第14章 全等三角形复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十四章 全等三角形么型 单元复习归纳 口01知识网巧构建。 具备普通三角形的判定方法 直角三角形 斜边和一条直角边(HL) 一全等三角形的判定 边边边(SSS) 边角边(SAS) 普通三角形 角边角(ASA) -角角边(AAS) 性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等 角的平分线 判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 尺规作图 找夹角(SAS) 已知两边 找直角(HL) 全等三角形 找第三边(SSS) 找已知角的另一边(SAS)》 基本方法 一边为角的邻边 找已知边的对角(AAS) 已知一边一角 找已知边的夹角(ASA) 边为角的对边，找任意角(AAS) 找两角的夹边(ASA) 已知两角 找任意一边(AAS) 对应边相等 对应角相等 -全等三角形的性质 对应中线、高和角平分线相等 面积相等 口02微志题妙总结>。 微专题】连接法构造全等三角形 的中点. 例I在五边形ABCDE中，F为CD上一 点，连接AF B E (1)如图1，若AB=AE,∠B=∠E,BC =ED,AF⊥CD,求证：F为CD的中点； C F D CF D (2)如图2，若AB=AE,∠B=∠E,AF 图1 图2 平分∠BAE,AF⊥CD于点F,求证：F为CD 证明(1)如图3，连接AC,AD,则△ABC≌ 39 重难点手册人年级数学上册) △AED(SAS),∴.AC=AD 180°；③CD=CB. .Rt△ACF≌Rt△ADF(HL), 即①②→③；①③→②：②③→①. ∴.CF=DF,即F为CD的中点. 注意另一种情况，可类似得到相关结论 例2(2025·湖北华宜寄中学月考)如 E 图1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,点D,E 分别是BC,AC上的点，AD,BE相交于点P, F C FD ∠EBC=∠BAD, 图3 图4 (1)求证：∠DPE+∠C=180°； (2)如图4，延长AB,AE,与直线CD交于 (2)作AF∥BC交DE的延长线于点F,若 点M,N,则△AFM≌△AFN(ASA), PE=CE,求证：∠ADF=∠F. ∴.FM=FN,AM=AN,∠M=∠N. 又，AB=AE,∠ABC=∠AED, ∴.BM=EN,∠MBC=∠DEN. ∴.△MBC≌△NED(ASA). ∴.MC=DN. 图1 又FM=FN,∴.CF=DF. 证明(1)在△ABP中，∠BAD+∠ABE+ .F为CD的中点 ∠APB=180°， 微专题2对角互补的四边形模型 .'∠EBC=∠BAD,∠APB=∠DPE, 下列两种情况： ∴.∠EBC+∠ABE+∠DPE=180°， (1)邻边相等且对角互补的四边形 即∠ABC+∠DPE=180°. (2)一边与对角线相等且对角互补的四 又，∠ABC=∠C,∴.∠DPE+∠C=180° 边形 (2)如图2，过点E作EM⊥AD于点M, 均可由截长补短等方法推出一些与全等 三角形有关的结论. EN⊥CD于点N, 例如，已知在如图所示的四边形ABCD中， ∴.∠PME=∠CNE=90°. DC=BC,∠ADC+∠ABC=180°，则AC平 .∠DPE+∠C=180°，∴.∠APE=∠C 分∠DAB. 又.PE=CE, ∴.△PME≌△CNE(AAS): ∴.EM=EN..DF平分∠ADC ∠ADF=∠CDF」 AF∥BC,∴.∠F=∠CDF=∠ADF 拓展结论：①AE一AD=BE;②AB+ AD=2AE;③AB-AD=2BE 另外，在四边形ABCD中，以下三个条件 知二推一 ①AC平分∠DAB;②∠ADC+∠ABC= 图2 40 第十四章全等三角形么出超 微专题3一线三等角 分析(1)AD⊥MN于点D,BE⊥MN 如图1，已知∠BAC,AB=AC,在∠BAC 于点E,又∠ACB=90°，在Rt△ADC与 外部有过点A的线段DE,且∠D=∠E= Rt△CEB中，直角对应相等，斜边对应相等.又 ∠BAC,则△ADB≌△CEA. ∠DAC与∠BCE同为∠ACD的余角，自然也 特殊地，当∠BAC=90°时，就成为如图2 是相等的，所以可得到△ADC≌△CEB.进一 中的三垂直，即DE=BD十CE 步可推出DE=AD十BE.(2)(3)与(1)的证明 思路类似，先证明△ADC≌△CEB,再来证明 DE,AD,BE三条线段间的等量关系. 证明(1)①.'AD⊥MN,BE⊥MN, D A ∴.∠ADC=∠CEB=90°=∠ACB. 图1 图2 ∴.∠CAD+∠ACD=90°. 如图3，已知∠BAC,AB=AC,在∠BAC 内部有射线AF,且∠BAC=∠BDF= .∠BCE+∠ACD=90°， ∠CEF,则△ADB≌△CEA. .∠CAD=∠BCE. .'AC=BC, 特殊地，当∠BAC=90°时，就成为如图4 '.△ADC≌△CEB(AAS), 中的三垂直，即DE=CE一BD ②.△ADC≌△CEB, B ∴.AD=CE,CD=BE. ∴.DE=CE十CD=AD十BE (2).AD⊥MN,BE⊥MN, D 图3 图4 ∴.∠ADC=∠CEB=90°=∠ACB. 例B在△ABC中，∠ACB=90°，AC= ∴.∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACD BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D, =90° BE⊥MN于点E. .∠ACD=∠CBE. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置 又AC=BC, 时，求证： ∴.△ACD≌△CBE(AAS). ①△ADC≌△CEB; ∴.AD=CE,CD=BE. ②DE=AD+BE. ∴.DE=CE-CD=AD-BE (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置 (3)当MN旋转到图3的位置时，AD, 时，求证：DE=AD一BE. DE,BE所满足的等量关系是DE=BE一AD (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置 (或AD=BE一DE或BE=AD+DE等). 时，试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系？ ,AD⊥MN,BE⊥MN, 请写出这个等量关系，并加以证明. ∴.∠ADC=∠CEB=90°=∠ACB. M ∴.∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACD MD C EN =90°. B ∴.∠ACD=∠CBE. 图1 图2 图3 又AC=BC, 41 重难点手册人年级数学上册则 ∴.△ACD≌△CBE(AAS). ∠ABC+∠BDE=∠DEF+∠CEF, ∴.AD=CE,CD=BE. ∴.∠BDE=∠CEF. ∴.DE=CD-CE=BE-AD ∴.△BDE≌△CEF(AAS). 例④如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB, ∴.DE=EF D,E,F分别是AB,BC,AC边上的点，BE (2).BC=9,EC=2BE, =CF. ∴.BE=3,EC=6. (1)若∠DEF=∠ABC,求证：DE=EF; ,∠A+2∠DEF=180°，∠A+∠ABC+ (2)若∠A十2∠DEF=180°，BC=9,E℃= ∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB, 2BE,求BD的长 .∠DEF=∠ABC=∠ACB. .'∠DEC=∠ABC+∠BDE=∠DEF+ ◇ ∠CEF, ∴.∠BDE=∠CEF. B E ∴.△BDE≌△CEF(AAS) 解析(1)，'∠DEF=∠ABC,∠DEC= ∴.BD=EC=6. 42