16.3.1 平方差公式-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册人年级数学上册划 16.3乘法公式 16.3.1平方差公式 重点和难点 课标要求 重点：(a+b)(a-b)=a2-b2. 1.理解平方差公式的推导过程和结构特征， 难点：利用平方差公式进行运算， 2.掌握添括号法则，会利用平方差公式进行简便运算 门01必备知识梳理。 知识点1平方差公式 知识点2平方差公式的几何意义 1.公式的推导 如图，V是边长为b的正方形，Ⅱ，Ⅲ是 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 长、宽分别为a一b和b的长方形，而I,Ⅲ，V 2.两种表述方式 组成边长为a的正方形 数学语言：(a十b)(a-b)=a2-b. (a+b)(a一b)=面积(I+Ⅱ) =面积(I+Ⅲ) 文字语言：两个数的和与这两个数的差的 =a2-b2. 积，等于这两个数的平方差。 这样就从面积拼图上给出了平方差公式 特别提醒 的几何意义 公式的特征 平方差公式是两个二项式的乘积，这两个二项 式中有一项完全相同，另一项互为相反数.其中字母 a,b既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式. b→ 例1计算：(3m-2n)(-3m-2n). 解析方法一 例②将图1中的阴影部分的小长方形变 原式=(-1)(3m+2n)(3m-2n) 换到图2中的位置，根据这两个图形的面积关 =-[(3m)2-(2n)2] 系得到的数学公式是 =-(9m2-4n2) =4n2-9m2. 方法二 原式=[(-2n)+3m][(-2n)-3m] 图1 图2 解析由图1得图形面积为(a-b)(a十b); =(-2n)2-(3m)2 由图2得图形面积为a2-b2 =4n2-9m2. 故(a-b)(a十b)=a2-b2. 总结视“一2”为相同的项；也可以从后 答案(a-b)(a十b)=a2-b2. 一个括号内提取一1，则“3m”为相同的项，那么 总结先将图2补形，用字母a,b分别表 另一项互为相反数 示出图1、图2的面积，进而寻找关系. 84 第十六章 整式的秉法么出超 -02一关键能力提升。 题型1直接套用平方差公式 公式的前提是式子的形式满足公式的形式.当 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.公 题目的形式比较复杂，不能直接套用公式时， 式中的字母a,b既可以是具体的数，也可以是 我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或 单项式或多项式.在运用公式时应该灵活处 者对式子进行一定的变形 理，利用整体思想，将某些项看成公式中的a, 例④已知实数x,y满足(2x2+2y2+3)· b,再套用公式运算 (2x2+2y2-3)=27,求x2+y2的值： 例B计算：1（号x+2(号x-2): 解析设2x2十2y2=m, (2)95×105. 则(m+3)(m-3)=27. 解折1原式-（导x)尸-（公）月 .m2-9=27,即m2=36,∴.m=士6. .2x2+2y2≥0，.2x2+2y2=6. .x2+y2=3. (2)原式=(100-5)×(100+5) 特别提醒 =1002-52 (1)对于两个二项式的积，看准有无相等的 =10000-25 “项”和符号相反的“项”；把两个二项式的积变成公 =9975. 式标准形式后，才能使用平方差公式. ◆变式1计算：(1)59.8×60.2； (2)在解题过程中要准确确定a和b,对照公式 原形的两边，做到不弄错符号，当a或b是整式的 (2(-+y+y 平方时，要注意添括号，这是运用平方差公式进行 题型2巧妙构建平方差公式 多项式乘法的关键。 对公式的熟练掌握有利于简化计算，套用 ●变式2化简：(2+1)(2+1)(24+1)(2+1). 门-03热点老向聚焦。 考向1套用平方差公式进行计算 考向2平方差公式的拓展应用 例5(2024·吉林中考)先化简，再求值： 例⑥(2025·湖北武汉江汉区模拟)若x2 (a+1)(a-1)+a2+1,其中a=√3. y2=8,x2-之2=5，则(x十y)(y十之)（之十x)· 解析原式=a2-1十a2+1=2a2. (x-y)(y-x)(之-x)= 解析原式=(x2-y2)(z2一x2)(y2一之2) 当a=3时， =8×(-5)×(-3)=120. 原式=2X(√5)2=6. 答案120. 85