第13章 三角形复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十三章三角形底出 单元复习归纳 口01知识网巧构建。 「三角形的边、角 腰和底不相等的等腰三角形 等腰三角形 三角形的概念 按边分类 等边三角形 三角形的分类 三边都不等的三角形 L按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 角 三角形三边的关系 与三角形有关的线段 三角形的高、中线、角平分线 三角形的内角和 三角形的内角与外角 直角三角形两锐角关系 三角形的外角与内角关系 口02微传题妙总结。 微专题1利用三角形三边的关系证明 CQ 不等式 又.MN=MP+PQ+NQ, 例1如图1，P,Q是△ABC内两点，求 ..AB+AC+MP+NQ>MP+PQ+ 证：AB+AC>PQ+BP+CQ NQ+BP+CQ. A ∴.AB+AC>PQ+BP+CQ, 总结将图形分解为若干个三角形，其中 Q Q 含有待证式中的线段，每个三角形都用三边关 系式呈现出来，组合成待证式即可. B 图1 图2 若本例中的P,Q重合，证明方法类似 证明如图2，延长PQ,分别交AB,AC于 微专题2求复杂图形中的角的关系 点M,N. 求复杂图形中几个角的和，可以结合图形 在△AMN中，有AM+AN>MN. 的特点，将复杂图形分解为若干个基本图形， 在△MBP中，有BM+MP>BP. 利用基本图形找出角度之间的隐含关系，充分 在△NCQ中，有CN+NQ>CQ. 利用内角和公式、外角和定理、外角与内角的 ..AM+AN+BM+MP+CN+NQ> 关系解题 MN+BP+CQ, 例2如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 即AB+AC+MP+NQ>MN+BP+ ∠B=45°，D,E分别是BC和BC延长线上的 15 重难点手册人年级数学上册则 点，EF⊥AD于点F,∠BAD=2∠CAD,求 ∠D. ∠E的度数. B D4 证明：.∠1=∠A+∠B,∠1=∠C+ ∠D, 解析.∠ACB=90°，∠B=45°， ∠A+∠B=∠C+∠D. .∠BAC=90°-∠B=45°. (3)凹四边形 .∠BAD=2∠CAD, 如图，在凹四边形ABCD中，有∠DCB= ∠CAD-号∠BAC=15 ∠A+∠B+∠D. :EF⊥AD,.∠DFE=∠ACD=90° ∴.∠E+∠ADC=∠CAD+∠ADC. ∴.∠E=∠CAD=15°. B 微专题3三角形中与角有关的几种常 证明：如图，延长DC交AB于点M, ∴.∠CMB=∠A+∠D 见模型 又.'∠DCB=∠CMB+∠B, 我们由三角形的基本知识可推导出常用 ∴.∠DCB=∠A+∠B+∠D: 的模型和一般结论，除本节讲解的角平分线模 例3如图1，若∠E0C=115°，则∠A+ 型外，还有以下几种常见模型： ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 1.A形、X形、凹四边形模型 (1)A形 115 如图，∠DAE的两边上各有一点B,C,连 接BC,则有∠DBC+∠ECB=180°+∠A. D 图1 解析方法一由凹四边形EDCO和凹四 D 边形ABOF可知，∠EOC=∠D+∠E+∠C, 证明：，'∠DBC和∠ECB是△ABC的 ∠BOF=∠A+∠B+∠F, 外角， ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .∠DBC=∠A十∠ACB,∠ECB= ∠EOC+∠B0F=2×115°=230°. ∠A+∠ABC. 方法二如图2，连接BE,CF,AD. 又.'∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+ ∠ABC+∠A=180°+∠A. (2)X形 如图，在X形中，有∠A十∠B=∠C十 图2 16 第十三章三角形收 由X形ACFD可知，∠DAF十∠ADC= ∠AEF+∠2. ∠DCF+∠CFA, ,∠AFE=180°-∠A-∠AEF, 由X形ADBE可知，∠BAD十∠ADE= .∴∠2=180°-∠A-∠AEF-∠A ∠BED+∠EBA, ∠AEF=180°-2∠A-2∠AEF ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .∠1-∠2=180°-2∠AEF-(180°- ∠OEB+∠OBE+∠OCF+∠OFC=2X115 2∠A-2∠AEF). =230°. .∠1-∠2=2∠A,即∠A=21° 答案230°. 答案B 2.折叠模型 3.角平分线与垂线模型 如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内部折 例5(1)如图1，AE,AD分别是△ABC 叠，A与A'重合，则∠1+∠2=2∠A, 的高和角平分线，若∠B=40°，∠C=80°，求 B ∠DAE的度数； A'、IND 2 (2)如图2，AD平分∠BAC,点P是AD ---=A E 延长线上的一点，过点P作PE⊥BC,求证： 证明：，∠ADE+∠AED=180°-∠A, 由折叠可知，∠A'DE十∠A'ED=180° ∠P-i(∠c-∠B ∠A, 由A形模型结论可得∠BDE十∠CED= 180°+∠A, '.∠1+∠2=∠BDE+∠CED-(∠A'DE +∠A'ED)=2∠A. 图1 图2 例④如图，在△ADC中，点E和点F分 解析(1)在△ABC中，∠BAC+∠B+ 别为AD,AC上的动点，把△ADC纸片沿 ∠C=180°， EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A'处， ,∠B=40°，∠C=80°，.∠BAC=60° 若∠1-∠2=42°，则∠A的度数为(). 'AE,AD分别是△ABC的高和角平分线， :∠BAD=2∠BAC=2X60=30, ∠BAE=90°-∠B=90°-40°=50°. ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=20°. D (2).AD平分∠BAC, A.20°B.21° C.21.5°D.22.5 解析根据折叠的性质得∠A=∠A', :∠RAD-2∠BAC-902☑B+∠C. ∠AEF=∠A'EF,∠AFE=∠A'FE .PE⊥BC, ,∠1=180°-∠AEA',∠A'FE=∠CFE+ .∠P=90°-∠PDE=90°-（∠B+ ∠2，∠CFE=∠A十∠AEF, ∴.∠1=180°-2∠AEF,∠AFE=∠A+ ∠BAD)-2∠C-∠B. 17