14.1 全等三角形及其性质-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

14 第十四章： 全等三角形 14.1全等三角形及其性质 重点和难点 课标要求 重点：全等形及全等三角形的概念，对应边、对应角的识别 1.用平移、旋转、翻折的观，点找对应边和 难点：全等三角形的表示方法和全等三角形的性质，用平 对应角 移、翻折和旋转的观，点看全等三角形 2.熟练掌握几种基本图形的位置关系 门-01-必备知识梳理。 知识点1全等形的概念及性质 错解 A 1.全等形的概念：能够完全重合的两个图 错因此题中边的长短不是十分清晰， 形叫作全等形 即在△ABC和△CDA中，AB与BC的长、 2.全等形的性质：全等图形的形状和大小 AD与DC的长不确定，因此不能利用大小 都相同. 关系确定对应边与对应角，而两个三角形有 特别提售 公共边AC,两个全等图形中的公共边一定 ()“能够重合”是全等三角形的主要特征 是对应边 (2)图形的全等与位置没有关系， 正解B 例①下列说法不正确的是( 知识点2全等三角形的定义和表示 A.如果两个图形全等，那么它们的形状和 方法 大小一定相同 1.全等三角形 B.面积相等的两个图形是全等图形 能够完全重合的两个三角形叫作全等三 C.图形全等，只与形状、大小有关，而与它 角形 们的位置无关 2.全等三角形的对应元素 两个三角形全等，互相重合的顶点叫作对 D.全等三角形的对应边相等，对应角相等 应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合 分析全等形必须形状与大小完全一样， 的角叫作对应角， 与位置无关. 3.全等三角形的表示方法 答案B “全等”用符号“2”表示 易错点忽略多种对应的可能性 符号“≌”读作“全等于”，如△ABC和 例已知在四边形ABCD中，△ABC与 △DEF全等，记作△ABC≌△DEF,其中点A △CDA是全等三角形，则一定是一组对应边 和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶 的是( . 点；AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应 A.AB和DC B.AC和CA 边；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对 C.AD和CB D.AD和DC 应角 18 第十四章 全等三角形底组 注意记两个三角形全等时，一定要把表 错解除正解外，对应角还误添了∠APC 示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如， 与∠BPD,对应边误添了AC与BD △ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD是两种 错因没有将△PAD与△PBC从整个 不同的对应关系。 图形中分离出来，导致找对应关系出错.AC 特别提醒 与BD,∠APC与∠BPD根本不是△PAD (1)在两个全等三角形中，最长边对最长边，最 与△PBC的边和角. 短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角. 正解对应边为PA与PB,PD与PC, (2)公共角、对顶角必为对应角，公共边必为对 AD与BC;对应角还有∠APD与∠BPC. 应边」 (3)全等三角形对应角所对的边是对应边，两 知识点3全等三角形的性质及拓展 个对应角所夹的边是对应边， 1.全等三角形的性质 (4)全等三角形对应边所对的角是对应角，两 全等三角形的对应边相等，对应角也相等。 条对应边所夹的角是对应角， 2.全等三角形性质的拓展 (⑤)根据书写规范，按照对应顶点找对应边或 全等三角形的周长相等，面积相等，对应 对应角，如△ABE≌△ACD,则对应边是AB与 边上的中线的长相等，对应角的平分线的长相 AC,BE与CD,AE与AD;对应角是∠ABE与 等，对应边上的高相等 ∠ACD,∠AEB与∠ADC,∠BAE与∠CAD 例3如图，已知Rt△ABC≌Rt△EDA, 例2如图，已知△ABC≌△EDC,指出其 ∠ACB=∠EAD=90°，点C在AD上，DE与 对应边和对应角， BC交于点F (1)若AE=5,BC=8,求CD的长； (2)若∠BAC=54°，求∠D和∠BFD的 B 度数 解析对应边为AB与ED,AC与EC,BC 与DC;对应角为∠A与∠E,∠B与∠D, ∠ACB与∠ECD. 总结用“≌”记两个三角形全等时，对应 顶点的字母写在对应位置上，所以可以根据其 解析(1).△ABC≌△EDA, 表达式找对应边、对应角.还可以根据图形的 ..AE=AC=5,BC=AD=8. 特征直观地找出对应边和对应角， ∴.CD=AD-AC=8-5=3. 易错点忽略全等记法中的对应关系 (2).△ABC≌△EDA, 例如图，△PAD≌△PBC,∠PCD= ∴.∠E=∠BAC=54°. ∠PDC,∠A=∠B,指出其他的对应边和对 .∠EAD=90°， 应角. ∴.∠D=90°-∠E=36° ,∠ACB=90°=∠DCF, ∴.∠BFD=∠DCF+∠D=90°+36°= 126°. 19 重难点手册人年级教学上册®则 知识点4全等变换的保形性 线AE方向运动（当点B到达点O时，B,C 特别提醒 两点同时停止运动)，点B和点C的速度之 只改变图形的位置而不改变其形状、大小的图 比为2：3，运动时间为t秒，且点D在y轴 形变换叫作全等变换 正半轴上，若△OBD与△ABC全等，求点D 一个图形经过（沿某直线）平移、（沿某直线）翻 的坐标. 折、（绕某点）旋转后，图形的位置发生了变化，但形 E 状、大小都保持不变（我们称其为保形性），即平移、 D 翻折、旋转前后的图形全等， B A元 例④如图，△ACF与△DBE全等，∠E= 错解 D(0,15). ∠F,若AD=11,BC=7,求线段AB的长. 错因 误以为A,B,C三个点的对应点 分别为O,B,D,犯了主观性错误. 正解依题意，设AB=2t,则AC=3t. .∵A(20,0),∴.OA=20..∠CAB= A B ∠BOD=90°，△OBD和△ABC全等， 解析由题意可知△ACF≌△DBE, ∴分两种情况： ∴.AC=DB. ①当△ABC≌△ODB时，OD=AB= ..AC-BC=DB-BC. 2t,OB=AC=3t, .AB-DC-(AD-BC)2X4-2 .OB+AB=20,∴.2t十3t=20,解得 t=4,∴.OD=2t=8,.D(0,8); 易错点对应关系不明确 ②当△ABC≌△OBD时，OD=AC= 例如图，在平面直角坐标系中，直线 3t,OB=AB=2t, EA⊥x轴于点A(20,0),B,C分别为线段 .OB+AB=20,∴.2t+2t=20,解得 OA和射线AE上的一点，若点B从点A出 t=5,∴.OD=3t=15,.D(0,15) 发向点O运动，同时点C从点A出发沿射 综上所述，点D(0,8)或(0,15). 02关键能提升。 题型1利用全等三角形的性质求未知 (3)将待求角看成几个小角的和，将小角的度 边和未知角 数相加. 特别提醒 (4)将待求角看成某大角的一部分，用大角的 求角的几种方法 度数减去其余角的度数 (1)将待求角看成某三角形的内角，用三角形 内角和定理。 例5如图，△ABC≌△ADE,且∠CAD (2)将待求角看成某三角形的外角，用三角形 =10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，试求 外角和定理 ∠DFB和∠DGB的度数. 20 第十四章 全等三角形出 AB翻折180°到△ABD的位置，这种变换就是 G 翻折变换。 C (3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的 A B 角度到另一个位置，这种变换叫作旋转变换： 解析.△ABC≌△ADE, 如图3，将△AOC绕点O旋转180°到△BOD ∴.∠DAE=∠BAC 的位置，这种变换就是旋转变换， ·∠DAE=∠BAC=号（∠EAB D 2 ∠CAD)=号×(120-109=55 ∴.∠DFB=∠FAB+∠B=∠BAC+ 图2 图3 ∠CAD+∠B=55°+10°+25°=90°， 例⑥如图，将△OAB绕点O按逆时针方 ∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°. 向旋转至△OA'B',使点B恰好落在A'B'上 ●变式1如图，已知△ABF≌△CDE, 已知AB=4cm,BB'=1cm,则A'B的长是 ∠B和∠D是对应角，AF和CE是对应边. cm, (1)写出△ABF和△CDE的其他对应角 和对应边； (2)若∠B=30°，∠DCF=40°，求∠EFC 的度数； (3)若BD=10,EF=2,求BF的长 解析△OAB是由△OAB旋转得到的， B ∴.△OA'B≌△OAB,且A'B'与AB是对 E 应边， .'.A'B'=AB=4 cm. D C 又BB'=1cm, 题型2全等变换保形性的运用 ∴.A'B=A'B'-BB'=4-1=3cm. 全等变换包括以下三种： 答案3. (1)平移变换：将图形沿某条直线平行移 ●变式2如图，将△ABC沿BC方向平 动，这种变换叫作平移变换.如图1，将△ABC 移，得到△DEF.若BC=8cm,BF=12cm,则 沿直线BC移动到△A'B'C'和△A"BC"的位 BE的长为 cm, 置都是平移变换 B'C C'B B E 图1 例☑如图，把长方形ABCD沿AE折叠， (2)翻折变换：将图形沿直线翻折180°，这 使点D落在BC边上的点F处，若BC=8cm, 种变换叫作翻折变换.如图2，将△ABC沿边∠BAF=40°，求∠DAE的度数与AF的长度. 21 重难点手册人年级数学上册划 D 在长方形ABCD中，AD=BC=8cm, ∠BAF+∠EAF+∠DAE=90°， B AF=8cm,∠DAE=2(90-∠BAF) 解析由题意可知△AFE≌△ADE, ∴.AF=AD,∠FAE=∠DAE. =25°. 口03热点老向聚焦。 考向1利用全等三角形的性质求对应 则口ABCD的周长为 边或对应角的大小 例8(2023·四川成都中考)如图所示， A 已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在 同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长 B 解析由折叠知△AEC≌△ABC, 为 ∴.∠ACE=∠ACB, .∠ACE=2∠ECD, ∴.∠ACE=∠ACB=2∠ECD. B E .四边形ABCD是平行四边形， 解析，△DEF≌△ABC, ∴.∠FAC=∠ACB,∠B+∠BCD=180°， ∴.EF=BC=8. 即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°. 又CE=5, .∠ECD=20°，∠ACE=∠ACB=40°= ∴.CF=EF-EC=8-5=3. ∠FAC, 答案3. ∠CFD=∠FAC+∠FCA=80°=∠B= 考向2利用全等变换识别全等三角形， ∠D 再用全等三角形的性质求解 ..AF=CF=CD=a,E AD=a+6. 例9如图，将□ABCD沿对角线AC翻 则□ABCD的周长为2AD+2CD=4a 折，点B落在点E处，CE交AD于点F,若 +2b. ∠B=80°，∠ACE=2∠ECD,F℃=a,FD=b, 答案4a+2b. 22