14.3 角的平分线-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学同步练习册（人教版·新教材）

第十四章 全等三角形么出超 14.3 角的平分线 A基础过关练 测试时间：20分钟 (2)求证：PE=PF. 1.如图，MP⊥NP,MQ为∠NMP的平分线， MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的 是(). A.TQ=PQ B.∠MQT=∠MQP C.∠QTN=90° D.∠NQT=∠MQT 6.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E 2.与相交的两条直线距离相等的点在( 为AB的中点，DE平分∠ADC.求证： A.一条直线上 (1)CE平分∠BCD: B.两条互相垂直的直线上 (2)AD+BC=CD. C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上 3.如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ 是∠ACB的外角平分线，由点Q出发，作点Q 到BC,AC和AB的垂线QM,QN和QK,垂 足分别为点M,N,K,则QM,QN,QK的关 系是 乃中考提能练 测试时间：40分钟 7.如图，在△ABC中，P,Q分别是BC,AC上的 第3题图 第4题图 点，作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是点R, 4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4, S.若AQ=PQ,PR=PS,则有如下结论： 连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是 ①AS=AR,②PQ∥AR,③△BRP≌△CSP. BC边上一动点，则DP长度的最小值为 其中正确的结论是(). 5.如图，BM平分∠ABC,D是BM上一点，过点 D作DE⊥AB,DF⊥BC,分别交AB于点E, 交BC于点F,P是BM上的另一点，连接 PE,PF. A.①③ B.②③ (1)若∠EDF=124°，求∠ABC的度数； C.①② D.①②③ 17 重难点手册人年级教学上册凡U 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=12.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC中角 30°，∠ACB的平分线CE与∠ABC的外角平 平分线AD,CE相交于点O. 分线BE交于点E,则∠AEB=(). (1)求证：AE+CD=AC. (2)若∠CAB=90°，线段AE,CD,AC之间 有何数量关系？证明你的结论. ● B A.50° B.45° C.40° D.35 9.(2025·湖北华宜寄宿学校月考)如图，在∠AOB D 的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平 分∠AMN,NP平分∠MNB.若MN=2, △PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则 OM+ON的长是 M N B 13.如图，点P是△ABC中∠BAC的外角平分 10.如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的 线上一点. 平分线交AB于点E,在AC上取一点D,使 (1)求证：PB+PC>AB+AC; ∠CBD=20°，连接DE,求∠CED的度数， (2)若点P是△ABC中∠BAC的平分线上 一点，且AC>AB,画出图形，试分析 PB,PC,AB,AC间有怎样的不等关系. 11.如图，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC,EC= DC,直线AD与BE交于点F,连接CF. 求证： (1)△BCE≌△ACD; (2)CF平分∠BFD. 18 第十四章全等三角形么超 C培优突破练 测试时间：30分钟 15.(2025·湖北武汉外校模拟)在△ABC与 △BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC= 14.已知AP是△ABC的外角平分线，连接PB,PC. (1)①如图1，若BP平分∠ABC,且∠ACB= DE,AC=BE,M,N分别为AB,BD的中 28°，求∠APB的度数； 点，连接MN交CE于点K. (1)如图1，当C,B,D共线，AB=2BC时，探 ②若点P与点A不重合，请判断AB十AC 与PB+PC的大小关系，并证明你的 索CK与EK之间的数量关系，并证明. 结论. (2)如图2，当C,B,D不共线，且AB≠2BC 时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证 (2)如图2，若过点P作PM⊥BA,交BA的 明；若不成立，请说明理由， 延长线于点M,且∠BPC=∠BAC,求 AM AC-AB的值. M 图1 图2 图 图2 19练习册参考答案与提示么出型 C(F) 14.3角的平分线 1.D提示：△MTQ≌△MPQ(SAS). 2.B D BE) 3.QM=QN=QK.提示：依角平分线的性质可得 图1 图2 4.4.提示：根据垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP (3)如图2，以点C为圆心，以AC的长为半径画弧，与 的长度最小 AB交于点D,点E与点B重合，点F与点C重合， BD ICD,即∠BDC=90°， 得到△DEF和△ABC不全等， 又∠A=90°，∠A=∠BDC. (4)∠B≥∠A.提示：根据三种情况的结论，∠B不 ∠ADB=∠C,∴∠ABD=∠CBD, 小于∠A即可.即若∠B>≥∠A,则△ABC≌△DEF. ∴.BD为∠ABC的平分线. 16.(1)∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF, 又DA⊥BA,DP⊥BC,∴DP=AD=4. .∠ADE=∠CGF. 5.(1).DE⊥AB,DF⊥BC,∠DEB=∠DFB=90° .ACI BD,BF⊥CD, :∠EDF=124°， .∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF. .∠ABC=360°-90°-90°-124°=56°. .∠DAE=∠GCF. (2)BM平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴AD=CD ,ED=FD,∠ABD=∠CBD.∴∠EDB=∠FDB. (2)设DE=a, ∴∠EDP=∠FDP. 则AE=2DE=2a,EG=DE=a, ED=FD 六Sae=合AEDE=2a·a=a. 1 在△EDP和△FDP中，∠EDP=∠FDP, DP=DP, ,BH是△ABE的中线， ∴.△EDP≌△FDP(SAS)..PE=PF. ∴AH=HE=a. 6.(1)过点E作EF⊥CD于点F,证EA=EF=EB即可. .AD=CD,ACLBD,..CE=AE=2a. (2)证△ADE≌△FDE,△BEC≌△FEC, ∴Sm=2AC.DE=号(2a+2a)a=2a2- 1 ..AD=DF,BC=CF. ..AD+BC=CD. 2S△ADE· 7.C提示：依角平分线的判定定理知AP平分∠BAC, ∠AED=∠BEG, 进而可证△ASP≌△ARP,①正确；由AQ=PQ知 在△ADE和△BGE中，3DE=GE, ∠PAQ=∠APQ,故∠APQ=∠BAP,②正确. ∠ADE=∠BGE, 8.B提示：可证EA是∠CAB的外角平分线.过点E作 .△ADE≌△BGE(ASA). EF,EM,EN分别垂直于CB,AB,CA,垂足分别为点 .'.BE=AE=2a. F,M,N.因为BE,CE分别为∠ABC的外角平分线 1 1 和∠ACB的平分线，所以EF=EM=EN. Saae=zAE·BE=2·2a·2a=2a2, 9.10.提示：如图，过点P分别作PE⊥OB于点E, 1 Sase=2CE,BE=2·2a·2a=2a3, PF⊥MN于点F,PG⊥OA于点G,连接OP Sw=2HG·BE=号a+a）·2a=2a3, M 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有 N E △ACD,△ABE,△BCE,△BHG. :点P是△MON外角平分线的交点， 7 重难点手册人年级数学上册) ..PF-PG=PE. 由(1)知△BCE≌△ACD, MN=2,△PMN的面积为2， ..∠B=∠A ∴2MN·PF=2PF=2.∴PG=PE=2. :∠CNB=∠M=90°，∠B=∠A,BC=AC, ∴.△BCN≌△ACM(AAS). △OMN的面积为8. ∴.CM=CN. ∴.△OMP的面积+△ONP的面积-△PMN的面积 CM⊥AD,CN⊥BE,CM=CN, =8. ∴.FC平分∠BFD. ∴2OM.PG+2ON·PE-2=8. 12.(1)如图，在AC上取一点F,使AF=AE,连接OF. ∴.OM+ON=10. 在△AEO和△AFO中， 10.如图，过点E作EF⊥CB于点F,EG⊥BD于点G, (AE-AF, EH⊥AC于点H. 1∠1=∠2， AO=AO, .△AEO≌△AFO(SAS). ∴.∠EOA=∠FOA. ∠B=60, ,∠ABC=100°，.∠FBE=80. ∴.∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA) 又∠DBC=20°，∴∠EBG=80°. ∠FBE=∠EBG. =180°-2∠BAC+∠BCA) 又EF⊥BF,EG⊥BG,.EF=EG. =180°-2×180°-609=120 ,CE平分∠ACB,EH⊥AC,EF⊥CB, ∴.∠AOE=∠AOF=∠COF=∠DOC=60° :.EH=EF. ∠COD=∠COF, .EG=EH...ED平分∠ADB. 在△COD和△COF中，OC=OC, ∠ADE=2∠ADB. ∠OCD=∠OCF, ∴.∠CED=∠ADE-∠ACE ∴.△COD≌△COF(ASA).∴.CD=CF. ∴，AE+CD=AF+CF=AC. =∠ADB-3∠ACB .1 (2)AE十CD=AC.证法同(1). =号∠DBc=1 13.(1)如图1，在BA的延长线上取AC=AC,连接PC. 先证△APC≌△APC'(SAS). 11.(1),'∠ACB=∠DCE=90°， 由PB+PC'>BC',即得PB+PC>AB+AC. ∴∠BCE=∠ACD. :BC=AC,∠BCE=∠ACD,EC=DC, .△BCE≌△ACD(SAS). (2)如图，过点C作直线AD,BE的垂线，垂足分别为 点M,N. 图1 图2 (2)结论为AC-AB>PC-PB, 如图2，在AC上取AB'=AB. 先证△ABP≌△AB'P(SAS). 由B'C>PC-PB'即得AC-AB>PC-PB. 练习册参考答案与提示么出 、 14.(1)①根据双角平分线模型可得∠APB ∠ACB ∴.△CMP≌△ENQ(AAS).∴.PC=QE. .∠CPQ=∠EQP=90°，∠EKQ=∠CKP, =14°. ∴.△CPK≌△EQK(AAS).∴.CK=KE. ②PB十PC>AB+AC.如图1，延长BA到点D,使 AD=AC,证△PAC≌△PAD(SAS),.PC=PD, 在△PBD中，PB+PC>AB+AC. (2)如图2，过点P作PN⊥AC于点N,证△PBM≌ △PCN(AAS),△APM≌△APN(AAS), ∴.MB=NC,AM=AN. D ..AC-AB=(AN+NC)-(MB-AM)=AN+AM 图1 图2 =2AM.AC-AB2· 第十四章单元学能测评 M 1.C2.D 3.B提示：∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF, .Rt△ABE≌Rt△ACF(AAS) ..∠FAC=∠EAB,AC=AB, 图1 图2 .∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠MAN. 15.(1)CK=EK. ∴·∠EAC=∠FAB.故①正确. 证明：，BC=DE,AC=BE,∠ABC=∠BDE=90°， :∠E=∠F=90°，AE=AF, .Rt△ABC≌Rt△BDE,AB=BD. ∴.△EAM≌△FAN(ASA)...AM=AN M,N分别为AB,BD的中点，AB=2BC, ∴.AC-AM=AB-AN,即CM=BN.故②正确. .BM-AM-AB BD-DN-BN-DE, :'MC=BN,∠C=∠B,∠CDM=∠BDN, ..△DMC≌△DNB(AAS). 如图1，连接CM,EN, ,DC=DB.故③错误. ∴.∠BMN=∠BNM-∠DNE=∠BMC=45°， :∠MAN为公共角，∠B=∠C,AC=AN, .∠CMN=∠MNE=90°. ∴.△ABM≌△ACN(ASA).故④正确. 易证△BCM≌△DEN(SAS),∴.CM=NE. 4.A提示：有三个全等三角形，△ABC的内角和为180°. 又∠CKM=∠EKN, 5.A提示：△ABD2△ACD,△AEG≌△AFG,△BED≌ ∴△CMK≌△ENK..CK=EK. △CFD,△EGD≌△FGD,△AED≌△AFD. (2)如图2，过C,E分别作直线MK的垂线段，垂足 6.A提示：过点D作DH⊥AC于点H,如图. 分别为P,Q,由(1)知△ABC≌△BDE,△BCM≌ :AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE LAB,DH LAC, △DEN, ..DE=DH. .BM=BN,CM=NE,∠DNE=∠CMB, 设DE=DH=x, ∴.∠BNM=∠BMN. 'SAAIXC+S△ADB=S△ABC, ∴.180°-∠BNM-∠DNE=180°-∠BMN 2X3Xx+ 2X4Xx=5. ∠CMB, 即∠CMP=∠ENQ. -只，即DE-只 又，∠CPM=∠NQF=90°，CM=EN, 7.C8.A 9