精品解析：四川省成都市郫都区2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

郫都区2025～2026学年度上期期中考试 高一 数学 说明： 1.本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟. 2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知影部分所表示的集合为，再结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】由图知，影部分所表示的集合为， 又，， 所以图中阴影部分所表示的集合为， 故选：A. 2. 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的定义，结合选项，利用函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，且， 可得函数与的定义域相同，且对应法则也相同， 所以两函数是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】的否定为， 故选：B 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据偶次方根被开方数大于等于零和分母不为零的要求直接求解即可. 【详解】由于，需满足， 解得：且，. 故选：A. 5. 设，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式结合一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时取等号. 令得：， 即， 解得：， 此时， 当且仅当时取等号. 所以的最小值为32. 故选：D 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义域即可判断. 【详解】由于，得，所以的定义域是， 由此排除ABD选项，所以正确的选项为C. 故选：C. 7. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过图形，并因为，，所以，，从而可以通过勾股定理求得，又因为，从而可以得到答案. 【详解】等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，， ， 而，所以，故选项B正确. 故选：B 8. 已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由题意可得函数在上单调递增， 则，解得或. 由函数在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数值域的定义结合图象变换判断即可. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误． 故选：AC. 10. 已知 满足且，下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合不等式的性质，即可由选项逐一求解. 【详解】由于且，故， 对于A,由于，故，A正确， 对于B,，故，B正确， 对于C,若，则，故C错误， 对于D,，故，D正确， 故选：ABD 11. 享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数.它的函数值表示不超过的最大整数.例如，，，.下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据取整函数的定义判断A即可. 解不等式得，再根据高斯函数定义分或讨论即可判断B；令，将其转化为且，再解的范围即可判断C；设，其中，进而对分类讨论判断D. 【详解】对于A，根据高斯函数得，故正确； 对于B，不等式等价于，即， 根据高斯函数的定义，为整数，即或， 所以，当时，；当时，， 所以，不等式的解集为，故正确； 对于C，令， 由得且， 即，且， 所以，，解不等式得， 所以，或， 当时，，即；当时，，即， 所以，若，则或，故错误； 对于D，设，其中， 则 ， 当时，都是，为，故和为； 当时，都是，， 为，故和为； 当时，都是，，， 为，故和为； 以此类推， 当时，是，， 均为，故和为； 当时，， 均为，故和为； 所以， ， 所以，当时，矛盾，即，， 所以，，其中，， 所以，则，故，故正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数集，，若，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 13. 已知函数是奇函数，当时，，则当时，________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用折叠图形的性质，通过勾股定理得到与的关系，建立面积与的函数关系，再结合基本不等式求其的最大值. 【详解】如图： 长方形周长为，不妨设 ，且，设 在中， ，变形得： 当且仅当“”等号成立 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）利用基本不等式证明：已知，，都是正数，求证：； （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）因为，，都是正数，由基本不等式可得， （当且仅当时，等号成立）， （当且仅当时，等号成立）， （当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立）. （2） 【解析】 【分析】（1）由三个基本不等式结合不等式性质即可得证； （2）由函数定义域得到不等式恒成立，讨论参数为0或不为0，然后结合二次函数的开口方向和判别式建立不等式组，解得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由函数的定义域为，得，恒成立， 当时，恒成立，满足题设； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围是. 16. 已知集合，. （1）已知，若，求实数的取值范围. （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式把集合具体化，再利用集合运算法则可得答案； （2）“”是“”的必要条件等价于，再按与分类可得答案. 【小问1详解】 解不等式 ，得：， 故，， 又因为且 ， 所以或， 故. 【小问2详解】 “”是“”的必要条件等价于. ，。 当时，，满足； 当时，由，得：， 解得：.  综上：. 17. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，如图所示，左右两侧力臂长度分别为厘米，厘米，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客. （1）结合你所学习的物理知识，判断顾客购得的黄金是小于10克，等于10克，还是大于10克？为什么？ （2）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种投资方案：第一种是每次购买黄金定量为克；第二种是每次购买黄金定额为元；在黄金价格波动的情况下，某投资者准备在11月份分两次以不同价格购入黄金，请你帮他选择一种购入时平均价格更低的投资方案. 【答案】（1）顾客购得的黄金大于，理由见解析 （2）第二种方案 【解析】 【分析】（1）根据力矩平衡原理，列出等量关系，即可由基本不等式求解； （2）列出两种方案购买黄金的平均价格，作差比较即可. 【小问1详解】 由题可知，天平两臂不等长，则，，， 设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 【小问2详解】 设第一次购买黄金时的价格为元，第二次购买黄金时的价格为元， 按第一种方案购买黄金，两次购买黄金的平均价格为； 若按第二种方案购买黄金，第一次能购克黄金，第二次能购克黄金， 两次购买黄金的平均价格为.； 比较两次平均价格：. 又因为，所以 所以第一种方案的平均价格高于第二种方案的平均价格，因而用第二种方案购买黄金成本更低. 18. 已知函数，用表示中的较大者，记为. （1）写出函数的解析式，并画出它的图象； （2）当时，若函数的最小值为，求实数的取值集合. 【答案】（1），图象见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出，的解集，即可得出函数的解析式，再根据一次函数和二次函数的图象作图即可； （2）分和两种情况讨论，求出函数的最小值，从而可得出答案. 【小问1详解】 解：当，即时，， 当当，即或时，， 所以， 函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）可得，函数在上递减，在上递增， 当时，函数在上递减， 所以，解得或（舍去）， 当时，函数在上的最小值为，解得， 综上实数的取值集合为. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若方程在恰有三个实根，，（其中），求实数的取值范围及的最小值. 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性以及条件列方程，解方程即得答案； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）借助韦达定理，把化成形式，再利用基本不等式求最值可得答案. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故，. 【小问2详解】 在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，，所以， 故在上单调递增. 【小问3详解】 ， 由题易知，为方程的一个根， 则方程在有两个不相等的实根， 因为，所以，即方程在有两不相等实根， 因为函数对称轴为直线，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以当，即时，在恰有三个不相等实根； 因为与的图像都关于中心对称，又因为， 则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的取值范围为，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郫都区2025～2026学年度上期期中考试 高一 数学 说明： 1.本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟. 2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 与 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 32 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知 满足且，下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数.它的函数值表示不超过的最大整数.例如，，，.下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数集，，若，则________. 13. 已知函数是奇函数，当时，，则当时，________. 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）利用基本不等式证明：已知，，都是正数，求证：； （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围. 16. 已知集合，. （1）已知，若，求实数的取值范围. （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； 17. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，如图所示，左右两侧力臂长度分别为厘米，厘米，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客. （1）结合你所学习的物理知识，判断顾客购得的黄金是小于10克，等于10克，还是大于10克？为什么？ （2）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种投资方案：第一种是每次购买黄金定量为克；第二种是每次购买黄金定额为元；在黄金价格波动的情况下，某投资者准备在11月份分两次以不同价格购入黄金，请你帮他选择一种购入时平均价格更低的投资方案. 18. 已知函数，用表示中的较大者，记为. （1）写出函数的解析式，并画出它的图象； （2）当时，若函数的最小值为，求实数的取值集合. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若方程在恰有三个实根，，（其中），求实数的取值范围及的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $