综合与实践 最短路径问题-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册人年级数学上册) 综合与实践最短路径问题 重点和难点 课标要求 重点：利用轴对称变换，将直线同侧两点中的一点映射到 通过课本中的两个问题，了解解决最短 另一侧，而不改变路径总长度，从而解决最短路径问题 路径问题的基本方法，并体会其中蕴含的化 难点：利用平移，将造桥选址问题转化为“两点之间，线段 归思想 最短”问题来求最短路径 01必备知识梳理。 知识点1利用轴对称求最值 段与该直线的交点即为所求的位置.如图4，作 1.作一个平面图形（或一个点）的轴对称 点A关于直线L的对称点A',连接A'B交直 图形叫作轴对称变换.它是探求最值问题的一 线l于点P 种重要方法. 2.最短路径的求解原理，一般有“两点之 B 间，线段最短”(“三角形两边之和大于第三边” 图3 图4 是其推论)和“垂线段最短” (4)“两点两线”型 (1)“两点”型的最短路径：连接两点，由 ①两直线平行时，只研究两点在两直线的 “两点之间，线段最短”可知，此两点间的线段 外侧的情形 即为所求，如图1中的点A,B ②两直线相交，两点在一个角的内部. (2)“一点一线”型的最短路径：过此点向 例①如图1，在等边△ABC中，AB=5, 此直线作垂线，由“垂线段最短”可知，垂线段 AD是高，E是边AB上一点，F是边BC上一 即为所求，如图2中点A与直线1，过点A作 点，BF=AE=2,P是AD上一动点，连接 AP⊥L于点P,AP即为所求 PE,PF A (1)当PE十PF的值最小时，画出点P的 AB P 位置； 图1 图2 (3)“两点一线”型 (2)求PE+PF的最小值. ①求直线异侧的两点到直线上一点距离 和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与 E 直线的交点即为所求的位置.如图3，点A,B 与直线l,连接AB交l于点P. FD ②求直线同侧的两点到直线上一点距离 图1 和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条 解析(1)如图2，在AC上截取AH=AE, 直线的对称点，连接对称点与另一点，所得线连接HF交AD于点P,则点P就是所求作 66 第十五章 釉对称么出组 的点. 最小时，画出点M,N的位置，并直接写出点 M,N的坐标 图2 可23456.立 (2).AD垂直平分BC, 图1 ..PE-PH. 解析如图2，将点A向右平移1个单位长 ..PE+PF=FH. 度得到点A',画点B关于x轴的对称点B', .AE=AH,AE=BF, 连接A'B'交x轴于，点N,将点N向左平 ..AC-AH=BC-BF. 移1个单位长度得到点M, ∴.CH=CF. 则点M,N就是所求作的点，M(4,0), 又.∠ACB=60°， N(5,0). ∴.△CFH为等边三角形，FH=CH= AC-AH=5-2=3. 例2如图1，在平面直角坐标系中，A(1, 1O1213M4N56 3),B(6,1).M,N是x轴上的两个动点（点M B 在点N的左侧)，MN=1,当AM+BN的值 图2 02关健能力提升。 题型1 最短路径的求解 特别提醒 。C ●D 轴对称变换是全等变换，它只改变图形的位置 和方向，不改变图形的形状和大小.利用这一性质， 图1 可以为我们研究几何图形提供解题思路.下面举例 说明轴对称变换在解决最短路径问题时的应用.解 解析如图2，作点C关于直线11的对称 这些题的关键是要把握好“两点之间，线段最短”的 点C,作，点D关于直线l2的对称点D',连接 原理。 CD',分别交直线l1,l2于点P1,P2,则点P1, 例3如图1，某人从点C骑马出发到点D P2即为所求的饮水点. 去，但必须先到河岸11上的点P,让马饮水， 然后再到河岸12上的点P2再次让马饮水，最 D 后骑马到点D.他应如何选择马的饮水点P 和P2,才能使所走的路程CP1十P1P2+P2D D 最短（假定河岸11,12都是直线）？ 图2 67 重难点手册人年级数学上册) ●变式1如图，已知在△ABC中，AB= B AC,BC=4,△ABC的面积是16，AC的垂直 平分线EF分别交AC,AB边于E,F两点.若 E 点D为BC边上的中点，点M为线段EF上一 动点，则△CDM的周长的最小值为( A.6 B.8 C.10 D.12 03热点考向聚焦。一 考向1最短路径问题的应用 的顶点在格点上 例④(2025·湖北武汉一模)如图1所示 (1)如图1，点F是AC与网格线的交点， 是由小正方形组成的9×5的网格，每个小正 请在BC边上作一点H,使FH∥AB; 方形的顶点叫作格点，△ABC的三个顶点都是 (2)如图2，直线a和直线b在网格线上， 格点，点D是△ABC内一个格点，如图所示， 点A和点H在两条直线的两侧，请在直线a 在AC上画出点M,使BM+DM的值最小.仅 上作一点M,过点M作MN⊥b于点N,连接 用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图 HN,使得AM+MN+NH的值最小. 过程用虚线表示 图1 图1 解析如图2所示，点M即为所求， 解析（1)点H的位置如图1所示. (2)MN的位置如图2所示. M 图2 例⑤(2025·湖北武汉江岸区模拟)如图 H 是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC 图2 68