精品解析：云南省昆明市禄劝县2025-2026学年高三上学期入学考质量检测数学试卷

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的公差为，则“是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，以为直径的半圆弧和的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7，则该组数据的（ ） A. 众数为3 B. 极差为4 C. 平均数为4 D. 标准差为2 10. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若与不垂直，则也不垂直 B. 若，且，则 C. 若，则或 D. 若，，则 11. 已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则的最小值为3 B. 若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C. 若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D. 若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答） 13. 已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为___________． 14. 已知且，若，则_____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在等比数列中，，，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和． 16. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 女 50 合计 120 （1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 已知椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 18. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． ①求平面截球的表面所得圆的周长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的值域； （3）若关于的方程在内有两个根，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集概念求解即可. 【详解】由交集的定义知． 故选：C． 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算、共轭复数和模的概念即可求解. 【详解】，则，所以. 故选：D． 3. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，结合数量积的运算律求模长. 【详解】由题意可知：，， 所以. 故选：A． 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 5. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，结合离心率可求渐近线方程. 【详解】由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为， 故选：A． 6. 已知等差数列的公差为，则“是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列是递增数列，结合充分条件和必要条件的概念可得结果. 【详解】因为为等差数列，所以为递增数列， 而“”是“”的必要不充分条件，所以“是递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 7. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 8. 在中，，，以为直径的半圆弧和的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆的圆心为，半径为，连接，先利用正弦定理可求得再在中利用余弦定理可求得,由扇形的面积减去的面积得弓形的面积，再结合为直径的半圆的面积即可求得结果. 【详解】设外接圆的圆心为，半径为，连接， ∵，,由正弦定理，得. 所以，即． 在中，由余弦定理，得， 又，所以，， 所以弓形的面积为， 又因为以为直径的半圆的面积为， 所以月牙形区域的面积为． 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7，则该组数据的（ ） A. 众数为3 B. 极差为4 C. 平均数为4 D. 标准差为2 【答案】AC 【解析】 【分析】由众数定义判断选项A；计算极差判断选项B；计算数据平均数判断选项C；计算数据标准差判断选项D. 【详解】在样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7中， 3出现了3次，出现的次数最多，所以众数是3，A选项正确； 在这组数据中，最大值是7，最小值是2，则极差为，B选项错误； 平均数为，故C选项正确； ， 数据方差，所以其标准差为，故D选项错误． 故选：AC． 10. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若与不垂直，则也不垂直 B. 若，且，则 C. 若，则或 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合选项中给出的条件，依次分析直线与平面的可能位置关系，可得到正确答案. 【详解】由题可知，.与的关系可能相交，可能平行，也可能在其中的一个平面内. 选项A：以正方体为例，与平面不垂直，平面平面，但.所以选项A错误； 方法二，若与不垂直，当,与可能垂直（如下图）.所以选项A错误； 选项B：在内任取不在直线上的一点，过直线与点作平面， 设，又因为，所以.同理，由可得存在直线，不同于直线，使得， 所以，又，，故，又，，所以，得到，故选项B正确； 选项C：因为，所以，若，又，则， 同理可得若，又，则．若都不成立，则，且，所以． 又，所以与是同一条直线，这与题设矛盾． 故中至少有一个成立，故或，故选项C正确； 选项D：当，时有可能，故选项D错误． 故选:BC． 11. 已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则的最小值为3 B. 若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C. 若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D. 若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点坐标可求解抛物线方程，进而根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解A，根据焦半径公式，结合共线的性质即可求解BC，联立方程得韦达定理，进而根据两点斜率公式，代入化简即可求解D. 【详解】由题意知，所以，故的方程为， 设，则，所以， 所以当时，，故A错误； 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则的中点到轴的距， 当且仅当过点时等号成立，故B正确； 由于，当且仅当过点时等号成立，故C正确； 若过点，设其方程为，代入的方程并整理，得， 设，则，所以， 所以，故D正确， 故选：BCD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答） 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开通项即可得出答案. 【详解】展开式的通项为，令，得， 故展开式的常数项为. 故答案为： 13. 已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，分在区间上的最大值是和1两种情况讨论. 【详解】如图： 当时，函数在区间上的最大值为，最小值为； 当时，函数在区间上的最大值为1，最小值为. 综上可知：实数的取值范围为． 故答案为： 14. 已知且，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，对原方程进行同构，转化为，再利用导数分析函数（）的单调性，求的值，再结合对数的运算法则求解. 【详解】令，则， 若，则，所以不成立， 所以，由，得，且， 由，得，所以，所以， 令，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在等比数列中，，，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，由成等差数列求出，可得的通项公式； （2）错位相减法求的前项和. 【小问1详解】 设的公比为，由，得， 因为成等差数列， 所以，所以， 所以，解得（舍），或， 又，所以. 【小问2详解】 由，得 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 16. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 女 50 合计 120 （1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表为： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 有关联 （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意完成表格，然后利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取男、女生人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【小问1详解】 列联表为： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 零假设为：是否经常借助AI技术与性别无关联． 根据表中数据，得: ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常借助AI技术与性别有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.005． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样， 男性抽取人数为，女性抽取人数为， 所以随机变量的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，椭圆的离心率为， 可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆，可得，所以右焦点， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，则， 所以， 又由点到的距离， 所以的面积， 解得或（舍），所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或． 18. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． ①求平面截球的表面所得圆的周长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：由题意知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定可证明平面，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，进而利用外接球的性质，结合勾股定理求解球心位置，或者利用空间中两点距离公式求解球心坐标，进而可求解所截的圆的半径，即可求解①，利用向量法即可求解②. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 所以， 设平面的一个法向量，则，即， 令，得，所以， 法1：因为是以为斜边的直角三角形，所以的外心为线段的中点， 其坐标为，且平面，所以在上，于是设， 由，得，即，解得， 所以，所以，球的半径． 法2：设，由，得， 解得，即， 所以，球的半径． ①设点到平面的距离为，则， 所以截面圆的半径， 故截面圆的周长为； ②，设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的值域； （3）若关于的方程在内有两个根，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到，结合，从而利用导数几何意义求出切线方程； （2）法1：求导，得到，求出的单调性，得在上的值域为． 法2：求导，得到，求出的单调性，求出在上的值域为； （3）由（2）知的单调性，所以，要证，只需证，只需证，只需证，构造差函数，求导，得到单调性，结合，所以，问题得证． 【小问1详解】 所以， 又， 故所求切线方程为，即； 【小问2详解】 法1：由（1）知， ， ， ①当时，，所以； ②当时，，所以； ③当时，，所以； ④当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的值域为． 法2：由（1）知， 因为， ， 所以 ， 当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 当时，，，所以． 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的值域为． 【小问3详解】 证明：由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 所以，要证，只需证， 因为，所以，所以只需证， 因为，所以只需证． 令， 则 ． 因为，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 又，所以，所以，问题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $