第1期 13.1 三角形的概念 13.2 与 三角形有关 的线段 13.3 三角形的内角与外角-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（人教版2024 广东专版）

初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期(2025年7月) 第1期2版 又因为∠B=50°，所以∠BAC=∠ACD-∠B=30° 13.1三角形的概念 又因为∠BAC:∠CAD=3:2,所以∠CAD=20° 基础训练1.C;2.A;3.8,4,BE,∠BEC. 能力提高4.因为AD为△ABC的高，所以∠ADB=90° 13.2与三角形有关的线段 又因为∠B=40°，所以∠BAD=90°-∠B=50. 13.2.1三角形的边 ①当△ABC是锐角三角形时，如图1所示 基础训练1.C;2.C；3.三角形具有稳定性；4.3. 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70° 5.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所以AB-BC< AC<AB+BC,即5<AC<9. 又因为AE平分∠BMC,所以∠BAE=7∠BAC=35 (2)因为△ABC的周长为偶数，AB+BC=9,为奇数，所以 所以∠AEC=∠B+∠BAE=75°. AC的长为奇数. 因为5<AC<9,所以AC=7=AB.所以△ABC的周长 为：9+7=16，△ABC是等腰三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 E 基础训练1.B;2.B;3.4. 图1 图2 4.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1=∠ACB, ②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示. ∠DCB=∠2=40°. 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=30 因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠DCB= 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠BAC=15 80° 所以∠AEC=∠B+∠BAE=55°. 所以∠1=80° 综上所述，∠AEC的度数为75°或55°. (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD. 第1期3版 因为FH⊥AB,所以∠FHB=90° 所以∠CDB=90°. 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高. 题号12345678 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 二、9.三角形具有稳定性；10.7；11.115；12.26； 基础训练1.D;2.B;3.55. 13.64°；14.125°或55°. 4.因为FD∥EC,∠D=42°，所以LBCE=42. 三、15.图略. 因为CE是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠BCE= 16.(1)因为∠ADC=60°，∠B=2∠BAD,∠B+∠BAD 840 =∠ADC,所以2∠BAD+∠BAD=60°. 又因为∠A=46°，所以∠B=180°-∠A-∠ACB=50° 解得∠BAD=20° 13.3.2三角形的外角 (2)因为∠B=40°，∠ADC=65°，所以∠BAD=∠ADC 基础训练1A;2.25°. -∠B=25° 3.因为CE平分∠ACD,∠DCE=40°，所以∠ACD= 因为AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD=50° 2∠DCE=80° 所以∠B+∠BAC=90° 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 所以△ABC是直角三角形. +∠PAN 17.(1)因为1a-b1+(b-c)2=0,所以a-b=0,b- ②∠B+∠C=2∠P.理由如下： c=0. 因为∠B+∠BDW=∠P+∠PAW,∠C+∠CAM=∠P 所以a=b,b=c +∠PDM,所以∠B+∠BDN+∠C+∠CAM=∠P+∠PAN 所以a=b=c +∠P+∠PDM.因为AP平分∠BAC,DP平分∠BDC,所以 所以△ABC是等边三角形. ∠CAM=∠PAW,∠BDN=∠PDM.所以∠B+∠C=2∠P. (2)因为a=5,b=2,所以5-2<c<5+2,即3<c< 第2期综合测评卷 因为三角形的周长为奇数，所以c是偶数.所以c=4或6. 题号12345678910 (3)由三角形的三边关系，得a-b<c,b-c<a,a+b> 答案CC BC AC BA D C 二、11.稳定性；12.6；13.20；14.74°；15.180°. 所以原式=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b 三、16.图略. -C. 17.因为∠ACD=∠BAC+∠B,所以∠ACD>∠BAC.因 18.(1)120°，155°. 为∠BAC=∠E+∠AFE,所以∠BAC>∠AFE.所以∠ACD (2)猪想：∠BPC=90+7∠A理由如下： >∠AFE 因为△ABC的两条角平分线BD,CE交于点P,所以∠PBC 18.因为△ABC的两条高AD,CE相交于点O,所以∠AEC =∠ABC,∠PCB=7∠ACB =∠ADC=90°.因为∠ACE=45°，∠DAC=20°，所以∠EAC =90°-∠ACE=45°，∠ACD=90°-∠DAC=70°.所以∠B 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠PBC+ =180°-∠EAC-∠ACD=65° ∠PB=I80,所以∠BPC+(LABC+∠ACB)=∠BPC 四、19（1)由三角形的三边关系，得3c-4>c, +7(180-∠A)=180 l2c-6<c. 解得2<c<6. 所以LBPC=90°+2∠A (2)因为c为偶数，所以c=4.所以a+b=8.所以△ABC 的周长为：a+b+c=12. (3)由(2)，得∠P=0+∠A,∠A=0+2∠P 20.(1)因为∠BED=55°，∠BAD=35°，所以∠ABE= 所以∠R=90+子∠P=90+(90+7A ∠BED-∠BAD=20°.因为BE为△ABD的角平分线，所以 ∠ABC=2∠ABE=40°.因为AF是△ABC的高，所以∠AFB =90°.所以∠BAF=90°-∠ABF=50° 附加题1.(1)是； (2)因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAC=2∠BAD (2)由△ADC是“倍余三角形”，∠ADC是钝角，分情况讨 =70°.所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70° 论： 21.因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD.设BD=CD ①当2∠DAC+∠C=90°时，2LDAC+36°=90°，解得 =x.因为AC=2BC,所以AC=4x.分为两种情况： ∠DAC=27°，所以∠ADB=∠C+∠DAC=63; ①若AC+CD=60,AB+BD=40,则4x+x=60,解得 ②当2LC+∠DAC=90°时，2×36°+∠DAC=90°，解 x=12,所以BC=2x=24,AB=28,AC=4x=48,因为BC+ 得∠DAC=18°，所以∠ADB=∠C+∠DAC=54° AB=24+28=52>AC,所以此时符合三角形三边关系； 综上所述，∠ADB的度数是54°或63°. ②若AC+CD=40,AB+BD=60,则4x+x=40,解得 2.(1)在△A0C中，∠A+∠C=180°-∠A0C.在△B0D x=8,所以AC=4x=32,AB=52,BC=2x=16,因为AC+ 中，∠B+∠D=180°-∠BOD. BC=32+16=48<AB,所以此时不符合三角形三边关系. 由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD. 综上所述，BC=24. 所以∠A+∠C=∠B+∠D. 五、22.因为AE平分∠CAD,所以∠CAF=∠DAF.由折叠 (2)①∠C+∠CAM=∠P+∠PDM,∠B+∠BDN=∠P得，∠BAD=∠DAF所以∠CAF=∠DAF=∠BAD. 一2 初中数学·人教八年级(GDY) 第1~4期 (1)因为∠B=40°，∠C=35°，所以∠BAC=180°-∠B ∠EDF=36° -∠C=105所以∠C=写LBAC=35由折叠得，∠E 14.2三角形全等的判定 14.2.1边角边(SAS) =∠B=40°.因为∠EFC=∠C+∠CAF=∠EDF+∠E,所 基础训练1.B;2.C;3.B;4.1或7. 以∠EDF=30°. 5.因为AC∥CE,所以∠ACB=∠E.在△ABC和△CDE (2)因为∠EDF=20°，所以∠ADB+∠ADE=200°.由折 BC DE, 叠得，∠ADB=∠ADE.所以∠ADB=I00°.所以∠BAD= 中 ∠ACB=∠E,所以△ABC≌△CDE(SAS).所以∠B= 180°-∠ADB-∠B=80°-∠B.所以∠BAC=3∠BAD= AC CE, 240°-3∠B.因为∠B比∠C大10°，所以∠C=∠B-10°.在 ∠D △ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即240°-3∠B+∠B+ 能力提高6.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= ∠B-10°=230°-∠B=180°.解得∠B=50°. 180°，所以∠2=∠ACB.因为AD=CE,所以AD+CD=CD+ 23.(1)115,25; BC FE. (2)∠DPC,∠Q的度数不会发生变化.理由如下： CE,即AC=DE.在△ACB和△DEF中 ∠ACB=∠2，所以 因为∠A=50°，所以∠ACB+∠B=180°-∠A=130. AC DE. 因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB.因为DP △ACB≌△DEF(SAS).所以AB=DF. 平分∠ADE,CP平分∠ACB,所以∠PmG=∠ADE= 14.2.2角边角(ASA)、角角边(AAS) ∠B,∠ACP=∠PCB=LACB所以∠DPC=180- 基础训练1.A; 2.∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB;3.=. ∠P0G-∠PGD=I80-2(∠ACB+∠B)=1I5 4.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 因为CQ平分∠ACF,所以∠ACQ=2∠ACF.所以 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 ∠PC0=∠ACP+∠AC0=(∠ACB+∠ACF)=90所以 r∠ACB=∠DCE, △ABC和△DEC中 AC DC, 所以△ABC≌ ∠Q=∠DPC-∠PCQ=25. ∠A=∠D, 所以当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的度数不会 △DEC(ASA). 发生变化 能力提高5.(1)DE=BD+CE, (3)45°或60°或120°或135°. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 第3期2版 因为∠BDA=∠BAC=a,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD 14.1全等三角形及其性质 +∠EAC=180°-a.所以∠DBA=∠EAC. 基础训练1.C;2.48;3.120°，70°，12,10. r∠BDA=∠AEC, 4.如图1： 在△ABD和△CAE中 ∠DBA=∠EAC,所以△ABD≌ LAB CA, △CAE(AAS) 所以BD=AE,AD=CE. 图1 所以DE=AE+AD=BD+CE. 5.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF.所以AC-CF (3)由(2)得△ABD≌△CAE. =EF-CF,即AF=CE. 所以S△ABD=S△CAE (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF.因为 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 ∠ADE=2∠B,所以∠ADF=∠ADE-∠EDF=∠B.因为 高为h. ∠DAF=∠AFD=2∠B,所以在△ADF中，根据三角形内角和 定理，得∠DAF+∠AFD+∠ADF=5∠B=180°.解得∠B= 因为BC=3BF,Sac=18,所以SA=3Sac=6.所 36°.所以∠AFD=72°，∠EDF=36°.所以∠E=∠AFD-: 以S△FBD+S△ACE=6. —3 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 第3期3版 △EFC(SAS).所以∠NBC=∠CER.因为AD=CF=方AC, CN=CF,所以AD=AN.在△DEA和△NBA中， 题号12345678 .AD AN. 答案BA C BAD D B ∠DAE=∠NAB,所以△DEA≌△NBA(SAS).所以∠DEA 二、9.27；10.答案不惟一，如∠B=∠C;11.30; AE AB 12.120°；13.3<EF<7;14.3或7. =∠NBA.因为∠ABC=∠NBA+∠NBC,所以∠ABC= 三、I5.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB= ∠DEA+∠CEF 105°.因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= 附加题1.(1)如图3，延 50°.因为∠CAD=10°，所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60°. 长AD交BC于点H.因为BD平分 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45. ∠ABC,所以∠ABD=∠HBD.因 16.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC.因为CD 为AD⊥BD,所以∠ADB 平分∠ACE,CE平分∠BCD,所以∠ACD=∠DCE=∠ECB 图3 ∠HDB=90°. 在△ABD和 AC BC, ∠ABD=∠HBD. =60°.在△ACD和△BCE中， ∠DCA=∠ECB,所以△ACD △HBD中 BD BD 所以△ABD≌△HBD(ASA). CD CE, I∠ADB=∠HDB, ≌△BCE(SAS). (2)因为△ACD≌△BCE,所以∠E=∠D=40°所以 所以S△n=S△Bm,AD=HD.所以S AACD=SACD-因为△BDC ∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 的面积是5，所以S△c=SAAm+S△ACH=2S△HD+2S△HCm= 17.(1)因为∠BEG=∠CDG,所以180°-∠BEG=180° 2S△Bmc=10. -∠CDG,即∠AEB=∠CDA.因为∠BEG=∠BAC,所以 (2)如图3，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD ∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD.所以∠ABE=∠CAD.在 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= ∠AEB=∠CDA. 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 △BAE和△ACD中， ∠ABE=∠CAD,所以△BAE≌ ∠BFC=∠CEB, AB CA. △CBE中 ∠BCF=∠CBE,所以△BCF≌△CBE(AAS).所 △ACD(AAS) BC CB (2)因为△BAE≌△ACD,所以SAE=SAAD·因为BF= 以BF=CE因为SAax=BD.CE=5,Sc=4C,BF 2CF,所以SABF=2 SAACF,SARDF=2 SACDFT,所以SAARD=S AABF =10,所以AC=2BD -S△BDF=2S△ACF-2S△cDF=2S△ADC:所以S△mE=S△ABD- S△B4E=S△AD·所以小麦种植区△BDE里需要施肥2O0千克 2.(1)∠DFE: 18.(1)△DEG≌△CBG.理由如下： (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 因为CG为△BCE的中线，所以BG=EG.因为DE∥BC, (3)BE=CF+CE.理由如下： 所以∠D=∠BCG,∠DEG=∠CBG.在△DEG和△CBG中， 如图4，延长BA,CD交于点G.因为 ∠D=∠BCG, ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG ∠DEG=∠CBG,所以△DEG≌△CBG(AAS) ⊥BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF EG BG, =∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ B 图4 (2)∠ABC=∠DEA+∠CEF.理由如下： ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为∠AEB=∠DEC,所以 如图2，在CD上截取CN=CF, ∠B=∠C, 连接BN.在△BCN和△EFC中， ∠B=∠C.在△ABE和△ACG中 AB AC. 所以 CN =CF. ∠BAE=∠CAG, ∠NCB=∠F,所以△BCW≌ △ABE≌△ACG(ASA).所以AE=AG,BE=CG.因为∠FAC BC EF, =45°，所以∠GAF=∠CAG-∠FAC=45°=∠FAC.在 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 AG AE, 5.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'= △AGF和△AEF中， ∠GAF=∠EAF,所以△AGF≌ 90°.在Rt△ABD和Rt△A'B'D中， 「AB=A'B'所以R△ABD AFAF. LAD A'D', △AEF(SAS).所以GF=EF在△EDF和△EDC中， ≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B.在△ABC和△A'B'C DF DC. AB A'B', ∠EDF=∠EDC,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF= 中， ∠B=∠B',所以△ABC≌△A'B'C'(SAS). EDED, BC B'C'. EC.所以BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE. 14.3角的平分线 第4期2版 基础训练1.B;2.A;3.117 14.2三角形全等的判定 4.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略.因为AD⊥CD,所以 14.2.3边边边(SSS) ∠ADC=90°.因为AB∥CD,所以∠BAD=180°-∠ADC= 基础训练1.C:2.B:3.3. 90°.所以AD⊥AB.因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, AC DB. 所以PA=PQ=PD. 4.连接BC,图略.在△ABC和△DCB中 AB=DC,所以 第4期3版 BC CB, △ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 题号1234567 8 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 答案C CBADDD AB DE, 二、9.3；10.答案不惟一，如CE=BF; EE在△ABC和△DEF中， AC=DF,所以△ABC≌ 11.130°；12.2；13.9；14.40°或140° BC EF, 三、15.图略 △DEF(SSS).所以∠A=∠D. 16.因为AC⊥OB,BC⊥OA,OC是∠AOB的平分线，所以 (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A ∠AEC=∠BDC=90°，CE=CD.在△AEC和△BDC中， -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= ∠AEC=∠BDC, 70,因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=∠DFC=35所以 CE CD 所以△AEC≌△BDC(ASA).所以AC= L∠ACE=∠BCD. ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35. BC. 能力提高6.8. 17.如图1，过点A作AH⊥DE于点 14.2.4尺规作图 H.所以∠AHD=∠AHE=90°.因为CD 基础训练1.C:2.C. =2,BD=3,所以BC=CD+BD=5. 3.图略. 因为DA平分∠CDE,∠C=90°，AH⊥ 14.2.5斜边、直角边(HL) DE,所以AC=AH.在Rt△ADC和 基础训练1.A;2.B;3.50°. AD=AD, 4.(1)在Rt△AEB和Rt△AFC中， AB=AC,所以 Rt△ADH中， 所以Rt△ADC≌Rt△ADH(HL).所 LAE AF, LAC AH. Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30°.因为∠BAC 以HD=CD=2.在Rt△ABC和Rt△AEH中 AB=AE·所以 =25°，所以∠CNB=∠C+∠BAC=55°.所以∠CDB=∠B LAC AH. +∠CNB=85 Rt△ABC≌Rt△AEH(HL).所以EH=BC=5.所以DE=HD ∠C=∠B, +EH=7. (2)在△ACN和△ABM中， AC =AB, 所以 AB =A'B', ∠CAN=∠BAM 18.(1)在△ABC和△A'B'C中， ∠B=∠B',所以 △ACN≌△ABM(ASA). BC B'C', 5 初中数学·人教八年级(GDY) 第1~4期 △ABC≌△A'B'C'(SAS).所以AC=A'C',∠BAC=∠B'A'C', (2)对于图②，∠EAF= ∠DAB理 AD =A'D' 由如下： ∠BCA=∠B'C'A'.在△ACD和△A'C'D'中 CD=C'D',所 如图2，在DF上截取DG=BE,连接 LAC A'C', AG.因为∠ABC+∠D=180°，∠ABC+ 以△ACD≌△A'C'D'(SSS).所以∠D=∠D',∠ACD= ∠ABE=180°，所以∠D=∠ABE.在 ∠A'C'D',∠DAC=∠D'A'C'.所以∠BAC+∠DAC= AD AB, ∠B'A'C'+∠D'A'C',∠BCA+∠ACD=∠B'C'A'+∠A'C'D', △ADG和△ABE中， ∠D=∠ABE,所以△ADG≌ 即∠BAD=∠BA'D',∠BCD=∠B'C'D'.所以四边形ABCD DG BE. ≌四边形A'B'CD'. △ABE(SAS).所以∠DAG=∠BAE,AG=AE.所以∠DAG+ (2)不能.理由如下： ∠BAG=∠BAE+∠BAG,即∠DAB=∠EAG.因为DF=EF AB =A'B', 在△ABC和△A'B'C'中 +BE=DG+GF,所以EF=GF.在△AEF和△AGF中， ∠B=∠B',所以△ABC≌ BC B'C', .AE AG. EF=GF,所以△AEF≌△AGF(SSS).所以∠EAF=∠GAF △A'B'C'(SAS).所以AC=A'C',∠BCA=∠B'C'A'.因为 AFAF. ∠BCD=∠B'CD',所以∠BCD-∠BCA=∠B'C'D' ∠B'C'A',即∠DCA=∠D'CA'.由∠DCA=∠D'C'A',AC= 2∠EAG= 2∠DAB. A'C',AD=A'D',不可以证明△ACD≌△A'C'D'.所以满足这 五个条件不能得到四边形ABCD≌四边形A'B'CD'. 对于图③，∠EAF= ∠DAB.理由如下： 2 附加题1.(1)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在 如图3，在BE上截取BG=DF,连接 AF DF, AG.同图②法可得△ABG兰△ADF.易证 △AEF和△DHF中， ∠AFE=∠DFH,所以△AEF≌ △EAF≌△EAG.所以∠EAF=∠EAG=B FE FH, ∠CAK=Z∠DMB 1 △DHF(SAS). 图3 (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= 1 (3)∠EAF=180°- 立∠DAB.理由如 ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 下： DH DC, 如图4，在DC的延长线 G 以DH=DC.在△DHG和△DCG中 HG=CG,所以△DHG 上取点G,使得DG=BF,连 DGDG. ≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG.所以∠B=2∠GDC. 接AG.因为∠ABC+∠ADC =180°，∠ABC+∠ABF= 2.(1)∠EAF= 子∠DAR理由如下： 图4 180°，所以∠ADG=∠ABF.在△ABF和△ADG中， 因为AB⊥CB,AD⊥CD,所以∠ABG=∠D=90°.在 AB AD. AB AD. ∠ABF=∠ADG,所以△ABF≌△ADG(SAS).所以AF= △ABG和△ADF中， ∠ABG=∠D,所以△ABG≌ BF DG. BG DF, AG,∠BAF=∠DAG.所以∠BAF+∠GAB=∠DAG+∠GAB, △ADF(SAS).所以∠BAG=∠DAF,AG=AF.所以∠BAG+ 即∠GAF=∠DAB.因为EF=BF+DE,所以EG=DG+DE ∠BAF=∠DAF+∠BAF,即∠GAF=∠DAB.因为EF=BE AEAE, +DF,所以EG=BE+BG=EF.在△AEF和△AEG中， =EF.在△AEF和△AEG中，AF=AG,所以△AEF≌ AE=AE, LEF EG, EF=EG,所以△AEF≌△AEG(SSS).所以∠EAF=∠EAG △AEG(SSS).所以∠EAF=∠EAG.因为∠EAF+∠EAG+ AF AG ∠GAF=360°，所以2∠EAF+∠DAB=360°.所以∠EAF= 2∠GAF= ∠DAB 180°-1 ∠DAB —6素养·拓展 数理极 数眼 数学来源于生活，又 专题辅导 广泛应用于生活.三角形 的应用在生活中随处可 直击三角形内外角的黄金搭档 三角形出谋划策 事问题迎刃而解 见，下面让我们一起领略 ◎山东 南峦宇 三角形的魅力吧！ 三角形的内角和外角常常与平行线、三角45°角的直角三角板的顶点E落在含60°角的三 一、三角形的三边关 板、平移等结合在一起考查.下面举例加以说角板的斜边上，AB和CD交于点F,则∠BFD的 系献计 明，供同学们参考。 度数为 崔毕峰 例1如图1，A,B 一、平行线 A.65° B.70° 为池塘岸边两点，小明在 例1如图1，在 C.75° D.80° 池塘的一侧取一点0，测 △ABC中，∠C=80°，点E D 解：由题意得，∠DCE=45°，∠B=30° 160° 得0A=16米，0B= D在AC上，DE∥AB,若 所以∠BFD=∠DCE+∠B=75°. 图 12米，则A,B间的距离 ∠CDE=160°，则∠B 故选C. 可能是 的度数为 三、平移 A.50 B.60° 例3如图3， C.70° D.80° 在△ABC中，LC= 解：因为∠CDE=160°，所以∠ADE= 90°，∠A=50°，将 180°-∠CDE=20° △ABC沿AB向右平 图1 A.25米B.30米C.35米 D.40米 移得△DEF,则∠F的度数为 因为DE∥AB,所以∠A=∠ADE=20° A.50 B.45° 解：如图1，连接AB.因为OA=16米，OB 因为∠C=80°，所以∠B=180°-∠A C.40° D.30° =12米，所以0A-0B<AB<OA+OB,即 ∠C=80°. 解：因为∠C=90°，∠A=50° 4米<AB<28米.结合四个选项知，A,B间的 故选D 所以∠ABC=90°-∠A=40° 距离可能是25米.故选A. 二、三角板 因为△ABC沿AB向右平移得△DEF 二、三角形的稳定性献力 例2一副三角板按B 所以∠F=∠ABC=40° 例2要使图2的木架 如图2所示的方式放置，含 故选C. 不变形，至少需要再钉上木 思维天地 条 () A.1根 B.2根 图 聚焦数学本质 渗透数学思 想 C.3根 D.4根 解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形 ©湖南 李秋雨 木架不变形，至少需要再钉上3根木条.故选C 数学思想方法是数学的灵魂，是解决问题 ∠OBC= 的金钥匙.掌握一种思想方法比采用题海战术 2 ∠MBC,∠OCB= ∠NCB 2 三、三角形的内角、外角献策 更为重要.下面就将本章中蕴涵的一些主要数 所以∠0=180°-∠0BC-∠0CB=1809 例3汽车大灯通常由灯 及光钢 泡、反光镜和配光镜三部分组 学思想提炼如下 (LMBC+LNCB)-40 成如图3，光源位于焦点处，光 一、方程思想 三、分类讨论思想 线经反射后平行于地面射出，已 例1在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2: 例3在△ABC中，∠A=30°，∠C=50°， 知∠1=20°，∠3=56°，则∠2 3:4,求∠A的度数 点D在AC边上，连接BD,若△ABD为直角三角 的度数为 解：由∠A:∠B:∠C=2:3:4, 形，则∠DBC的度数为 A.20° B.26° C.36° D.76° 设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x. A.40° B.70° 解：由题意得，AB∥CD.所以∠DEF= 因为∠A+∠B+∠C=180°， C.10°或40° D.40°或70° ∠3=56°.因为∠1=20°，所以∠2=∠DEF 所以2x+3x+4x=180° 解：因为△ABD为直角三角形，∠A=30°， -∠1=36°.故选C. 解得x=20° 所以分两种情况讨论： 例4如图4，经测北D 所以∠A=2x=40° 当∠ADB=90°时，如图2，因为∠C = 量，B处在A处南偏西 二、整体思想 50°，所以∠DBC=∠ADB-∠C=40°： 57°方向上，C处在A处 例2如图1，∠MBC和 南偏东15°方向上，C处 ∠NCB是△ABC的外角，点O 在B处北偏东82°方向上，则LC= 是∠MBC和∠NCB的平分 图2 3 解：由题意得，∠BAE=57°，∠CAE= 线的交点，∠A=100°，求 当∠ABD=90°时，如图3，因为∠A=30° 15°，∠CBD=82°.所以∠BAC=∠BAE+ ∠0的度数 ∠C=50°，所以∠ABC=180°-∠A-∠C= ∠CAE=72°.因为AE∥BD,所以∠ABD= 解：因为∠A=100°，所 100°. ∠BAE=57°.所以∠ABC=∠CBD-∠ABD 以∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+ 所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=10 =25°.所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC= ∠ABC=280° 综上所述，∠DBC的度数为10°或40° 83°.故填83°. 因为BO平分∠MBC,CO平分∠NCB,所以 故选C. 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话， 0351-5271268 教理橘 2025年7月2日·星期三 初中数学 报纸发行质量反馈电话， 期总第1141期 人教 0351-5271248 八年级(GDY) 2025-2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-156 八年级数学人教(GDY) 第一学期编辑计划 名师点睛 第1期 本周主 131三角形的概念 活学活用三角形的三边关公 13.2与三角形有关 13.1三角形的概念 的线段； 13.2与三角形有关的线段 13.3三角形的内角 ©内蒙古孙艳 13.3三角形的内角与外角 与外角 三角形的三边之间存在如下关系：“三角形 考点二、确定三角形的第三边长 学习目标：1.了解三角形及其顶点、边、内 第2期 两边的和大于第三边”和“三角形两边的差小于 例2三根底端对齐的木棒 角、外角，会将三角形分类 第十三章复习与小结 第三边”.利用这个关系可以解决与三角形三边中有一根被挡板遮住了，它们的长 2掌握三角形的三边关系，了解三角形的 第3期 有关的题目，现举例剖析如下. 度如图所示.若三根木棒可以围成 稳定性 14.1全等三角形及其 考点一、判断三条线段能否组成三角形 三角形，则第三根木棒的长度可以 性质；14.2三角形全 例1 下列长度的三条线段能组成三角形 3会用几何语言描述三角形的中线、角平 是 ( 等的判定(SAS,ASA 的是 分线、高 A.2 B.3 C.4或5 D.6 AAS) A.3,3,6 B.3,5,10 4掌握三角形的内角和定理及其推论 解：由图可知，有两根木棒的长度分别为 第4期 C.4,6,9 D.4,5,9 认识重点：1会运用三角形“三线”的有关 14.2三角形全等的判 10,7.设第三根木棒的长度是.因为三根木棒 解：因为3+3=6，所以长度为3,3,6的三 性质解决相关问题 定(SSS,HL);14.3角 可以围成三角形，由三角形的三边关系，得10 条线段不能组成三角形，故选项A不符合题意； 2掌握直角三角形的性质与判定 的平分线 因为3+5<10，所以长度为3,5,10的三条 7<x<10+7,即3<x<17.由图中挡板高度 第5期 解：分两种情况讨论： 线段不能组成三角形，故选项B不符合题意； 为5，得3<x≤5.结合四个选项可知，第三根木 第十四章复习与小结 棒的长度可以是4或5. 若腰长为4，则底边长为2,4+2>4，满足 因为4+6>9，所以长度为4,6,9的三条线 第6期 段能组成三角形，故选项C符合题意； 故选C. 三角形的三边关系，则此三角形的周长为：4+4 15.1图形的轴对称； 因为4+5=9，所以长度为4,5,9的三条线 温馨提示：由三角形的三边关系得出第三 +2=10: 15.2画轴对称的图 段不能组成三角形，故选项D不符合题意 根木棒的长度，根据实际即可判断各选项是否 若腰长为2，则底边长为4,2+2=4，不满 开形 故选C 满足题意 足三角形的三边关系，故不能构成三角形. 第7期 考点三、计算等腰三角形的周长 故选C. 5.3等腰三角形 温馨提示：判断给定的三条线段能否组成 例3已知等腰三角形其中两边的长分别 第8期 三角形，关键是看三条线段是否满足任意两边 温馨提示：涉及等腰三角形边的问题时， 第十五章复习与小结 的和大于第三边.但在实际操作中，不必一一加 为2,4，则该三角形的周长是 ( 般需要分情况讨论，然后看它们是否满足三角 第9期 以验证，只需判断两条较短线段的长度和是否 A.6 B.8 形的三边关系，不满足的要舍去，既不能多解， 期中复习 大于最长线段的长即可， C.10 D.8或10 也不能漏解 第10期 16.1幂的运算； “三线”是三角形的中线、角平分线、高这三 知识梳理 16.2整式的乘法(1) 条重要线段的统称，它们在解题中有着广泛的 第11期 应用。下面就请同学们一起欣赏“三线”的才艺 线”才艺大比拼 16.2整式的乘法(2)： 吧！ ©广东顾荆州 16.3乘法公式 一、三角形的中线 故选C. 这三条高的位置根据三角形的形状而定.锐角 第12期 (1)三角形的中线是一条线段； 第十六章复习与小结 二、三角形的角平分线 三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角 第13期 (2)三角形的中线平分一条边； (1)三角形的角平分线是一条线段； 形有一条高在三角形的内部，有两条高恰好是 17.1用提公因式法分 (3)一个三角形有三条中线，这三条中线相 (2)三角形的角平分线平分一个内角； 它的两条直角边：钝角三角形最长边上的高在 解因式；17.2用公式 交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形 (3)三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内部，另外两条较短边上的高在三角 法分解因式；第十七 的重心 例2如图2，在△ABC 形的外部，两个垂足落在边的延长线上， 章复习与小结 例1 如图1，在△ABC中， 中，∠A=62°，∠B=74°，CD 例3如图3，AD,CE 第14期 D,E,F分别为BC,AD,CE的中 是△ABC的角平分线，则 是△ABC的两条高，AB= 18.1分式及其基本性 点，且SABc=16,则阴影部分 ∠BDC的度数为 () 2,BC=6,CE=4.5,则AD 质；18.2分式的乘法 △AEF的面积为 与除法；18.3分式的 ( A.72 B.789 2 的长为 加法与减法 A.1 B.1.5 C.80° D.849 A.2 B.3 第15期 C.2 D.3 解：因为∠A=62°，∠B=74°，所以∠ACB 18.4整数指数幂； 解：因为S△Ac=16,D为BC的中点，所以 =180°-∠A-∠B=44° C.4 D号 18.5分式方程 第16期 S△AD= =8. 因为CD是△ABC的角平分线，所以∠BCD 解：因为AD,CE是△ABC的两条高 第十八章复习与小结 因为E为AD的中点，所以S AACE= =2∠ACB=22 所以SAc=2BC·AD= AB·CE,即 第17~24期 2 所以∠BDC=180°-∠B-∠BCD=84°. 巩固提高（合刊）】 64D=2×4.5. 故选D 因为F为CE的中点，所以Sar=2S△cE 三、三角形的高 解得AD= 3 2 一个三角形有三条高，这三条高交于一点 故选A. 2 素养专练 数理极 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 4.如图3，在△ABC中，∠A=46°，CE是 跟踪训练 △ABC的角平分线，B,C,D在同一直线上，FD∥ 屋础训练 EC,∠D=42°，求∠B的度数， GENZONGXUNLIAN 1.如图1，AD是△ABC的中线，若BC=4,则 13.1三角形的概念 BD的长为 A.1 B.2 C.3 4 垦础训练 1.下列选项中都是由三条线段组成的图形， 其中是三角形的是 2.如图2，在△ABC中，∠C=90°，D,E是BC B 边上的两点，BE=DE,AD平分∠CAE,下列说法 2.如图1，三角形有一部分被遮挡，我们可以不正确的是 判断此三角形的类型为 A.AE是△ABD的中线 13.3.2三角形的外角 A.钝角三角形 B.直角三角形 B.∠BAE=∠DAE=∠CAD 垦础训练 C.锐角三角形 D.不能确定 C.AD是△ACE的角平分线 D.AC是△ABE的高 1.如图1，∠ACD是△ABC的外角，若∠A= 3.如图3，在△ABC中， 45°，∠ACD=120°，则∠B的度数为( 点M是△ABC的重心，连接 A.75 B.60° C.55° D.45° AM并延长交BC于点D.已 图1 图2 知DE和DF分别为△ADB 3.如图2，图中共有 个三角形，其中和△ADC的高，若AB=6, 以BC为边的三角形有 个；△BCE中，AC=8,DF=3,则DE= ∠ECB所对的边是」 ,边BC所对的角是 4.如图4，CD是△ABC的角平分线，DE∥ 1 BC,∠2=∠3=40°，FH⊥AB于点H. 2.如图2，在△ABC中，点E在CB的延长线 (1)求∠1的度数； 上，过点E作EF⊥AB于点D,交AC于点F,∠E 13.2与三角形有关的线段 (2)求证：CD是△ABC的高 30°，∠C=35°，则∠A的度数为 13.2.1三角形的边 3.如图3，∠ACD是△ABC的外角，CE平分 ∠ACD交AD于点E,若∠BAC:∠CAD=3:2, 垦础训练 ∠B=50°，∠DCE=40°，求∠CAD的度数. 1.在△ABC中，AB=2,BC=6,边AC的长 可能是 ) A.3 B.4 C.5 D.8 2.在下列长度的各组线段中，能组成三角形 的是 A.1,2,4 B.1,4,9 C.3,4,5 D.50,4,59 3.2024年7月29日，在 巴黎奥运会男子10米气步枪 决赛中，盛李豪打破奥运会纪 13.3三角形的内角与外角 录夺得冠军.如图，盛李豪在 13.3.1三角形的内角 能力提高 瞄准目标时，手、肘、肩构成托 枪三角形，这种方法应用的几何原理是 屋恐训练 4.已知△ABC中，AD为△ABC的高，AE为 4.已知三角形的三边长分别为2，x,10,若x为 1.在△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，则∠B △ABC的角平分线，∠B=40°，∠CAD=20°，求 正整数，则满足条件的三角形有个. 的度数是 ∠AEC的度数. 5.在△ABC中，AB=7,BC=2 A.30° B.50 C.60° D.70 (1)求AC长度的取值范围： 2.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A= (2)若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周∠BCD,则△BDC是 ( 长，并判断此时△ABC的形状. A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 图1 3.如图2，在△ABC中，∠BAC=70°，∠B 40°，AD为边BC上的高，CE是△ABC的角平分线， 数理报试题研究中心 交AD于点F,则∠AFE的度数是 0 (参考答案见3期) 数理极 素养·测评 5 18.(14分)问题情境：如图11-①，△ABC的 同步检测 两条角平分线BD,CE交于点P. 探索发现：(1)若∠A=60°，则∠BPC的度数 TONGBUJIANCE ;若∠A=130°，则∠BPC的度数为 【检测范围：13.1~13.3】 (2)试猜想∠A与∠BPC之间的数量关系，并 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 说明理由 题号12345678 拓展应用：(3)如图11-②，在△ABC中， 答案 ∠ABC和∠ACB的平分线交于点P,∠PBC和 图7 ∠PCB的平分线交于点P,请直接写出∠A与 图6 1.如图1，以点A为顶点的A 12.如图7，BE,CD的交点O是△ABC的重心， :∠P,之间的数量关系 三角形有 () A.5个 B.4个 若CE=BC=4,BD=BC,则△ABC的周张 C.3个 D.2个 是 2.用三角板画△ABC的边 13.如图8，在△ABC中，∠B BC上的高，下列三角板的摆放 =32°，将△4BC沿直线m翻折， 位置正确的是 点B落在点D的位置，则∠1 ∠2的度数为 14.若BD,CE都是△ABC的 B 高，BD,CE所在的直线相交所成 图8 3.下列长度的四根木棒中，能与4cm,9cm长 的角中有一个角的度数为55°，则∠BAC= 的两根木棒钉成一个三角形的是 ( 1 A.4 cm B.5 cm C.11 cm D.15 cm 三、耐心解一解（共44分） 4.体育课上的侧压腿动作可以抽象为几何图 15.(9分)如图9，已知△ABC,请在图中分别 画出下列线段： 附加题⊙ 形（图2），点A,B,D在一条直线上，若∠1=115°， 则∠2的度数为 (1)△ABC的中线AD: (以下试题供各地根据实际情况选用) A.10° B.15° C.20° D.25° (2)△ABD的角平分线DM: 1.(8分)【概念呈现】设一个钝角三角形的两 (3)△ACD的高线CN. 个锐角为a与B,如果2a+B=90°，那么我们称这 个钝角三角形是“倍余三角形”. 【特例感知】(1)若一个三角形的三个内角分 别为15°，60°和105°，则这个三角形 （填 图2 “是”或“不是”)“倍余三角形” 5.如图3，AD是△ABC的角平分线，DE1AB 【深入探究】(2)在Rt△ABC中，∠B=90°， 图9 于点E,若∠BAC=86°，则∠ADE的度数为 ∠C=36°，点D是边BC上一点，若△ADC是“倍 ( 余三角形”，求∠ADB的度数. 16.(9分)如图10，在△ABC中，点D是边BC A.47°B.43° C.50° D.40° 上的一点，连接AD. 6.一个三角形的三个内角之比为4：5：9，则 (1)若∠ADC=60°，∠B=2∠BAD,求 这个三角形是 ）∠BAD的度数； A.锐角三角形 B.直角三角形 (2)若AD平分∠BAC,∠B=40°，∠ADC= C.钝角三角形 D.无法判断 65°，求证：△ABC是直角三角形 7.如图4，AD是△ABC的中线，点E是AD的 中点，EF⊥BD于点F.若BC=15,EF=4,则 2.(12分)如图1，线段AB,CD相交于点0，连 △ABC的面积为 ( 接AC,BD,我们把形如这样的图形称为“八字图 A.50 B.55 C.60 D.65 形” 10 图1 图2 F D B 17.(12分)已知a,b,c为△ABC的三边长. (1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D; 图4 图5 (1)若a,b,c满足1a-b1+(b-c)2=0,试 (2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AF 8.如图5，E,F是△ABC的边AB,AC上的点，判断△ABC的形状； :和DP相交于点P,与CD,AB分别交于点M,N. 点D在点A的上方，若∠B+∠C=60°，∠D= (2)若a=5,b=2,且三角形的周长为奇数， ①观察图2，写出另外两组“八字图形”中与 70°，则∠1+∠2的度数为 ( )求c的值； :(1)类似的结论； A.50°B.60°C.65°D.70° (3)化简：a-b-c-b--al+la+b ②请写出∠B,∠C,∠P之间的数量关系，并 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 说明理由. 9.为了摄像的画面稳定，经常利用三脚架帮 助拍摄，利用的数学原理是 10.若等腰三角形的周长为17，一边长为3，则 其腰长是 11.如图6，CD是△ABC的高，且CD平分 ∠ACB,LBAC=70°，∠CFE=25°，则∠CEF= 数理报试题研究中心 (参考答案见3期)