长出x 个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是 57 个，则根据题意，下列方程正确的是 ( ) A ． 1 + x2 = 57 B ． (1+ x )2 = 57 C ． x + x2 = 57 D ．1 + x + x2 = 57 22 学科网（北京）股份有限公司 37 ．双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请 x 个好友转发，每个好友转发后，又各自邀请 x 个好友转发，经此两轮转发后，已知共有 241 人次参与了转发，则可列方程是 ( ) A ． x2 + x = 241 B ． ( x + 1)2 = 241 C ． x (x -1) = 241 D ． x2 + x + 1 = 241 专题 17、应用列式二：单、双循环问题 知识点： 单双循环问题 单： 双：n(n - 1) 38 ．2021 年是中国共产党成立 100 周年，某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友图，再邀请 n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又邀请 n 个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有 931 人参与了传递活动，则方程列为 ( ) A ．（1+n）2 ＝931 B ．n（n -1）＝931 C ．1+n+n2 ＝931 D ．n+n2 ＝931 39 ．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90 场，设共有x 个队参加比赛，则下列方程符合题意的是 ( ) A ． B ． x = 90 C D ． x (x -1) = 90 40．第二十二届世界杯足球赛将于2022 年11月20 日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯的到来，某市行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66 场比赛，设比赛组织者邀请了 x 个队比赛，则下列方程正确的是 ( ) A ． B ． x (x -1) = 66 C ． x (x +1) = 66 D ． 41 ．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1980 张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A ． x (x +1) = 1980 B ． x (x -1) = 1980 C ． = 1980 D ． = 1980 42 ．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共 1892 张，设全班共有 x 人，根据题意，可列方程为 ． 23 学科网（北京）股份有限公司 43 ．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，设有x 队参加比赛，根据题意，可列方程为 ． 44 ．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间需比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 56场比赛，比赛组织者应邀请 个队参赛． 专题 18、应用列式三：增长率问题 知识点 ：变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为a × (1± x) ；第二次增长（或下降）后为 a(1± x)² . 可列方程为 a(1± x)²=b。 45 ．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑， 自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约 5 亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20 亿元，设增长率为x ，则方程可以列为 ( ) A ． 5 + 5x + 52 = 20 B ． 5 (1+ x)2 = 20 C ． 5 (1 + x )3 = 20 D ． 5 + 5(1+ x)+ 5(1+ x)2 = 20 46．据国家文旅部统计，5 月 1 日全国旅游收入为207.9 亿元，5 月 1 日、5 月 2 日和 5 月 3 日的全国旅游收入之和为1027.96 亿元．若全国旅游收入日平均增长率为 x ，则可以列出方程为 ( ) A ． 207.9 + 207.9 (1 + x ) + 207.9 (1 + x )2 = 1027.96 B ． 207.9 (1 + x )2 = 1027.96 C ． 207.9 + 207.9 (1 + x )2 = 1027.96 D ． 207.9 (1 + x )2 = 1027.96 47．近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款 6 万，“利滚利”的月平均利率为 x ，小林 2 个月总共需还 18 万元，根据题意，以下所列方程正确的是 ( ) A ． 6 (1+ x) = 18 B ． 6 (1+ 2x) = 18 C ． 6 (1+ x )2 = 18 D ． 6 + 6(1+ x ) + 6(1+ x )2 = 18 24 学科网（北京）股份有限公司 48 ．某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4 月对绿化投入 25 万元，计划6 月绿化投入 49 万元，5 月、 6 月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为 x ，根据题意所列方程为 ( ) A ． 25(1+ x)2 = 49 B ． 25(1+ x) + 25(1+ 2x) = 49 C ． 25(1 + x) + 25(1 + x) 2 = 49 D ． 25 + 25(1 + x) + 25(1 + x) 2 = 49 49 ．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应全民阅读号召，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一周进馆 200 人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆 242 人次，若每周进馆人次的平均增长率相同．设每周进馆人次的平均增长率为x ，根据题意，可列方程 ( ) A ． 242(1 + x )2 = 200 B ． 200(1- x )2 = 242 C ． 200(1 + x )2 = 242 D ． 200 + 200(1+ x ) + 200(1+ x )2 = 242 50 ．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司 2021 年缴税 40 万元，2023 年缴税 48.4 万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 51 ．电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到 1.5 亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到 2.535 亿次，设平均每天的增长率是x ，根据题意，可列方程为 ． 52 ．随着人口老龄化的加剧，养老问题逐渐成为社会关注的焦点，一种新型的养老模式——社区养老服务机构应运而生．某社区养老服务机构 10 月份为 800 名老人提供服务，12 月份为 1352 名老人提供服务，设 11、12 月份服务老人人数的增长率为 x ，根据题意，可列方程为： ． 53 ．开州区赵家工业园区今年三月份提供就业岗位 1240 个，并按计划逐月增长，预计五月份将提供岗位 1510个，设四、五两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 x ，根据题意，可列方程为 ． 54 ．某县开展老旧小区改造，2020 年投入此项工程的专项资金为 1000 万元，2021 、2022 年投入资金一共为 3440 万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为 x ，根据题意，可列方程为 ． 55 ．某商品连续两次降价后的价格比降价之前减少了19% ，则平均每次降价的百分率 56 ．某乡镇2021年旅游总收入为50 万元，到2023 年旅游总收入达60.5 万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是 ． 25 学科网（北京）股份有限公司 专题 19、应用列式四：形积问题 知识点：几何面积问题 （1）如图① , 设空白部分的宽为 x,则； （2）如图② , 设阴影道路的宽为 x,则sse=(a-x) (b-x) （3）如图③ , 栏杆总长为 a ，BC 的长为 b,则s-兮 57 ．如图，在长为 60m ，宽为40m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024m2 ，问道路应为多宽？若设道路宽为xm ，则下列方程正确的是 ( ) A ． 40× 60 - 40× 2x - 60x = 2024 B ． 40× 60 - (40 - x)(60 - 2x) = 2024 C ． (40 - x)(60 - 2x) = 2024 D ． 40× 60 - 40× 2 x - 60 x - 2 x 2 = 2024 58 ．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m ，宽15m ，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2 ，则图中x 的值为 ( ) A ．1 米 B ． 1.5 米 C ．2 米 D ． 2.5 米 59 ．如图，一张长宽比为5 : 3 的长方形纸板，剪去四个边长为5 cm的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为200 cm3 （纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为5x 厘米，则由题意可列出的方程是 ( ) 26 学科网（北京）股份有限公司 A ． 5 (5x +10)(3x +10) = 200 B ． 5 (5x - 5)(3x - 5) = 200 C ． 5 (5x +10)(3x -10) = 200 D ． 5 (5x -10)(3x -10) = 200 60 ．2024 年，山西省政府提出“聚焦建设国际知名文化旅游目的地，集中力量打造旅游热点门户” ．如图， 某景区计划在一个长为 64m ，宽为36m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为1344m2 ，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少 m？设行车通道的宽度是xm ，则可列方程为 ( ) A ． (64 - 4x)(36 - x) = 1344 B ． (64 - x)(36 - x) = 1344 C ． (64 - 3x)(36 - 2x) = 1344 D ． (64 - 4x)(36 - 2x) = 1344 61 ．如图在一块长为 36 米，宽为 25 米的矩形空地上修建三条宽均为 x 米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840 平方米，求 x 的值．根据题意，下列方程正确的是( ) A ． 36× 25 - 36x - 25x = 840 B ． 36x + 25x = 840 C ． (36 - x)(25 - x) + x2 = 840 D ． (36 - x)(25 - x) = 840 62 ．如图是某公园在一长35m ，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的 ，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm ，则x 满足的方程为 ( ) A ． B ． (35 - x)(23 - x)+ 2x2 = 23× 35 C ． D ． (35 - x)(23 - x) = 23× 35 27 学科网（北京）股份有限公司 63 ．如图，有一面积为600m2 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为 69m ．设鸡场垂直于墙的一边为xm ，则列方程正确的是( ) A ． x (69 +1 - 2x ) = 600 B ． x (69 -1- 2x) = 600 C ． x (69 - 2x) = 600 D ． x (35 +1- 2x) = 600 64 ．2024 年 4 月 3 日，太原广播电视台携手柳州市融媒体中心推出《柳侯之风嘉惠双城——柳州-太原清明节双城联动大型融媒体直播》节目，受到了社会各界的关注，在直播中，他们为观众准备了一批“惊喜盲盒”．如图，制作该盲盒的矩形纸板的宽为60cm ，剪去两个矩形和一个正方形（阴影部分）后，沿虚线折起即可制成一个有盖的长方体纸盒．若矩形 A 的面积为400cm2 ，正方形 B 的边长为xcm ，则根据题意可列方程为 ( ) A ． = 400 B ． (60 - 2x)(60 - x) = 400 C ． = 400 D ． (60 - x)2 = 400 65 ．某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙（墙长 m= 15 米），并利用已有总长 27 米的铁围栏，且留有 1 米宽的门．设矩形自行车棚的边 AB 长 x 米，面积为 S 平方米． (1)用含 x 的代数式表示长方形的面积S； (2)若要求车棚的面积为 80 平方米，求 AB 长； (3)若要求车棚的面积为 100 平方米，能否搭建？ 28 学科网（北京）股份有限公司 66 ．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为 8 米，在与墙平行的一面开一个 2 米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为 26 米，且全部用于除墙外其墙余三面木板外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少多少米？ (2)如图按（1）问的最小长度建好车棚，为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如 图中内部阴影区域），使得停放自行车的空白面积为 54 平方米，那么小路的宽度是多少米？ 67 ．为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成 26000 平方米的绿化任务．某施工队在按计划施工 7 天后，将每天的工作量增加为原来的 1 ．5 倍，结果再花 4 天刚好完成该项绿化工程． (1)该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？ (2)如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为 16 米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为 1米的两个小门，其余部分刚好用完长为 28 米的篱笆．若此时花画的面积为 72 平方米，求此时花圃的长和宽． 29 学科网（北京）股份有限公司 专题 20、应用列式五：营销问题（每每问题） 知识点：销售利润问题 ： （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨 a 元，少买 y 件。若涨价 y 元，则少买的数量为 y件 68 ．某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15 元，经市场调研发现：售价为22 元时，可销售40 个，售价每上涨 1 元，销量将减少3 个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156 元，设这种文具盒的售价上涨x 元，根据题意可列方程为 ( ) A ． (22 + x -15)(40 - 3x) = 156 B ． (x -15) 40 - 3(x - 22) = 156 C ． (22 + x)(40-3x) = 156 D ． (22 + x)(40 - 3x) -15× 40 = 156 69．宾馆有50 间房供游客居住，当每间房每天定价为180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890 元？设房价定为x 元．则下列方程中正确的是 ( ) 70 ．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30 元，每星期可以卖出 100 件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价 5 元，每星期可以多卖出20 个，店里每星期衬衫的利润要达到 2800 元．若设每件衬衫售价降低 x 元，则可列方程为 ( ) A ． (30 + x ) (100 - 20x ) = 2800 B ． (30 + x )(100 - 4x )= 2800 C ． (30 - x ) (100 + 20x ) = 2800 D ． (30 - x )(100 + 4x )= 2800 71 ．某电商销售一款进价为 80 元/台的电吹风，若按每台 120 元出售，当月可销售 50 台，经调查发现这款电吹风的售价每下降 3 元，其销售数量增加 10 台．设售价为 x 元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500 元，则可列方程为 ( ) A ． (x - 80)(50 +10x) = 2500 B ． (x -120)(50 +10x) = 2500 72 ．“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方 30 学科网（北京）股份有限公司 甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋 40 元，当售价为每袋 80 元时，每分钟可销售 100 袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降 2 元，则每分钟可多销售 10 袋，设每袋大米降价 x 元（x 为偶数），若要平均每分钟获利4180 元，则 x 满足 ( ) 73 ．某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价 1 元平均每天可多售出20 箱，若要使每天销售饮料获利 1440 元，则每箱应降价 元． 74 ．在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为40 元的小商品进行直播销售，如果按每件60 元销售，每天可卖出20 件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5 元，日销售量增加10 件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 75 ．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金” ，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售 120 件，每件盈利200 元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价 20 元，则每月可多售出30 件.如果每月要盈利 2.88 万元，则每件应降价 元． 76 ．某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元． 31 学科网（北京）股份有限公司 专题 21、应用列式六：数字问题 77 ．两个连续奇数的积为 99 ，设较小的奇数为x ，列方程为 ( ) A ． x (x + 2) = 99 B ． x (x - 2) = 99 C ． x (x +1) = 99 D ． x (x -1) = 99 78．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大 4．设个位数字为x ，则方程为 ( ) A ． x2 + (x - 4)2 = 10(x - 4) + x - 4 B ． x2 + (x - 4)2 = 10(x - 4) + x + 4 C ． x2 + (x - 4)2 = 10x + x - 4 - 4 D ． x2 + (x + 4)2 = 10(x + 4) + x + 4 79 ．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3 ，则这个两位数为 ( ) A ．25 B ．36 C ．25 或 36 D ． -25 或-36 80 ．小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快， 多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小 3 ，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为 x ，则可列方程 ( ) A ． 10(x +3)+ x = x 2 B ． 10(x - 3) + x = ( x - 3)2 C ．10(x - 3) + x = x2 D ．10(x +3)+ x = (x -3 )2 81 ．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，则可列 方程为 ( ) A ． 10x + (x - 3) = (x - 3) 2 B ． 10(x - 3) + x = x2 C ． 10x + (x + 3) = (x + 3) 2 D ．10(x + 3) + x = (x + 3) 2 82．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的 6 个数(如：8 ，14 ，15 ，16， 17 ，24) ．如果圈出的 6 个数中，最大数 x 与最小数的积为 225 ，那么根据题意可列方程为( ) A ．x(x+8)=225 B ．x(x+16)=225 C ．x(x -16)=225 D ．(x+8)(x -8)=225 32 学科网（北京）股份有限公司 专题 22、应用七：工程问题 83 ．“端午临中夏，时清日复长” ．临近端午节，一网红门店接到一批 3200 袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组 3 天加工的粽子数比乙组 2 天加工的粽子数多 300 袋．两组同时开工， 甲组原计划加工 10 天、乙组原计划加工 8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工 2 天后，临时又增加了 500 袋的任务， 甲组人员从第 3 天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工 100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前 1 天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后， 甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 84 ．某工程队采用 A 、B 两种设备同时对长度为 4800 米的公路进行施工改造．原计划 A 型设备每小时铺设路面比 B 型设备的 2 倍多 30 米，则 32 小时恰好完成改造任务． (1)求 A 型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的 4800 米多了 1000 米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m + 25) 小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值． 33 学科网（北京）股份有限公司 85．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对 39000 米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面 30 米，大型设备每小时铺设路面 60 米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程 39000 米多了 9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了 18m 小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了 m 米，使用时间增加了(150 + 2m)小时，求 m 的值． 86 ．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69 银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3 公里， 甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长 2100 米， 甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工 6 米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成 1 米隧道施工所需成本不一样． 甲每合格完成 1 米隧道施工成本为 8 万元；乙每合格完成 1 米隧道施工成本为 9 万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂， 甲乙两队每日完成量和成本都发生变化． 甲每合格完成 1 米隧道施工成本增加 m 万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多(9m - 2) 万元，求m 的值． 34 学科网（北京）股份有限公司 87．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6 米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同， 甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2 万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后， 甲每合格完成1米隧道施工成本增加a 万元，且每天多挖 a ．乙每合格完成1米隧道施工成本增加a 万元，且每天多挖a 米．若最终每天实际总成本比计划多 万元，求a 的值． 88 ．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的 3 月 12 日，通过立法确定的节日．今年 3 月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A 、B 两个社区计划共种树 78 棵，已知A 社区每天可以种植 6 棵树， B 社区每天可以种植 12 棵树． （1）由于人员调动，要求B 社区种植天数至少是A 社区种植天数的倍，当种植结束时，A 社区至多种植多少天？ （2） A 、B 两个社区种植一棵树的所需费用分别为 500 元和 750 元，在（1） 问A 社区最多种植天数基础上， B 社区最少种植了 5 天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入 67500 元，A 社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A 社区最多天数多5a%；B 社区每为种植棵数下降a% ，种植天数比（1） 问中B 社区最少种植天数多 求a 的值． 35 学科网（北京）股份有限公司 89 ．“绿水青山，就是金山银山” ，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018 年 11 月至 12 月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计 20 千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至 2018 年 12 月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资 840 万元，其中疏通河道工程共耗资 600 万元；2019 年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低 2.5a％，里程数较一期增加 3a％； 修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨 2.5a％，里程数较一期增加 5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加 2a％，求 a 的值. 专题 23、应用八：行程问题 90 ．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2 倍，张大伯走5 分钟，李大伯走10 分钟，共走800 米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a 米，时间都各自多走了10a 分钟，结果两人又共走了6900 米，求a 的值． 36 学科网（北京）股份有限公司 91 ．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从 A 地出发，匀速跑向距离12000m处的 B 地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的 1.2 倍，那么小凤比小鸣早 5 分钟到达 B 地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从 A 地到达 B 地后，小凤以跑步形式继续前进到 C 地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始， 前 30 分钟内，平均每分钟消耗热量 10 卡路里，超过 30 分钟后，每多跑步 1 分钟，平均每分钟消耗的热量就增加 1 卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗 2300 卡路里的热量，小凤从 A 地到 C 地锻炼共用多少分钟？ 92．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了 320 千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了 120 千米/小时，全程设计运行时间只需 8 小时，比原铁路设计运行时间少用 16 小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少 m% ，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 m 小时，求 m 的值． 37 学科网（北京）股份有限公司 93 ． 1月21 日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围， 甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多， 甲先将车开到距离自己家50 千米的A 停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5 小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25 倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到B 停车场后，再步行前往目的地，总路程为46 千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快m 千米/小时(m > 0) ，乙开车时间比甲开车时间少 m 小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快 m 千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求m 的值． 专题 24、应用九：含字母和百分比问题 94 ．某商场最新推出的 A、B 两款空调凭借出色的性价比、智能互联功能以及时尚简约的设计风格，迅速赢得了年轻消费群体的青睐，已知 A 款空调的售价比 B 款空调的售价高 600 元，某商场在 5 月份销售了 80 台A 款空调和 100 台 B 款空调，销售总金额为 264000 元． (1)求 A 、B 两款空调的销售单价分别为多少元？ (2)6 月份的气温持续升高，商场抓住商机，对 A 款空调进行优惠促销，销售单价在 5 月份的基础上下降了 m元，销售的数量比 5 月份增加了 m 台，B 款空调的销售单价不变，最终 6 月份两款空调一共销售了 230 台，销售金额比 5 月份增加了 60000 元．求 m 的值． 38 学科网（北京）股份有限公司 95 ．2024 年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒． 甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的 1.5 倍，且花费 6000 元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费 7200 元购买的“事事高中”礼盒的数量多 5 盒． (1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元； (2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价6m元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价5m元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多 m 盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求 m 的值． 96 ．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费144 元和120 元．若中果的单价比大果少4 元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． (1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ (2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了6 元/斤，大果单价便宜 ，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了25a% ，大果的数量在上次的基础上增加了 ，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了60 元，求a 的值． 39 学科网（北京）股份有限公司 97 ．每年 5 月上旬，广阳岛回龙枇杷基地都会举办“江南枇杷节” ．去年，果农小王自产自销了白玉枇杷 800千克、五星枇杷 200 千克，且白玉枇杷的单价是五星枇杷的单价的2 倍，全部售出后，销售总额为 45000元． (1)去年，果农小王销售的白玉枇杷、五星枇杷的单价分别是多少？ (2)因白玉枇杷成熟期较晚，汁多味甜，是广阳岛主力推出的新兴品种．今年，小王扩大果园的规模，并加强了科学管理， 白玉枇杷、五星枇杷的产销量分别增加了a% 和10a%(a > 0) ，为了推广白玉枇杷，小王决定大力降价促销，将白玉枇杷的单价下调了2a% ，五星枇杷的单价不变，全部售出后，销售总额和去年持平，求 a 的值． 98 ．清明至，青团香，清明节吃青团的传统习俗承载着深厚的文化内涵和象征意义．王老板 4 月份购进豆沙和蛋黄肉松两种口味的青团进行销售．4 月份第一周，王老板卖出两种口味的青团共 900 盒，豆沙青团的售价为每盒 10 元，蛋黄肉松青团的售价为每盒 18 元，蛋黄肉松青团的销售额比豆沙青团的销售额多 5000元． (1)4 月份第一周王老板卖出两种口味的青团各多少盒？ (2)4 月份第二周，王老板将两种口味的青团售价进行了调整．豆沙青团每盒的售价在第一周的基础上降低 2a% ，蛋黄肉松青团每盒的售价在第一周的基础上降低a% ，结果第二周豆沙青团卖出750 盒，蛋黄肉松青团比第一周多卖出3a% ，最终 4 月份第二周两种口味的青团的总销售额为 16500 元， 求 a 的值． 40 学科网（北京）股份有限公司 99 ．“端午节”是我国传统节日，赛龙舟吃粽子，某蛋糕店销售“杏花楼”和“元祖”两个品牌的粽子，每个“杏花楼”粽子的售价是 10 元，每个“元祖”粽子的售价是 8 元． （1）4 月份两个品牌的粽子一共销售 180 个，且总销售额不低于 1640 元，则卖出“杏花楼”粽子至少多少个？ （2）5 月份，粽子大量上市，受此影响，“杏花楼”粽子售价降低了a%（ a% < 30% ），销售量在 4 月份的最低销售量的基础上增加了5a% ，“元祖”粽子的售价降低了a% ，销售量在 4 月份的最高销售量的基础上增加了a% ，结果 5 月份的总销售额比 4 月份最低销售额增加了 680 元，求a 的值． 100 ．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠” 、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在 6 月购进“黑珍珠” 、“仙粉黛”两种葡萄共 200 千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的 3 倍． （1）那么原计划今年 6 月至少购进“仙粉黛”多少千克？ （2）今年 6 月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠” 、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年 7 月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为 1 ∶3 购进两种葡萄一共 160 千克，按照单价4 ∶3 售出，共得销售额 1040 元．通过 7 月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8 月商店购进“黑珍珠” 、“仙粉黛”的质量在 6 月的基础上分别增加了2a%、a% ，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年 7 月份的基础上分别降价a% （降价幅度不超过 50%），最终 8 月的销售额比7 月的销售额增加了 535 元．求a 的值． 41 学科网（北京）股份有限公司 42 学科网（北京）股份有限公司 $