第五章 二元一次方程组 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二元一次方程组的概念、解法、应用及与一次函数的联系，通过从基础概念到综合应用的递进式梳理，将解方程组的方法、实际问题建模、函数图像交点等知识点串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于融入定义新运算、整体思想等创新题型，如通过“幸福方程”“换元法”培养学生的运算能力和推理意识，结合运输、餐饮等实际情境发展模型意识。分层设计从基础题到压轴题，满足不同学生需求，教师使用可精准把握学情，提升复习效率。

第五章 二元一次方程组 数学　八年级上册 一 二元一次方程组的概念及解 1. 若 是方程x－2y=0的解，则3a－6b－3的值为_____. 2. 将3x－2y=2变形，用含x的式子表示y，下列结果正确的是 ( ) －3 A 数学　八年级上册 3. 二元一次方程3x+2y=20的正整数解有 ( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 C 数学　八年级上册 二 二元一次方程组的解法 4. 已知 则 3a－b=___. 5. 对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”:a◆b=例如4 ◆3， 因为4 >3，所 以4◆3= =5. x*y= mx+ny+1，m，n 为常数，若4*(－1)=5，1*2=8，则m◆n =____. 6 数学　八年级上册 6. 对于实数，规定新运算：x*y=ax+by，其中a，b 是常数，已知1*2=5，(－1)*1=1. (1)求a，b的值； 解：(1)由1*2=5，得a+2b=5， 由(－1)*1=1，得－a+b=1， 联立方程组 解得 数学　八年级上册 (2)求5* 的平方根. ∵4的平方根为±2， ∴原式的平方根为±2. 解：(2)原式 数学　八年级上册 7. 甲、乙两人同时解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ·乙看错了方程②中的b，解得 求原方程组的正确解. 解：依题意，得 解得 代入原方程组，得 解得 ∴原方程组的正确解为 数学　八年级上册 8. 已知关于x，y 的方程组 其中a 是实数. (1)若x=y，求a的值； ①×3+②，得5x=15a－5，解得x=3a－1. 把x=3a－1代入①，得3a－1－y=2a+1，解得y=a－2. 解： ∴原方程组的解为 (1)当x=y时，3a－1=a－2，解得 数学　八年级上册 (2)若方程组的解也是方程x－5y=3的一个解，求 (a－4)2025的值； 解：(2)依题意，得3a－1－5(a－2)=3，解得a=3. 当a=3时，(a－4)2 025=(3－4)2 025=(－1)2 025=－1. 数学　八年级上册 (3)求k为何值时，代数式x2－hxy+9y2的值与a的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值. 解：(3)∵x=3a－1，y=a－2， ∴x－3y=3a－1－3(a－2)=5. ∴x2－kxy+9y2=x2－6xy+9y2+6xy－kxy=(x－3y)2+(6－k)xy=52+(6－k)xy=25+(6－k)xy. ∴当6－k=0，即k=6 时，x2－kxy+9y2的值与a的取值无关，始终是一个定值，这个定值是25. 数学　八年级上册 三 二元一次方程组的应用 9. (2024·深圳校级期中)小亮、笑笑和小红三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图所示，则小红得分为____分. 33 数学　八年级上册 10. 如图，在大长方形ABCD中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为____cm2. 75 数学　八年级上册 11. (2024·莲湖区校级期中)如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连. 这家工厂从A 地购买一批每吨100元的原料运回工厂，制成每吨800元的产品运到B 地. 已知公路运价为1. 5元/(吨 ·千米)，铁路运价为1. 2元/(吨 ·千米)，且这两次运输共支出为公路运输费1500元，铁路运输费9720元. 数学　八年级上册 (1)该工厂从A 地购买了多少吨原料?制成运往B地的产品有多少吨? 解：(1)设工厂从A地购买了x 吨原料，制成运往B地的产品有y吨. 答：工厂从A 地购买了40吨原料，制成运往B 地的产品有30吨. 依题意，得 解得 数学　八年级上册 (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元? 解：(2)依题意，得 30×800－40×100－1 500－9 720=8 780(元). 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多8780元. 数学　八年级上册 12. (2025 ·潍坊期中)【阅读理解】已知方程组 求x－4y的值. 本题的常规解题思路是：解方程组得x，y 的值，再代入x－4y 得到答案，常规思路运算量比较大. 其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可 得x－4y=－2. 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 数学　八年级上册 【模仿应用】(1)已知方程组 请用整体思想求7x+5y的值. 解：(1)依题意，结合整体思想， 由①+②×2，得7x+5y=19. 数学　八年级上册 【解决问题】(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮和5本日记本共需多少元? 解：(2)设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z 元. 由①×2－②，得x+y+z=6. ∴5x+5y+5z=30. 答：购买5支铅笔、5块橡皮和5本日记本共需30元. 依题意，得 数学　八年级上册 【拓展延伸】(3)对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+by+c，其中a，b，c 是常数，等式右边是通 常的加法和乘法运算. 已知3*5=15，4*7=28，求1*1的值. 由①×3－②×2，得a+b+c=－11. ∴1*1=a+b+c=－11. 解：(3)依题意，得 数学　八年级上册 四 二元一次方程组与一次函数 13. 一次函数y=kx+b与y=mx+n 的图象如图所示，则下列说法不正确的是 ( ) A. b=－1，n=2 B. 这两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积为4. 5 C. 关于x，y 的方程组 的解为 D. 当x从0开始增加时，函数y=kx+b比y=mx+n的值先达到3 D 数学　八年级上册 14. (2024 ·深圳校级期中)设一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象过A(1，3)，B(－5，－3)两点. (1)求该函数的表达式； ∴该函数的表达式为y=x+2. 解：(1)依题意，得 解得 数学　八年级上册 (2)若点C(a+2，2a+1)在该函数图象上，求a的值； 解：(2)把C(a+2，2a+1) 代入y=x+2， 得2a+1=a+2+2， 解得a=3， 即a的值为3. 数学　八年级上册 解：(3)如答图，设直线y=x+2 与y 轴相交于点D， (3)设点P 在y轴上，若S△ABP=15，求点P 的坐标. 则D(0，2). 设P(0，t). ∵S△BDP+S△ADP=S△ABP， 解得t=－3或t=7. ∴点P的坐标为(0，－3)或(0，7). ∴ 数学　八年级上册 15. 如图，正比例函数y=－3x的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于点P(m，3)，一次函数的图象经过点B(1，1)，与y 轴的交点为D， 与x轴的交点 为C. (1)求一次函数的表达式； 数学　八年级上册 解：(1)∵正比例函数y=－3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m，3)， ∴－3m=3，解得m=－1. ∴P(－1，3). 把(1，1)和(－1，3)代入一次函数y=kx+b中， ∴一次函数的表达式是y=－x+2. 得 解得 数学　八年级上册 (2)求点D的坐标； (3)不解关于x，y的方程组直接写出方程组 的解. 解：(2)由(1)知一次函数的表达式是y=－x+2， 令x=0，则y=2，∴D(0，2). 解：(3)依题意，得P(－1，3) 是两条直线的交点， ∴方程组的解为 数学　八年级上册 16. 如图，直线l1 :y=x+1与直线l2 :y=mx+n相交于点P(1，b). (1)求b的值 (2)不解关于x，y的方程组 请你直接写出它的解. 解：(1)∵点P(1，b)在直线y=x+1上， ∴当x=1时，b=1+1=2. 解：(2)方程组 的解是 数学　八年级上册 (3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P? 请说明理由. 解：(3)直线l3:y=nx+m也经过点P. 理由如下： ∵当x=1时，y=mx+n=m+n=2， ∴y=nx+m=n+m=2. ∴点(1，2)满足函数y=nx+m. ∴直线l3也经过点P. 数学　八年级上册 17. (2024 ·灵武期末)如图，直线l1:y=2x+1 与直线l2:y =mx+4 相交于点P(1，b)，与x轴分别相交于A，B 两点. (1)求b，m的值； 解：(1)把点P(1，b)代入y=2x+1，得b=2+1=3， ∴点P的坐标为(1，3). 把点P(1，3)代入y=mx+4，得m+4=3， ∴m=－1. 数学　八年级上册 (2)结合图象可知关于x，y的方程组 的解是 ________. (3)求△ABP的面积. 解：(3)由(1)易得 ，B(4，0)， ∴ ∴ 数学　八年级上册 五 重点压轴题 18. (2024 ·开封期末)小明在学了二元一次方程后，写出下列几组满足二元一次方程2x+y=1的解： 小明把一个解用一个点表示出来，例如 用点(－2， 5)表示，然后在平面直角坐标系中过这些点中的任意两点作直线，他发现这些点在一条直线 上. 若以方程2x+y=1 的解为坐标的点的全体叫作方程2x+y=1的图象，如图，方程2x+y=1的图象 是一条直线. 数学　八年级上册 (1)若点A的坐标为 ，则点A___(填“在”或“不在”)方程2x+y=1的图象上；(2)下列表格是方程x－y=－1 的两组解，请先补全表格，然后模仿小明的方法，并在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程x－y=－1的图象； 在 x ... －1 ___ ... y ... ___ 1 ... 0 0 解：(2)如图所示. 数学　八年级上册 (3)请直接写出二元一次方程组 的解. 解：(3)二元一次方程组 的解为 数学　八年级上册 19. 我们规定，关于x，y的二元一次方程ax+by=c，若满足a+b=c，则称这个方程为“幸福”方程. 例如，方程2x+3y=5，其中a=2，b=3，c=5，满足a+b=c，则方程2x+3y=5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫作“幸福”方程组. 根据上述规定，解答下列问题： (1)判断方程3x+5y=8____ “幸福”方程；(填“是”或“不是”) 是 数学　八年级上册 (2)若关于x，y的二元一次方程kx+(k－1)y=9是“幸福”方程，求k 的值； 解：(2)∵关于x，y的二元一次方程kx+(k－1)y=9是“幸福”方程， ∴k+k－1=9， 解得k=5. 数学　八年级上册 (3)若 是关于 x，y的“幸福”方程组 的解，求4p+7q的值. 解：(3)∵方程组 是“幸福”方程组， ∴ 解得 ∴原方程组为 数学　八年级上册 ①+②，得4p+7q=11. ∴4p+7q的值为11. ∵ 是关于x，y的“幸福”方程组 的解， ∴ 数学　八年级上册 20. (2024 ·崂山区期末)根据以下素材，探索解决问题. 素材一：乐乐餐饮公司提供的早餐中，包含一个60 g的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品. 素材二：100g 谷物、100 g 牛奶和100 g 鸡蛋的部 分营养成分如表： 数学　八年级上册 素材三：乐乐餐饮公司有A、B两种午餐套餐(如表)，为了平衡膳食，建议在一周内，平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280 g，肉类摄入量不少于60g. 数学　八年级上册 问题解决： (1)若一份早餐包含一个60g 的鸡蛋、一份200g 的牛奶和一份150g 的谷物食品，求该份早餐中蛋白质的总含量； 解：(1)依题意，得 150×9%+200×3%+60×12%=26. 7(g). 答：该份早餐中蛋白质的总含量为26. 7 g. 数学　八年级上册 (2)若要求早餐中蛋白质总含量占早餐总质量的7. 35%，已知乐乐餐饮提供的一份早餐的总质量为400g， 求每份早餐中牛奶和谷物食品的质量； 解：(2)设每份早餐中牛奶xg，谷物yg. 答：每份早餐中牛奶140g，谷物食品200 g. 依题意，得 解得 数学　八年级上册 (3)为平衡膳食，请你选出一周内符合午餐要求的 A、B套餐组合(一周按5天计算):___. (填 序号) ①A套餐1天、B套餐4天； ②A套餐2天、B套餐3天； ③A套餐3天、B套餐2天； ④A套餐4天、B套餐1天. ② 数学　八年级上册 六 中考热点数学探究与综合 21. (2024·潮州一模)【综合实践】主题：制作一个有盖长方体盒子. 操作：如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4 dm，AD=6 dm，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一 个底面是正方形的有盖长方体盒子. 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长. 数学　八年级上册 解：设这个有盖长方体盒子的高为x dm，底面正方形的边长为y dm. 答：这个有盖长方体盒子的高为1dm， 底面正方形的边长为2dm. 依题意，得 解得 数学　八年级上册 22. (2025 ·天宁区校级期中)阅读下面一段材料，运 用相关知识解决问题. 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为“元”. 所谓换元法，就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使复杂的问题简单化. 换元的实质是转化，关键是构造元和设元. 例如： 解方程组 数学　八年级上册 设 则原方程组可化为 解化解之后的方程组，得 所以原方程组的解为 数学　八年级上册 运用以上知识解答下列问题： (1)方程组 的解为______. (2)关于x，y 的二元一次方程组 的解为 则方程组 的解为_______. 数学　八年级上册 (3)解方程组： 解：(3)设2x=A，3y=B，则原方程组可化为 解得 ∴ 解得 数学　八年级上册 (4)求(1－2－3－4－…－97－98)(2+3+4+5+6+…+ 98+99)－(1－2－3－4－…－98－99)(2+3+4+5+6+…+98)的值. 解：(4)设2+3+4+…+97+98=t， 则原式可化为 (1－t)(t+99)－(1－t－99)t =t+99－t2－99t－t+t2+99t=99. 数学　八年级上册 $