14.3 角的平分线-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十四章 全等三角形么出型 14.3角的平分线 重点和难点 课标要求 重点：角平分线的性质定理和判定 1.会用尺规作图法作一个角的平分线，能理解角的平分线 定理 与三角形的角平分线的区别与联系 难点：应用角平分线的性质和判定解 2.掌握角平分线的性质和判定，会应用角平分线的性质和 决问题. 判定解决问题， ]-01一必备知识梳理。 知识点1角平分线的性质及判定 /M 1.角平分线的定义 从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角 B B E N 的射线，叫作这个角的平分O A (1)求证：OC平分∠MON; 线.如图，射线OB就是∠AOC的平分线： (2)若AD=3,BO=4,求AO的长， 2.点到直线的距离 解析(1).'CD⊥OM,CE⊥ON, 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 ∴.∠ADC=∠CEB=90° 叫作这个点到直线的距离. ∴.Rt△ADC≌Rt△BEC(HL). 3.角平分线的性质 ∴.CD=CE 角平分线上的点到角的两边的距离相等. .CD⊥OM,CE⊥ON, 4.角平分线的判定 ∴.OC平分∠MON. 角的内部到角的两边的距离相等的点在 (2).AD=3,.BE=AD=3. 角的平分线上。 .BO=4,∴.OE=OB+BE=4+3=7. 特别提醒 .CD⊥OM,CE⊥ON, 角平分线的性质定理与判定定理的联系和区别 ∴.∠CDO=∠CEO=90° 两个定理是将题设（已知）和结论互换，因此在 '.Rt△DOC≌Rt△EOC(HL). 证明两个直角三角形全等时，应用的条件和所依据 ∴.OD=OE=7. 的定理是不同的.在具体运用这两个定理时，一定要 .AD=3,∴.OA=OD+AD=7十3=10. 分清楚各自的题设是什么、结论是什么，不要混淆 易错点用错角平分线的性质定理 例如图，AD平分 例①如图，A,B两点分别在射线OM, ∠EAF,过点D作BC⊥ B ON上，点C在∠MON的内部，且AC=BC, CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且 AD,分别交AE,AF于 D AD=BE. 点B,C 33 重难点手册人年级数学上册划 求证：BD=DC 角平分线的性质可得PD=PE=PF,即点P 错解.'AD平分∠EAF,BC⊥AD, 到△ABC三边的距离相等. 分别交AE,AF于点B,C,.BD=DC. (2)如图3，过点P作PG⊥PC交直线BA 错因本题易由AD平分∠EAF直接 于点G,过，点P分别作PD⊥AQ于点D,PE⊥ 得BD=DC,其实是没有正确理解角平分线 AC于点E,则∠GPC=∠GAC=90°，可得 ∠DGP=∠PCE,.△PDG≌△PEC(AAS). 的性质，应该是“角平分线上的点到角的两 ..PG=PC. 边的距离相等”，而这里给出的条件“过，点D 作BC⊥AD”并不能说明BD,CD是点D到 :∠BPC=46=∠GPC, 角两边的距离，因此不符合应用角平分线的 ∴.∠BPG=∠BPC. 性质的条件，故只能应用三角形全等加以 '.△PBG≌△PBC(SAS) 证明. ∴.∠PBA=∠PBC,即BP平分∠ABC. 正解.BC⊥AD, Q D .∠ADB=∠ADC=90°. G 在△ABD和△ACD中， 「∠BAD=∠CAD, AD=AD, ∠ADB=∠ADC, 图2 图3 ∴.△ABD≌△ACD(ASA). 易错点只考虑了三角形的内部 .'.BD=CD. 例如图1，直线11，l2,l3表示三条相互 交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它 知识点2三角形的内心和旁心 到三条公路的距离相等，则可选择的地址有 1.三角形的三个内角的角平分线交于一 ). 点，且此点到三角形三边的距离相等，我们称 A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 此点为三角形的内心 2.三角形的两个外角的角平分线及一个内 角的角平分线交于一点，此点为三角形的旁心 例2如图1，在△ABC Q 中，∠BAC=90°，Q是 图1 图2 BA的延长线上一点，点 A P是∠QAC的平分线上 错解A 一点，连接BP,CP. 错因本题的易错点在于只考虑到，点在 图1 (1)若BP恰好平分 三角形的内部这一种情况，忽略了点在三角 形外部的另外三种情况， ∠ABC,求证：点P到△ABC三边的距离相等； 正解如图2，△DEF内部有一处（即 (2)若∠BPC=45°，求证：BP平分∠ABC. 点O),△DEF外部有三处（即点O1,O2, 解析(1)如图2，过，点P分别作PD⊥AQ O3).故选D. 于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,由 34 第十四章 全等三角形收型 02一关健能力提升。 题型1角平分线性质的应用 骤，同时也可大大简化解题过程. 1.作角平分线的垂线. 从角平分线上一，点作角的两边的垂线，垂线段 如图，在△ABC中，若BD平分∠ABC, 相等，顶点到两垂足的距离也相等.借此，可在角的 BD⊥AD,则： 两边上实施截长或补短，甚至既截长又补短，达到 (1)△ABD≌△EBD;(2)AD=DE. “移多补少”的目的.其实质是角平分线两侧的“对 称”位置的三角形全等， 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC,则： B (1)DE=DF;(2)△ADE≌△ADF; 例3在四边形ABCD中，点E在线段 CD上，已知AD∥BC,BE⊥AE,BE平分 (3 S△ABD_AB_BD S△ACD AC CD ∠ABC.求证：DE=EC 证明如图，延长AE,BC交于点F D D 图1 如图2，当∠C=90°时，点C与点F重合， .BE平分∠ABC,.∠1=∠2， 还可以得到AB·DE=BD·AC 又.BE⊥AE, ∴.∠AEB=∠BEF=90°. 又BE=BE, E ∴.△BAE≌△BFE(ASA). D CF B D CF ∴.AE=FE. 图2 图3 .ADBC,∴.∠DAE=∠F 如图3，当∠C=90°且AC=BC时，还可 又.∠AED=∠FEC, 以得到AB=AC+CD, ∴.△ABE≌△FBE(ASA). 例④如图1，在△ABC中，AK,BK,CK ∴.DE=EC. 分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,KD⊥BC 2.过角平分线上的点向两边作垂线 于点D.求证：AB一AC=BD-CD 特别提醒 角平分线的性质： 点在角平分线上一，点到这个角两边的距离 相等， 角平分线的性质定理实现了由“等角”到“等线 B B 段”的转化，很多时候可取代证明三角形全等的步 图 图2 35 重难点手册人年级数学上册团 证明如图2，过点K作KE⊥AB于点E, 解析探究：如图2，过，点D作DE⊥AB于 KF⊥AC于点F, 点E,DF⊥AC于点F】 .AK平分∠BAC,KE⊥AB,KF⊥AC, .DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.KE=KF ∴.DE=DF. 在R△AKE和R△AKF中，EK=-FK, AK=AK, .'∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD= 180°，.∠B=∠FCD .△AKE≌△AKF(HL). 在△DFC和△DEB中， .'.AE=AF. ∠F=∠DEB,∠FCD=∠B,DF=DE, 同理可得BE=BD,CD=CF. ∴.△DFC≌△DEB(AAS). ..AB-AC=AE+BE-AF-CF= BE-CF=BD-CD. ∴.DC=DB. ●变式1如图，已知在△ABC中，∠C= 应用：如图3，连接AD,过点D作DE⊥ 90°，AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB AB于点E,DF⊥AC于点F. 于点E,点F在AC上，且BD=FD.求证： .'∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD= AE-BE=AF. 180°，.∠B=∠FCD 在△DFC和△DEB中， ,'∠F=∠DEB,∠FCD=∠B,DC=DB, ∴.△DFC≌△DEB(AAS), C D B ∴.DF=DE,CF=BE ●变式2如图，在Rt△ACB中，已知AB= 在Rt△ADF和Rt△ADE中， 5,AC=4,BC=3,∠ACB=90°.请在△ACB .AD-AD,DE=DF, 的内部找一点P,使点P到△ACB三边的距离相 '.Rt△ADF≌Rt△ADE(HL). 等，并求出这个距离（点P为△ABC的内心）. B ∴.AF=AE. ..AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)= 2BE. C 例5（经典·长春中考）已知：如图1，AD 在Rt△DEB中， 平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B=90°.易 ,∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°， 知DB=DC. 探究：如图2，AD平分∠BAC,∠ABD+ BD=a,∴BE= 2a. ∠ACD=180°，∠ABD<90°.求证：DB=DC. ∴.AB-AC=√2a. 应用：如图3，在四边形ABDC中，∠B 答案√2a. 45°，∠ACD=135°，DB=DC=a,则AB 题型2已知角平分线，利用截长补短 AC= (用含a的代数式表示)： 法构造对称全等 如图1，BD为△ABC的角平分线. (1)若BE=AB,则△ABD≌△EBD; 图1 图2 图3 (2)若BF=BC,则△BFD≌△BCD 36 第十四章 全等三角形么出 ACB .∠PAC+∠ACP+∠APC=180°， 2∠BAC+号∠ACB+∠APC=180. 图1 图2 .∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°， 如图2，BD平分∠ABC,∠BAD+∠C=180° ∴.∠APC=120°. (1)若BE=AB,则△ABD≌△EBD; ∴.∠CPD=180°-∠APC=60° (2)若BF=BC,则△BFD≌△BCD (2)如图2，过点P作∠APC的平分线交 AC于点M,则∠APE=∠APM=∠CPM= 例6如图1，在△ABC ∠CPD=60°， 中，∠ABC=60°，AD,CE分 E 则△APE≌△APM,△CPM≌△CPD. 别平分∠BAC,∠ACB,AD, ∴.AE=AM,CD=CM. CE相交于点P. B D ..AC=AM+CM=AE+CD=3+7=10. (1)求∠CPD的度数； 图1 (2)若AE=3,CD=7,求线段AC的长. 解析(1).'AD,CE分别平分∠BAC, ∠ACB,∴.∠PAC= ∠BAC,∠ACP= D 2 图2 03热点考向聚焦一。 考向1作角平分线的垂线 .'.BD=FC=2CE. 例7(2025·湖北武汉外校模拟)在 考向2过角平分线上的点向角的两边 △ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD为 作垂线 △ABC的角平分线，CE⊥BD的延长线于点 例8(2025·湖北武汉七一华源中学模 E.求证：BD=2CE, 拟)如图1，在四边形ABCD中，AC平分 证明如图，延长CE,BA交于点F ∠BAD,CB=CD,CF⊥AD于点F. 9 (1)求证：∠ABC+∠ADC=180°； (2)求证∠ACF=2BCD: B (3)若AF=6,求AD+AB的长； .BD为△ABC的角平分线， ∴.∠FBE=∠CBE. (4)若DF=2,求AD-AB的长； .CE⊥BD,∴.∠BEC=∠BEF=90°. (5)若AF-AB=2,求DF的长； 易证△BEF≌△BEC，,.EF=EC. (6)若S四边形ABCD=20,求AF·CF的值； 易证△BAD≌△CAF, (7)若S△ACD-S△ABC=4,求S△CFD: 37 重难点手册人年级数学上册) 考向3截长补短法构造全等三角形 E 例9在△ABC中，∠C=60°，AD,BE为 △ABC的角平分线，AD与BE交于点O. D 求证： (1)∠AOB=120°； 图1 图2 (2)AB=AE+BD. 解析(1)如图2，过点C作CE⊥AB,交 分析(1)由内角平分线模型可得∠AOB= AB的延长线于点E, .CF⊥AD,∠EAC=∠FAC, 90+3<C=120 .'.CE=CF..'CB=CD, (2)利用角平分线构造对称全等三角形： ∴.Rt△CBE≌Rt△CDF(HL. 在AB上截取AM=AE,连接OM. ∴.∠FDC=∠CBE. 证△AOE≌△AOM,△BOD≌△BOM. .∠ABC+∠CBE=180°， 证明(1)，AD,BE为△ABC的角平分线 ∴.∠ADC+∠ABC=180°. (2).△CBE≌△CDF, :∠CA0=∠BA0=3∠CAB,∠CB0=- ∴.∠BCE=∠DCF. ∠AB0=2∠ABC. 易证△ACE≌△ACF. .∠ACE=∠ACF. ∠BAO+∠AB0-2∠CAB+2∠AC '.∠ACF=∠ACB+∠BCE=∠ACB+ ∠DCr=2∠BCD. =3∠CAB+∠ABC)=2180°-∠C)=60: ∴.∠AOB=180°-（∠BAO+∠ABO)= (3).△ACE≌△ACF,∴.AE=AF. 120°. .△CBE≌△CDF,∴.BE=DF. (2)如图，在AB上截取AM=AE,连接 ..AB+AD=(AE-BE)+(AF+DF)= OM. AE+AF=2AF=12. (4)AD-AB=(AF+DF)-(AE-BE)= DF+BE-2DF=4. (5).AE=AF, .'.AF-AB=AE-AB=BE=DF=2. ∠EAO=∠MAO,AO=AO, (6).'△CDF≌△CBE,△ACE≌△ACF, ∴.△AOE≌△AOM(SAS). .S四边形ABCD=S四边形ABCF=2S△ACF=20. ∴.∠AOM=∠AOE=180°-∠AOB=60°. Se=10号AF,CF=10, ∴.∠BOM=180°-∠AOM-∠AOE=60°. .∠BOD=∠AOE=60°， .AF·CF=20. ∴.∠BOM=∠BOD. (7).△AEC≌△AFC,△CBE≌△CDF, .BO=BO,∠DBO=∠MBO, SAACD-SAABC (SAACF SACFD)- ∴.△BOM≌△BOD(ASA). (SAACE-SABCE)=SACFD+SABE=2SACFD=4. ∴.BD=BM. .S△cFD=2. ∴.AB=AM+BM=AE+BD. 38