13.2 与三角形有关的线段-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册人年级数学上册则 13.2与三角形有关的线段 重点和难点 课标要求 1.掌握三角形的基本概念，能够运用三角形三边的关系解 决一些问题， 重点：三角形三边的关系 2.理解三角形的高、中线与角平分线的含义，并会作出这三 难点：三角形的高、中线与角平分线的 种重要的线段。 含义及作法 3.了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性，并能结合实 例说出它们在日常生活中的应用」 01一必备知识梳理。 知识点1三角形三边的关系 答案5. 三角形三边的关系：在三角形中，任意两 总结抓住三角形三边的关系，同时还要 边之和大于第三边 注意第三边的长为整数这一条件」 推论：若三条边满足“三角形三边的关 易错点忽略组成三角形的条件 系”，即任意两边之和大于第三边，则这三条边 例各边长度都是整数，最大边长为8的 可以组成一个三角形 三角形共有 个 特别提醒 错解从1到8的8个数字中任取两 记△ABC的三条边的边长分别为a,b,c, 个，认为它们与给定的8均可组成三角形，故 则有： 计数为8×7÷2=28（个）. a十b>c,a十c>b,b十c>a(任意两边之和大 错因未考虑组成三角形的条件，即任 于第三边). 意两边之和大于第三边. 它的另一种等价表述形式是： 正解依题意知，三边长可以为：1,8,8； la-cl<b,b-c|<a,|a-b|<c(任意两边 2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4, 之差小于第三边)」 6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8, 8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8. 例①已知三角形两边的长分别为1和5， 共计20个 第三边的长为整数，则第三边的长为 解析根据三角形三边的关系“任意两边 易错点忽略三角形三边关系的任意性 之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 例三条线段长分别为2cm,3cm, 求第三边的取值范围，再进一步根据第三边的 6cm,因为2十6=8>3，即有两边之和大于 长是整数求解。 第三边，所以这三条线段可以组成一个三角 形.（) 5-1<第三边的长<5+1，即4<第三边 错解√. 的长<6，又第三边的长为整数，所以答案为5. 4 第十三章三角形么出 错因将三角形三边关系的任意性错 例②如图，在△ABC中有四条线段DE, 误理解为存在性.正确的判断方法是先对所 BE,EF,FG,点D,E,F,G分别为AB,AC, 给数据进行大小排序，比如本题2<3<6，然 BC,EC的中点，其中有一条线段是△ABC的 后只需考虑较小的两条线段的长度之和是 中线，则该线段是( 否大于第三条线段的长度.若是，则三条线 段能构成三角形；若不是，如本题2十3<6， 则三条线段不能构成三角形 正解× A.线段DE B.线段BE 知识点2三角形的高、中线和角平分线 C.线段EF D.线段FG 三角形的 分析根据三角形一边的中点与此边所对 三角形的高 三角形的中线 角平分线 顶，点的连线叫作三角形的中线逐一判断即可. 从△ABC的 解析根据三角形中线的定义可知线段 连接△ABC的 顶点A向它所 画∠A的平分线 顶点A和它所 BE是△ABC的中线，故选B. 对的边BC所 AD,交∠A所 在直线画垂线， 对的边BC的 答案B 对的边BC于点 定义 垂足为点D,所 中点D,所得 D,所得线段AD 易错点忽略三角形的高的定义 线段AD叫作 得线段AD叫 △ABC的边 叫作△ABC中 例下列各图示中，线段AD是△ABC 作△ABC的边 ∠A的平分线 BC上的中线 的高的是( BC上的高 B 图示 错解 B或C 几何 线段 形状 线段 线段 错因易误认为从顶，点向邻边作垂线与 对边相交，顶点与交点之间的线段即为高，特 点D为BC边 点D为BC边 点D为BC 别是在钝角三角形中，更容易出错： 所在直线上的 上的一点， 边上的一点， 几何一点，AD⊥BC ∠BAD=∠CAD 正解由题意知，线段AD是由顶点A BD=DC(或 推理（或∠ADB (或∠BAD= 1 引出的线段，点A的对边是BC,由三角形的 BD= 形式∠ADC=90) 1 2 ∠BAC)=→AD 高的定义可知，只有当点D是垂足，即ADL 台AD是边BC 台AD是边 是∠BAC的平 BC上的中线 BC时，AD才是△ABC的高.故选D. 上的高 分线 知识点3三角形的稳定性 特别提醒 1.如果三角形的三边长度确定，那么三角 三角形的三条中线交于一，点，三角形的三条角 形的形状、大小就完全确定了，三角形的这种 平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。 性质叫作三角形的稳定性 5 重难点手册人年级数学上册团 三角形的稳定性有着广泛的应用，如大桥 木架，为了使该木架稳固，他想在其中加上4根 钢架、高压电线杆的支架等 木条，请在图1的三个图中画出你的三种作法。 2.四边形不具有稳定性，也就是说，四边 形的四条边的长度确定后，不能确定它的形 状，因为它的各个角的大小还可以改变， (1 (2) (3 图1 四边形的不稳定性有着广泛的应用，如活 动挂架、伸缩尺等.有时我们又要克服四边形 解析如图2（答案不唯一） 的不稳定性，如在安装窗框前，先在窗框上斜 钉一根木条，使它不变形 (2) 例3小明用7根木条钉成一个七边形的 图2 02关键能幼提升。 题型1画三角形的高、中线、角平分线 例④如图1，在△ABC中， (1)画出BC边上的高AD; (2)画出AC边上的中线BE; (3)画出△ABC的角平分线CF. 题型2三角形三边关系的应用 三角形任意两边之和大于第三边是构成 三角形的重要依据.任意给定三条线段，并不 能保证可以构成三角形，必须用三角形三边的 关系去验证， 图1 在实际的验证过程中，并不需要将三边的 解析(1)(2)(3)如图2所示 三种组合关系都验证一次.若能够在给定的三 条线段中找出最长的线段，则只需验证两条较 短线段的长度之和是否大于最长线段的长度 B 即可.若两条较短线段的长度之和小于或等于 最长线段的长度，则不能构成三角形 图2 例5如图，在△ABC中，AB=AC,D为 ◆变式1利用直角三角板，作△ABC的 高，下列作法正确的是(). AC上一点，求证：AC>2(BD+CD. B ⊙ 第十三章三角形么出超 分析只需证明2AC>BD+CD即可.又 题型3利用三角形的高、中线计算面积 AB=AC,即只需证明AB十AC>BD+CD. 例7如图，在△ABC中，点D,E,F,G 证明，AB十AD>BD, 分别是BC,AC,DC,EC的中点，已知△ABC ..AB+AD+CD>BD+CD 的面积为1，求△FGC的面积 ∴.AB+AC>BD+CD .'AB=AC, ∴.2AC>BD+CD. AC>(BD+CD). 解析AD是△ABC的中线， ◆变式2在平面中，用几根火柴首尾相接 ∴.BD=DC 搭成三角形 ,△ABD的BD边上的高与△ADC的 (1)4根火柴能搭成三角形吗？ DC边上的高相同， (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三 .S△ABD=S△ADC· 角形？ .SAADC= 2SAABC. 例6已知一个等腰三角形的两边长分别 为3和6，则该等腰三角形的周长是 同理，SADEC= 2SAAIC SAERC-1 SADEC, 分析分腰长为3和腰长为6两种情况考 虑，先根据三角形三边的关系确定三角形是否 S△FGC=1 SAEFC. 存在，再根据三角形的周长公式求值即可. SAABC=1, 解析当腰长为3时，.3十3=6， 1 ∴3,3,6不能组成三角形； 当腰长为6时，3十6=9>6， ●变式4如图，D,E分别是△ABC的边 ∴3,6,6能组成三角形，该三角形的周长 AB,BC上的点，AD=2BD,BE=CE.设 △ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若 为3+6+6=15. 答案15. S△ABc=6,则S1一S2的值为 ●变式3一个三角形的两边长分别为3和 8,第三边的长为奇数，则第三边的长为(). A.5或7 B.7 C.9 D.7或9 门-03热点老向聚焦。 考向1三角形三边关系的应用 A.17或13 B.13或21 例8若等腰三角形的两边长满足方程组 C.17 D.13 2x-y=-1, 解析由方程组解得x=3,y=7. 得十3-2，则这个角形的周长为 .3+3<7, 42 .等腰三角形的底边长为3，腰长为7， > 重难点手册人年级数学上册划 ∴.这个三角形的周长为3十7+7=17. 解析.∠BCD=30°，∠ACB=80°， 答案C .∠ACD=50° 考向2三角形的高、中线、角平分线 .CD是边AB上的高， 的应用 ∴.∠ADC=90° 例⑨(2024·四川凉山州中考)如图，在 ∴.∠DAC=40° △ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是 AE是∠CAB的平分线， 边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则 ∠AEB的度数是 ∴∠CAE=9∠DAC=20 '.∠AEB=∠CAE十∠ACB=20°+ 80°=100°. A D 答案100°. 8