第15章 轴对称复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十五章 釉对称么超 单元复习归纳 口01知识网巧构建。 轴对称图形 两个图形关于某直线轴对称 轴对称 轴对称的性质 「性质 垂直平分线判定 作轴对称图形的对称轴 轴对称 一作轴对称图形 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 关于x轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 关于y轴对称 ,定义、性质 等腰三角形 判定 特殊化等边三角形 定义、性质 判定 门-02微专题妙总结。 微专题1与等腰三角形有关的分类讨 与底边的差为4cm. 论问题 此题分两种情况： 特别提健 若腰比底边长4cm,则腰长为6+4= 等腰三角形是一种特殊三角形，等腰三角形的 10(cm); 边有腰、底之分；角有顶角、底角之分，在等腰三角 若腰比底边短4cm,则腰长为6一4= 形的求边、求角问题中，如果题目没有特别强调所 2(cm),因为2+2=4<6，不能组成三角形，故 求的边或角是等腰三角形的哪种边或角，就需要针 舍去 对所求的边或角的具体情况进行分类讨论.这是与 综上，此等腰三角形的腰长为10cm. 等腰三角形有关的问题中经常会涉及的类型 答案B 例1已知等腰三角形的底边长为6cm, 微专题2利用轴对称性构造等腰三角 一腰上的中线将其分成两个三角形，两个三角 形（含等边三角形） 形的周长差为4cm,则腰长为(). 构造等腰三角形的方法有三种： A.2 cm B.10 cm (1)依据平行构造等腰三角形，作等腰三 C.2cm或10cmD.以上都不对 角形的任意一边的平行线，得到新的三角形也 解析一腰上的中线将其分成两个三角 是等腰三角形，就可以得到要转化的边或角的 形，两个三角形的周长差为4cm,实际上是腰关系. 69 重难点手册人年级数学上册团 (2)依据“三线合一”构造等腰三角形，当 求证：BC=AC+AD. 出现顶角的平分线，底边上的高、中线时，只要 其中的两条重合，就可以构造等腰三角形， (3)根据倍角关系构造等腰三角形， 例②在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD 图1 是∠BAC的平分线. 求证：AB+BD=AC. 证明如图2，过，点D作DE⊥BC于点E. 分析在已知条件中出现了二倍角关系， 可反向延长△ABC的一边BC,构造出等腰三 角形，问题即可解决。 证明如图，延长CB至，点E,使BE=BA, 图2 连接AE,则∠BAE=∠E .AC=AB,∠BAC=90°， ∴.∠B=∠ACB=45° E B D .∠BED=90°， .∠ABC=2∠C,∠ABC=∠E+∠BAE ∴.∠B=∠BDE=45°. =2∠E, .'BE=DE. .∠E=∠C .CD平分∠ACB, ∴.AE=AC. ∴.∠ACD=∠ECD, 又.AD平分∠BAC, .CD=CD,∠BAC=∠DEC=90°， .∠BAD=∠CAD. ∴.△ACD≌△ECD(AAS). ∴.∠EAD=∠EAB+∠BAD ∴.AC=EC,AD=DE=BE. =∠E+∠CAD .BC=EC+BE,..BC=AC+AD =∠C+∠CAD=∠BDA. 微专题3利用旋转构造等腰三角形和 .EA=ED=EB十BD, 全等三角形 即证AB+BD=AC. 点评除上述解答方法外，还可以延长AB 已知等腰△ABC,AB=AC,过点A的线 至点F,使BF=BD(或AF=AC),也可以在 段AD,AD在∠BAC内部或外部均可如图作 AC上截取AM,使AM=AB,都能推出AB十 ∠DAE=∠BAC,且AE=AD,连接CE,DE, BD=AC的结论. 则△ABD≌△ACE.对图1，还有结论∠DCE= 特别提醒 ∠BAC+∠BDC. 在已知条件中，如果出现了60°角或120°角，那 对图2，还有结论∠1=∠EAD, 么可以利用作平行线、截长补短等方法构造等边三 当△ABC为等边三角形时，过三个顶点的 角形 任一线段，均可绕顶点顺时针或逆时针作以此 例3如图1，在△ABC中，AB=AC, 线段为边的等边三角形，从而利用SAS构造全 ∠BAC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D.等三角形. 70 第十五章釉对称么 E G 图1 图1 图2 证明(1)如图2，在BD上截取BO=BC. 例④(2025·湖北武汉武昌区模拟)在等 .∠DBC=60°， 腰Rt△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一 ∴.△BOC为等边三角形， 点，且∠B0C=∠AOC=135°，求证：BO=2AO. ∴.CO=CB,∠OCB=∠BOC=60°. 证明如图，过，点A作AD⊥AO交CO的 .∠D0C=120°. 延长线于点D,连接BD,过点D作DE⊥BO .△CDE为等边三角形， 于点E ∴.CD=CE,∠DCE=60°. ∴.∠DCE=∠OCB=60°，即∠OCD+ ∠OCE=∠OCE+∠BCE. ∴.∠OCD=∠BCE. .∠BOC=∠AOC=135°， ∴.△OCD≌△BCE(SAS), ∴.∠BOD=∠AOD=45°. ..OD=BE, ∴.BD=BO+OD=BC+BE. ∴.△ADO为等腰直角三角形. ∴.△ABD≌△ACO(SAS). ∴.∠ADB=∠AOC=135°. ∴.∠BDC=∠ADB-∠ADO=135°- G 45°=90°. 图2 ∴△BDO为等腰直角三角形 (2)如图2，在GF上截取HF=BF,连接 ∴.BE=OE=DE, DH. .∠BOD=∠AOD=45°， .△OCD≌△BCE, ∴.∠EBC=∠DOC=120°. ∴.DA=DE ∴.∠OCB+∠EBC=180°. ∴.AO=AD=DE=BE=OE. ∴.OCBE ∴.BO=BE+OE=2AO. ,F是DE的中点， 例5如图1，在△BCD中，∠DBC=60°， ∴FE=FD 以CD为边在CD上方作等边三角形CDE .∠BFE=∠HFD, (I)求证：BD=BC+BE; .△BEF≌△HDF(SAS). (2)若F是DE的中点，连接BF并延长， .BE=HD,∠BEF=∠HDF. 交CD的延长线于点G.若∠G=∠BCE,求 .DH//BE. 证：GF=BF+BE. ∴.DH/OC. 71 重难点手册人年级数学上册划 ∴.∠HDG=∠OCD. BD, 又，∠G=∠BCE, ∴.△CDF≌△DBE(SAS). ∴.∠G=∠HDG ∴.CF=DE ∴.HG=HD. .'CD=BD, ∴.GF=GH+HF=BE+BF ∴.∠B=∠CDE=∠DCE 微专题4已知一边一角分别相等，构 ∴.CE=DE 造全等三角形 ..CE=CF. 在△ABC与△A1B1E中，AB=A1B1, .CH⊥DE,∴FH=EH. ∠A=∠A1· ..CE-BE=DE-DF=EF=2EH. 第一种构造方法：如图1，在AC上截取 例7(2025·湖北武汉江岸区模拟)如图 AD=A1E,连接BD,则△ABD≌△A1B1E. 所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点 第二种构造方法：如图2，在A1E的延长 D,E,F分别为边AC,AB,CB上的点，且 线上截取A1C1=AC,连接B1C1,则△ABC≌ △A1B1C1. △DEF为等边三角形，若AD-子CD.则能 A 的值为 B C 图1 图2 34 例6如图1，在等腰△ABC中，AC= G BC,D,E分别为AB,BC上一点，∠CDE= 解析设AD=3m,CD=4m,则AB= ∠A,CD=BD,过点C作CH⊥DE,垂足为 2AC=14m. H.求证：CE-BE=2EH. ,∠3+∠2=∠BED=∠1+∠A,∠A= ∠2=60°， .∠1=∠3. 在BE上截EG=DA=3m, H 则△EFG≌△DEA(SAS). 图1 .∴∠4=∠A=60° 证明如图2，在DE上截取DF=BE,连 ∴.∠5=∠4-∠B=30°=∠B 接CF. ·BG=FG=AE=AB-EG_1 2 2m. 11 .AE 2 17-17 D 2 图2 11 .AC=BC,∠CDE=∠A=∠B,CD= 答案 17 72