第17章 因式分解复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册人年级数学上册团 单元复习归纳 门01知识网巧构建。 相反变形 整式的乘法✉ 因式分解 特殊形式 具体方法 乘法公式 相反变形 (a+b)(a-b)=a2-62 公式法 提公因式法 (a±b)2=a2±2ab+b 02微转题妙总结。 微专题1用提取公因式法分解因式 (2)原式=3m(2x-y十n)(2x-y-n). 例1分解因式： (3)原式=(a-b)(a-b)2=(a-b)3. (1)a(1-b+b2)-1十b-b2; (4)原式=9(m十n)2. (2)x2(a-1)+x(1-a); 例④已知a,b,c是△ABC的三边长，满 (3)4a(m-n)2-2a(n-m). 足a2+b2=10a+8b-41,且△ABC中最长的 解析(1)原式=(a-1)(1-b+b2). 边c是整数，求三角形的周长 (2)原式=x(a-1)(x-1). 解析，a2十b2=10a+8b-41, (3)原式=2a(m-n)(2m-2m+1). ∴a2-10a+25+b2-8b+16=0. 例2已知x-y=-3,a一b=2,求(y ∴.(a-5)2+(b-4)2=0. x)(a-b-c)+(x-y)(b-a-c)的值 .(a-5)2≥0，(b-4)2≥0， 解析原式=(x-y)(亿-a+c)+(x-y)· ∴.a-5=0,b-4=0. (b-a-c)=(x-y)(b-a+c+b-a-c)= ∴.a=5,b=4. -2(x-y)(a-b). .a-b<c<a+b, 当x-y=-3,a一b=2时，原式=12. .1<c<9. 微专题2用公式法分解因式 ,c是△ABC中最长的边， 例3分解因式： ∴.5≤c<9,整数c可取5,6,7,8. (1)a3-9a; ∴.a+b+c=14或15或16或17. (2)3m(2x-y)2-3mm2; ∴.△ABC的周长为14或15或16或17. (3)a2(a-b)+2ab(b-a)+b2(a-b); 微专题3因式分解的综合运用 (4)(m+2m)2+2(m+2m)(2m+n)+ 例⑤用十字相乘法分解因式：m2+ (2m十n)2. 4m-12. 解析(1)原式=a(a十3)(a-3). 分析本题中的常数项一12可以分解为 100 第十七章因式分解么型 (一1)×12，（一2）×6，（一3）×4，（一4）×3，式x3一5x2+x+10中有因式(x一2)[注：把 (一6)×2，(-12)×1，但只有当一12分解为 x=a代入多项式，能使多项式的值为0，则多 (一2)×6时才有（一2）+6=4，才能运用十字 项式一定含有因式(x一a)],于是我们可以把 相乘法将本题因式分解 多项式写成x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+ 人2 mx+n),分别求出m,n后再代入x3一5x2+ 解析因为 16 x十10=(x一2)(x2十mx十n),就可以把多项 1×6+1×(-2)=4 式x3-5x2+x+10因式分解. 所以m+4m一12=(m-2)(m+6), (1)求式子中m,n的值； 例6用添项拆项法分解因式：x4一7x2+1. (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”， 分析此式虽为三项，但不符合完全平方 用“试根法”分解多项式x3+5.x2+8x十4. 公式，故可考虑用添项拆项法分解因式 解析(1)在等式x3-5x2+x+10=(x 解析原式=(x2)2+2x2·1十12一9x2= 2)(x2+mx+n)中， (x2+1)2-(3x)2=(x2+1+3x)(x2十1-3x). 分别令x=0,x=1,即可求出m=一3， 例☑用整体思想或换元法分解因式： n=-5. (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9. (2)把x=-1代入x3+5x2+8x+4,得 解析方法一 其值为0， 原式=[(x+1)(x十7)][(x十3)(x十5]-9 则多项式可分解为(x十1)(x2十bx十c)的 =(x2+8x+7)(x2+8x+15)-9 形式，用上述方法可求得b=4,c=4, =(x2+8.x)2+22(x2+8x)+96 ∴.x3+5.x2+8x+4=(x+1)(x2+4x+ =(x2+8x+6)(x2+8x+16) 4)=(x+1)(x+2)2. =(x2+8x+6)(x+4)2, 总结本题因式分解的实质用的是因式定 方法二 理，对于多项式f（x)=amx”十am-1xn-1十 原式=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]-9 an-2xm-2十…十a1x十a0,如果当x=a时，多 =(x2十8x+7)(x2十8x十15)-9. 项式f(x)=0,即f(a)=0,则多项式f(x)含 设x2+8.x+11=m, 有因式(x一a)；反之，如果多项式f(x)含有 则原式=(m一4)(m+4)一9 =m2-25 (x-a),那么f(a)=0,其中a=士0的因教 an的因数 =(m+5)(m-5) 本例中(1)a=2,(2)a=-1或一2均由此 =(x2+8x+11+5)(x2+8x+11-5) 而来。 =(x+4)2(x2+8x+6). 拓展后还可以得到余式定理：当一个多项式 例8对于多项式x3-5x2十x+10,我们 f(x)除以(x一a)时，所得余数等于f(a),即可设 把x=2代入此多项式，发现x=2能使多项式 f(x)=g(x)(x-a)+f(a),其中g(x)为多项 x3一5x2+x十10的值为0，由此可以断定多项式，还可以变形为f(x)-f(a)=g(x)(x一a). 101