14.2 三角形全等的判定-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十四章 全等三角形皮超 14.2三角形全等的判定 重点和难点 课标要求 重点：三角形全等的四种判定方法，直 1.掌握用SSS,SAS,ASA和AAS证明两个三角形全等的 角三角形全等的判定方法. 方法，并会用HL证明两个直角三角形全等. 难点：运用全等三角形的性质证明线 2.能根据条件灵活选择三角形全等的判定方法，并能综合 段相等和角相等 运用全等三角形的性质证明线段相等和角相等， 」01必备知识梳理。 知识点1判定一般三角形全等的条件 如图，在下表所示的不同条件下均可推出△ABC和△DEF这两个三角形全等. 简写 具体条件 推理形式 特点 AB=DE, 1.三边确定，则形状确定，体现了三角形的稳 “边边边” 在△ABC与△DEF中，BC=EF, 定性； 三边分别相等 或“SSS” AC=DF, 2.除明显的对应边特征，常常还需挖掘图形和 ∴.△ABC≌△DEF(SSS) 文字条件，如公共边、中线等可能成为对应边 (AB=DE, 两边和它们的 1,夹角应写在中间； “边角边” 在△ABC与△DEF中，∠B=∠E, 或“SAS” 2.注意区分错误条件“SSA”,即若不是夹角， 夹角分别相等 BC=EF, 而是一边的对角，则两个三角形不一定全等 ∴.△ABC≌△DEF(SAS) ∠B=∠E, 1.夹边应写在中间； “角边角”两角和它们的 在△ABC与△DEF中，BC=EF, 2.除明显的对应角特征，常常还需挖掘隐含 或“ASA”夹边分别相等 ∠C=∠F, 的等角，如公共角、对顶角、平行线中的同位 ∴.△ABC≌△DEF(ASA) 角、内错角、同角的补角或余角等 两角分别相等 |∠A=∠D, 1.边写在最后； “角角边” 在△ABC与△DEF中，∠B=∠E, 或“AAS 且其中一组等 2.由三角形内角和定理可知“AAS”与 BC=EF, 角的对边相等 “ASA”可相互推导 ∴.△ABC≌△DEF(AAS) 特别提醒 全等.由于这六个条件中有些条件是相关的，根据 (1)若已知两个三角形的三条边、三个角分别 课本研讨可知，只需具备含有一组边分别相等的三 相等，则由全等三角形的定义可判定这两个三角形 个条件成立即有可能得到两个三角形全等. 23 重难点手册人年级数学上册划 证明.AE=DB, 已知条件 判断三角形全等的思路 ∴.AE+EB=DB+EB,即AB=DE. 三边分 根据“SSS”判定全等 别相等 (AB=DE, 1.寻求第三边相等的条件，根据“SSS 在△ABC和△DEF中，BC=EF, 两边分 判定全等； AC-DF, 别相等 2.寻求这两边夹角相等的条件，根据 故△ABC≌△DEF(SSS). “SAS”判定全等 例2如图，BE,CF是△ABC的高，M为 1.寻求另两边分别相等的条件，用 “SSS”判定全等； BE上一点，且BM=AC,N为CF延长线上 一边 2.任寻求两角分别相等的条件，用 一点，且CN=AB.求证： 相等 “AAS”或“ASA”判定全等； (1)△ABM≌△NCA; 3.寻求另一边及这两边的夹角分别相 等的条件，用“SAS”判定全等 (2)AM⊥AN. 1.寻求两已知角的夹边相等的条件，用 两角分 “ASA”判定全等； 别相等 2.寻求一已知角的对边相等的条件，用 “AAS”判定全等 B 1.寻求夹此角的两边分别相等的条件， 证明(1).BE⊥AC,CF⊥AB, 一角 用“SAS”判定全等； 相等 2.任寻另一角和一边分别相等的条件， .∠AEB=∠AFC=90°，∠ABE+ 用“AAS”或“ASA”判定全等 ∠BAC=∠ACF+∠BAC=90°. (2)已知两个三角形的两组边分别相等，且其 ∴.∠ABE=∠ACF. 中一边所对的角相等，这两个三角形不一定全等. 又.BM=AC,CN=AB, 说明如下： ∴.△ABM≌△NCA(SAS). 如图，已知CD=CB, (2).△ABM≌△NCA, 在△ABC和△ADC中， AC=AC,(公共边) ∴.∠N=∠BAM. CB=CD,(已知) ,∠N+∠NAF=90°， ∠A=∠A,(公共角) ∴.∠BAM+∠NAF=90. 则△ABC和△ADC满足两边及一边的对角 .AM⊥AN. 分别相等，即满足SSA 很显然，△ABC不全等于△ADC. 知识点2判定直角三角形全等的条件 所以SSA不能判定两个三角形全等， 判定一般三角形全等的四个条件均适用 例①如图，AE=DB,AC=DF,BC= 于判定直角三角形全等.又由于直角三角形是 EF.求证：△ABC≌△DEF. 特殊的三角形，因此它还有一般三角形所没有 的特殊判定方法。 B 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”). 24 第十四章 全等三角形么出 这里好像只有两个条件（两条边），但其前 易错点忽略三角形高的多种可能性 提条件是“在直角三角形中”，即有一个直角. 例已知在△ABC和△A'B'C'中，AB= 实际上由勾股定理可知，在直角三角形中，只 A'B',AC=A'C',AD和A'D'分别是BC, 要知道任意两边的长，第三条边很容易求得.因 B'C边上的高，且AD=A'D',问△ABC和 此，“HL”的本质是三边分别相等 △AB'C全等吗？如果全等，给出证明；如 例3如图，∠ACB=∠ADE=90°，AC= 果不全等，请举出反例， AD,∠BAC=∠EAD,BC的延长线交DE于 错解△ABC≌△A'B'C'.证明如下： 点F.求证： (1)△ACB≌△ADE; 在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中， (2)BC=CF+EF. (AB=A'B', B、 AD-A'D', ∴.Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL). 同理，Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL), ∴.△ABC≌△A'B'C'. 证明(1)在△ACB和△ADE中， 错因涉及三角形的高的问题时，要注 ∠ACB=∠ADE, 意多种情况，因为锐角三角形的高在三角形 RAC=AD, 内部，纯角三角形的高在三角形外部，直角三 ∠BAC=∠EAD, 角形的高可能在三角形的边上，所以无图时 ∴.△ACB≌△ADE(ASA) 三种情况均有可能.若这两个三角形均为钝 (2)连接AF,由(1)可知，△ACB≌△ADE, ∴.BC=DE 角（或锐角）三角形，则全等；若一个是锐角三 角形，一个是钝角三角形，则不全等 在R△ACF和Rt△ADF中，AF=AF, (AC=AD, 正解这两个三角形不一定全等.如图，虽 ∴.Rt△ACF≌Rt△ADF(HL. 有AB=AB',AC=A'C,AD=A'D',但BC≠ ∴.CF=DF B'C.因此△ABC与△A'BC'不全等 .DE=DF+EF,..BC=CF+EF 总结直角三角形全等的判定条件“HL”实 际上就是两边和一边的对角分别对应相等，当 满足该条件时只能用“HL”,不要错写成“SSA”. -02关键能力提升。 题型 1 三角形全等的判定与性质的综 找夹角→SAS 合应用 已知两边找第三边→SSS 找直角边、斜边→HL 特别提醒 边为角的对边→找任一角→AAS 已知 1.证明两个三角形全等时，要认真分析已知条 /找夹角的另一边→SAS 边一角 件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找 边为角的邻边找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS 出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选 择最适当的方法.一般可按下面的思路进行： 已知两角 找夹边→ASA 找任一边→AAS 25 重难点手册人年级数学上册) 2.证明边或角相等的一些常用的依据： 例5如图，∠E=∠F=90°，AE=AF, (1)等线段（角）的和或差相等. AB=AC.给出下列结论：①∠B=∠C;②∠1= (2)全等三角形的对应边（角）相等；公共边、公 ∠2；③MC=BN;④AN=CM. 共角相等 (3)等角的余角或补角相等. 、M (4)垂直的定义. D (5)角平分线的定义. (6)由平行线得同位角、内错角相等，同旁内角 互补. 其中正确的结论是 (填序号) (7)对顶角相等. 解析在Rt△AEB与Rt△AFC中， 例④如图，A,B,C,D四点在同一条直线 (AE=AF, 上，AB=CD,AE⊥EC,DF⊥BF,BF=CE, AB=AC, 求证：BE=CF. '.Rt△ABE≌Rt△ACF(HL). 故∠B=∠C.①正确. 由△ABE≌△ACF,得∠BAE=∠CAF, 则∠BAE-∠MAN=∠CAF一∠MAN,即 证明A,B,C,D四点在同一条直线上， ∠1=∠2.②正确. AB=CD,∴.AB+BC=CD+BC 「∠E=∠F, ∴.AC=BD 在△AEM与△AFN中，.AE=AF, .AE⊥EC,DF⊥BF, ∠1=∠2， ∴.∠AEC=∠DFB=90°. ∴.△AEM≌△AFN(ASA). .CE=BF, .'.AM=AN. ∴.Rt△ACE≌Rt△DBF(HL). 又AC=AB, ∴.∠BCE=∠CBF. ∴.AC-AM=AB-AN,即MC=NB. .BF=CE,BC=CB, ③正确 ∴.△FBC≌△ECB(SAS). 若要使AN=CM,因CM=NB,则，点N ∴.BE=CF 需为AB的中点，显然④不正确. ●变式1如图，A,E,F,C四点在同一条 答案①②③. 直线上，AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC, ●变式2如图，已知CD,BE相交于点A, BF⊥AC,若AB=CD.求证：GF=GE. 点M是BC的中点，∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：△BMD≌△CME. D E B132C M 26 第十四章 全等三角形收 题型2利用三角形全等证明垂直或 1.中线倍长法 平行 中线倍长的作用是平移线段、转移角，有 利用全等可得到边与角的相等关系，而要 利于将题目条件集中在一个三角形中.题目条 证明平行与垂直，都要转化成角的相等、互余、 件或结论中凡涉及三角形的中线，都可以考虑 互补来证明.可适时结合三角形的内角和定 将中线倍长， 理、平行线的判定与性质解决问题， 例☑如图1，在△ABC中，点D是BC边 例6如图，已知AB∥CD,OA=OD,AE 上的中点.求证：AD<AB+AC 2 =DF.求证：EBCF 13 D A42 图1 B 证明如图2，延长AD至点E,使得DE= 证明.ABCD,∴.∠3=∠4. AD,连接BE. 又∠1=∠2，AO=D0, ∴.△ABO≌△DCO(ASA) ..OC=OB. 又OA=OD,AE=DF, ∴.EO=FO,且∠1=∠2， E ∴.△EBO≌△FCO(SAS). 图2 ∴.∠FCO=∠EBO. 点D是BC的中点， ∴.CFEB. .'BD=CD. ◆变式3如图，AD是△ABC的高，点E 在△BED和△CAD中， 为AC上一点，BE交AD于点F,且BF= (BD=CD, AC,FD=CD.求证：BE⊥AC ∠BDE=∠CDA, ED=AD, ∴.△BED≌△CAD(SAS). ∴.BE=AC. B 在△ABE中，AE<AB+BE, 题型3添加辅助线，构造全等三角形 .AE-AD+DE-2AD, 特别提醒 “中线倍长法”构造全等三角形 2AD<AB+AC,即AD<AB+AC 2 巧添 “截长补短法”求证线段的和差问题 总结中线倍长法是证明三角形全等时常 辅助线 “作垂法”构造全等三角形 用的添加辅助线的方法，具有构造全等三角 “延长法”构造全等三角形 形、平移线段等作用，可将已知、未知的条件集 27 重难点手册人年级数学上册) 中在一个三角形中 2.截长补短法 特殊地，当∠BAC=90°时，由图2可得 关于线段的和差问题，首先考虑采用截长 △CAB≌AEBA(SAS,则AD-2AE=2C 补短法，如果需要作辅助线，通常会证两次全 等，其中第一次全等的结果为第二次全等的证 ●变式4如图所示，已知CE,CB分别是 明提供条件。 △ABC,△ADC的中线，且AB=AC.求证： 例9如图1，已知AC∥BD,EA,EB分别 CD=2CE. 平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上.求证： AB=AC+BD AE B 例8如图1，AD为△ABC的中线，AB= 图1 AF,AC=AE,∠BAC+∠EAF=180°.求证： 证明方法一（截长法）如图2，在AB上 EF=2AD. 截取AF=AC,连接EF. A256 F 图1 图2 证明如图2，延长AD至点M,使DM= 在△ACE和△AFE中， AD,连接BM. (AC=AF, ∠1=∠2， AE=AE, ∴.△ACE≌△AFE(SAS). ∴∠C=∠5 M .AC//BD, 图2 ∴.∠C+∠D=180° 又.BD=DC,∠BDM=∠CDA, .∠5+∠6=180°， ∴.△BDM≌△CDA(SAS), .∠D=∠6 ∴.BM=AC,∠M=∠CAD. ∠6=∠D, ∴.∠MBA+∠BAC=180°. 在△BEF和△BED中，∠3=∠4， 又.∠BAC+∠EAF=180°， BE=BE, ∴.∠MBA=∠EAF. ∴.△BEF≌△BED(AAS). 又AE=AC,∴.BM=AE. ∴.BF=BD. 又AB=AF, ..AF+BF=AC+BD,EF AB=AC+BD. ∴.△ABM≌△FAE(SAS). 方法二（补短法）如图3，延长AC到，点 ∴.EF=AM=2AD F,使AF=AB,连接EF. 28 第十四章全等三角形出 .∠FEG=∠A,EG=AC, ∴.△AHC≌△EFG(SAS). ∴.∠AHC=∠EFG 3 ,∠AHC+∠CHB=180°，∠EFG+ 图3 ∠EFB=180°， 在△AEF和△AEB中， .∠CHB=∠EFB. (AF=AB, '∠EFB=∠B,∠B=∠CHB. {∠1=∠2， .'CD⊥AB,∴.∠CDB=∠CDH=90°. AE=AE, .CD=CD,.△CDH≌△CDB(AAS). ∴.△AEF≌△AEB(SAS). ∴.BD=DH. EF=EB,∠F=∠3. ∴.AD=AH+DH=EF+BD. .∠3=∠4，∴.∠F=∠4. .AC∥BD,∴.∠5=∠D. ∠F=∠4， 在△CEF和△DEB中，∠5=∠D, EF=EB, F M ∴.△CEF≌△DEB(AAS). 图2 图3 ∴.CF=DB. 方法二（补短法）如图3，延长EF至点 .AB=AF=AC+CF, M,使EM=AD,连接GM. ∴.AB=AC+BD. ∠FEG=∠A,EG=AC, 总结用截长补短法解题时，作辅助线可 '.△ADC≌△EMG(SAS). 以提供一个条件，根据全等判定所需的条件， ∴.∠M=∠ADC,CD=GM. 三个条件中缺什么条件就通过作辅助线补什 ,'CD⊥AB,∴.∠CDB=∠CDA=90°. 么条件. ∴.∠M=∠CDB. 例10如图1，E为AB边上一点，CD⊥ .'∠B=∠EFB,∠EFB=∠GFM, AB于点D,F,G为BC的延长线上的点， ∴∠B=∠GFM. EG=AC,∠FEG=∠A,∠B=∠EFB.求证： ∴.△CDB≌△GMF(AAS).∴.BD=FM. AD=EF+BD. ..AD=EM=EF+FM=EF+BD. ●变式5如图，在△ABC中，AB=AC, ∠1=∠2，AE⊥CD于点E.求证：DC-DB= 2DE. 图1 证明方法一（截长法） 如图2，在AD上 截取AH=EF,连接CH. 29 重难点手册人年级数学上册则 3.作垂法 BC,CD上的点，且∠EAPF=∠BAD.求证： 已知一对边、一对角分别相等的两个三角 EF=BE+FD. 形，可用作垂法. 例11如图1，在四边形ABCD中，∠A= (2)如图2，在四边形ABCD中，AB= AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD ∠B=90°，E为AB上一点，ED平分∠ADC, EC平分∠BCD 上的点，且∠EAP-∠BAD,则(I)中的结论 (1)求证：DE⊥CE; 是否仍然成立（不用说明理由）？ (2)求证：AE=BE; (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD, (3)求证：AD+BC=CD; ∠B十∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD (4)若AB=12,CD=13,求S△cDE 延长线上的点，且∠EAF=∠BAD,则I)中 A可 A日 的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不 E 成立，请写出它们之间的数量关系，并证明， B 图1 图2 解析(1).∠A=∠B=90°， B E B E 图1 图2 图3 ∴.ADBC 4.延长法 ∴.∠ADC+∠BCD=180° 在镜面角的题目中，延长法是解决问题的 .DE平分∠ADC,CE平分∠BCD, 重要方法. ∴.∠EDC+∠ECD=90° 如图，若已知△ABC中，D,E,F分别为 ∴.∠DEC=90°，即DE⊥CE. BC,AB,AC上一点，∠EDB=∠FDC,则可以 (2)如图2，过，点E作EF⊥CD于，点F, 延长FD至点H,使DH=DE,可得△EDB≌ .EA⊥AD,EB⊥BC, △HDB. ..EA-EF-EB. (3)易证△ADE≌△FDE,△CBE≌ △CFE,∴.AD=DF,CB=CF. ∴.AD+BC=CD H (④AB=12,EF=AE-号AB=6 例12在△ABC中，AC=BC,∠C=90°， E,M,D分别为AC,AB,BC上一点，连接 ME,MD,AD.若∠EMA=∠DMB,∠AEM 六Same=2CD·EF=2X13X6=39. =45°+∠DAM,求证：AD=EM+DM. ◆变式6(1)如图1，在四边形ABCD中， 证明如图，延长DM至点F,使MF=ME, AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边 连接AF. 30 第十四章 全等三角形么出 ,AC=BC,∠C=90°， ∴.∠CAM=∠B=45°， ∴.∠FAM=45°， M ∴.∠DAF=∠FAM+∠DAM=45°+ ∠DAM. .'∠AMF=∠DMB=∠EMA,AM=AM, ,∠AEM=45°+∠DAM, ∴.△AFM≌△AEM(SAS), ∴.∠DAF=∠AEM=∠F, ∴.∠F=∠AEM,∠FAM=∠CAB. ..AD=DF=MF+DM=EM+DM. 03热点考向聚焦。 考向1全等三角形的判定 考向2全等三角形的判定与性质的综 例13(2023·四川凉山州中考)如图，点 合应用 E,点F在BC上，BE=CF,∠B=∠C,添加一 例14(2024·四川南充中考)如图，在 个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( △ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE∥ AC交AD的延长线于点E. B E B A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC E C.AB=DC D.AF=DE (1)求证：△BDE≌△CDA; 分析根据BE=CF求出BF=CE,再根 (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE. 据全等三角形的判定定理进行分析即可 证明(1).D为BC的中点， 解析，BE=CF, .'BD=CD. ∴.BE+EF=CF+EF, .BE∥AC, 即BF=CE. ∴.∠E=∠DAC,∠DBE=∠C. ∴.当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌ 「∠E=∠DAC, △DCE,故A不符合题意； 在△BDE和△CDA中，∠DBE=∠C, 当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得 BD=CD, △ABF≌△DCE,故B不符合题意； ∴.△BDE≌△CDA(AAS). 当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌ (2).△BDE≌△CDA,.ED=AD. △DCE,故C不符合题意； .AD⊥BC,.∠ADB=∠EDB=90°. 当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE, (AD-ED, 故D符合题意. 在△ADB和△EDB中，∠ADB=∠EDB, 答案D BD=BD, 31 重难点手册人年级数学上册划 ∴.△ADB≌△EDB(SAS). 在△BDE和△CDA中， ∴.BA=BE .'BD=CD,∠BDE=∠CDA,DE=AD, 考向3图形变换中全等三角形的探究 ∴.△BDE≌△CDA(SAS) 例15（经典·贵州贵阳中考） '.BE=AC=6,在△ABE中，由三角形的 （1)阅读理解： 三边关系得AB一BE<AE<AB十BE, 如图1，在△ABC中，若AB=10,AC=6, .10-6<AE<10+6,即4<AE<16, 求BC边上的中线AD的取值范围. ∴.2<AD<8. 解决此问题可以用如下方法：延长AD到 (2)如图2，延长FD至点M,使DM=DF, 点E,使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕 连接BM,EM,同(1)中的方法得△BMD≌ 着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB, △CFD(SAS),得出BM=CF,从而△EDF≌ AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边 △EDM(SAS),得出EM=EF. 的关系即可判断 在△BME中，由三角形的三边关系得出 中线AD的取值范围是 BE+BM>EM,即可得出结论. (2)问题解决： (3)BE十DF=EF.证明如下： 如图2，在△ABC中，D是BC边上的中 如图3，延长AB到，点N,使BN=DF,连 点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF 接CN. 交AC于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF. .∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC (3)问题拓展： =180°， 如图3，在四边形ABCD中，∠B十∠D= 180°，CB=CD,∠BCD=140°，以点C为顶点 ∴.∠NBC=∠D. 作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E, 在△NBC和△FDC中， F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间 .BN=DF,∠NBC=∠D,BC=DC, 的数量关系，并加以证明. ∴.△NBC≌△FDC(SAS). ∴.CN=CF,∠NCB=∠FCD. D .∠BCD=140°，∠ECF=70°， ∴.∠BCE+∠FCD=70°， ∴.∠ECN=70°=∠ECF. B 图1 图2 图3 在△NCE和△FCE中， 解析(1)如图1，延长AD到，点E,使DE .'CN=CF,∠ECN=∠ECF,CE=CE, AD,连接BE ∴.△NCE≌△FCE(SAS). ,AD是BC边上的中线， ∴.EN=EF, ..BD=CD. .BE+BN=EN,.'.BE+DF=EF. 32