专题二反比例函数综合问题归类解析(题型归纳+题型解析+强化拓展)2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题二反比例函数综合问题归类解析(题型归纳+题型解析+强化拓展)(解析版) 反比例函数的综合题是中考数学的重头戏。为了帮助你清晰地把握各类题型及其解法，下面这个表格汇总了主要的考查方向、核心思路和关键点。 考查题型 核心考查内容与关键点 考查热度与难度 与一次函数交点问题 求交点坐标（联立方程）、判断交点个数​（利用判别式Δ）。关键在于将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题。 ⭐⭐⭐⭐⭐ (基础且高频) 函数值比较与不等式 根据图象比较函数值大小、求解不等式。核心是数形结合，找到交点横坐标，根据图象上下位置判断。口诀：“图象在上方，函数值就大”。 ⭐⭐⭐⭐ (中高等) 图象面积问题 利用交点坐标和k的几何意义求三角形或多边形的面积 。常用“割补法”将复杂图形转化为规则图形面积的和差。 ⭐⭐⭐⭐ (综合性强) 与几何图形结合 反比例函数与特殊三角形、四边形等结合。解题核心是坐标化思想，将几何条件转化为点的坐标，再代入函数解析式。 ⭐⭐⭐ (常作为压轴题) 题型1与一次函数的交点问题 1求交点坐标：将一次函数和反比例函数的解析式联立成方程组，消元后得到一个一元二次方程，解方程即可求得交点的横坐标，再代入任一函数求纵坐标。 2.判断交点个数：上述一元二次方程的判别式（Δ=b2-4ac）决定了交点个数。 Δ > 0：有两个不同的交点。 例1．已知关于x的方程，它的实数解的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，把方程的解的情况转化为二次函数，以及的交点个数问题，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令，， 则：的解的个数，即为两个函数的交点的个数， 画出函数图象如图： 由图象可知，两个图象只有一个交点， ∴关于x的方程，只有1个实数解． 故选：B． 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，根据交点求不等式的解集， 对于（1），将点代入反比例函数关系式求出m，再将点代入反比例函数关系式求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），根据反比例函数图像在直线上方时反比例函数值大于一次函数值，结合交点坐标可得解集； 对于（3），设交点，求出直线与y轴交点的坐标，再根据求出答案即可. 【详解】（1）解：将点代入反比例函数关系式，得， ∴反比例函数. ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点. ∵点在直线的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：或. 观察图象，当时，； 当时，. 所以答案为：或； （3）解：如图所示， 当时，， ∴点. 设点，则， ∴， 解得或， ∴点或. 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 3．如图，已知直线与双曲线交于、两点，请利用以上信息解决问题： (1)方程的解是_________； (2)方程组的解是_________； (3)关于的不等式的解集为_______； 【答案】(1)或1 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及根据交点情况求不等式解集，运用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）直线与双曲线交点的横坐标即为方程的解； （2）利用双曲线解析式求出点A和点B的坐标，即可得出方程组的解； （3）直线在双曲线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于、两点， 方程的解是或1， 故答案为：或1； （2）解：、在双曲线上， ，， 、 方程组的解是或， 故答案为：或； （3）解：由图可知或时，直线在双曲线下方， 关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 题型2函数值比较和不等式 1.找交点：先求出两个函数图象的交点横坐标。 2.分区间：用这些交点横坐标以及 轴（）将数轴划分为若干个区间。 3.比高低：在每个区间内，观察一次函数图象与反比例函数图象的上下关系。图象在上方的函数值更大 例2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 【答案】(1)a的值为8 (2)的取值范围为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标． （1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求； （2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围； （3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵点在的图象上， ∴将代入，得． ∴a的值为8． （2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或． （3）解：∵一次函数过、， ∴代入得， 用第一个方程减第二个方程：，即， 解得， 将代入，得，即， 解得， ∴一次函数解析式为， 设点的坐标为（，因在线段上）， ∵，且、、在同一直线上， ∴，即， ∵点在上，且为原点， ∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例）， ∴的坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 化简右边：，方程变为， 两边同乘去分母：， 即， 两边除以得， 因式分解：， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时，均在线段上， 故点的坐标为或． 2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，，利用得到，列出方程进行求解即可； （3）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得， ∴，， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴； （3）解：联立和得，， 整理得，， 解得或， 将代入， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）结合函数图象，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 可得，， 所以反比例函数的解析式为， 将点代入， 可得，解得， 所以点A的坐标为， 将点A和点B的坐标代入得， ，解得， 所以一次函数的解析式为； （2）由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，x的取值范围为或． 题型3函数面积问题 1.矩形面积模型：从反比例函数图象上任意一点向两条坐标轴作垂线，所围成的矩形面积等于 s=|k|。 2.三角形面积模型：从该点只向一条坐标轴作垂线，与原点相连，所得到的直角三角形的面积等于 s=|k| 3.很多复杂图形的面积问题，都可以通过 “割补法”转化为这几个基本模型来求解 类型1 已知面积求参数 例3-1．如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】(1)m的值为1 (2)菱形的面积为 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质、菱形的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数系数的几何意义求出的值，据此求出m的值即可； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知点B在反比例函数图像上， 因为轴于点C，的面积为2， 所以， 又， 所以， 则反比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 所以m的值为1． （2）解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4， 所以菱形的面积为． 1．如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． (1) 设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，由点O 是平行四边形的中心， 得，证明，得进而可求k． (2) 根据点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，分别求得点A 、点 B 的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，， 轴， 轴， ∴由平移知轴， 则 ．                                由平移可知四边形是平行四边形， ∵点O 是平行四边形的中心，      ∵点O 是平行四边形的中心， ，， ， ， ， ．     ∵函数 的图象在第四象限， ， ． （2）解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心， ∴点A 的纵坐标为， ∴ 点 B 的纵坐标为1．     将代入 得， ． 将代入 得， ． 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得 解得 ∴直线的解析式为． 2．如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3)见解析 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． （3）证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若的面积为5，则k的值为________． 【答案】(1)①，；②P的坐标为或 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据分割法求面积，进行求解即可； （2）设，求出点坐标，点坐标易得均为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式求出，即可． 【详解】（1）解：①把点B坐标为分别代入和，得： ， ∴， ∴，； ②∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， ∴或，即：P的坐标为或； （2）∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵过点B作轴于点D， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：． 类型2 已知反比例函数求面积 例3-2．如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E，则四边形、四边形、四边形都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形与的面积关系即可求得结果； （2）根据平行线间距离处处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E， ∵轴， ， ∴轴， 即， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， 由反比例函数比例系数k的几何意义知：，， ∴， ∵， ∴． （2）如图， ∵且两平行线间的距离处处相等， ∴ 1．如图所示，双曲线与直线（，为常数）交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1)， (2)的面积为6 (3)和 【分析】（1）由待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）过点作轴，过点作轴，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （3）理解时的取值范围是指反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由双曲线过， 得， 反比例函数的解析式为； 双曲线过， ，即， 由直线（，为常数）交于，两点，得 ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：过点作轴，过点作轴，如图所示： ， ，， ， ； （3）解：时的取值范围是指反比例函数图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，如图所示： 由图可知，当和时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 时的取值范围是和． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、待定系数法确定反比例函数解析式、反比例函数中的几何意义、梯形面积公式、由函数图象解不等式等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 2．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 3．如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． (1)填空：_______； (2)求证：； (3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)①；②直角三角形，见解析 【分析】（1）根据k的几何意义和三角形面积公式即得； （2）根据，，即得； （3）①设点，，得，得，解得，得点，点得直线的解析式为： ，得，由，得四边形为平行四边形，②设点，则点，得，得，同理，设点，则点，设直线交x轴于点H，连接，得点，轴，得可得，得，是直角三角形． 【详解】（1）解：； 故答案为：1； （2）证明：点C，D在反比例上， ， ， ， （3）解：①设点． 是线段的中点， ． 点C在反比例上， ． ． 解得． 点A在点B的左侧， ． 点，点． 设直线的解析式为， ． 解得：． 直线的解析式为． ， ． 轴，轴， ． 四边形为平行四边形． 由（2）得：，点，点， ． ②是直角三角形，理由如下： 设点， 则点． ． ， ． ． ． 同理，设点， 则点． ，． ． ． 设直线交x轴于点H，连接． 令，则． 点． 点， 轴． ． ． ， ． ， ． ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，是解此题的关键． 题型4与几何图形综合 1.设点坐标：设反比例函数图象上关键点的坐标为 。 2.转化几何条件：利用菱形的对角线互相垂直平分、矩形的邻边垂直、正方形的四边相等且对角线互相垂直平分等几何性质，将这些条件转化为点的坐标之间的关系式 。 3.列方程求解：将坐标关系式代入反比例函数解析式或相关方程中，解出未知数。 类型1 与特殊三角形综合 例4-1．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质、待定系数法求表达式及等腰三角形性质， （1）过点A作轴于点E，先证明，求出，进而求出，即可求出结论； （2）先求出直线的解析式为，设直线向左平移后的解析式为，先求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时t的值，进而求出结论即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线向左平移后的解析式为， 联立，整理得，， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范围是． 1．如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3．． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集是： ； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标．​ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，定义三角形的定义： （1）分别把点A的坐标代入两函数解析式中利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，再分三种情况利用勾股定理进行讨论求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得：，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：，， ， 由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，不等式的解集为； （3）解：∵点在反比例函数的图象上，且横坐标为3， ∴， ∴， ∵直线是直线平移得到的 ∴可设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设， ∵， ∴， 当以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①时，， 解得：或（舍去）； ②时，， 解得：或（舍去）； ③时，， 解得：（舍去）． 综上：或， ∴点或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为 (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； 【答案】(1) (2)D的坐标为或或或； 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2））根据勾股定理得到，①当O为顶角的顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶角的顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶角的顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论； 【详解】（1）解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ①当O为顶角的顶点时，， ∴或； ②当D为顶角的顶点时，， ∵四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴点D与C重合， ∴； ③当B为顶角的顶点时，，则， ∴， ∴； 综上所述：D的坐标为或或或. 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 3．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】(1)点，点，点 (2)三角形的面积不变， (3)存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【详解】（1）解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 类型2与特殊四边形综合 例4-2．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得点坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可； （3）利用分类讨论的方法分当以为一边时和当以为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数中得： ， 反比例函数的关系式为； （2）解：∵点的横坐标为， ， ， 由图象可知，不等式的解集为； （3）解：当以为一边时，如图所示： 把，分别代入得： ，解得：， ∴， 把代入得：，∴， 且直线与y轴交点坐标为：， 设点， 则， ， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点， ∴轴， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴， ∴轴， ∴； 当以为一条对角线时，如图， 设点， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 菱形的对角线与互相平分， ∴根据中点坐标公式可得，与交点的坐标为：， ∴点的坐标为：； 综上，以点，，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结合法解答是解题的关键． 1．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)①不存在，理由见解析；②当时，以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形；当时，点Q在线段的延长线上，平行四边形只是矩形． 【分析】(1)根据条件可以得到点A、B、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题； (2)①可用t的代数式表示，然后根据求出t的值，得到与重合，因而不存在t，使得四边形为平行四边形； ②可分两种情况(点Q在线段和在线段的延长线上)讨论，由于，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需，只需将分别用t的式子表示，求出t，就可解决问题． 【详解】（1）解∶(1)由题意可得∶点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 设过点C的反比例函数的表达式为，则有， ∴过点C的反比例函数的表达式为． 设过A、B两点的一次函数的表达式为， 则有， 解得． ∴过A、B两点的一次函数的表达式为； （2）①不存在． 轴，轴， ． 当四边形是平行四边形，则：． 设，则， ， ．此时与重合， 不存在t的值，使四边形为平行四边形． ②存在．当时，点Q在线段上， 此时，，． 当时，， 整理可得：， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在t，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形． 当时，点在线段的延长线上， 由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ，（舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解答本题的关键． 2．如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、 (1)______；______； (2)求四边形的面积； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)，12 (2)20 (3)或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，则可求出点，点，再根据列式求解即可 （3）根据平移的性质，先设出直线的解析式，表示出，，F的坐标，由两点距离计算公式可得，，的长；再分，为边，、为边和、为边三种情况，根据菱形的四条边相等分别列方程，求解即可． 本题为反比例函数与一次函数的综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， 将点代入中，得， 故答案为：，12； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 点，点， ∴， 轴， ∴； （3）解；设直线的解析式为， 把代入中，得，解得， 直线的解析式：， 由平移的性质可得， 则可设直线的表达式为，直线的解析式为， 设，则点， 将点坐标代入得， 解得， 直线的表达式为：， 在中，当时，， 点， ，，， 当，为边时，， 解得或舍去， 点， 当、为边时，， 解得， 点； 当、为边时，， 解得舍或， 点， 综上，点的坐标为或或 3．如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，矩形的判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则四边形为平行四边形； （2）同（1）作出平行四边形，再由两点距离计算公式可证明，进而得到，据此可证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形 （2）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形； 根据勾股定理得，， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形是矩形． 1．方程 的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，函数图象的交点与方程的根． 画和的函数图象，由函数图象的交点与方程的根之间的关系，即可得方程 的根的个数． 【详解】解：和的函数图象如图所示， 根据二次函数和反比例函数图象的性质，结合图象可知， 和有且只有一个交点， ∴方程 的根的个数为． 故选：． 2．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论是解题的关键． 根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，的面积与的面积相等，再根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：连接， 轴，和同底边AB， ， ， 反比例函数和的图象交于点和点， ， ， 故答案为：4． 3．如图，菱形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点，在轴上，且为的中点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，过作轴于点，则，由四边形是菱形，可得，，，从而证明四边形是矩形，又为的中点，则垂直平分，所以可证得，故有是等边三角形，所以，从而有，然后通过直角三角形的性质和勾股定理可得，从而求出的值． 【详解】解：如图，连接，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理，连接交于点D，先根据矩形的性质得点D是、的中点，，设，则，再得，，然后根据勾股定理得，即，解方程即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点D， ∵四边形为矩形， ∴点D是、的中点，， 设，则， ∴， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 5．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知翻折特征和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先过E作，垂足为点F，根据翻折可知，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E点坐标，利用待定系数法解答即可． 【详解】过E作，垂足为点F， 由已知条件可知，， ， 易知， ， 又， ， 则E点坐标为， 设这个反比例函数为， ∴ 则． 故答案为：． 6．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点P，作轴，垂足为B， (1)求m的值； (2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接，，若，求点M的坐标； ②过点M作交的延长线于点D，若，求点M的坐标． 【答案】(1)24 (2)①点M的坐标为；②点M坐标为 【分析】本题考查的是反比例函数与几何综合、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可； （2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【详解】（1）解：代入到，得， 解得， ∴， 代入到，得， ∴m的值为24； （2）解：①如图，过点M作轴于点N， 对于，当时，，当时，， ∴点A坐标为， 点C坐标为， ∵轴，点P坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，反比例函数的解析式为， 设点M的坐标为，则，， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； ②如图，过点P作过交BP的延长线于点G，作于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴ ∵点M在反比例函数的图象上的一点 ∴， 解得：，， ∵点M在点P的右侧， ∴， ∴点M坐标为． 7．在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、反比例函数的增减性、不等式组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将点代入一次函数可得，即；再将代入反比例函数求解即可； （2）由反比例函数增减性可得随x的增大而减小，随x的增大而减小；则当时，，；当时，，；再根据题意可得当时，；当时，；然后不等式组即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式． （2）解：如图：当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小， 当时，，； 当时，，； ∵当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值， ∴当时，；当时，； ∴． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集为______； 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象下方时自变量的取值范围为或． ∴不等式的解集为或． 9．如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限内的交点．已知轴于点B，且，求这两个函数的解析式． 【答案】反比例函数与一次函数的解析式分别为. 【分析】根据，可求k的值，即可求解析式； 【详解】解：设点A的坐标为，且， 则， ． 又， ∴反比例函数与一次函数的解析式分别为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数系数的几何意义，解决问题的关键是利用方程组求交点坐标. 10．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 11．已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴，， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 12．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 题 型 解 析 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 强 化 拓 展 针 对 训 练 针 对 训 练 题 型 及 解 题 策 略 针 对 训 练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题二反比例函数综合问题归类解析(题型归纳+题型解析+强化拓展) 反比例函数的综合题是中考数学的重头戏。为了帮助你清晰地把握各类题型及其解法，下面这个表格汇总了主要的考查方向、核心思路和关键点。 考查题型 核心考查内容与关键点 考查热度与难度 与一次函数交点问题 求交点坐标（联立方程）、判断交点个数​（利用判别式Δ）。关键在于将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题。 ⭐⭐⭐⭐⭐ (基础且高频) 函数值比较与不等式 根据图象比较函数值大小、求解不等式。核心是数形结合，找到交点横坐标，根据图象上下位置判断。口诀：“图象在上方，函数值就大”。 ⭐⭐⭐⭐ (中高等) 图象面积问题 利用交点坐标和k的几何意义求三角形或多边形的面积 。常用“割补法”将复杂图形转化为规则图形面积的和差。 ⭐⭐⭐⭐ (综合性强) 与几何图形结合 反比例函数与特殊三角形、四边形等结合。解题核心是坐标化思想，将几何条件转化为点的坐标，再代入函数解析式。 ⭐⭐⭐ (常作为压轴题) 题型1与一次函数的交点问题 1求交点坐标：将一次函数和反比例函数的解析式联立成方程组，消元后得到一个一元二次方程，解方程即可求得交点的横坐标，再代入任一函数求纵坐标。 2.判断交点个数：上述一元二次方程的判别式（Δ=b2-4ac）决定了交点个数。 Δ > 0：有两个不同的交点。 例1．已知关于x的方程，它的实数解的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 3．如图，已知直线与双曲线交于、两点，请利用以上信息解决问题： (1)方程的解是_________； (2)方程组的解是_________； (3)关于的不等式的解集为_______； 题型2函数值比较和不等式 1.找交点：先求出两个函数图象的交点横坐标。 2.分区间：用这些交点横坐标以及 轴（）将数轴划分为若干个区间。 3.比高低：在每个区间内，观察一次函数图象与反比例函数图象的上下关系。图象在上方的函数值更大 例2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点． (1)求a的值； (2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围； (3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标． 2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 题型3函数面积问题 1.矩形面积模型：从反比例函数图象上任意一点向两条坐标轴作垂线，所围成的矩形面积等于 s=|k|。 2.三角形面积模型：从该点只向一条坐标轴作垂线，与原点相连，所得到的直角三角形的面积等于 s=|k| 3.很多复杂图形的面积问题，都可以通过 “割补法”转化为这几个基本模型来求解 类型1 已知面积求参数 例3-1．如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 1．如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 2．如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若的面积为5，则k的值为________． 类型2 已知反比例函数求面积 例3-2．如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 1．如图所示，双曲线与直线（，为常数）交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时的取值范围． 2．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 3．如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． (1)填空：_______； (2)求证：； (3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 题型4与几何图形综合 1.设点坐标：设反比例函数图象上关键点的坐标为 。 2.转化几何条件：利用菱形的对角线互相垂直平分、矩形的邻边垂直、正方形的四边相等且对角线互相垂直平分等几何性质，将这些条件转化为点的坐标之间的关系式 。 3.列方程求解：将坐标关系式代入反比例函数解析式或相关方程中，解出未知数。 类型1 与特殊三角形综合 例4-1．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 1．如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3．． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集是： ； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标．​ 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为 (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； 3．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 类型2与特殊四边形综合 例4-2．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 1．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 2．如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、 (1)______；______； (2)求四边形的面积； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 3．如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 1．方程 的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为 3．如图，菱形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点，在轴上，且为的中点，若，则的值为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 5．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 6．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点P，作轴，垂足为B， (1)求m的值； (2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接，，若，求点M的坐标； ②过点M作交的延长线于点D，若，求点M的坐标． 7．在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集为______； 9．如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限内的交点．已知轴于点B，且，求这两个函数的解析式． 10．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 11．已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 12．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 题 型 解 析 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 强 化 拓 展 题 型 及 解 题 策 略 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