第26章反比例函数小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+拓达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 第26章反比例函数小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+拓达标检测） 知识点一：反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非 零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①；②；③. 知识点二：反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来om] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号） 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三：反比例函数表达式的确定 待定系数法步骤： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点四：系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (3)越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点五：反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点六：反比例函数实际应用 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 考点1 反比例函数的定义 例1．下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列关系式中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【变式1-3】．若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 考点2 反比例函数的系数K的几何意义 例2．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】．如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【变式2-2】．如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 考点3 反比例函数的图象 例3．如图，的边，边上的高，的面积为5，则y与x的函数图象大致是(　　) A． B． C． D． 【变式3-1】．一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式3-3】．如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点4反比例函数的对称性 例4．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．在函数、、的图象中，具有沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合的性质的图象有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-3】．若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 考点5反比例函数的性质 例5．对于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而增大 【变式5-1】．已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】．下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 考点6待定系数法确定反比例函数解析式 例6．已知某物体对地面的压力为，而物体对地面的压强P与受力面积S之间的关系为，则该函数图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式6-2】．已知两个变量A与B是反比例函数关系，根据下表判断a和b的大小关系是（   ） A 6 a 5 b B 50 55 60 65 A． B． C． D．无法判断 【变式6-3】．已知与成反比例，当时，，那么，当时，的值等于（   ） A． B．4 C．3 D． 考点7反比例函数与一次函数的交点问题 【变式7-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点．已知点和的横坐标分别为6和． (1)试确定一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【变式7-1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A的坐标为，点C在反比例函数的图象上，BC与反比例函数的图象交于点D，连接OD． (1)点C的坐标为（_______，_______）． (2)求BC所在直线的解析式： (3)求的面积． 【变式7-2】．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 【变式7-3】．如图，反比例函数的图象与一次函数（k为常数，且）的图象交于，B两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值． 考点8反比例函数与一次函数的综合问题 例8．在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． (1)求m的值和一次函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点C在函数的图象上，点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标． 【变式8-1】．反比例函数与一次函数的图象交于两点．    (1)求k的值； (2)观察图象，请直接写出当时，x的取值范围为 ． (3)点在双曲线上，求a与b的大小关系． 【变式8-2】．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【变式8-3】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，且过点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点Q是x轴上的一点，且的面积是3，求点Q的坐标； (3)若P在x轴上一点，求取最小值时P点的坐标． 考点9 反比例函数与图形面积问题 例9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，顶点A，C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为，点C的纵坐标为，点B的坐标为． (1)求k的值． (2)求a的值． 【变式9-1】．如图，反比例函数（，）与一次函数交于点A，B，过点A的直线轴，作线段的垂直平分线交直线l于点C，．已知点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1． (1)求k，m，b的值． (2)过点B作平行于x轴的直线，交直线于点E，连接，求的面积． 【变式9-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别落在，轴上，点的坐标为，反比例函数的图像分别与边，交于点，，将沿翻折，得到． (1)连接，用含的代数式表示的面积；判断与的位置关系，并证明． (2)如图，当点落在上时，求的值． (3)点为边上的中点，在点的运动过程中，求的最小值直接写出答案． 【变式9-3】．如图，已知双曲线经过点，点是双曲线上在第三象限内的动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，，连接，，． (1)的值为________； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 考点10反比例函数的实际应用 例10．实验数据显示：一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画．如图所示，并且通过测试发现酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升，酒后5小时为45毫克/百毫升． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (3)按国家规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾驶上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【变式10-1】．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【变式10-2】．如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒水） 的距离 (1)你认为表中哪次数据是明显错误的； (2)你认为与满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式； (3)某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 【变式10-3】．小杭在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小杭记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)小杭通过分析表格数据发现， F是l的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (2)根据以上数据和图象，判断F是l的什么函数？直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． 并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 2．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（    ） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 3．已知二次函数的图象如图所示，则下面各点有可能在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．现测得不同时刻药物的浓度y（单位：）与时间x（单位：min）的数据如下表： x 0 2 4 6 8 10 12 16 20 y 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离它有（）处挂一个重（）的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 8．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，某反比例函数的图象过点，则此反比例函数表达式为 ． 10．某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 12．如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为 ． 13．如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，反比例函数y＝（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B． (1)求点B的坐标； (2)求△AOB的面积． 15．某工厂加工一批零件，平均每天加工的零件个数与加工的天数如下表所示： 每天加工零件的个数/个 500 400 250 200 100 ．．． 加工天数/天 2 4 5 10 ．．． (1)这批零件一共有 个； (2)判断平均每天加工的零件个数与加工的天数成什么比例关系？请说明理由． 16．如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数表达式； (2)过点作轴交轴于点，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 17．（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右___________（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之___________．（填“变大”或“变小”） 18．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标． 19．在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为______； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是______． 20．如图，已知， 是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点； 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． (4)如图所示，是正方形， ，，，则的面积是 ． 思 维 导 图 知 识 清 单 高频考点解析 知识点梳理 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 第26章反比例函数小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+拓达标检测）（解析版） 知识点一：反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非 零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①；②；③. 知识点二：反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来om] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号） 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三：反比例函数表达式的确定 待定系数法步骤： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 知识点四：系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (3)越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 知识点五：反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点六：反比例函数实际应用 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 考点1 反比例函数的定义 例1．下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数定义．反比例函数定义为形如 （ 为常数，）的函数，据此分析各选项，即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的标准形式为 （ 为常数，）， 选项 A：，是正比例函数，不符合题意； 选项 B：，分母不是单项式 ，不符合题意； 选项 C：，不是反比例函数，不符合题意； 选项 D：，符合 的形式，其中 ，符合题意． 故选：D 【变式1-1】．下列关系式中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题关键是明确反比例函数的一般形式，并能根据此形式对函数进行判断． 根据反比例函数的定义，对每个选项进行分析． 【详解】解：A、，是正比例函数，其形式为（为常数），不符合反比例函数的形式，不符合题意； B、，分母是，而不是，不符合题意； C、，符合反比例函数的一般形式（为常数且），符合题意； D、，分母是，不是单独的，不符合反比例函数的形式，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】．若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数形式为y（k为常数，）或（k为常数，）． 利用反比例函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：C． 【变式1-3】．若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ， 解得， 故选：A． 考点2 反比例函数的系数K的几何意义 例2．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键；根据反比例函数k的几何意义可知：，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知：四边形是矩形， 根据反比例函数k的几何意义可知：， ∴； 故选B． 【变式2-1】．如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，由反比例函数k的几何意义可得出，和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：∵A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C， ∴，，， ∴四边形， 故选D 【变式2-2】．如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．依据题意，由当时，反比例函数的图象在第二象限，则，又，，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，当时，反比例函数的图象在第二象限， ． 又，， ． ． 反比例函数为． 故选：C． 【变式2-3】．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，由于同底等高的两个三角形面积相等，，然后根据反比例函数中k的几何意义，知，从而确定k的值． 【详解】解：的面积等于5， ， ， ， ； 又反比例函数的图象的一支位于第一象限， ． ． 故选：B． 考点3 反比例函数的图象 例3．如图，的边，边上的高，的面积为5，则y与x的函数图象大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据三角形的面积公式得到x和y的关系式，再判断是何种函数，由自变量的取值范围进而得到函数的图象． 【详解】解：∵的面积为5，，， 则， ∴， ∴的长为y， 边上的高为x是反比例函数， ∴函数图象是双曲线； ∵，， ∴该反比例函数的图象位于第一象限． 故选：A． 【变式3-1】．一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 【变式3-2】．已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合，画出函数和的大致图象，结合函数交点位置判断即可． 【详解】解：函数和的大致位置如图： 根据图形可得函数和交点的横坐标， ∴的解， ∵a是方程的实数根， ∴， 故选：A ． 【变式3-3】．如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过D作交于F，由切线的性质可证四边形是矩形，，根据切线长定理得到，，则，在中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，再判断其函数图象即可． 【详解】解：过D作交于F， 与切于点A、B， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，则， 在中，由勾股定理得：， 整理为， ∴y与x的函数关系式是， y是x的反比例函数， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识． 考点4反比例函数的对称性 例4．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 【变式4-1】．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 【变式4-2】．在函数、、的图象中，具有沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合的性质的图象有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数、反比例函数和二次函数所具有的性质及其图象的特点． 先分别判断函数、、的图象形状，然后沿某条直线翻折，看直线两旁的部分能够互相重合． 【详解】解：函数是正比例函数，其图象是一条直线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合； 函数是反比例函数，其图象是双曲线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合； 函数是二次函数，其图象是抛物线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合． 故选：D． 【变式4-3】．若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征，先求出比例系数k，再验证各选项是否满足函数解析式． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式 ，得：， ∴。 因此，函数解析式为 ， A、代入 ，得 ，与点的纵坐标一致，符合条件； B、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； C、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； D、代入 ，得 ，与点的纵坐标6不一致，不符合． 故选：A． 考点5反比例函数的性质 例5．对于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解决本题的关键． 由比例系数 ，可知函数图象位于第二、四象限，且在二、四象限内， 随 的增大而增大． 【详解】∵ 反比例函数为 ，其中 ， ∴ 图象位于第二、第四象限，选项C正确，不符合题意； 当 时， 随 的增大而增大，选项D正确，不符合题意； 当 时， 随 的增大而增大，故选项B错误，符合题意； 当 时，，故图象经过点 ，选项A正确，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】．已知点、均在函数的图象上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由于反比例函数可知图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解， 熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数可知，图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点、均在函数的图象上，且， ∴点、不在同一象限，则点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5-2】．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质得出函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，即可比较，，的大小． 【详解】解：∵反比例函数的解析式是， ∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点A和B在第二象限，点C在第四象限， ∴． 故选：B． 【变式5-3】．下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 考点6待定系数法确定反比例函数解析式 例6．已知某物体对地面的压力为，而物体对地面的压强P与受力面积S之间的关系为，则该函数图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据压强公式，代入各点的横坐标S计算P值，与纵坐标比较即可判断点是否在图象． 【详解】解：∵， A、当时，，∴点 在图象上，故选项A符合题意； B、当时分母为零，P无意义，∴点(0,0)不在图象上，故选项B不符合题意； C、当时，，∴点不在图象上，故选项C不符合题意； D、因为受力面积，所以点不在函数图象上，故选项D不符合题意． 故选：A． 【变式6-1】．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题意可以求得和的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决． 【详解】解：等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，轴，， ， ∴， 即， ，， 点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 故选A． 【变式6-2】．已知两个变量A与B是反比例函数关系，根据下表判断a和b的大小关系是（   ） A 6 a 5 b B 50 55 60 65 A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，求反比例函数解析式，先理解题意，把代入，得，再根据表格的数据，则，结合同分子，分母越大的分数反而小，即可作答． 【详解】解：∵两个变量A与B是反比例函数关系， ∴设， 把代入，得， 解得， ∴， 观察图中的数据，则， 结合同分子，分母越大的分数反而小，且， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-3】．已知与成反比例，当时，，那么，当时，的值等于（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例定义，熟记反比例定义是解决问题的关键． 由与成反比例，设，根据当时，，求出值，再令求解即可得到答案． 【详解】解：与成反比例， 设， 当时，，则， ， 当时，， 故选：A． 考点7反比例函数与一次函数的交点问题 【变式7-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点．已知点和的横坐标分别为6和． (1)试确定一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)8 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据点和的横坐标分别为6和，得到，代入反比例函数的解析式，进行求解即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：点和的横坐标分别为6和， ∴， ，解得， 一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∴直线与轴的交点为， ∵点和的横坐标分别为6和， ∴的面积． 【变式7-1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A的坐标为，点C在反比例函数的图象上，BC与反比例函数的图象交于点D，连接OD． (1)点C的坐标为（_______，_______）． (2)求BC所在直线的解析式： (3)求的面积． 【答案】(1)2；3 (2) (3) 【分析】（1）分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为、，通过证明得到，，则； （2）过点A作轴，过点B作，交FA的延长线于点G，证明，得到，则，最后利用待定系数法求出对应的解析式即可； （3）先求出的长度，再求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为、， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵的坐标为， ∴，， 故点的坐标为， 故答案为：，． （2）解：如图，过点A作轴，过点B作，交FA的延长线于点G， ． 四边形为正方形， ， ， ， ， ． 设BC所在直线的解析式为， 则 解得 ∴BC所在直线的解析式为． （3）解：， ， 联立，得 解得或 ， ， ． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等等，正确求出、的坐标是解题的关键． 【变式7-2】．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、利用图像解不等式、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为． ，与轴交于点． （2）解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． （3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 【变式7-3】．如图，反比例函数的图象与一次函数（k为常数，且）的图象交于，B两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为1或9 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平移问题，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，先把代入，得到A点的坐标，然后代入，求得值，即可求得一次函数解析式； （2）先根据平移的性质得将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，依题意，进行列式化简得，再结合将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， ∴A点坐标为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 将直线向下平移个单位长度得直线解析式为， 依题意得 消去y得， 整理得， ∵若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点， 故， 解得或， 即m的值为1或9． 考点8反比例函数与一次函数的综合问题 例8．在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． (1)求m的值和一次函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点C在函数的图象上，点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标． 【答案】(1)，一次函数的解析式为： (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及的考点有：求函数解析式、观察函数图象解决不等式问题、点的平移问题等；解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式以及图象交点的坐标即可解决问题． （1）先将点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式后，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，最后把，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）根据函数图象，以及，两点坐标，即可解决问题； （3）设出点的坐标，再根据所给平移方式表示出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数的解析式为：， 将点代入反比例函数解析式得：， ∴， ∴点的坐标， ∴将，两点坐标代入一次函数解析式得：， ∴解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）∵当时，从图象来看为：反比例函数的图象在一次函数图象的上方， 又∵，， ∴当时，的取值范围是：或； （3）∵点在函数的图象上， ∴令点的坐标为， ∴点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后点的坐标为， ∴得点D的坐标为， ∵D落在函数的图象上， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 【变式8-1】．反比例函数与一次函数的图象交于两点．    (1)求k的值； (2)观察图象，请直接写出当时，x的取值范围为 ． (3)点在双曲线上，求a与b的大小关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数，涉及待定系数法函数解析式、一次函数与y轴的交点问题等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得答案； （3）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于两点， ∴， ∴ （2）由图象可知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． （3）∵反比例函数中， ∴随着的增大而减小， ∵点在双曲线上， ∴ 【变式8-2】．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象写出使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的性质： （1）根据反比例函数的解析式求出A和B的坐标，代入一次函数的解析式求出k和b即可； （2）根据即可求解； （3）数形结合即可求解． 【详解】（1）解：点的横坐标是，点A在上， ∴点A的纵坐标为，即， ∵点的纵坐标都是，点B在上， ∴，解得B的横坐标为4，即， 将代入，得， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）解：对于， 令，则， ∴，， ； （3）解：由图可知，使一次函数的值不大于反比例函数的值的x的范围是：或． 【变式8-3】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，且过点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点Q是x轴上的一点，且的面积是3，求点Q的坐标； (3)若P在x轴上一点，求取最小值时P点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点Q的坐标为或 (3)P点的坐标为 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）反比例函数的图象交于点，代入得反比例函数解析式，再代入，求出坐标后，将代入一次函数解析式即可求解； （2）作轴交于，设，则，分类讨论在之间时，在左侧时，在B右侧时，根据的面积是3列方程求解即可． （3）作关于轴对称点，连接交轴于，求出解析式，在求其与轴交点即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象交于点，代入得： ， ∴反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象过点， ， ， ， 一次函数的图象过点和， ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：作轴交于，设，则 当在之间时， ， ， ， ， ， 当在左侧时， ， ， ， （舍去）， 当在B右侧时， ， ， ， ， ， 综上所述，或； （3）解：作关于轴对称点，连接交轴于， 则， 设解析式为，代入，得： 解得：， 一次函数的表达式为， 令时，， 解得， ∴． 考点9 反比例函数与图形面积问题 例9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，顶点A，C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为，点C的纵坐标为，点B的坐标为． (1)求k的值． (2)求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，从而确定点坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）连接交于点，则，结合（1）可确定点坐标，然后根据线段中点的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则． 四边形是菱形， ． ， ∴点在的平分线上， ， ． 又， ， ， ． 将代入， 得． （2）解：由（1）可知， ， ． 如图，连接交于点，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 【变式9-1】．如图，反比例函数（，）与一次函数交于点A，B，过点A的直线轴，作线段的垂直平分线交直线l于点C，．已知点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1． (1)求k，m，b的值． (2)过点B作平行于x轴的直线，交直线于点E，连接，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）连接，过点B作BF垂直于直线l于点F，由题意可知，，，, ，，根据线段垂直平分线的性质得到，利用勾股定理即可得到，解得,，进而即可求得、的值； （2）求得C、D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，代入即可求得的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：连接，过点B作垂直于直线l于点F， 由题意可知，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵作线段的垂直平分线交直线l于点C， ∴， 在中，， ∴， 解得，， 当时，则，不合题意，舍去； 当时，则，， 把，代入得， 解得， ∴，，； （2）解：∵，， ∴，， 设直线的解析式为，则，解得， ∴此时直线为， 把代入得，解得， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求函数的解析式，线段的垂直平分线的性质，一次函数图象上点的坐标特征，面积的计算等，有一定的综合性． 【变式9-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别落在，轴上，点的坐标为，反比例函数的图像分别与边，交于点，，将沿翻折，得到． (1)连接，用含的代数式表示的面积；判断与的位置关系，并证明． (2)如图，当点落在上时，求的值． (3)点为边上的中点，在点的运动过程中，求的最小值直接写出答案． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）连结，根据矩形的性质可得，结合反比例函数的几何意义进而得到；连结，同理可得，进而得到，即可得出结论； （2）连接，由轴对称的性质可得，．由，推出，证明，即可推出，即点是的中点，进而得到点，即可解答； （3）如图，连接，设交于点，过点E分别作轴，轴的垂线，交于点，交轴于点G，交于点F，由勾股定理求出，利用三角形面积公式分别求出，再利用勾股定理求出，同理求出，即可得到，即可解答． 【详解】（1）解：连结， ∵矩形中，， ∴， 连结， 由同理可得， ， ； （2）解：如图，连接，由轴对称的性质可得，． ， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ∵点的坐标为， ∴点， ． （3）解：如图，连接，设交于点，过点E分别作轴，轴的垂线，交于点，交轴于点G，交于点F， ， ， ， ∵， ∴， 由题意可知点的轨迹为过点的的垂线的一部分，最短距离即为点到直线的垂线段， 即当时，有最小值，此时， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为边上的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，反比例函数的性质，翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式9-3】．如图，已知双曲线经过点，点是双曲线上在第三象限内的动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，，连接，，． (1)的值为________； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式． 把点的坐标代入中，即可求出的值； 因为轴，点的坐标是，可知，设中边上的高为，根据的面积是即可求出，根据点的纵坐标是，即可求出点的纵坐标是，把点的纵坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出点的横坐标； 根据点、、、的坐标，分别求出直线、，根据它们的比例系数相等，即可判断． 【详解】（1）解：双曲线经过点， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：轴，点的坐标是， ， 设中边上的高为， 的面积为， ， ， 解得：， 点的坐标是， 点的纵坐标为， 由可知，双曲线的解析式为， 把代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （3）解：， 理由如下， 点的坐标是； 点的坐标是， 点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 直线和直线的比例系数相等， ． 考点10反比例函数的实际应用 例10．实验数据显示：一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画．如图所示，并且通过测试发现酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升，酒后5小时为45毫克/百毫升． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (3)按国家规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾驶上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)当时，血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升） (3)第二天早上能驾车去上班，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键． （1）根据题意时，，时，，时，，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质即可解答； （3）求出时，y的值，进而得出能否驾车去上班． 【详解】（1）解：根据题意：酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升， 即当时，，时，， ∵1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画， 即当时，， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； ∵酒后5小时为45毫克/百毫升． 1.5小时以后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画， 即当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴当时，血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）； （3）解：第二天早上能驾车去上班，理由如下： ∵晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上，一共12个小时， ∴将代入， 则， 答：第二天早上能驾车去上班． 【变式10-1】．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即，即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温等于的时间加热过程中水温等于的时间即为加热一次水温不低于的时长，其中降温过程中水温等于的时间利用（2）中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【变式10-2】．如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒水） 的距离 (1)你认为表中哪次数据是明显错误的； (2)你认为与满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式； (3)某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 【答案】(1)第次数据是明显错误的 (2)反比例函数； (3)这个空牛奶盒的质量为 【分析】（1）根据表中数据可得：天平要达到平衡，总质量越小越大，据此进行判断即可； （2）设关于的函数表达式为，然后将，代入求解即可； （3）设空牛奶盒的质量为，可得，求解即可． 【详解】（1）解：天平要达到平衡，总质量越小越大， 与第、次相比，第次总质量小，反而小， 第次数据是明显错误的． （2）解：与满足的函数关系为反比例函数， 故答案为：反比例函数． 设关于的函数表达式为， 由条件可知：， ∴关于的函数表达式为． （3）解：设空牛奶盒的质量为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：这个空牛奶盒的质量为． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意确定反比例函数并求出其表达式是解题的关键． 【变式10-3】．小杭在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小杭记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)小杭通过分析表格数据发现， F是l的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (2)根据以上数据和图象，判断F是l的什么函数？直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． 并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是的反比例函数，解析式为；当OA的长增大时，拉力F是减小，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）根据反比例函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：画出与的函数图象如图所示： （2）解：当的长增大时，拉力减小，理由如下： 、都是正数， 这条曲线是反比例函数的一支， ， 其函数表达式为， ， 在第一象限内，随的增大而减小， 即当的长增大时，拉力是减小． 所以是的反比例函数，解析式为，当OA的长增大时，拉力F是减小． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直接将各点的横坐标代入反比例函数的解析式求出对应的纵坐标的值，再比较即可得出答案． 【详解】解：A．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； B．，则不在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； C．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； D．，则在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（    ） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 先求出函数解析式，再将代入求出的值，进而判断即可． 【详解】∵近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数， ∴设， 将代入得：， 解得：， 即， 当时，， 由图可知，若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 3．已知二次函数的图象如图所示，则下面各点有可能在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，由二次函数图象开口向上找出是解题的关键． 根据抛物线的开口方向可得出，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可找出点可能在反比例函数的图象上． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴二次项系数是正数，即， ∴反比例函数图象位于第一、三象限， ∴有可能位于反比例函数图象上的点必须位于第一或第三象限， 又∵位于第一、三象限的点的横纵坐标同号， ∴C选项正确． 故选： C． 4．某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．现测得不同时刻药物的浓度y（单位：）与时间x（单位：min）的数据如下表： x 0 2 4 6 8 10 12 16 20 y 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可知，当时，数据成比例增长，与之间是正比例函数关系， 设解析式为， 将代入得：， 解得：， 所以函数解析式为； 当时，与成反比例，是反比例函数关系． 设解析式为， 将代入得：， 解得：， 所以函数解析式为； 故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 5．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的系数判断图象所在象限，以及在每一象限内的增减性． 先根据反比例函数判断函数所在象限，再分析各点所在象限的函数值正负，最后根据同一象限内的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点、、， ∴（∵）， ， ， ∴． 又∵在第二象限内，随的增大而增大，且， ∴当从增大到时，值增大，即， ∴， 故选：D． 6．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离它有（）处挂一个重（）的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据得到，求出当时，，再结合反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴F随L的增大而减小， ∴当弹簧秤的示数不超过，的取值范围是， 故选：D． 7．如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和数形结合思想是解题的关键．先联立函数解析式求出，根据点A的横坐标和正方形的边长，得到点C，D，E的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，即的长度，结合正方形的边长，得到的长度，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点C，D，E的横坐标为：， 把代入反比例函数得：， 即，， ∴， 故选：A． 8．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴． 点在函数的图象上， ． 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，某反比例函数的图象过点，则此反比例函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、求反比例函数的解析式，设反比例函数的解析式是，由函数图象可知点在函数图象上，可得：，解得：，从而可知反比例函数的解析式是． 【详解】解：设反比例函数的解析式是， 由函数图象可知点在函数图象上， ， 解得：， 反比例函数的表达式是． 10．某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可． 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入解得， 故答案为：． 11．已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 时，，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 12．如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数比较大小，解题关键是树立数形结合思想，准确利用图象求解． 利用两个函数交点求解即可． 【详解】解： ∵函数与的图象相交于点，两点， ∴由图象得，当或时，函数的图象在上面， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 13．如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得，正确作出辅助线，利用反比例函数系数的几何意义求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，反比例函数y＝（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B． (1)求点B的坐标； (2)求△AOB的面积． 【答案】(1)B（1，4） (2) 【分析】（1）根据点A的坐标可求反比例函数解析式中m的值与一次函数中k的值，进而得出反比例函数与一次函数的解析式，联立解析式可得另一交点B的坐标． （2）利用坐标轴将所求三角形进行分割，变成易于求解的三角形面积，将分割后的三角形面积进行相加即可得△AOB的面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数y＝（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）， ∴﹣1＝，﹣1＝﹣4k+3， ∴m＝4，k＝1， ∴反比例函数为，一次函数为y＝x+3， 解得或， ∴B（1，4）； （2） 解：设一次函数图像交y轴于点C． ∵一次函数的解析式为：y＝x+3． 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3），即CO＝3， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ＝． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，利用三角形面积的和差求三角形的面积是解决本题的关键． 15．某工厂加工一批零件，平均每天加工的零件个数与加工的天数如下表所示： 每天加工零件的个数/个 500 400 250 200 100 ．．． 加工天数/天 2 4 5 10 ．．． (1)这批零件一共有 个； (2)判断平均每天加工的零件个数与加工的天数成什么比例关系？请说明理由． 【答案】(1)1000 (2)反比例关系，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义． （1）根据表格给出数据求出总数即可； （2）结合表格数据判定其关系即可． 【详解】（1）解：（个） ∴这批零件一共有1000个， 故答案为：1000； （2）解：反比例关系，理由如下： 由图表可得，每天加工零件的个数加工天数总量，总量为定值， ∴平均每天加工的零件个数与加工的天数成反比例关系． 16．如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)求，对应的函数表达式； (2)过点作轴交轴于点，求的面积； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵轴交y轴于点P，， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：或． 17．（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右___________（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之___________．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 18．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． （1）把点C坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点B坐标，再根据求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 设反比例函数解析式为， ∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； ∵，且的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 19．在函数的学习中，我们经历了“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为______； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【答案】(1)图象见详解 (2)①增大；②；③ (3)或 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据描点、连线可作出函数图象； （2）根据（1）中函数图象可分别求解①②③； （3）由题意先得出当时，x的值，然后借助（1）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：该函数的图象如图所示： （2）解：①当时，y随x的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为； ③图象上的点关于对称中心对称的点的坐标为； 故答案为增大；； （3）解：当时，则有，解得：， 结合（1）中函数图象可知：当或时，； 故答案为或． 20．如图，已知， 是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点； 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． (4)如图所示，是正方形， ，，，则的面积是 ． 【答案】(1)； (2)；8 (3)或 (4)1 【分析】（1）把， 代入y＝求得，再把，代入即可求解； （2）先求出与x轴的交点坐标，然后根据求解即可； （3）根据函数图象写出答案即可； （4）延长交于点M，作于点F，作于点N，证明是等腰直角三角形得，利用勾股定理求出，证明得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入y＝得：， 解得：，   ∴， 把，代入得：， 解得：，   ∴一次函数的解析式是； ∴ 反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是； （2）令， 解得：，   ∴，   ∴； （3）解：由图象知：当或时，， 故不等式的解集是或． （4）解：延长交于点M，作于点F，作于点N， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，   ∴． ∵ 是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数图象的交点，利用函数图象解不等式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 思 维 导 图 知 识 清 单 达标检测 高频考点解析 知识点梳理 学科网（北京）股份有限公司 $