第七单元 数学百花园（单元测试）数学北京版六年级上册

保密★启用前 第七单元 数学百花园（单元测试） 试卷总分：100分；卷面分：5分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、填空题（满分27分） 1．（2分）著名的斐波那契数列、、、、、、、…，其中的第个数是（ ）。 2．（2分）如图，实验小学校园运动会的跑道宽比成人比赛的跑道宽要窄些，400m的跑步比赛，跑道宽为1m，那相邻跑道的起跑线应该依次提前（ ）m。（圆周率取3.14） 3．（2分）如图，一个正方形用4根小棒，2个正方形用7根小棒，那么摆40个这样的正方形需要（ ）根小棒，如果有157根小棒，可以摆（ ）个这样的正方形。 …… 4．（2分）“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形半径是，按照下面的方法画螺旋线，第五步的弧线长（ ）。 5．（2分）小芳、小兰两人用红、黑两种棋子，按下图的要求玩跳棋游戏：从1号位出发，轮流按顺时针方向前进，小芳的红棋的走法是：2步—3步—2步—3步—2步…；小兰的黑棋的走法是：2步—1步—2步—1步—2步…。她们各走了60次后，小芳的红棋走到了（ ）号位，小兰的黑棋走到了（ ）号位。 6．（3分）在日常生产、生活中，经常把同样大小的圆柱管捆扎起来（接头处忽略不计），每根圆柱管的直径都是10厘米，捆扎后的横截面如下图所示。 请你根据图示，探索发现求绳子长度的方法，并完成下表。 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） （ ） （ ） （ ） 7．（4分）有若干个同样大小的圆环，它的外直径5厘米，环宽0.5厘米。 如果将它们扣在一起组成一根链子，再拉紧后测量出链子的长度，圆环的个数增加，长度有怎样的变化规律？请你边计算填表，边思考。 圆环的个数 2 3 4 链子的长度（厘米） （ ） （ ） （ ） 将12个这样的圆环扣在一起形成一根链子，用你发现的规律计算出链子拉紧后的长度是（ ）厘米。 8．（2分）现有段铁链，每段上有个封闭的铁环。现在要打开一些铁环，把这个铁环焊接成一个一环套一环的圆圈。如果每打开一个铁环要分钟，焊接上一个铁环要分钟。那么焊成这个圆圈，至少需要（ ）分钟。 9．（2分）“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用大小不同的圆画出来的（如图），第一步中圆的半径是1cm，按照如图所示的方法继续画下去，第四步中最大的圆中的螺旋线长（ ）cm。 第一步 第二步 第三步 第四步 10．（2分）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉。现依次取边长为1，1，2，3，5…的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”。那么前五个正方形内形成的曲线的长度是（ ）。 11．（4分）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数：1、1、2、3、5、8、13、21、34…计算12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋…这样的算式有简便方法。我们也可以用以下方法探索，以这组数中各个数作为正方形的边长，再拼成如下图的长方形来研究。 序号 ① ② ③ ④ 图形               算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 （1）观察上面的图形和算式，你能填写下面的算式吗？ 12＋12＝1×2    12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5   12＋12＋22＋32＋52＝（ ）×（ ）   12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（ ）×（ ） （2）序号为⑥的算式结果是（ ）。 二、判断题（满分6分） 12．（2分）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。（ ） 13．（2分）如图，一个铁环长4厘米，5个这样的铁环连在一起一共长2分米。（ ） 14．（2分）用4个半径相等且圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。（ ） 三、选择题（满分12分） 15．（2分）如图，5个大小相同的铁环连在一起，总长是（    ）。 A．20厘米 B．160毫米 C．180毫米 16．（2分）按照下面3幅图的规律继续画图，第12幅图形长（    ）厘米。 A．48 B．52 C．92 D．96 17．（2分）如图所示为某学校操场示意图，每条跑道的宽为1.25m，从内到外依次是第1道，第2道……绕第1道跑一圈正好是200m，则绕第2道跑一圈是（    ）。（取3.14） A．203.925m B．207.85m C．215.7m D．231.4m 18．（2分）如图，3个铁环连在一起，长（    ）。 A．24厘米 B．23厘米 C．22厘米 D．21厘米 19．（2分）“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”罗丹，美在数学中也不曾少有，如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形，每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线。试求图中斐波那契螺旋线的长（    ）。（取3.14） 图1                       图2 A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68 20．（2分）数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 四、解答题（满分55分） 21．（6分）把3个大小相同的铁环连在一起（如下图），拉紧后的长是多少毫米？ 22．（6分）丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？ 23．（6分）著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…从第三项开始每一项是前两项的和。此数列的第2008项除以8的余数是多少？ 24．（7分）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 25．（7分）下图是美丽的鹦鹉螺外壳图片，其中也蕴含着黄金比。它的优美曲线被称为黄金螺旋线。仔细观察，如果继续画下去，第七个扇形的半径是多少，填在表格里。 扇形编号 一 二 三 四 五 六 七 扇形半径 1 1 2 3 5 8 26．（8分）如图，小正方形ABCD的边长为2厘米，依次以A，B，C，D四个顶点为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中涂色部分。求涂色部分的面积。 27．（15分）现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。 圆环个数 1 2 3 4 5 6 …… 拉紧后的长度/cm （1）请完成表格。 （2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米？ （3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？ （4）若拉紧后的长度是77厘米，则它是由多少个圆环扣成的？ 第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 第七单元 数学百花园（单元测试） （参考解析） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、填空题（满分27分） 1．（2分）著名的斐波那契数列、、、、、、、…，其中的第个数是（ ）。 【答案】55 【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和，由此即可求解。 【解答】有分析可知： 第个数是： 第个数是： 所以其中的第9个数是55。 【点评】本题考查数字类规律，根据题意找到规律是解题关键，属于基础题。 2．（2分）如图，实验小学校园运动会的跑道宽比成人比赛的跑道宽要窄些，400m的跑步比赛，跑道宽为1m，那相邻跑道的起跑线应该依次提前（ ）m。（圆周率取3.14） 【答案】6.28 【分析】观察图形可知，直道的长度一定，跑道两端的两个半圆可以组合成一个圆，那么相邻跑道的起跑线的差距是相邻的外圆与内圆的周长差。 根据圆的周长公式C＝2πr可得出，相邻外圆周长与内圆周长的差为2πR－2πr＝2π（R－r），已知跑道宽为1m，即R－r＝1m，由此得出，相邻跑道的起跑线的差距＝2π×跑道宽，代入数据计算即可得解。 【解答】2×3.14×1＝6.28（m） 相邻跑道的起跑线应该依次提前6.28m。 【点评】本题考查圆的周长公式的灵活运用，掌握确定起跑线的计算方法是解题的关键。 3．（2分）如图，一个正方形用4根小棒，2个正方形用7根小棒，那么摆40个这样的正方形需要（ ）根小棒，如果有157根小棒，可以摆（ ）个这样的正方形。 …… 【答案】121 52 【分析】根据图示发现：摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒，……可知：摆n个正方形需要4＋（n－1）×3＝（3n＋1）根小棒，据此解答。 【解答】摆1个正方形需要4根小棒 摆2个正方形需要7根小棒 摆3个正方形需要10根小棒 …… 摆n个正方形需要： 4＋（n－1）×3 ＝4＋3n－3 ＝（3n＋1）根 摆40个这样的正方形需要： 3×40＋1 ＝120＋1 ＝121（根） 如果有157根小样，可以摆 （157－1）÷3 ＝156÷3 ＝52（个） 摆40个这样的正方形需要121根小棒，如果有157根小样，可以摆52个这样的正方形。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 4．（2分）“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形半径是，按照下面的方法画螺旋线，第五步的弧线长（ ）。 【答案】7.85 【分析】观察图形可知，从第三步的扇形开始，每个扇形的半径是前面两个扇形半径之和，第一个扇形半径是1cm，第二个扇形半径是1cm，第三个扇形半径是1＋1＝2cm，第四个扇形半径是1＋2＝3cm，第五个扇形半径是2＋3＝5cm，第五步弧线长就是半径为5cm圆的周长的，根据圆的周长公式：π×半径×2，即可求出弧长。 【解答】根据分析可知，弧长：3.14×5×2× ＝15.7×2× ＝31.4× ＝7.85（cm） 【点评】本题考查扇形弧长的求法，根据圆的周长公式进行解答，确定扇形的半径是解题的关键。 5．（2分）小芳、小兰两人用红、黑两种棋子，按下图的要求玩跳棋游戏：从1号位出发，轮流按顺时针方向前进，小芳的红棋的走法是：2步—3步—2步—3步—2步…；小兰的黑棋的走法是：2步—1步—2步—1步—2步…。她们各走了60次后，小芳的红棋走到了（ ）号位，小兰的黑棋走到了（ ）号位。 【答案】1 1 【分析】小芳的红棋子从1号位出发，第1次走2步，到达3；第2次走3步，到达6；第3次走2步，到达2；第4次走3步，到达5；第5次走2步，到达1。即小芳的红棋子走5次回到出发地，也就是小芳的红棋子到达的位置按3、6、2、5、1循环，每走5次一个循环。小兰的黑棋子从1号位出发，第1次走2步，到达3；第2次走1步，到达4；第3次走2步，到达6；第4次走1步，到达1。即小兰的黑棋子走4次回到出发地，也就是小兰的黑棋子到达的位置按3、4、6、1循环，每走4次一个循环。用60÷5、60÷4分别求出小芳的红棋子、小兰的黑棋子走了几个周期，如果有余数，余数是几，所求的位置就是周期中的第几个，如果没有余数，就是周期中的最后一个。 【解答】小芳的红棋子到达的位置按3、6、2、5、1循环，每走5次一个循环。 60÷5＝12（个） 小兰的黑棋子到达的位置按3、4、6、1循环，每走4次一个循环。 60÷4＝15（个） 所以小芳的红棋走到了1号位，小兰的黑棋走到了1号位。 【点评】解决周期问题时，可以根据题中循环出现的规律列除法算式，求出余数，再根据余数得出所求问题的结果。 6．（3分）在日常生产、生活中，经常把同样大小的圆柱管捆扎起来（接头处忽略不计），每根圆柱管的直径都是10厘米，捆扎后的横截面如下图所示。 请你根据图示，探索发现求绳子长度的方法，并完成下表。 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） （ ） （ ） （ ） 【答案】31.4 51.4 71.4 【分析】如图，把绳子的长度分解： 观察可知，绳子的长度由两部分组成，一部分是捆扎圆柱管左右两边的圆弧部分的长度，圆弧部分的长度刚好等于一个整圆的周长；另一部分是捆扎圆柱管上下部分的直径总长度，上下部分绳子的长度＝（圆的个数－1）×直径长度×2，圆弧部分与上下部分所有直径之和就是绳子的总长度；据此可得：n个圆柱管需要绳子的总长度：3.14×10＋（n－1）×10×2＝20（n－1）＋31.4。 【解答】根据分析可知， 捆扎1个圆柱管所需绳子长度： 3.14×10＝31.4（厘米） 捆扎2个圆柱管所需绳子长度： 3.14×10＋（2－1）×10×2 ＝3.14×10＋1×10×2 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 捆扎3个圆柱管所需绳子长度： 3.14×10＋（3－1）×10×2 ＝3.14×10＋2×10×2 ＝31.4＋40 ＝71.4（厘米） 填空如下： 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） 31.4 51.4 71.4 【点评】分析图表可知，绳子的长度由两部分组成，一部分是捆扎圆柱管左右两边的圆弧部分的长度，圆弧部分的长度刚好等于一个整圆的周长，另一部分是捆扎圆柱管上下部分的直径总长度，是解答本题的关键。 7．（4分）有若干个同样大小的圆环，它的外直径5厘米，环宽0.5厘米。 如果将它们扣在一起组成一根链子，再拉紧后测量出链子的长度，圆环的个数增加，长度有怎样的变化规律？请你边计算填表，边思考。 圆环的个数 2 3 4 链子的长度（厘米） （ ） （ ） （ ） 将12个这样的圆环扣在一起形成一根链子，用你发现的规律计算出链子拉紧后的长度是（ ）厘米。 【答案】9 13 17 49 【分析】（1）根据题干可知：1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格，由此即可得出规律进行解答； （2）设环的个数为n，拉紧后总长为S，根据上面规律，找出个数与总长度之间的关系，进而求出12个圆环拉紧后的长度 【解答】（1）1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格如下： 圆环的个数 2 3 4 链子的长度（厘米） （   9   ） （   13   ） （   17   ） （2）观察上表可得：当有n个环时，拉紧后的总长度S就是：S＝1＋4n厘米； 所以当n＝12时，总长度是：1＋12×4＝49（厘米）， 则12个圆环拉紧后的长度是49厘米。 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 8．（2分）现有段铁链，每段上有个封闭的铁环。现在要打开一些铁环，把这个铁环焊接成一个一环套一环的圆圈。如果每打开一个铁环要分钟，焊接上一个铁环要分钟。那么焊成这个圆圈，至少需要（ ）分钟。 【答案】20 【分析】把第一段的每个都打开之后，然后用每个铁环把剩下的4段铁链之间的两个相连，这样所需要的时间最短。 【解答】（分钟） （分钟） （分钟） 所以至少需要20分钟。 【点评】本题考查的是方案优化的问题，注意打开一个铁环，就可以使两个铁环分开。 9．（2分）“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用大小不同的圆画出来的（如图），第一步中圆的半径是1cm，按照如图所示的方法继续画下去，第四步中最大的圆中的螺旋线长（ ）cm。 第一步 第二步 第三步 第四步 【答案】4.71 【分析】第一步中的圆的半径：1cm； 第二步中的圆的半径：1cm； 第一步和第二步的两个图形正好可以成一个直径是2cm的半圆； 第三步中的圆的半径：1×2＝2（cm）； 第四步中的圆的半径：2＋1＝3（cm）； 则第四步中最大的圆的周长＝半径是3cm圆的周长÷4＝ 【解答】由分析可知，第三步中圆的半径：1×2＝2（cm） 第四步中最大的圆的半径：1×2＋1 ＝2＋1 ＝3（cm） 3.14×3×2÷4 ＝3.14×6÷4 ＝18.84÷4 ＝4.71（cm） 10．（2分）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉。现依次取边长为1，1，2，3，5…的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”。那么前五个正方形内形成的曲线的长度是（ ）。 【答案】 【分析】根据题意可知，每个正方形的边长都是扇形的半径，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，再把这5个圆弧相加即可。 【解答】由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5…，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，故前五个正方形内形成的曲线的长度是： ×π×1×2＋×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2＋×π×5×2 ＝π＋π＋π＋π＋π ＝6π 所以前五个正方形内形成的曲线的长度是6π。 【点评】本题考查圆的周长公式，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长。 11．（4分）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数：1、1、2、3、5、8、13、21、34…计算12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋…这样的算式有简便方法。我们也可以用以下方法探索，以这组数中各个数作为正方形的边长，再拼成如下图的长方形来研究。 序号 ① ② ③ ④ 图形               算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 （1）观察上面的图形和算式，你能填写下面的算式吗？ 12＋12＝1×2    12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5   12＋12＋22＋32＋52＝（ ）×（ ）   12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（ ）×（ ） （2）序号为⑥的算式结果是（ ）。 【答案】（1）5 8 13 21 （2）273 【分析】（1）观察图形和算式，可以发现长方形的长等于数列末项和前一项的和，长方形的宽等于数列的末项，那么求这个数列中数的平方的和就相当于求长方形的面积，长方形的面积＝末项×（末项＋前一项），据此即可填空 （2）由于每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，由于序号为⑤的算式可以写成8×13，那么序号是⑥的算，13×21，据此即可填空。 【解答】（1）由分析可知： 12＋12＋22＋32＋52＝5×8   12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21 （2）13×（13＋8） ＝13×21 ＝273 序号为⑥的算式结果是273。 【点评】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。 二、判断题（满分6分） 12．（2分）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。（ ） 【答案】√ 【分析】规律：每多1个正方形就多3根小棒； 第1个图形里共有4根小棒，即3×1＋1； 第2个图形里共有7根小棒，即3×2＋1； 第3个图形里共有10根小棒，即3×3＋1； 第4个图形里共有13根小棒，即3×4＋1； …… 第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1。 【解答】根据分析可知，第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1，当n＝100时， 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 即第100个图形需要301根小棒。 故答案为：√ 13．（2分）如图，一个铁环长4厘米，5个这样的铁环连在一起一共长2分米。（ ） 【答案】× 【分析】根据题图可知，2个铁环连在一起时，有1个连接点，2个铁环的厚度不计入总长度。3个铁环连在一起时，有2个连接点，（2×2）个铁环的厚度不计入总长度。5个铁环连在一起时，有4个连接点，（4×2）个铁环的厚度不计入总长度。用5个铁环的长度和减去（4×2）个铁环的厚度，求出5个铁环连接在一起的长度。 【解答】（5－1）×2×5 ＝4×2×5 ＝8×5 ＝40（毫米） 40毫米＝4厘米 4×5－4 ＝20－4 ＝16（厘米） 2分米＝20厘米 16厘米≠20厘米 5个这样的铁环连在一起一共长16厘米。题干说法错误。 故答案为：× 【点评】本题考查集合问题，关键是明确每个连接点处有2个铁环的厚度不计入总长度，再看一共有几个连接点。 14．（2分）用4个半径相等且圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。（ ） 【答案】√ 【分析】半径决定圆的大小，一个整圆的圆心角是360°，所以用4个半径相等且圆心角是90°的扇形可以拼成一个圆。据此判断即可。 【解答】由分析可知： 因为4个扇形的半径相等，且圆心角都是90°，所以可以拼成一个圆。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点评】本题考查扇形和圆心角，明确半径决定圆的大小是解题的关键。 三、选择题（满分12分） 15．（2分）如图，5个大小相同的铁环连在一起，总长是（    ）。 A．20厘米 B．160毫米 C．180毫米 【答案】B 【分析】根据题意知：5个大小相同的铁环连在一起，且每个铁环是4厘米。总长也就是5个4相乘，但铁环是环环相扣的，也就是有重复的计算，找到有几个重复计算的，然后减去就是总长了。且要记得单位换算。 【解答】5×4＝20（厘米）  20厘米＝200毫米 8×5＝40（毫米）  200－40＝160（毫米） 所以5个大小相同的铁环连在一起，总长是160毫米。 故答案为：B 【点评】本题主要考查长度计算，解答本题的关键是找到重复计算的，且能掌握单位之间的换算。 16．（2分）按照下面3幅图的规律继续画图，第12幅图形长（    ）厘米。 A．48 B．52 C．92 D．96 【答案】B 【分析】通过观察可知，后一幅图比前一幅图的长度多4厘米，那么第12幅图比第一幅图多（12－1）×4＝44厘米，然后加上8厘米即可解答。 【解答】（12－1）×4＋8 ＝44＋8 ＝52（厘米） 故答案为：B 【点评】此题主要考查学生对图形规律问题的解答。 17．（2分）如图所示为某学校操场示意图，每条跑道的宽为1.25m，从内到外依次是第1道，第2道……绕第1道跑一圈正好是200m，则绕第2道跑一圈是（    ）。（取3.14） A．203.925m B．207.85m C．215.7m D．231.4m 【答案】B 【分析】由图可知，第2道比第1道多了π×1.25×2，再用第2道比第1道多的米数加上第1道跑一圈的米数就是第2道跑一圈的米数，据此解答。 【解答】3.14×2×1.25 ＝6.28×1.25 ＝7.85（m） 200＋7.85＝207.85（m） 则绕第2道跑一圈是207.85m。 故答案为：B 【点评】解决本题的关键是根据图形找出周长的组成部分，再计算。 18．（2分）如图，3个铁环连在一起，长（    ）。 A．24厘米 B．23厘米 C．22厘米 D．21厘米 【答案】C 【分析】观察上图可知，铁环的直径为8厘米，铁环的厚度为5毫米，3个铁环连在一起的长度等于铁环的直径乘3，再减去重复计算的4个铁环的厚度，据此即可解答。 【解答】8×3＝24（厘米） 5×4＝20（毫米）＝2厘米 24－2＝22（厘米） 3个铁环连在一起，长22厘米。 故答案为：C 19．（2分）“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”罗丹，美在数学中也不曾少有，如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形，每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线。试求图中斐波那契螺旋线的长（    ）。（取3.14） 图1                       图2 A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68 【答案】B 【分析】根据题意可知，每个正方形的边长都是扇形的半径，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，由于这个图是到第6个扇形，所以把这6个圆弧相加即可 【解答】×π×1×2＋×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2＋×π×5×2＋×π×8×2 ＝π＋π＋π＋π＋π＋4π ＝10π ＝10×3.14 ＝31.4 所以图中斐波那契螺旋线的长为31.4。 故答案为：B 20．（2分）数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此即可选择。 【解答】A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意。 故答案为：Ａ 四、解答题（满分55分） 21．（6分）把3个大小相同的铁环连在一起（如下图），拉紧后的长是多少毫米？ 【答案】82毫米 【分析】拉紧后的长度就是三个铁环的长度之和再减去重叠部分的长度即可得出。此处需要知道有几个重叠的长度，先看图的左边重叠部分的长度实际上算了两次，也就是左边铁环加上中间的铁环；同理可知右边重叠部分的长度实际上也算了两次。据此解答即可。 【解答】30＋30＋30＝90（毫米） 2＋2＋2＋2＝8（毫米） 90－8＝82（毫米） 答：拉紧后长度是82毫米。 【点评】本题考查学生利用加减法来分析问题和解决问题的能力，此处知晓重叠部分是几次是解答的关键。 22．（6分）丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？ 【答案】672个 【分析】由奇数＋奇数＝偶数，偶数十奇数＝奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……”3个一周期排列的，所以2016÷3＝672（个）周期，每个周期里有1个偶数，672×1＝672（个），即有672个偶数。 【解答】2016÷3＝672（个） 672×1＝672（个） 答：前2016个数中共有672个偶数。 【点评】找到题干中的数列规律是解题的关键。 23．（6分）著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…从第三项开始每一项是前两项的和。此数列的第2008项除以8的余数是多少？ 【答案】3 【分析】数列的规律是：从第三项开始，每一项是前两项的和，因此由余数的性质：两数的和除以A的余数等于这两数分别除以A的余数的和再除以A的余数。可以写出余数的规律是： 1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，3⋯它的循环周期是：1，1，2，3， 5，0，5，5，2，7，1，0，即12个数一个周期，由此用2008除以12看余数对应的循环周期中的第几个数即可。 【解答】2008÷12＝167⋯⋯4 在循环数中第4个数对应的是3，因此第2008项除以8的余数是3。 答：此数列的第2008项除以8的余数是3。 【点评】解答此题的关键是，根据两数的和除以A的余数等于这两数分别除以A的余数的和再除以A的余数，得出此数列除以8的余数的循环周期，由此得出答案。 24．（7分）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 【答案】7.065平方厘米 【分析】由题意可知，第1步中扇形的半径是1厘米，第2步中扇形的半径是1厘米，第3步中扇形的半径是（1＋1）厘米，第4步中扇形的半径是（1＋1＋1）厘米，扇形的面积是所在圆面积的，最后利用“”求出第4步画的新扇形的面积，据此解答。 【解答】3.14×（1＋1＋1）2× ＝3.14×9× ＝3.14×9× ＝28.26× ＝7.065（平方厘米） 答：第4步画的新扇形的面积是7.065平方厘米。 【点评】根据图形求出扇形的半径并掌握圆的面积计算公式是解答题目的关键。 25．（7分）下图是美丽的鹦鹉螺外壳图片，其中也蕴含着黄金比。它的优美曲线被称为黄金螺旋线。仔细观察，如果继续画下去，第七个扇形的半径是多少，填在表格里。 扇形编号 一 二 三 四 五 六 七 扇形半径 1 1 2 3 5 8 【答案】13 【分析】观察前面几个扇形半径的规律，可以发现从第三个扇形开始，每个扇形的半径都是前两个扇形半径之和。即：第一个扇形半径为1，第二个扇形半径为1，第三个扇形半径为1＋1＝2，第四个扇形半径为1＋2＝3，第五个扇形半径为2＋3＝5，第六个扇形半径为3＋5＝8，那么第七个扇形半径为5＋8＝13。 【解答】按照规律依次计算出第七个扇形的半径为13。 扇形编号 一 二 三 四 五 六 七 扇形半径 1 1 2 3 5 8 13 26．（8分）如图，小正方形ABCD的边长为2厘米，依次以A，B，C，D四个顶点为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中涂色部分。求涂色部分的面积。 【答案】94.2平方厘米 【分析】观察图形可知，涂色部分是由4个大小不相同的扇形组成，这4个扇形的圆心角都 90°，所以都是圆的；分别是以A点为圆心、AD为半径画的圆，以B点为圆心、BE为半径画的圆，以C点为圆心、CF为半径画的圆，以D点为圆心、DG为半径画的圆；根据圆的面积公式S＝πr2，再乘，求出这4个扇形的面积，再相加，就是涂色部分的面积。 【解答】AD＝2厘米 BE＝2＋2＝4（厘米） CF＝4＋2＝6（厘米） DG＝6＋2＝8（厘米） 3.14×22×＋3.14×42×＋3.14×62×＋3.14×82× ＝3.14×1＋3.14×4＋3.14×9＋3.14×16 ＝3.14×（1＋4＋9＋16） ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 答：涂色部分的面积是94.2平方厘米。 【点评】关键是找出4个扇形的半径，然后根据圆的面积公式列式计算。 27．（15分）现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。 圆环个数 1 2 3 4 5 6 …… 拉紧后的长度/cm （1）请完成表格。 （2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米？ （3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？ （4）若拉紧后的长度是77厘米，则它是由多少个圆环扣成的？ 【答案】（1）见详解 （2）45厘米 （3）S＝1＋4a； （4）19个 【分析】（1）根据题干可知，1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格， （2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米，由此进行解答； （3）依据上面规律，代入数据即可得出用字母a、S表示的关系式； （4）设有n个圆环扣成的，由上面得出的关系式即可得出一个方程，解方程即可。 【解答】（1）1个圆环的长度是5厘米，以后每增加一个圆环，就增加5－0.5×2＝4厘米，由此可以完成表格： 圆环个数 1 2 3 4 5 6 …… 拉紧后的长度/cm 5 9 13 17 21 25 …… （2）观察上表格可得：当有n个圆环，拉紧后的总长度就是：1＋4n厘米， 所以，当n＝11时，总长度为： 1＋11×4 ＝1＋44 ＝45（厘米） 答：11个圆环拉紧后的长度是45厘米。 （3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，则可得圆环与拉紧后的总长度的关系式： S＝0.5×2＋（5－0.5×2）a ＝1＋4a 答：关系式为：S＝＝1＋4a （4）解：设圆环的个数为x，根据上面关系式可得： 1＋4x＝77 4x＝76 X＝19 答：是由19个圆环扣成的。 【点评】此题考查是的找规律，正确找出规律并用规律解决问题是解题关键。 试卷第18页，共20页 试卷第17页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 第七单元 数学百花园（单元测试） 试卷总分：100分；卷面分：5分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、填空题（满分27分） 1．（2分）著名的斐波那契数列、、、、、、、…，其中的第个数是（ ）。 2．（2分）如图，实验小学校园运动会的跑道宽比成人比赛的跑道宽要窄些，400m的跑步比赛，跑道宽为1m，那相邻跑道的起跑线应该依次提前（ ）m。（圆周率取3.14） 3．（2分）如图，一个正方形用4根小棒，2个正方形用7根小棒，那么摆40个这样的正方形需要（ ）根小棒，如果有157根小棒，可以摆（ ）个这样的正方形。 …… 4．（2分）“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形半径是，按照下面的方法画螺旋线，第五步的弧线长（ ）。 5．（2分）小芳、小兰两人用红、黑两种棋子，按下图的要求玩跳棋游戏：从1号位出发，轮流按顺时针方向前进，小芳的红棋的走法是：2步—3步—2步—3步—2步…；小兰的黑棋的走法是：2步—1步—2步—1步—2步…。她们各走了60次后，小芳的红棋走到了（ ）号位，小兰的黑棋走到了（ ）号位。 6．（3分）在日常生产、生活中，经常把同样大小的圆柱管捆扎起来（接头处忽略不计），每根圆柱管的直径都是10厘米，捆扎后的横截面如下图所示。 请你根据图示，探索发现求绳子长度的方法，并完成下表。 圆柱管的根数 1 2 3 绳子长度（厘米） （ ） （ ） （ ） 7．（4分）有若干个同样大小的圆环，它的外直径5厘米，环宽0.5厘米。 如果将它们扣在一起组成一根链子，再拉紧后测量出链子的长度，圆环的个数增加，长度有怎样的变化规律？请你边计算填表，边思考。 圆环的个数 2 3 4 链子的长度（厘米） （ ） （ ） （ ） 将12个这样的圆环扣在一起形成一根链子，用你发现的规律计算出链子拉紧后的长度是（ ）厘米。 8．（2分）现有段铁链，每段上有个封闭的铁环。现在要打开一些铁环，把这个铁环焊接成一个一环套一环的圆圈。如果每打开一个铁环要分钟，焊接上一个铁环要分钟。那么焊成这个圆圈，至少需要（ ）分钟。 9．（2分）“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用大小不同的圆画出来的（如图），第一步中圆的半径是1cm，按照如图所示的方法继续画下去，第四步中最大的圆中的螺旋线长（ ）cm。 第一步 第二步 第三步 第四步 10．（2分）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉。现依次取边长为1，1，2，3，5…的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”。那么前五个正方形内形成的曲线的长度是（ ）。 11．（4分）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数：1、1、2、3、5、8、13、21、34…计算12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋…这样的算式有简便方法。我们也可以用以下方法探索，以这组数中各个数作为正方形的边长，再拼成如下图的长方形来研究。 序号 ① ② ③ ④ 图形               算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 （1）观察上面的图形和算式，你能填写下面的算式吗？ 12＋12＝1×2    12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5   12＋12＋22＋32＋52＝（ ）×（ ）   12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（ ）×（ ） （2）序号为⑥的算式结果是（ ）。 二、判断题（满分6分） 12．（2分）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。（ ） 13．（2分）如图，一个铁环长4厘米，5个这样的铁环连在一起一共长2分米。（ ） 14．（2分）用4个半径相等且圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。（ ） 三、选择题（满分12分） 15．（2分）如图，5个大小相同的铁环连在一起，总长是（    ）。 A．20厘米 B．160毫米 C．180毫米 16．（2分）按照下面3幅图的规律继续画图，第12幅图形长（    ）厘米。 A．48 B．52 C．92 D．96 17．（2分）如图所示为某学校操场示意图，每条跑道的宽为1.25m，从内到外依次是第1道，第2道……绕第1道跑一圈正好是200m，则绕第2道跑一圈是（    ）。（取3.14） A．203.925m B．207.85m C．215.7m D．231.4m 18．（2分）如图，3个铁环连在一起，长（    ）。 A．24厘米 B．23厘米 C．22厘米 D．21厘米 19．（2分）“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”罗丹，美在数学中也不曾少有，如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形，每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线。试求图中斐波那契螺旋线的长（    ）。（取3.14） 图1                       图2 A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68 20．（2分）数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 四、解答题（满分55分） 21．（6分）把3个大小相同的铁环连在一起（如下图），拉紧后的长是多少毫米？ 22．（6分）丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？ 23．（6分）著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…从第三项开始每一项是前两项的和。此数列的第2008项除以8的余数是多少？ 24．（7分）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 25．（7分）下图是美丽的鹦鹉螺外壳图片，其中也蕴含着黄金比。它的优美曲线被称为黄金螺旋线。仔细观察，如果继续画下去，第七个扇形的半径是多少，填在表格里。 扇形编号 一 二 三 四 五 六 七 扇形半径 1 1 2 3 5 8 26．（8分）如图，小正方形ABCD的边长为2厘米，依次以A，B，C，D四个顶点为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中涂色部分。求涂色部分的面积。 27．（15分）现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。 圆环个数 1 2 3 4 5 6 …… 拉紧后的长度/cm （1）请完成表格。 （2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米？ （3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗？ （4）若拉紧后的长度是77厘米，则它是由多少个圆环扣成的？ 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $